導數的係數積與加減 單維彰‧

導數的係數積與加減

單維彰‧2015 年 3 月 運用兩遍綜合除法，我們得到導數的基本公式：

當 f x ( )  x

f a  ( )  n a

，其中 n=2, 3, 4, …

注意，以上我們只討論了n2的狀況。但是當 n1 時， f x( ) ，以 a 為參x 考 點 的 泰 勒 形 式 必 定 是 a (x a) ， 所 以 f a( ) ； 而1 na^n1 的 公 式 得 到 1a0  ，所以公式對 1 n1 的情況也成立。

當n0時， ( ) 1f x  ，以 a 為參考點的泰勒形式就是 1 0 (  x a)，所以 ( ) 0

f a  ；而na^n1的公式得到 0a^1 ，所以公式對0 n0的情況也成立。這 裡有一個 a 是否為 0 的細節問題，但是就公式的形式而言，我們就不予討論了。

整理之後，導數的基本公式可以改寫成：

當 f x ( )  x

f a  ( )  n a

，其中 n=0, 1, 2, 3, …

即使如此，基本公式的應用範圍還是很窄。現在我們發展計算導數的兩種性質，

就能把基本公式應用到所有多項式函數了。

首先是導數的係數積性質。將 ( )f x 寫成以 a 為參考點的泰勒形式：

( ) ( ) ( )( ) f x  f a  f a xa 

其中「」表示xa的高次項，我們暫時用不著；我們並沒有刪除它們，只是 用不著而省略不寫而已。根據基本公式而得到

1( )

n n n

x a na ^ x  a 當 ( ) 3f x  xⁿ，只要將上式的等號兩側同乘以 3，就得到

3xⁿ 3aⁿ 3na^n1(x  a)

可見 f a( )3na^n1。一般而言，如果 ( )f x kxⁿ，則

1( )

n n n

kx ka kna ^ x  a 可見 f a( )kna^n1。所以，這就是導數的係數積法則：

若 ( )f x kxⁿ，則 f a( )kna^n1

設 m、n 為正整數，令 f x( )3x^m2xⁿ，則基本公式搭配係數積法則得到 3x^m 3a^m3ma^m1(x  a)

2xⁿ 2aⁿ 2na^n1(x  a) 將兩式相減，同類項合併之後得到

1 1

3x^m2xⁿ (3a^m2aⁿ)3ma^m 2na^n (xa)

可見 f a( )3ma^m12na^n1。這就是導數的加減法則：

若 ( )f x x^mxⁿ，則 f a( )ma^m1na^n1

把係數積和加減法則合併在一起，我們得到一套計算多項式函數之導數的策 略，就是把多項式的「項」拆開來，一項一項地處理，而每一項都用基本公式搭 配係數積法則來處理：

若 ( )f x  px^mqxⁿ，則 f a( ) p ma[ ^m1]q na[ ^n1] 舉例而言，若對 f x( )x³  ，求 (2)x 1 f ，可以先將各項拆開：

3]

( ) [ [ ] [1]

f x  x  x  然後每一項作其導數：

( )

f a [3a²][1] 0 代入a2得到

(2)

f [3 2 ²][1] 0 13  我們不妨運用綜合除法驗證一遍：

1 0 1  2 1 2 4 10 1 2 5 9 2 8 1 4 13 可見，的確 f(2)13。

再做一個 f x( )4x³2x²5x 而求 ( 1)7 f  的例子。拆開來逐項求導數：

3 2

]

( ) 4[ 2[x ] 5[ ] 7[1]

f x  x   x 

2] 2[

( ) 4[3 2a] 5[1] 7[ ]0 f a  a    12a²4a5

所以 f  ( 1) 12( 1 )²   4( 1) 5 21。讀者應該用綜合除法驗證這個答案。