最簡根式

根 式 的 四 則 運 算

單 元 內 容

1

最簡根式

n 最簡根式：含有根號的式子稱為根式，

如果根式中的每一個根號內的數字都是 整數(不含分數中的分母)，而且質因數 分解後，每一個質數的次方皆小於開根 號的次數，這樣的根式稱為最簡根式。

【說明】

(1). 7、 5

2 、 5×3、2 3都是最簡根式。

(2). 7³ 、 5

2 、 5²×3 都不是最簡根 式。

2

根式的乘法

n 指數律：

1. a ×b =(a×b)

即 a × b = ab 2. x^m÷xⁿ= x^{m- n}

3. (x^m)ⁿ= x^m×n

【說明】

(1). a × b = ab (2). x⁵÷x²=x³

(3). (x³)²=x⁶

n 根式的乘法：

如果a、b 是大於或等於 0 則：

Ø 交換律:

a × b = b × a = ab Ø 結合律:

( a × b )× c

= a ×( b × c )= abc

【說明】

(1). 2× 3 =2 3

(2). 2 × 3 = 3 × 2 = 6 (3). ( 2 × 3 )× 3

= 2 ×( 3 × 5 )

= 30

3

根式的化簡

n 根式的化簡：根式在的使用上通常都以 最簡根式來表示，以期達到簡化和一致 性的目的。

【說明】

7³ = 7²×7= 7²×7 7²×7 5

2 = 5 2 = 5

2 2 2 = 10

2 5²×3= 5² × 3=5× 3

4

根式的除法

n 根式的除法：

如果a 大於或等於 0，而且 b 大於 0 則：

a ÷ b = a ÷ 1

b = a b

【說明】

(1). 2 ÷3 (2). 2÷ 3 = 2

3 = 2

3 × 3

3 =2 3 3 (3). 2 ÷ 3 = 2

3 = 2

3 × 3 3

= 6 3

範 例 講 解

Ex1.將下列各式化為最簡根式：

(1). 45 (2). 2 ．⁵ 3³ (5). 3 72

Hw1.將下列各式化為最簡根式：

(1). 512 (2). 3 ．⁵ 5³ (3). 5 24

Ex2.請將下列各式化為最簡根式：

(1). 2

3 (2).

24 5

(3).

5 2

3

Hw2.請將下列各式化為最簡根式：

(1). 5 2

(2).

18 7

(3). 98 2

Ex3.計算下列各式，並將結果化為最簡根式：

(1). 18 ‧ 3 (2). 36 ‧ 98 (3). （－3）² ‧ 4 (4).

4 125‧

5 32

(5). 80 ÷ 2 (6).

9 4÷

3 4

(7). 3 6 ÷

5 3

Hw3.計算下列各式，並將結果化為最簡根式：

(1). 90 ‧ 2 (2). 216 ‧ 367 (3).( 2 ‧

2

5 )² (4). 3 ‧ 5 ‧ 2 1

(5). 162 ÷ 2 3

(6).

2 5 ÷

125 8

(7). 3 8 ÷

2 5

Ex4.計算下列各式，並將結果化為最簡根式：

(1). 4 21 ×(-

5 4)÷

20 3 =?

Hw4.計算下列各式，並將結果化為最簡根式：

(1). 4 1 ÷1 3

10 . 21 16 =?

(2). 3 5 ×

2 3 ÷

6 5 =?

(3).(

3 2

－ )÷ 45 8 ×(－

5

24 )＝？

(2). (- 18

5 )÷(

2 45

－ )×(

8 5

－ )=?

(3).(- 7

5 )÷ 25

28 ÷(- 5 3 )

Ex5.

(1).若 3 2 ．x＝2 5 ，求 x。

(2).若一長方體的體積為 21立方公分，其 長為 2

5 公分，寬為 25

14 公分，求此長 方體的高。

Hw5.

(1).若 3 2 ÷x＝2 5 ，求 x。

(2).如圖，正方形面積與長方形面積相等，正 方形邊長為 6 ，長方形的長為 12 ，求 長方形的寬。

Ex6.

(1).由查表知 21=4.5826， 2 =1.4491,.1 分別求下列各方根的值：

210 2100 21000 0.21 (2).設 1 =1.225， 15 =3.873，求.5

3

50 的值。(以四捨五入法,取至小數第

二位)

(3).由查表知 59 =7.681146，求 2124 的 整數部分。

Hw6.

(1).若 31=5.567764， 310 =17.60682, 分別求下列各數的近似值：

3 3100 31000 .1 0.31 (2).若 5 =2.236， 50 =7.071,求 2

1的 值。

(3).已知 31=5.567764 ,求 4464 的整數 部分為多少?

5

根式的加減

n 同類方根：當根式化簡後根號內所含的 數相同時，這些含有相同根號數的數都 稱為同類方根。

※同類方根和同類量、同類項具有相同的 意義，可以將之視為具有相同的單位。

【說明】

(1). a 、2 a 、- a 、 a

b 都是同類 方根。

(2). 3 、 2 不是同類方根。

(3). 2

3 、 3 是同類方根。

(4). 2 、 2

3 不是同類方根。

n 根式的加減法：

同類方根可將之視為同類量，可以進行 加減的合併。

Ø 交換律:

a + b = b + a Ø 結合律:

( a + b )+ c

= a + ( b + c ) Ø 分配律：

a ×( b + c )

= a × b + a × c

a ×( b - c )

= a × b - a × c

【說明】

(1). 2 + 3 = 3 + 2 (2). ( 2 + 3 )+ 5

= 2 +( 3 + 5 ) (3). 2 ×( 3 + 5 )

= 2 × 3 + 2 × 5 (4). 3 2 +2 2 =5 2 (5). - 3 +5 3 =4 3 (6). 3 5 -5 5 =-2 5

(7). -2 5 -3 3 =-2 5 -3 3

6

根式的四則運算

n 根式的四則運算：與一般數的運算相 同，依照先乘除後加減的原則，最後同 類方根必須合併，結果必須化為最簡根 式。

【說明】化簡2( 12- 3)-( 25+ 50) 2( 12- 3)-( 25+ 50)

=2( 2²×3- 3)-( 5²+ 2×5²)

=2(2 3- 3)-(5+5 2)

=2( 3)-5-5 2

=2 3-5-5 2

=-5-5 2+2 3

範 例 講 解

Ex8.化簡下列各式：

(1).3 6 -8 6 (2). 72 - 32 (3). 75 -2 48 (4).

3

3 + 27 (5). 5 ( 15 + 3 )

(6).3 24 + 96 + 45 - 125 (7). 5( 3 -2 6 )-(2-9 6 )

Hw8.化簡下列各式：

(1) .2 6 +4 6 -7 6 (2) .5 8 -3 18 (3) .3 2 -5 3 +2 2 +2 3

(4) . 2

3 - 3

3

(5). 2 ( 10 - 3 ) (6). 7 8 -2 45 +4 20 -5 18

(7). 5( 98 - 75 )-2(3 2 +4 3 )

7

乘法公式與根式的有理化

n 根式的乘法公式：

1. ( a + b )²

= ( a )²+ 2 a b + ( b )²

= a+ 2 ab + b

2. ( a - b )²

= ( a )²- 2 a b + ( b )²

= a- 2 ab + b

3. ( a + b )( a - b )

= ( a )²- ( b )²

= a- b

【說明】

(1). (2+ 3)²

=2²+2×2× 3+( 3)²

=4+4 3+3

=7+4 3 (2). ( 2- 3)²

=( 2 )²-2 2 3 +( 3 )²

=2-2 6+3

=5-2 6

(3). ( 3- 5 )( 3+ 5 ) =( 3)²-( 5 )²

=3-5=-2 n 根式的有理化: 當分數的分母部分含有

根式時，利用分子分母同乘另一個根式 使分母去根號成為有理數，這樣的過程 稱為有理化，所乘的根式稱為有理化因 子。

※有理化根式時通常會利用平方差的乘法 公式。

【說明】

(1).( 3- 5 )( 3+ 5 )=-2

所以 3- 5 和 3+ 5 互為有理化因 子。

(2).( 2-1)( 2+1)=2-1=1

所以 2-1 和 2+1 互為有理化因子。

範 例 講 解

Ex9.請展開下列各式並化為最簡根式：

(1). (7- 3 )² (2). ( 6 + 2 )² (3). (3 2 + 5 )(3 2 - 5 )

(4). ( 7 - 5 )²( 5 + 7 )²

Hw9.請展開下列各式並化為最簡根式：

(1). ( 5 + 3 )²-( 5 - 3 )² (2). (2 3 + 2 )( 2 -2 3 ) (3). 2

2

5＋ ．

2 2 5－

(4). ( 24 - 28 )²( 24 + 28 )²

Ex10.請將下列各式化為最簡根式：

(1). 3 15

27－ (2).

2 3

1

－

(3).

1 2

6

－

Hw10.請將下列各式化為最簡根式：

(1). 1

28 ＋ 7 (2).

2 5

1

－

(3). 3 1 2 2

＋

綜 合 應 用

Ex11.請將下列各式化為最簡根式：

(1). 3 2 1

＋ ＋

2 3

1

－ (2). (

3 2

1

＋ +

4 3

1

＋ +

5 4

1

＋ )( 5 + 2 )

Hw11.請將下列各式化為最簡根式：

(1). 5 3 1

＋ －

3 5

1

－ (2). (

2 2 5 ＋ )²-

( 2

2 5 ＋ )(

2 2 5 － )+(

2 2 5 － )²

Ex12.

(1).比較 7 3 、

7 3 、

7 3 、

7

3四數值的大 小。

(2).a＝ 1 ＋ 6 ，b＝ 2 ＋ 5 ，c＝ 3

＋ 4 ，則 a、b、c 之大小關係為 何？

Hw12.

(1).比較 2 5、

2 5 、

2 5 、

2

5 四數的值，何 者最大？

(2).若 a＝ 12 － 5 ，b＝ 14 － 3 ，則 a 與 b 的大小關係為何？

Ex13.請試著利用乘法公式來解：

(1). 144

146 1 (2).

144 142 1

Hw13.請試著用乘法公式解 258 256

1 的正平方 根。

Ex14.若一長方形的長為(1- 2 + 3 )公分，寬為 (1+ 2 - 3 )公分，則此長方形面積為多少 平方公分？

Hw14.化簡(1+ 3 - 5 )(1- 3 + 5 )＝？