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III. 分 數 的 運 算 及 重 點 分 析
(i) 引 言
在 學 習 分 數 之 前 學 生 是 學 習 整 數 的 。 整 數 與 分 數 無 論 在 概 念 及 四 則 運 算 上 均 有 所 不 同 ， 學 生 受 整 數 的 概 念 及 運 算 所 影 響 而 導 致 他 們 在 分 數 運 算 上 有 下 列 的 錯 誤 ：
例 ：
• 當 比 較 同 分 子 、 異 分 母 的 分 數 時 會 得 3 1＞
2
1 ， 因 為 受 整 數 3＞ 2 的 影
響
• 5 2＋
5 3＝
5 5
3 2
+ + ＝
10 5
• 9 8－
3 1＝
3 9
1 8
−
− ＝ 6 7
• 4
33＋ 2
21＝ 5＋
2 4
1 3
+ + ＝
6 54
• 3
6×2 ＝ 3 2 66 × ＝
3 2
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(ii) 學 生 學 習 分 數 運 算 時 所 面 對 的 困 難、常 犯 的 錯 誤 及 一 些 教 學 建 議
分 數 的 四 則 運 算 較 整 數 的 四 則 運 算 為 繁 複 ， 不 同 的 運 算 有 不 同 的 處 理 方 式 ， 現 分 述 如 下 ：
(a) 分 數 的 加 減 法
在 小 學 ， 分 數 加 減 的 教 學 法 ， 通 常 是 先 從 直 觀 圖 形 歸 納 同 分 母 分 數 相 加 減 的 法 則 ， 然 後 引 導 學 生 通 分 ， 接 著 按 照 同 分 母 分 數 加 減 的 法 則 進 行 計 算 異 分 母 分 數 的 加 減 ， 最 後 才 介 紹 帶 分 數 加 減 的 法 則 。 在 教 學 過 程 中 ， 宜 留 意 下 列 數 點 ：
• 從 同 分 母 分 數 加 減 進 入 異 分 母 分 數 的 加 減 時 ， 學 生 通 常 都 感 到 困 難 。 教 師 需 要 引 導 學 生 了 解 透 過 通 分 ， 將 異 分 母 分 數 化 為 同 分 母 分 數 才 可 進 行 加 減 。 而 進 行 通 分 的 教 學 時 ， 要 兼 顧 通 分 的 各 種 情 况 ， 例 如 ： 兩 個 分 母 互 質 、 要 找 兩 個 分 母 的 公 倍 數 等 。 同 時 要 通 過 適 當 的 練 習 ， 讓 學 生 充 分 理 解 通 分 的 概 念 及 熟 習 通 分 的 技 巧 。
• 帶 分 數 的 加 減 法 則 較 為 繁 複 ， 因 為 它 既 牽 涉 到 整 數 的 加 減 法 則 ， 亦 牽 涉 到 分 數 的 加 減 法 則 ， 尤 其 是 在 分 數 不 夠 減 的 情 況 下 ， 運 算 更 為 繁 複（ 例 如 ：
7 51－
5
32）， 學 生 通 常 都 會 感 到 困 難 。 故 此 ， 建 議 教 師 將 同 分 母 帶 分 數 的 加 減 教 學 安 排 在 同 分 母 分 數 的 加 減 教 節 後 ， 同 樣 ， 將 異 分 母 帶 分 數 的 加 減 教 學 安 排 在 異 分 母 分 數 的 加 減 教 節 後 。
另 外 ， 學 生 在 進 行 分 數 加 減 的 運 算 時 ， 最 常 犯 的 錯 誤 是 分 子 與 分 子 相 加 減 、 分 母 與 分 母 相 加 減 、 未 能 適 當 地 通 分 等 ， 教 師 宜 多 加 留 意 。 當 學 生 誤 用 分 數 加 減 運 算 的 法 則 時 ， 教 師 應 即 時 加 以 糾 正 ， 並 將 正 確 的 法 則 再 次 講 解 。 當 然 ， 要 讓 學 生 正 確 地 掌 握 法 則 ， 適 當 的 堂 課 及 家 課 練 習 是 必 須 的 ， 可 參 閱 本 資 料 冊 內 有 關 分 數 加 法 、 減 法 的 教 學 /活 動 示 例 。
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(b) 分 數 乘 法
在 小 學 裏 ， 分 數 乘 法 的 一 般 教 學 程 序 ， 是 先 教 （ 1） 分 數 乘 以 整 數 ， （ 2）
整 數 乘 以 分 數 ， （ 3） 分 數 乘 以 分 數 ， （ 4） 帶 分 數 的 乘 法 。 學 生 應 較 易 掌 握 分 數 乘 法 法 則 ， 但 對 乘 法 概 念 的 理 解 ， 則 感 到 十 分 困 難 。 分 數 乘 法 法 則 的 建 立 ， 主 要 是 透 過 簡 單 的 例 子 ， 利 用 分 數 的 概 念 、 整 數 乘 法 的 法 則 、 摺 紙、繪 圖 等 活 動 推 導 出 來（ 可 參 閱 本 資 料 冊 內 有 關 分 數 乘 法 的 教 學 /活 動 示 例 ） 。
學 生 在 進 行 分 數 乘 法 的 運 算 時 會 經 常 犯 錯 ， 以 下 是 一 些 例 子 ， 教 師 宜 多 加 留 意 ：
• 整 數 和 分 數 相 乘 時 ， 將 整 數 與 分 母 相 乘 。 例 ： 8 3×1=
8 3
1
× = 24
1 。
• 分 數 為 帶 分 數 時 ， 沒 有 把 帶 分 數 化 為 假 分 數 便 直 接 把 整 數 與 整 數 相 乘 ， 分 數 與 分 數 相 乘 。 例 ：
5 23×
11 7 4 =
11 5
4 ) 3 7 2
( ×
× × =
55 1412。
• 不 懂 得 相 約 的 法 則 。 例 如 ： 整 數 和 分 數 相 乘 時 ， 將 整 數 與 分 數 的 分 子 相 約；或 分 數 與 分 數 相 乘 時，分 子 與 分 子 相 約，分 母 與 分 母 相 約 。 有 時 甚 至 不 是 用 同 一 個 因 數 相 約 。
例 ：
20
1 4 5 8
2 4 × =
2 1 1 4
因 此 ， 教 師 宜 在 教 學 時 ， 先 讓 學 生 清 楚 了 解 分 數 乘 法 法 則 的 推 導 過 程 ， 通 過 反 覆 的 練 習 ， 再 讓 學 生 牢 牢 掌 握 法 則 。 當 學 生 錯 誤 地 運 用 法 則 時 ， 教 師 應 即 時 加 以 糾 正 。
(c) 分 數 除 法
在 小 學 裏 ， 分 數 除 法 的 一 般 教 學 程 序 是 （ 1） 分 數 除 以 整 數 ， （ 2） 整 數 除 以 分 數 ， （ 3） 分 數 除 以 分 數 。 分 數 除 法 法 則 的 建 立 ， 與 分 數 乘 法 的 法 則
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類 似 ， 都 是 通 過 簡 單 的 例 子 ， 透 過 分 數 的 概 念 、 除 法 的 意 義 、 用 圖 解 、 摺 紙 或 觀 察 規 律 的 方 式 將 法 則 推 導 出 來（ 可 參 閱 本 資 料 冊 內 有 關 分 數 除 法 的 教 學 /活 動 示 例 ）。與 分 數 乘 法 一 樣，學 生 應 較 易 掌 握 分 數 除 法 法 則 ，但 對 除 法 概 念 的 理 解 ， 亦 會 感 到 十 分 困 難 ， 所 以 教 師 在 教 學 過 程 中 ， 應 盡 量 引 導 學 生 自 己 探 求 及 理 解 法 則 的 推 導 過 程 。 一 般 來 說 ， 學 生 在 進 行 分 數 除 法 的 運 算 時 會 經 常 犯 錯 ， 以 下 是 一 些 例 子 ， 教 師 宜 多 加 留 意 ：
• 兩 分 數 相 除 時 ， 只 將 乘 號 改 為 除 號 ， 而 忽 略 將 除 數 的 分 子 及 分 母 顛 倒 。 例 ：
8 3÷
5 2=
8 3×
5 2。
• 兩 分 數 相 除 時 ， 將 被 除 數 的 分 子 及 分 母 顛 倒 。
例 ： 8 3÷
5 2=
3 8×
5 2。
• 整 數 除 以 分 數 或 分 數 除 以 整 數 時 ， 不 懂 得 如 何 處 理 整 數 部 分 。
例 ： 2
1 5 1 2
5÷1 = × 或 8 3÷5=
8
3×5。
• 當 遇 上 帶 分 數 時，不 懂 得 先 將 帶 分 數 化 為 假 分 數，然 後 再 進 行 運 算 。 例 ： 8
3÷2 5 4=
8 3×2
4 5。
與 分 數 乘 法 一 樣 ， 要 避 免 學 生 錯 誤 地 運 用 分 數 除 法 的 法 則 ， 教 師 必 須 先 讓 學 生 清 楚 明 瞭 法 則 的 推 導 過 程 ， 然 後 通 過 適 當 的 練 習 ， 讓 學 生 懂 得 如 何 應 用 法 則，及 將 法 則 牢 記 於 心。當 學 生 誤 用 法 則 時，教 師 亦 應 即 時 加 以 糾 正 。
在 講 解 分 數 的 四 則 運 算 時 ， 應 先 讓 學 生 釐 清 分 數 的 概 念 ， 然 後 才 介 紹 分 數 運 算 的 法 則 。 數 學 概 念 是 學 習 數 學 基 礎 知 識 最 重 要 的 部 分 ， 若 在 學 習 的 過 程 中 ， 學 生 能 正 確 地 理 解 數 學 的 概 念 ， 這 不 但 能 有 效 地 幫 助 他 們 掌 握 數 學 的 基 礎 知 識 ， 同 時 更 能 幫 助 他 們 理 解 數 學 運 算 法 則 ， 進 而 培 養 及 發 展 他 們 邏 輯 思 維 的 能 力 。 若 學 生 因 未 能 清 晰 掌 握 有 關 的 概 念 ， 便 會 導 致 有 如
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3 4 2 4
1+ = （ 分 子 加 分 子 ， 分 母 加 分 母 ） 的 情 况 出 現 。 因 此 ， 教 師 應 先 讓 學 生 正 確 地 、 清 晰 地 及 完 整 地 掌 握 分 數 的 概 念 ， 然 後 才 進 入 分 數 的 運 算 。 分 數 四 則 運 算 的 順 序 與 整 數 四 則 運 算 的 順 序 相 同，但 由 於 分 數 四 則 運 算 涉 及 較 為 繁 複 的 法 則 ， 學 生 容 易 混 淆 ， 所 以 建 議 教 師 用 對 比 或 驗 算 的 方 法 來 加 強 學 生 對 運 算 技 巧 的 認 識 及 訓 練 ， 從 而 提 高 學 生 的 計 算 能 力 。
本 文 所 介 紹 的 ， 只 是 一 些 有 關 分 數 教 學 的 基 本 策 略 ， 希 望 能 對 教 師 有 所 幫 助 ； 至 於 如 何 令 學 生 更 有 效 地 學 習 分 數 ， 這 還 需 要 教 師 們 因 應 學 生 的 學 習 差 異 來 調 整 教 學 方 法 及 程 序 。
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