2.2 極限的直觀

第 2 章 極限 (Limits)

目錄

2.1 變化率 . . . . 14

2.2 極限的直觀 . . . . 15

2.3 單側, 在無限遠之極限及無窮極限 . . . . 15

2.4 極限的性質 . . . . 17

2.5 極限之綜合例題 . . . . 18

2.6 極限的定義 . . . . 20

2.7 漸近線 . . . . 21

2.8 連續性 . . . . 22

2.9 中間值定理 . . . . 23

(1) 介紹極限的直觀意義

(2) 介紹各種極限的定義, 及一些計算技巧 (3) 圖形之漸近線

(4) 函數的連續性及中間值定理

2.1 變化率(Rate of Changes)

定義 2.1.1. y = f (x) 在 x ∈ [x1, x2] 上的平均變化率(average rate of change) 為 ^∆y_∆x =

f (x2)−f(x1)

x2−x1 = ^{f (x1+h)}_h^−f(x), h = x₂− x1 。

例 2.1.2. 一顆球從 450 公尺高的 CN 塔上放下, (1) 求它在前5秒的平均速度。

(2) 求它在第5秒到第6秒間的平均速度。

(3) 求它在第五秒的速度。

例 2.1.3. 討論拋物線 y = x² 在點 P (1, 1) 切線的斜率。

¤

第 2 章 極限 2.2 極限的直觀

2.2 極限的直觀

例 2.2.1. 討論 f(x) = _x^x2−1₋₁ 在 x = 1 附近的行為。

定義 2.2.2. (直觀) lim

x→af (x) = L 表示: 當 x 很靠近 a 時, f(x) 很靠近 L, 而且要有多接近, 就 有 多接近。 稱為 f(x) 在 x = a 的極限 (limit) 為 L。

[註] x 很靠近 a 表示 x 同時從左側及右側很靠近 a , 且 x 6= a 。 例 2.2.3. 討論 lim

x→−2 3x+4

x+5 。

例 2.2.4. 令 (a) f(x) = ^x_x²₋₁⁻¹, (b) g(x) =

{ _x2−1

x−1 x6= 1

1 x = 1 , (c) h(x) = x + 1。 討論以上三函數在 x = 1 的極限。

[註] 函數在 a 的極限與它在 a 的取值無關。

例 2.2.5. Heaviside函數定義為 H(t) =

{ 0 if t < 0;

1 if t ≥ 0. , 討論在 x = 0 的極限值。

例 2.2.6. 討論在 x = 0 的極限:

(1) f (x) =

{ 0 x < 0, 1 x≥ 0 。 (2) g(x) =

{ ₁

x x6= 0, 0 x = 0 。 (3) h(x) =

{ 0 x≤ 0, sin¹_x x > 0 。 例 2.2.7. 猜測 lim

t→0

√t²+9−3 t² 。 例 2.2.8. 猜測 lim

x→0 sin x

x 。 例 2.2.9. 猜測 lim

x→0sin^π_x。

2.3 單側, 在無限遠之極限及無窮極限

(一) 單側極限(One-Sided Limits)

例 2.3.1. 函數 g(x) 如圖。 討論以下各極限:

(a) lim

x→2⁻g(x), (b) lim

x→2⁺g(x), (c) lim

x→2g(x), (d) lim

x→5⁺g(x), (e) lim

x→5⁻g(x), (f) lim

x→5g(x)。 例 2.3.2. 求 lim

x→0|x|。

例 2.3.3. 求 lim

x→0

|x|

x。 例 2.3.4. g(x) =

{ √x− 4 if x > 4;

8− 2x if x < 4. , 求 lim

x→4g(x)。

第 2 章 極限 2.3 單側, 在無限遠之極限及無窮極限 例 2.3.5. 令 f(x) =√

4− x² , 求 lim

x→−2⁺f (x), lim

x→2⁺f (x) 及 lim

x→2⁻f (x)。 例 2.3.6. 求 lim

x→3+bxc, lim

x→3−bxc, lim

x→πbxc。

定理 2.3.7. lim

x→af (x) = L⇔ lim

x→a⁺f (x) = L且 lim

x→a⁻f (x) = L。 例 2.3.8. lim

x→nbx − bx − 1cc, n ∈ Z。

(二) 無窮極限(Infinite Limits) 例 2.3.9. 求 lim

x→0⁺ 1 x, lim

x→0⁻ 1 x 。 例 2.3.10. 求 lim

x→0 1 x² 。 例 2.3.11. 求 lim

x→3⁻

x−32x , lim

x→3⁺ x−32x 。 例 2.3.12. 求 lim

x→2 (x−2)²

x²−4 , lim

x→2⁺ x−2 x²−4。 例 2.3.13. 求 lim

x→2⁺ x−3

x²−4, lim

x→2⁻ x−3

x²−4, lim

x→2⁻ x−1 x²−4 。 例 2.3.14. 求 lim

x→^π₂⁻tan x, lim

x→^π₂⁺tan x。 例 2.3.15. 求 lim

x→0⁺ln x。

(三) 在無限遠的極限(Limits at infinite) 例 2.3.16. 求 lim

x→∞

1

x, lim

x→−∞

1 x。 例 2.3.17. 求 lim

x→∞

1

x^r, lim

x→−∞

1

x^r (r 為整數)。

例 2.3.18. 求 lim

x→∞x³, lim

x→−∞x³。 例 2.3.19. 求 lim

x→∞(x²− x)。

例 2.3.20. 描繪函數 y = (x − 2)⁴(x + 1)³(x− 1) 的圖形。

例 2.3.21. 求 lim

x→∞tan⁻¹x, lim

x→−∞tan⁻¹x。 例 2.3.22. 求 lim

x→2⁺arctan(_x−2¹ )。 例 2.3.23. 求 lim

x→∞e^x, lim

x→−∞e^x 。 例 2.3.24. 求 lim

x→0⁻e^1/x。 例 2.3.25. 求 lim

x→∞sin x。 例 2.3.26. 求 lim

x→∞sin_x¹。 例 2.3.27. 求 lim

x→∞

sin x x 。

第 2 章 極限 2.4 極限的性質

2.4 極限的性質

四則運算的極限 定理 2.4.1. 若 lim

x→af (x) = L且 lim

x→ag(x) = M , 則 (1) lim

x→ac = c, lim

x→ax = a, (2) lim

x→akf (x) = kL, (3) lim

x→a(f (x)± g(x)) = L ± M , (4) lim

x→af (x)g(x) = L· M, (5) lim

x→a f (x)

g(x) = _M^L, 若 M 6= 0 , (6) lim

x→af (x)^α = L^α, α∈ Q, L > 0 。

[註] 只要極限值 L, M 存在, 此定理對 ”單側極限” 及 ”在無限遠的極限” 均成立。

例 2.4.2. 在右圖中, 求 (1) lim

x→−2[f (x) + g(x)], (2) lim

x→1[f (x)g(x)], (3) lim

x→2 f (x) g(x)。 定理 2.4.3. (1) 若 p(x) = anxⁿ+ a_n−1xⁿ⁻¹+· · · + a1x + a₀, 則 lim

x→ap(x) = p(a)。 (2) 若 ^{P (x)}_Q(x) 為有理式, 且 Q(a) 6= 0, 則 lim

x→a P (x)

Q(x) = ^{P (a)}_Q(a)。 例 2.4.4. 求 lim

x→−2

√x³+2x²−1 5−3x 。 例 2.4.5. lim

h→0

(3+h)²−9

h 。

例 2.4.6. lim

x→1 1

x−1{_x+3¹ − _3x+5² } 。 例 2.4.7. lim

t→0

√t²+9−3 t² 。 例 2.4.8. lim

x→27

√1+√³ x−2 x−27 。 例 2.4.9. lim

x→1

1−x

5−x−√x−√³x−√⁴x−√⁵ x。 例 2.4.10. 求 lim

x→∞

5x²+8x−3 3x²+2 , lim

x→−∞

5x²+8x−3 3x²+2 。 例 2.4.11. 求 lim

x→∞

11x+1 2x³−1, lim

x→−∞

11x+1 2x³−1 。 例 2.4.12. 求 lim

x→∞

3x⁴−x−2 5x²+4x+1, lim

x→−∞

3x⁴−x−2 5x²+4x+1。 例 2.4.13. 求 lim

x→∞

3x³−x−2 5x²+4x+1, lim

x→−∞

3x³−x−2 5x²+4x+1。 例 2.4.14. 求 lim

x→−∞

146√

|x|

√7

10⁷+√³

10³+√⁷ x+10⁷

。 三明治定理

第 2 章 極限 2.5 極限之綜合例題

定理 2.4.15. (1) 令 c ∈ (a, b)。 若 f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b], x 6= c, 且以下極限均存在, 則 limx→cf (x)≤ lim

x→cg(x)。

(2) [三明治定理, 夾擊定理 (Sandwich Theorem, Squeeze Theorem)] 若 g(x) ≤ f(x) ≤ h(x),∀x ∈ [a, b], x 6= c, 且 lim

x→cg(x) = lim

x→ch(x) = L, 則 lim

x→cf (x) = L。 註 2.4.16. 在 (1) 中, 若 f(x) < g(x), ∀x ∈ [a, b], x 6= c, 仍可能 lim

x→cf (x) = lim

x→cg(x)。 定理 2.4.17. 若 f(x) 在 x = a 附近為有界, 且 lim

x→ag(x) = 0, 則 lim

x→a(f g)(x) = 0 。 例 2.4.18. 若 1 − ^x₄² ≤ u(x) ≤ 1 + ^x₂²,∀x 6= 0, 求 lim

x→0u(x)。 例 2.4.19. lim

θ→0sin θ 。 例 2.4.20. lim

θ→0cos θ 。 例 2.4.21. 若 lim

x→a|f(x)| = 0, 則 lim

x→af (x) = 0。 例 2.4.22. lim

x→af (x) = L⇔ lim

x→a|f(x)| = |L| 是否成立?

2.5 極限之綜合例題

三角函數的極限 定理 2.5.1. lim

θ→0 sin θ

θ = 1 (θ 取弳度) 。 例 2.5.2. lim

θ→0 sin 2θ

3θ 。 例 2.5.3. lim

θ→0

sin(θ−1) θ−1 。 例 2.5.4. lim

θ→1

sin(θ−1) θ−1 。 例 2.5.5. lim

θ→1

sin(θ−1)² θ−1 。 例 2.5.6. lim

θ→0 cos θ−1

θ 。 例 2.5.7. lim

θ→0 cos θ−1

θ² 。 例 2.5.8. lim

x→0x²sin_x¹。 例 2.5.9. 求 lim

x→1arcsin(¹₁⁻_−x^√x) 。

例 2.5.10. 求 f(x) = sin¹_x 在 x = 0 的極限。

例 2.5.11. 求 lim

x→∞(sin√

x + 1− sin√ x)。 例 2.5.12. lim

x→0x cot x。

第 2 章 極限 2.5 極限之綜合例題 例 2.5.13. lim

x→1(1− x) tan^π₂x。 例 2.5.14. lim

θ→^π2

sec θ−tan θ θ−^π₂ 。 綜合例題

例 2.5.15. 求 lim

x→0

√1+x−√ 1−x

√3

1+x−√³ 1−x。 例 2.5.16. 求 lim

x→∞(√

x²+ 1− x)。

例 2.5.17. 求 lim

x→−∞(√

x²+ x−√

x²− x) 。

例 2.5.18. 求 lim

x→0⁺(

√

1 x +

√

1 x +

√

1 x −

√

1 x −

√

1 x +

√

1 x) 。 例 2.5.19. 令 f(x) = x√

1 + _x⁴2。 求 lim

x→0⁺f (x), lim

x→0⁻f (x) 及 lim

x→∞f (x) 。 例 2.5.20. 令 f(x) = ^√9x_x+4²⁺¹。

求 lim

x→∞f (x) 及 lim

x→−∞f (x) 。 例 2.5.21. 令 f(x) = _|x|−x^|x|−x3。 求 lim

x→0⁺f (x), lim

x→0⁻f (x), lim

x→1f (x), lim

x→−1f (x)。 例 2.5.22. 令 f(x) = ^{3x1−3− 1x}

3^x1+3^{− 1x}。 求 lim

x→0⁺f (x), lim

x→0⁻f (x), lim

x→∞f (x) , lim

x→−∞f (x)。 例 2.5.23. 令 f(x) = ¹⁺²₃₊₂^1/x1/x。

求 lim

x→0⁺f (x), lim

x→0⁻f (x) 及 lim

x→∞f (x) 。 例 2.5.24. (a) lim

x→2⁻bx + bx + bxccc, (b) lim

x→2⁺bx + bx + bxccc 。 例 2.5.25. 令 f(x) = ^bxc_x 。 求 lim

x→0⁺f (x), lim

x→0⁻f (x), lim

x→∞f (x), lim

x→−∞f (x), lim

x→1⁺f (x), lim

x→1⁻f (x)。 例 2.5.26. 令 f(x) = _bx^bxc−22c−4。

求 lim

x→2⁺f (x) 及 lim

x→2⁻f (x) 。 例 2.5.27. 令 f(x) = ^bx2_x^c−bxc2−1 ² 。 求 lim

x→1⁺f (x), lim

x→1⁻f (x), lim

x→−1⁺f (x), lim

x→−1⁻f (x), lim

x→0⁺f (x), lim

x→0⁻f (x), lim

x→∞f (x) 。

第 2 章 極限 2.6 極限的定義

例 2.5.28. 求以下極限 (1) lim

x→0|x|bxc, (2) lim

x→0bxc sin x , (3) lim

x→0b¹_xcx, (4) lim

x→0b¹_xcx² , (5) lim

x→∞

2−bxc 3x+4, (6) lim

x→−∞

x−bxc 3x+2。

2.6 極限的定義(Definitions of Limit)

定義 2.6.1. 令 f(x) 在包含 x = a 的某一開區間上有定義。 若 ∀ε > 0, ∃δ > 0 使得 0 < |x−a| <

δ⇒ |f(x) − L| < ε, 則稱為 f(x)在 x 趨近於 a 時的極限為 L, 記為 lim

x→af (x) = L。 註 2.6.2. (1) 定義中的 δ 不為唯一。 若對某一 δ 成立, 則對任意 δ⁰ < δ 均成立。

(2) 當 f(x) 在 x = a 有極限, 則極限值為唯一。 因此 lim

x→af (x) = L是妥善定義的 (well-defined)。

例 2.6.3. 證明 lim

x→3(4x− 5) = 7。

例 2.6.4. 證明 lim

x→3x² = 9。 例 2.6.5. 證明 lim

x→5

√x− 1 = 2。

例 2.6.6. 證明 lim

x→5 1 x = ¹₅。 例 2.6.7. 令 D(x) =

{ 1 x∈ Q

0 x∈ Q⁰ 。 證明: 在每一點D(x)的極限值均不存在。

定義 2.6.8. (1) 若 ∀ε > 0, ∃δ > 0 使得 a < x < a + δ ⇒ |f(x) − L| < ε , 使得 f(x) 在 a 的 右極限為 L, 記為 lim

x→a⁺f (x) = L。

(2) 若 ∀ε > 0, ∃δ > 0 使得 a − δ < x < a ⇒ |f(x) − L| < ε , 使得 f(x) 在 a 的左極限為 L, 記為 lim

x→a⁻f (x) = L。 例 2.6.9. 證明 lim

x→0⁺

√x = 0。

定義 2.6.10. (1) ∀ε > 0, ∃M 使得 x > M ⇒ |f(x) − L| < ε, 則稱 x 趨近 ∞時, f(x) 的極限 為 L, 記為 lim

x→∞f (x) = L。

(2) ∀ε > 0, ∃M 使得 x < M ⇒ |f(x) − L| < ε, 則稱 x 趨近 −∞ 時, f(x) 的極限為 L, 記為

x→−∞lim f (x) = L。

例 2.6.11. 證明 (a) lim

x→∞

1

x = 0, (b) lim

x→−∞

1 x = 0 。

第 2 章 極限 2.7 漸近線

定義 2.6.12. (1) 若 ∀B > 0, 則 ∃δ > 0, 使得 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) > B, 稱為在 x 趨近 a 時,f(x) 的極限為無限大, 記為 lim

x→af (x) =∞。

(2) 若 ∀B < 0, 則 ∃δ > 0, 使得 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) < B, 稱為在 x 趨近 a 時,f(x) 的極 限為負無限大, 記為 lim

x→af (x) =−∞。

例 2.6.13. 證明 lim

x→0 1

x² =∞。

例 2.6.14. 利用極限的定義證明: 若 lim

x→af (x) = L且 lim

x→ag(x) = M ,則

xlim→a(f (x) + g(x)) = L + M 。

2.7 漸近線(Asympotes)

定義 2.7.1. (1) 若 lim

x→∞f (x) = b 或 lim

x→−∞f (x) = b, 則 y = b 稱為 y = f(x) 之 水平漸近線。

(2) 若 lim

x→a⁺f (x) =±∞ 或 lim

x→a⁻f (x) =±∞, 則 x = a 稱為 y = f(x) 之垂直漸近線。

(3) 若 lim

x→±∞|f(x) − (mx + b)| = 0, 則 y = mx + b 稱為 y = f(x) 的斜漸近線 (Oblique Asymptote)。

註 2.7.2. 斜漸近線 (m 6= 0, 且 m 存在。) 之求法: m = lim

x→±∞

f (x)

x , b = lim

x→±∞(f (x)− mx)。

例 2.7.3. 在右圖中的函數 f(x), 求無限極限在無窮遠的極限和漸近線。

例 2.7.4. 求 y = _5x^3x2²+4x+1^−x−2 的漸近線。

例 2.7.5. 求 y = ^x_2x²⁻³₋₄ 的漸近線。

例 2.7.6. 求 f(x) = ^√_3x^2x₋₅²⁺¹ 的漸近線。

例 2.7.7. 討論 f(x) = sin_x¹ + 2 的漸近線。

例 2.7.8. 求 y = 2 + ^{sin x}_x 之漸近線。

[註] 漸近線可能與曲線交無限多個點 。

例 2.7.9. 討論 y = tan x 及 y = sec x 的漸近線。

例 2.7.10. 求 y = e^x 及 y = ln x 的漸近線。

例 2.7.11. 求 f(x) = ^√x6+3x_x2−x^5+x3−3 的所有漸近線。

第 2 章 極限 2.8 連續性

2.8 連續性(continuity)

定義

例 2.8.1. y = f (x) 如圖。 討論 y = f(x) 在哪些點連續?

定義 2.8.2. (1) y = f (x) 若滿足 lim

x→af (x) = f (a), 則稱 f(x) 在點 a 連續。

(2) 若 滿足 lim

x→a⁺f (x) = f (a), 則稱 f(x) 在點 a 為右連續。

(3) 若 滿足 lim

x→a⁻f (x) = f (a), 則稱 f(x) 在點 a 為左連續。

註 2.8.3. (1) f (x) 在 x = a 連續, 若且唯若其滿足以下三條件:

(a) f (a)有定義。 (b) lim

x→af (x) 存在。 (a) lim

x→af (x) = f (a)。 (2) f (x) 在 x = a 連續, 若且唯若 lim

x→af (x) = f (lim

x→ax)。 (3) “連續”是局部性概念。

註 2.8.4. 不連續有以下幾類, 如圖

(1) 可除性不連續 (removable discontinuity), 可重新定義 f(x) 在不連續點之值, 以去除此點之 不連續性,

(2) 跳動性不連續 (jump discontinuity), (3) 無限不連續 (infinite discontinuity), (4) 振盪不連續 (oscilating discontinuity)。

例 2.8.5. 以下函數在哪些點不連續?

(1) f (x) = ^x2_x^−x−2₋₂ (2) f (x) =

{ ₁

x² if x6= 0;

1 if x = 0.

(3) f (x) =

{ _x2−x−2

x−2 if x6= 2;

1 if x = 2.

例 2.8.6. 討論 f(x) = bxc 之連續性。

定義 2.8.7. (1) 若 b 為一區間的右端點, 且 f(x) 在點 b 為左連續, 則稱 f(x) 在邊界點 b 連續。

(2) 若 a 為一區間左端點, 且 f(x) 在點 a 為右連續, 則稱 f(x) 在邊界點 a 連續。

定義 2.8.8. (1) 若 f(x) 在一區間 I 在每一點連續, 則稱它在 I 上連續。

(2) 若 f(x) 在其定義域上每一點連續, 則稱其為連續函數 (continuous function) 。 例 2.8.9. 證明 f(x) = 1 −√

1− x² 在 [−1, 1] 連續。

第 2 章 極限 2.9 中間值定理

五則運算的連續性

定理 2.8.10. (1) 若 f 及 g 在 x = a 連續, 則 f + g, f − g, f · g, kf, f^α,^f_g (若 g(a) 6= 0 ) 均 在 x = a 連續。

(2) 若 f 在 x = a 且 g 在 f(a) 連續, 則 g ◦ f 在 x = a 連續。

定理 2.8.11. 若 g(x) 在 b 連續且 lim

x→af (x) = b, 則 lim

x→ag(f (x)) = g(lim

x→af (x)) = g(b)。 例 2.8.12. 令 f(x) =

{ x x6= 0

1 x = 0 , g(x) = x² ∀x 。 則 lim

x→0f (g(x))6= f(lim

x→0g(x))。

定理 2.8.13. (1) 多項式函數, 有理函數, 根式函數均為連續函數。

(2) 三角函數, 反三角函數均為連續函數。

(3) 指數函數, 對數函數均為連續函數。

例題

例 2.8.14. f (x) = ^{ln x+tan}_x2−1^−1x, g(x) = sin(x²), h(x) = ln(1 + cos x) 均為連續函數。

例 2.8.15. 求 lim

x→1sin⁻¹(₁¹_−x^−x2)。 例 2.8.16. 若 f(x) =

{ x + 1 if x < a;

x² if x ≥ a. , 求 a 使其連續。

例 2.8.17. 令 f(x) =

{ 1 , x∈ Q

0 , x /∈ Q , 則 f(x) 在每一點都不連續。

例 2.8.18. 令 f(x) =

{ x² , x∈ Q,

x³ , x /∈ Q , f (x) 在哪些點連續?

例 2.8.19. 若 f 及 g 均在 x = 0 連續, 則 g ◦ f 是否在 x = 0 連續?

例 2.8.20. (Dirichlet Ruler 函數) f(x) = { ₁

n, x = ^m_n ∈ Q, (m, n) = 1, n > 0

0, x /∈ Q , 則:

(1) f (x) 在有理點上不連續。

(2) f (x) 在無理點上連續。

2.9 中間值定理 (Intermediate Value Theorem)

定理 2.9.1. (中間值定理) 若 y = f(x) 在 [a, b] 上連續, 則對 f(a) 及 f(b) 間每一數均可取值。

即對任意介於 f(a) 及 f(b) 之間的 d, 皆存在 c ∈ [a, b], 使得 f(c) = d。

推論 2.9.2. (勘根定理) 若 f(x) 在 [a, b] 上連續, 且 f(a) 及 f(b) 異號, 則存在 c ∈ (a, b), 使得 f (c) = 0。

第 2 章 極限 2.9 中間值定理

註. (1) 對不連續函數, 中間值定理不見得成立。

例: f(x) =

{ x + 2 −1 < x ≤ 1 x −2 ≤ x ≤ −1 , f (−2) < 0, f(1) > 0, 但 f(x) = 0 無解。

(2) 中間值定理只保證根的存在, 根的數目甚至可能有無限多。

例: f(x) =

{ x sin¹_x x6= 0

0 x = 0 ,

在 [−_3π² ,²_π] 上有無限多個 x, 滿足 f(x) = 0 。

例 2.9.3. 證明方程式 4x³− 6x²+ 3x− 2 = 0 在 1, 2 之間有解。

例 2.9.4. 奇數多項式方程式必有實根。

例 2.9.5. 證明曲線 y = x³ 與 y = 3x + 1 必相交。

例 2.9.6. 在地球的赤道上, 必有一對對徑點 (antipodal) 的點, 其氣溫相等。

例 2.9.7. 有一四腿等長之圓桌放在地面上, 此地面高低不平, 但為連續性起伏。 證明: 將此圓桌順 時針 (或逆時針) 至多轉 90^◦, 必可使桌子平穩。