連續函數與極限

Section 4 連續函數與極限

4.1 假設 {an}這個數列有兩個極限 ^L 和 ^M(當然 ^L 不等於 ^M) 因為 ^L 是{an}的極限

所以存在某個正整數 ^N, 使得在第 ^N 項之後^,an會往 ^L 靠近

但同樣地^,M 也是{an{的極限^, 所以也會存在個正整數^M, 使得^an會往 ^M 靠近 這樣就發生矛盾了^,an若是靠近 ^L 就不能靠近 ^M,除非 ^L=M

因此^, 我們知道一個數列不能有兩個極限。

4.2 (2)因為^an會等於^L+(很小的數^),bn會等於^{M +(}很小的數⁾

所以 ^anb_n 就會等於 ^(L+(很小的數^{))(M +(}很小的數^{))=LM +(}很小的數⁾ (3) 因為^bn會等於^{M +(}很小的數⁾且 ^M6=0, 所以^bn=_{M +(}¹_0b)

4.5 l>k 時^, 從習題^4.4(3) 可觀察到^, 當分母的最高次比分子的最高次高時^, 值會趨近於⁰。 l<k 時^, 從習題^4.4(2) 可發現到^, 當分母的最高次比分子的最高次低時^, 值會趨近於∞, 再由^ak及^bl來決定正負。

l=k 時^, 從習題^4.4(1) 可注意到^, 當分母與分子的最高次數相同時^, 值會趨近於分母分子 最高次數的係數比值。

4.6 在微積分講義中第²⁰頁裡有清楚的答案說明。

4.7 僅說明^{f (x)+g(x)}的例子^, 其他可與性質^4.1做對照。

因為^f(x)與^g(x)為連續函數^,根據第²³頁上方的定義^,在任何一個點^a,都有^limx→af(x)=f(a) 這個性質^,接著我們用第²¹頁性質^4.1(4), 也就是當^x到了 ^a的附近^,f(x) 會落到^f(a)的 附近且^g(x) 也會落到 ^g(a) 的附近。

也就是說^, 當^x 到了 ^a 的附近時,f (x) + g(x)也會到落到f (a) + g(a)的附近。

而且是對任何一點 ^a, 都有這樣的性質。 這樣一來我們就說明了f (x) + g(x)有滿足²³頁 上方的定義。

因此說明了f (x) + g(x)是連續函數。

4.8 (1)lim_x→a^x_x^3−a_−a³=lim_x→a(x²+ ax + a²)=3a² (2)lim_x→a^x−2_x^−a_−a⁻²=lim_x→a^−(a+x)_a2x² =⁻²_a3

1

(3)lim_x→a^xn_x^−a_−aⁿ=lim_x→a(xⁿ⁻¹+ axⁿ⁻²+ ... + aⁿ⁻²x + aⁿ⁻¹)=naⁿ⁻¹

4.9 (2)lim_x→1^x3_2x−1^−3x+1=-1 (5)lim_x→⁴

πlog(tan¹_x)=0 (6)lim_x→12^{sin(2tan−1x)}=2

4.10 (1)lim_x→1^x_x³4⁻¹−1=lim_x→1x3^x+x^2+x+12+x+1=³₄ (4)limx→−2

√x³+x²+8+x

x+2 =limx→−2

√x³+x²+8+x

x+2 ×^√√x_x³3^+x+x²²⁺⁸+8^−x−x=limx→−2 x³+8 (x+2)√

x³+x²+8−x=3 (5)lim_x→0sin2x^tanx=lim_x→02cos¹2x=¹₂

4.11 (2)lim_x→0^cosx_x⁻¹=lim_x→0^−2sin_x ^{2 x2}=lim_x→0{^sinxx2

2 × (−sin^x₂)}=0 (3)limx→0cosx−1

x² =limx→0−2sin^{2 x}2

x² =limx→0{^sinxx2

2 × ^sinxx2

2 × (⁻¹₂ )}=⁻¹₂

4.12 (3)lim_x→∞^x_x³4⁻¹+1=0 (4)lim_x→∞^sinx_x =0 (5)lim_x→∞tan⁻¹x=^π₂ (6)lim_x→∞sin(tan⁻¹x)=1

4.13 lim_x→∞f(x)=0,if m<n limx→∞f(x)=∞,if m<n limx→∞f(x)=^a_b^m

n,if m=n

4.14 從習題^4.13中我們可以看到^,只有最高次項才會影響函數的行為^,用這樣去看第三頁的註 就可以發現^,整個函數會趨近前面的多項式^, 而後面的式子會趨近於⁰。

4.15 若^limx→∞f(x)=L, 我們只看 ^f 定義域中的整數部份^, 則可以發現^, 當 ⁿ 越來越大的時 候^,f(n) 就越往 ^L靠近^, 當然這也就是說^an就越往^L 靠近。

這樣就滿足了^limx→∞an=L。

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