第 1 題：多項式乘法，最簡單的一題。

(1)

四技二專

統一入學測驗

數學（Ａ）

一、試題分析

107 年數學(A)各章節都有出題，但以「式的運算」、「不等式及其應用」兩章節均出現 4 題為史上最多，尤其是「不等式及其應用」，往年出題均為 1～2 題。整份考題幾乎都是常見題型，與往年難易度相差不大，其中以第 21 題、第 22 題較難拿分。

基本公式題：檢視考生是否能清楚題意、熟悉公式。

第 1 題：多項式乘法，最簡單的一題。

第 2 題：簡單化簡後，利用兩平行線距離公式。

第 3 題：利用根與係數關係直接代入。

第 6 題：最簡單的組合題型。

第 7 題：向量基本公式代入，即可求解。

第 9 題：因式分解求出後，判斷sin x 的值域範圍。

第 10 題：標準的餘式定理考題，代入公式即可。

第 11 題：兩向量垂直內積為 0。

第 12 題：最標準的餘式定理考題，代入公式即可。

第 13 題：很常見的一元二次不等式題目。

第 15 題：線性規劃標準題型。

第 19 題：期望值標準題型。

基本觀念題：著重考生對各單元觀念的理解。

第 4 題：簡單移項整理即可求值。

第 5 題：多項式基本概念。

第 14 題：此題只要慢慢一一列出即可。

第 18 題：此題只要依定義耐心計算即可拿到分數。

第 23 題：取捨原理的基本題型。

第 24 題：機率標準題型。

第 25 題：此題考平均數與標準差的觀念，無須計算亦可知道答案。

107 年

(2)

稍微有點變化題，但不難

第 8 題：餘弦函數cos x 在四個象限的正負，與遞增、遞減觀念。

第 16 題：此題型近幾年幾乎沒有出現過，須以兩圓關係的觀念來解題。

第 17 題：此題要做四次選項代入的判斷，較為耗時，但使用觀念其實不難。

第 20 題：除了詳解的方法之外，此題亦可以求出 a 之值，再將b 代入檢測，但較為耗時。

需思考與計算較久的難題

第 21 題：此題除了考對數觀念之外，是所有題目中計算最為繁瑣的題目，小數要相除的步驟太多，容易計算錯誤，是 25 題中最難拿分的。

第 22 題：此題要用到等差中項的概念，但一開始的Σ 符號，可能就會嚇到考生了。

二、配分比例表

單元名稱題數單元名稱題數

直線方程式 2 圓與直線 2

三角函數及其應用 3 數列與級數 2

向量 2 排列組合 1

式的運算 4 機率 3

指數與對數及其運算 1 統計 1

不等式及其應用 4

(3)

數學 A 參考公式

1. 若α 、 β 為一元二次方程式 ax

²

+ bx c + = 0 的兩根，則 b

α β − + = a 、 c αβ = ， a

其兩根公式解為

²

4

2 b b ac a

− ± − 。

2. 點 P x y 到直線 :

( 0

,

0)

L ax by c + + = 的距離為 0 ax by c

⁰ ₂ ⁰₂

a b

+ + + 。

3. 首項為 a ，公差為 d 的等差數列，第 n 項為

₁

a

_n

= + − a

1 (

n 1

)

d ，前 n 項之和為

( )

( ²

¹

¹ )

n

2 n a n d

S + −

= 。

4. 首項為 a ，公比為

₁

r 的等比數列，第n 項為 a

_n

= ⋅ a r

₁ ⁿ⁻¹

。

5. 設有一組母體資料 x x

₁

, , ,

₂

x ，其算術平均數為 μ ，則母體標準差為

_N

( )²

1 N i i

x N

μ

=

∑ −

。

6. △ ABC 的餘弦定理： a

²

= + − b

²

c

²

2 cos bc A 。

單選題（每題 4 分，共 100 分）

( ) 1. 若 ^{f x}

( )

^{= −} ^x

³

⁵ ^x

²

^{− 與} ⁴ ^{g x}

( )

^{= +} ^x ⁷ ^{為兩多項式，則} ^{f x g x}

( ) ( )

^⋅ ^的 ^{x 項係數}

³

為何？

(A)12 (B) 2 (C)1 (D) 8 − 。 ( ) 2. 平面上

₁

: 3 1

4 4

L y = − x + 與 L

₂

: 6 x + 8 y = − 為兩直線方程式，則 13 L 與

₁

L 的

₂

距離為何？

(A) 6

5 (B) 3

2 (C)3 (D)12。

( ) 3. 若α ， β 為 x

²

+ 2 x − = 的兩根，則 7 0 α

²

+ 3 αβ β +

²

= (A) 3 − (B) 2 − (C) 2 (D)3。

總分

107

學年度四技二專統一入學測驗

數學(A)

(4)

( ) 4. 滿足不等式 2 5 7

4 3

x + ≤ x − 的最大整數 x = (A) 19 − (B) 20 − (C) 21 − (D) 22 − 。

( ) 5. 若 ^{f x}

( )

⁼ ( ^a

²

^{+ −} ^a ² ) ^x

²

^{+ +}

⁽

^a ²

⁾

^{x a} ^{+ 為一次多項式，} ^{g x}

^{( ) (}

^{= −} ^b ³

⁾

^x ⁺ ²⁰¹⁸

為零次多項式，則數對

( )

^{a b =} ^,

(A)

( )

^{3,1 (B)}

( )

^{1,0 (C)}

( )

^{2,3 (D)}

( )

^{1,3 。}

( ) 6. 某幼兒園共有大班 6 班、中班 4 班及小班 3 班。若聖誕晚會需要從大班選取 4 班、中班選取 3 班及小班選取 2 班來支援，其搭配方式有幾種可能？

(A)180 (B) 240 (C)360 (D)720 。

( ) 7. 若 ^{a =} ( ^{2, 2 3} ⁻ ) ^及 ^{b =}

^{( )}

^1,0 ，則 a 與 b 的夾角為何？

(A) π (B) 6

π (C) 2 3

3 π (D)5 3 π 。 ( ) 8. 若 cos

a = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ π 5 、 cos 3

b = ⎛ ⎜ ⎝ 5 π ⎞ ⎟ ⎠ 且 cos 6

c = ⎛ ⎜ ⎝ 5 π ⎞ ⎟ ⎠ ，則 a、b、c 之大小關係為何？

(A) a b c > > (B)b a c > > (C)b c a > > (D)c b a > > 。 ( ) 9. 若0 θ π ≤ ≤ 且 9sin

²

θ + 3sin θ − = ，則sinθ = 2 0

(A) 2

− (B) 1 3

− (C)1 3

3 (D) 2 3 。

( ) 10. 若 ABC △ 中， AB = 、 4 BC = 、 5 CA = 且 6 θ = ∠ BAC ，則sinθ = (A) 7

16 (B) 3 7

16 (C) 5 7

16 (D) 3 7 8 。

( ) 11. 若 a = ， 1 b = 且 a 垂直 b ，則 2 a − 2 b = (A)17 (B) 17 (C)3 (D) 7 。

( ) 12. 若 ^{f x}

( ) (

^{= +} ^x ¹

)²⁰⁰

⁺ ² ^x ⁺ ¹ ^，則 ^{f x}

( )

^除以 x + 的餘式為何？ ² (A) − (B) 2 4 − (C) 4 (D)6 。

( ) 13. 若b 、c 為實數，且 x

²

+ bx c + ≥ 的解為 0 x ≤ 或 1 x ≥ ，則 2 3 b + 3 c = (A) − (B) 1 2 − (C)0 (D)1。

( ) 14. 滿足二元一次不等式 2 x + 3 y − ≤ 的正整數解 x 與 y，所成的 12 0

( )

^{x y 數對共} ^,

有多少組？

(A)8 (B)10 (C)12 (D)15。

(5)

( ) 15. 若 x 與 y 滿足聯立不等式

2 8

3 9

0 0

x y x y

x y

⎧ + ≤

⎪ + ≤

⎨ ⎪ ≥ ≥

⎩ ，

，則 ^{f x y}

( )

^, ⁼ ² ^x ⁺ ³ ^y ^{的最大值為何？}

(A)6 (B)8 (C)12 (D)16。

( ) 16. 平面上兩圓方程式各別為 C

₁

: x

²

+ y

²

− 2 x + 6 y = 6 以及

( ) (² )² ²

2

:

C x a − + y b − = c ，若圓 C 上的所有點都在圓

₁

C 內，下列敘述何者

₂

恆為真？

(A)

(

¹ ⁻ ^a

) (²

^{+ +} ³ ^b

) (²

^{< −} ^c ⁴

)²

^(B)

(

¹ ⁻ ^a

) (²

^{+ +} ³ ^b

) (²

^{> −} ^c ⁴

)²

(C) c < (D) 4 c = 。 4

( ) 17. 平面上一圓方程式為 ^C ^:

(

^x ⁻ ³

) (²

⁺ ^y ⁻ ²

)²

= 以及一直線方程式為 ¹

: 1

L ax by + = ，下列何組數據

( )

a b 使得C 及 L 的關係為相交於兩點？ ^, (A)

( )

^{3,4 (B)}

(

^{3, 4} ^{− (C)}

) ( )

^{8,6 (D)}

(

^{12, 5} ^{− 。}

)

( ) 18. 若等比數列 a a a

₁

, , , ,

₂ ₃

a 的首項

₈

a = ，且前四項的乘積

₁

2

1 2 3 4

2

16

a a a a × × × = ，則後四項的乘積 a a a a

₅

× × × =

₆ ₇ ₈

(A) 2 (B)

³²

2 (C)

⁴⁸

2 (D)

⁶⁴

2 。

⁸⁰

( ) 19. 針對來勢洶洶的腸病毒，政府鼓勵藥廠開發新藥，針對臨床實驗結果給予不一樣的補助，成功治癒給予10萬元、病情持平給予3萬元及病情惡化給予

6000元。若某種新藥對於治癒、持平及惡化的機率各為 1 2 、1

3 及 1

6 ，則開發此種新藥的期望值為何？

(A)61000 元 (B)86000 元 (C)100000 元 (D)136000 元。

( ) 20. 若平面上兩直線 L

₁

: y ax b = + 與 L

₂

: x + 2 y − = 互相垂直，且 2 0 L 與

₁

L 與

₂

另一直線 L

₃

: x − 2 y + = 無法圍成一個三角形，則下列何者正確？ 10 0 (A) a = − (B) 2 1

a = (C) 2 b = (D) 5 b = 。 11 ( ) 21. 若log2 的近似值為0.3010，則滿足 2

¹⁰

5 2

²⁰

4 ⎛ ⎞

n

< ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ < 的正整數n 共有多少個？

(A)29 (B)30 (C)31 (D)32。

( ) 22. 若等差級數

¹⁰¹⁸

10 k k

a

∑

=

^{之值為 2018，則} ^{a =}

⁵¹⁴

(A)2018 (B)1008 (C)514 (D)2。

(6)

( ) 23. 某麵包店欲招募人力，初選方式需具備烘焙西點丙級證照以及2年以上業界經驗，若有 20 個人投履歷，其中僅有 2 人兩條件都不符合，16 人符合證照要求，11人符合 2年以上業界經驗，則從此 20 人隨機選取1人，符合初選條件的機率為何？

(A) 18

20 (B) 16

20 (C) 9

20 (D) 5 20 。

( ) 24. 某大藥廠針對 Z 型流感，研發出10種不一樣的新藥，全部的藥對某人的臨床反應只有治癒或無效兩種可能，且機率相同，則這10種新藥中，恰有6 種對此人治癒的機率為何？

(A) 5

512 (B) 1

64 (C) 15

256 (D) 105 512 。

( ) 25. 某次數學測驗，全班50 人成績的平均為 A，標準差為 B ，若小統跟小策的成績各為 29 分以及 41分，老師特別允許他們重新測驗，兩人新成績各為30 分及 40 分，且全班新成績平均為C ，標準差為 D ，下列敘述何者恆為真？

(A) A C > (B)C A > (C) B D > (D) D B > 。

(7)

107 年統一入學測驗數學(A)

本試題答案係依據統一入學測驗中心於 107 年 5 月 7 日公布之標準答案

1.

配對找出相乘為x 即可，不用全部乘開 ³

(

^x³⁻⁵^x²⁻⁴

) ⁽

^x⁺⁷

⁾

−5x³ 7x ³

故 ^{f x g x}

( ) ( )

^⋅ ^的^{x 項係數為}³ ⁷^{+ − =}

( )

⁵ ²

2.

兩平行線之距離：（ x 、 y 項係數要化為相同，常數項在等號同側）

設直線L₁ : ax by c+ + = 與 ₁ 0

2 : 2 0

L ax by c+ + = 為兩平行線則L 與₁ L 之距離為₂ c c¹₂ ²₂

d a b

= − +

1 : 3 1

4 4 L y=− x+

⇒ 4y= − + 3 1x

⇒ 3x+4y− = 1 0

⇒ 6x+8y− = 2 0

2 : 6 8 13 0

L x+ y+ = 由兩平行線距離公式得知

(

1 2

)

2 2

2 13 15 3 , 6 8 10 2 d L L − −

= = =

+

3.

根與係數關係：設α ，β 為ax²+ + = 之bx c 0 兩根，則

(1)兩根和 b

α β+ = − a (2)兩根積 c

αβ = a

2 2 7 0

x + x− = 由根與係數關係得知

2 2 α β+ = − = − 1

7 7 αβ −= 1 = − 又α²+3αβ β+ ²

2 2 2

α αβ β αβ

= + + +

(

^{α β}

)

² ^αβ

= + + ^{= −}

( )

² ²⁻⁷

3

= −

4.

去分母、整理、移項，注意取值的大小

2 5 7

4 3

x+ ≤x−

⇒ ^{3 2}

(

^x^{+ ≤}⁵

) (

⁴ ^x⁻⁷

)

⇒ 6x+ ≤15 4x−28

⇒ 6x−4x≤ − − 28 15

⇒ 2x ≤ − 43

⇒ 43 21.5 x ≤ − 2 = − 故取x = − 22

1.B 2.B 3.A 4.D 5.D 6.A 7.B 8.A 9.C 10.C 11.B 12.B 13.D 14.A 15.C 16.A 17.B 18.B 19.A 20.D

21.C 22.D 23.C 24.D 25.C

(8)

5.

多項式基本定義概念：設多項式

( )

n 1 n¹ 2 n ² 1 0

n n n

f x =a x +a x₋ ⁻ +a x₋ ⁻ + +a x a+ (1) 若 f x 為 n 次，則

( )

a ≠ _n 0

(2) 若 ^{f x 為}

( )

^{n − 次，則}¹ a = ，n ⁰ a_n₋₁≠ 0

∵ ^{f x}

( )

⁼

(

^a²^{+ −}^a ²

)

^x²^{+ +}

⁽

^a ²

⁾

^{x a}⁺

為一次多項式，則 ² 2 0

2 0 a a a

⎧ + − =

⎨ + ≠

⎩ ⇒

(

²

)(

^{1 0}

)

2

a a

a

⎧ + − =

⎪⎨ ≠ −

⎪⎩

⇒ 2 1 2 a a

⎧ = −

⎨ ≠ −

⎩

或

∴ a = 1

∵ ^{g x}

( ) (

^{= −}^b ³

)

^x⁺²⁰¹⁸^{為零次多項式}

則b − = ⇒ 3 0 b = 3 故數對

( ) ( )

^{a b =}^, ^1,3

6.

(1) 乘法原理：

設完成一件事需經過 k 個步驟，若完成第 i （i = 、2、…、 k ）個步驟有1

m

_i^種方

法，則完成此件事的方法數共有

1 2 k

m m

× × ×

m

種 (2) 組合定義：

自

n

件相異物中，任取

m

件（不重複）

（ 0≤ ≤ ）為一組，同一組內的物品若

m n

不計其先後順序，稱為「n中取m的組合」，其組合數以符號

!

n nm m

P

C

⁼

m

^表示

(1) 自 6 班大班任選 4 班，有C 種方法 ⁶4

(2) 自 4 班中班任選3 班，有C⁴3種方法 (3) 自3 班小班任選 2 班，有C 種方法 ³₂ 由乘法原理得知：

6 4 3 6 4 3

4 3 2 2 1 1

C ×C ×C =C ×C ×C

= × × =15 4 3 180（種）

7.

向量內積的定義：

(1) 兩向量 a 與 b 的夾角為θ ，則其內積為

cos a b⋅ = a b θ

即 cos a b a b θ= ⋅

(2) 設兩向量 ^a ⁼

(

^{a a}¹^, ²

)

^， ^b ⁼

(

^{b b}¹^, ²

)

^，則

1 1 2 2

a b⋅ =a b a b+

(

^{2, 2 3}

)

a = −

⇒ ^{a =} ²²^{+ −}

(

^{2 3}

)

² ⁼ ^{4 12 4}⁺ ⁼

( )

^1,0

b = ⇒ b = 1 0²+ ² = 1

( )

2 1 2 3 0 2 a b⋅ = × + − × = 設 a 與 b 的夾角為θ ，則

2 1

cos 4 1 2

a b a b

θ= ⋅ = =

×

⇒ 60 3 θ = ° = π

8.

cos

y= x，當 0 x π2

< < 時為遞減函數且函數值均為正數

cos 0 a= π5 >

3 2 2

cos cos cos 0

5 5 5

b= π = ⎛⎜⎝π− π ⎞⎟⎠= − π <

(9)

cos6 cos cos 0

5 5 5

c= π = ⎛⎜⎝π+π⎞⎟⎠= − π <

又當 0 2 θ π

< <

⇒ cosθ > ，且 cosθ 為遞減函數 0 即cos2 cos

5 5

π < π ⇒ cos2 cos

5 5

π π

− > − 故a b c> >

9.

sin

y= x，值域： 1 sin− ≤ x≤ ，即 1 sinx ≤ 1

9sin2θ+3sinθ− = 2 0

⇒

(

^3sin^θ⁺^{2 3sin}

)(

^θ^{− =}^{1 0}

)

⇒ sin 2 θ = − 或 13

3

但 0 θ π≤ ≤ ⇒ sinθ ≥ 0 故sin 2

θ = − （不合） 3 所以sin 1

θ = 3

10.

餘弦定理：（S 表示邊長，A 表示角度）

(1) SAS 型：（已知兩邊與夾角求第三邊）

2 2 2 2 cos a = + −b c bc A

2 2 2 2 cos b = +c a − ca B

2 2 2 2 cos c =a + −b ab C (2) sin²θ+cos²θ= 1 已知：

由餘弦定理得知：

⇒ cos 6² 4 5² ² 9 2 6 4 16 θ = + − =

× × 又

2

2 9

sin 1 cos 1 θ= − θ = − ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠16

16 16 9 9 175 5 7 16 16 16 16 16

× − ×

= = =

× ×

11.

(1) 設 a 、 b 為兩非零向量，則 0

a ⊥ b ⇔ a b⋅ =

(2) 設向量 ^a ⁼

(

^{a a}¹^, ²

)

^， ^b ⁼

(

^{b b}¹^, ²

)

^，則

1 1 2 2 0

a ⊥ b ⇔ a b a b+ = (3)

2

a + b =⎛⎜⎝ a + b ⎞ ⎛⎟ ⎜⎠ ⎝⋅ a + b ⎞⎟⎠

2 2

2

a a b b

= + ⋅ +

∵ a ⊥ b ⇒ a b⋅ =0 又

2 2 2

2 4 4

a − b = a − a b⋅ + b

2 2

1 4 0 4 2 17

= − × + × = 故 a −2 b = 17

12.

餘式定理：

(1) 多項式 ^{f x 除以 x a}

( )

^{− 的餘式為} ^{f a}

( )

(2) 多項式 ^{f x 除以 x a}

( )

^{+ 的餘式為} ^f

( )

⁻^a

(3) 多項式 f x 除以 ax b

( )

− 的餘式為 f b a

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠

（a ≠ ） 0

(4) 多項式 f x 除以 ax b

( )

+ 的餘式為 f b a

⎛− ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

（a ≠ ） 0

由餘式定理得知： ^{f x 除以}

( )

^{x + 的餘式為}²

( ) (

² ^{2 1}

)

²⁰⁰ ²

( )

^{2 1}

f − = − + + × − + 1 4 1 2

= − + = −

(10)

13. (

^x⁻^α

)(

^x⁻^β

)

^{≥ 之解為 x α}⁰ ^{≤ 或 x β}^≥

∵ x²+ + ≥ 的解為bx c 0 x ≤ 或1 x ≥ 3

⇒

(

^x⁻¹

)(

^x^{− ≥}^{3 0}

)

⇒ x²−4x+ ≥ 3 0

與x²+ + ≥ 比較係數得 bx c 0 4

b = − ，c = 3

故²^b⁺³^c= × − + × = ²

( )

^{4 3 3 1}

14.

一一列出所有狀況

2x+3y− ≤ ⇒ 212 0 x+3y≤12 1

x = 代入得3y ≤10 ⇒ y = 、2、3 1 2

x = 代入得3y ≤ ⇒ 8 y = 、2 1 3

x = 代入得3y ≤ ⇒ 6 y = 、2 1 4

x = 代入得3y ≤ ⇒ 4 y = 1 故共有

( )

^{1,1 、}

( )

^{1,2 、}

( )

^1,3

( )

^{2,1 、}

( )

^2,2

( )

^{3,1 、}

( )

^3,2

( )

^4,1

共8 組

15.

線性規劃的解法：

(1) 圖解聯立不等式，畫出可行解區域，並求出圖形之各頂點坐標

(2) 目標函數之最大值與最小值必發生在可行解區域之各頂點坐標上，將每一頂點分別代入目標函數 f x y 中，即可求得其

( )

^,

最大值與最小值

聯立不等式

2 8

3 9

0 0

x y x y

x y

⎧ + ≤

⎪ + ≤

⎨⎪ ≥ ≥

⎩ ，

的圖解如下：

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )^, ^{x y}²^, ³ ^0,0⁰ ^4,0⁸ ^3,2¹² ^0,3⁹

f x y = x+ y 頂點

故^{f x y}

( )

^, ⁼²^x⁺³^y^{的最大值為12}

16.

設圓C 圓心為₁ O ，半徑為₁ r ₁ 圓C 圓心為₂ O ，半徑為₂ r ₂

若C 的點全部在₁ C 裡面，即兩圓關係為內₂ 離，則O O_{1 2}< − r r₂ ₁

2 2

1 : 2 6 6

C x +y − x+ y=

⇒

(

^x⁻¹

) (

²⁺ ^y⁺³

)

²⁼⁴²

圓心為O1

(

1, 3− ，半徑

)

r = ₁ 4

( ) (

²

)

² ²

2 :

C x a− + y b− =c 圓心為^{O a b ，半徑}²

( )

^, r c2=

又C 的所有點都在₁ C 裡面，即兩圓關係為內₂ 離，則r r₂> ⇒ ₁ c > 4

且O O_{1 2}< − r r₂ ₁

⇒ ^{O O}^{1 2}²^<

(

^{r r}¹⁻ ²

)

²

⇒

(

^a⁻¹

) (

²^{+ +}^b ³

) (

²^{< −}⁴ ^c

)

²

即

(

¹⁻^a

) (

²^{+ +}³ ^b

) (

²^{< −}^c ⁴

)

²

故選(A)

17.

直線與圓的關係：

設直線 :L ax by c+ + = 0

圓^C ^:

(

^{x h}⁻

) (

²⁺ ^{y k}⁻

)

²^{= ，且圓心}^r² ^{O h k}

( )

^,

與直線 L 之距離為 ah bk c₂ ₂

d a b

+ +

= + ，則可得

(11)

( ) (

²

)

² ²

: 3 2 1

C x− + y− =

⇒ 圓心^O

( )

^3,2 ^，半徑^{r =}¹

: 1 0

L ax by+ − =

∵ C 與 L 要交於兩點

∴ ^{d O L}

(

^,

)

^<^r

即 3 ₂2 1₂ a b 1

a b + −

+ <

⇒ 3a+2 1b− < a²+b²

(A)

( )

^{3,4 代入} ^{⇒ 9 8 1 5}^{+ − <}

(B)

(

^{3, 4}− 代入 ⇒ 9 8 1 5

)

− − <

(C)

( )

^{8,6 代入} ⇒ 24 12 1 10+ − <

(D)

(

^{12, 5}− 代入 ⇒ 36 10 1 13

)

− − <

故選(B)

18.

(1) 若一數列a a₁, ,₂ , a ，滿足 _n

2 3

1 2 1

0

n n

a a a r

a a a −

= = = = ≠ ，則稱為等比數列， r 稱為公比

(2) 等比數列第n 項：

1 n1

an=a r ⁻

n m

a =a r ⁻

設公比為 r ，a = ₁ 2

16

1 2 3 4 2

a a a a× × × =

⇒ a a r a r a r1× 1 × 1 ²× 1 ³=2¹⁶

⇒ a₁⁴×r^{1 2 3}^{+ +} =2¹⁶

⇒ 2⁴× =r⁶ 2¹⁶

⇒ ^{r =}⁶ ²¹²⁼

( )

²² ⁶

⇒ r = ± 2² 又a a a a₅× × × ₆ ₇ ₈

4 5 6 7

1 1 1 1

a r a r a r a r

= × × ×

4 4 5 6 7

a1 r ^{+ + +}

= ×

4 22

2 r

= ×

( )

²²

4 2

2 2

= × ±

4 44 48

2 ⁺ 2

= =

19.

試驗的期望值：

設

{

A A A1, ,2 3, , A 為樣本空間 S 的一個_k

}

分割，若事件A 發生的機率為_i p （_i i = 、2、1 3、…、k ），且可得報酬為

m

_i（i = 、2、3、…、1 k ），則

E p m p m

⁼ 1 1⁺ 2 2^{+ +}

p m

k k^稱為此試

驗報酬的數學期望值，簡稱為期望值，其中

1 2 _k 1

p +p + +p =

由期望值

1 1 2 2 3 3

E p m p m p m

= + +

1 100000 1 30000 1 6000

2 3 6

= × + × + ×

50000 10000 1000

= + +

61000

= （元）

20.

(1) 直線 :L ax by c+ + = 之斜率0

m

a

= −

b

(2) 斜率為m，且 y 截距為b 之直線方程式為 y⁼

mx b

⁺

(3) 三線共點無法構成一個三角形，三線某二條以上平行亦無法構成三角形

1 2

L ⊥ ⇒ L

m m

₁× ₂= − 1

⇒ 1 1

a ⎛× −⎜⎝ 2⎞⎟⎠= − ⇒ a = 2

∵

m

₁= 、2 2 1

m

^{= − 、}2 3 1 1

m

^{= −} 2 2⁼

− 皆不相等（皆不平行）

故三線共點

⇒

2 2 0 2 10 0

2 x y x y y x b

+ − =

⎧⎪ − + =

⎨⎪ = +

⎩

有共同解

由、可得x = − 、4 y = 3 代入得

3= − + ⇒ 8 b b = 11 故選(D)

(12)

21.

當a > 時，1 y f x=

( )

=^logax為遞增函數，即

1 2 1 2

0< <x x ⇔ log_ax <log_ax

10 5 20

2 2

4

⎛ ⎞n

<⎜ ⎟⎝ ⎠ <

將不等式同時取log ₁₀

⇒ log 2¹⁰ log 5 log 2²⁰ 4

⎛ ⎞n

< ⎜ ⎟⎝ ⎠ <

⇒ 10log 2 log5 20log 2 n 4

< <

⇒ ^{10log 2}^<ⁿ

(

^{log5 log 4}⁻

)

^<^{20log 2}

⇒ ^{10log 2}< ⎡n⎣

(

log10 log 2 2log 2−

)

− ⎤⎦ <20log 2

⇒ ^{10 0.3010}× <n

(

1 0.3010 2 0.3010− − ×

)

<20 0.3010×

⇒ 3.010 0.097< × <n 6.020

⇒ 3.010 6.020 0.097< <n 0.097

⇒ 31.030< <n 62.061 故共有 62 32 1 31− + = （個）

22.

設a a a a a 為一等差數列，則等差中₁, , , ,₂ ₃ ₄ ₅ 項 ₃ ² ⁴ ¹ ⁵

2 2

a a a a a = + = +

∵ ¹⁰¹⁸

10 k k

a

∑

= ^{為等差級數} 1018

10 11 12 1016 1017 1018

10 k k

a a a a a a a

=

= + + + + + +

∑

（共1009 項）

(

¹⁰ ¹⁰¹⁸

)

¹⁰⁰⁹

2 a +a ×

=

(

1 9 1 1017

)

1009 2 2018

a + d a+ + d ×

= =

⇒

(

2 1 1026

)

2 2

a + d =

⇒ a₁+513d= 2

⇒ a = ₅₁₄ 2

23.

(1) 有限集合的元素個數計算公式：

（n S 表示集合 S 的元素個數）

( )

取捨原理（排容原理）：

( ) ( ) ( ) ( )

n A B∪ =n A n B n A B+ − ∩ (2) 機率的定義：

設樣本空間S 中，每一個樣本發生的機會均等，若 A S⊂ ，則事件 A 發生的機率定義為

( ) ( ) ( )

P A n A

= n S A

= 事件的元素個數S 樣本空間的元素個數

設同時符合的有 x 人，則16 11+ − =x 20 2−

⇒ 27− = x 18

⇒ x = 9 故所求機率為 9

20

24.

(1) 組合定義：

自n 件相異物中，任取m^{件（不重複）}

（ 0≤ ≤ ）為一組，同一組內的物品若

m

ⁿ

不計其先後順序，稱為「

n

^中取

m

^的組

合」，其組合數以符號

!

n nm m

P

C

⁼

m

^表示

(2) 機率的定義：

設樣本空間 S 中，每一個樣本發生的機會均等，若 A S⊂ ，則事件 A 發生的機率定義為

( ) ( ) ( )

P A n A

= n S A

= 事件的元素個數S 樣本空間的元素個數

設樣本空間為 S ，則^{n S =}

( )

²¹⁰⁼¹⁰²⁴

恰有 6 種治癒的事件為 A ，則

( )

¹⁰6 ¹⁰4 210 n A =C =C =

故所求

( ) ( ) ( )

^{210 105}

P A =n A = =

(13)

25.

標準差的意義：

(1) 標準差的計算是以資料的算術平均數為中心，用於表明資料的離散情形

(2) 標準差的性質與算術平均數相類似，易受極端值影響

(3) 標準差愈小，表示資料愈集中在平均數的附近；標準差愈大，表示資料離平均數愈遠也就愈分散

舊成績： 29 分、 41分 ⇒ 29 41 70 41 29 12

+ =

⎧⎨ − =

⎩

新成績：30分、 40 分 ⇒ 30 40 70 40 30 10

+ =

⎧⎨ − =

⎩

(1) 新舊成績加總均為 70 分，因此平均分數不會改變，即A C=

(2) 舊成績間距為12 ，新成績間距為10 間距縮小表示標準差縮小，即 B D>

（∵ 標準差表示資料的分散程度）

［另解］

(²⁹⁻^x) (²⁺ ⁴¹⁻^x)²⁼²⁹²⁺^{41 2 70}²^{− ×} ^x⁺²^x² (³⁰ ^x) (² ⁴⁰ ^x)² ³⁰² ⁴⁰² ^{2 70}^x ²^x²

> − + − = + − × +

故 B D>

第 1 題：多項式乘法，最簡單的一題。

四技二專

數學（Ａ）

基本公式題：檢視考生是否能清楚題意、熟悉公式。