點分布與鋸齒狀函數的研究

中華民國第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書

排版\050401-封面

高級中等學校組 數學科

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點分布與鋸齒狀函數的研究

學校名稱：臺中市立文華高級中等學校

作者： 指導老師：

高二 吳建宇 高二 何震群

林煜家 張仲凱

關鍵詞：點分布、不等量平移、鋸齒狀函數

摘要

若<bx>有 n 項，且<ax>的滿足

2

1 1

1 1

1 ( ) , 1

21 ( ) , 1 1 (2 ) , 2

n

x x x

n

b b x

a b b x n

b b x n

− +

−

 + =



= + < <

 + =



，將<ax>以項數與其值繪於

坐標平面並根據分布情況將點連線，圖形似鋸齒狀函數。

將原本散布圖的點經適當「不等量」平移後，再利用分段拼接概念，結合「取整函數」

來設計一函數，使其能讓兩條異號的領導係數線段交替出現，形成鋸齒狀函數的圖形，最後 再將點「不等量」平移回原本位置，即得一函數涵括所有點。

本研究將<bx>設定在不同條件下，分別可根據 n 值區分四類情況：n=4k,4k+1,4k+2,4k+3，

k 為正整數；在不同 n 值，其<ax>的一般項有著巧妙的異同處。

最後再將bx推廣到多項式函數，進而找到可行方法來求得對應的一般項ax。

壹、研究動機

在翻閱AMC12 的題目時，我們在1990 年那份看到一個有趣的問 題：10個人圍成一圈，每人挑選一個數字並將此數字告訴自己左右兩邊 的人，然後每個人說出自己兩旁的人所選數字的平均值，右圖為每個人 所說出之平均值(非原來選的數字)，則說出平均值6 的那個人所選數字 為何？(如圖 1)

我們好奇：是否能夠求出每個人原本挑選的數字，於是我們開始動 手進行研究，除解出原題答案，希望能更進一步推廣延伸，找到一般公 式解。

貳、研究目的

設有_n個人圍成一圈，有<a_x > 、< > 兩數列，其中：b_x a 為第_x x個人所挑的數字，b 為_x 第_x個人兩旁的人所挑的數字之平均值。

一、若< > 為等差數列，且b_x b_x = 時，則數列x <a_x > 的一般式為何。

二、若< > 為等差數列，且b_x b_x = px q+ 時，則數列<a_x > 的一般式為何。

三、若< > 為階差數列，且b_{x bx} =_x²時，則數列<a_x > 的一般式為何。

四、數列<b_x> 滿足b 為任意多項式時，是否有方法能求得_x <a_x > 的一般式。

圖 1

2

參、研究設備器材

繪圖軟體(GeogeBra、Desmos)，電腦程式(Ｃ++語言)，紙，筆。

肆、研究方法及步驟

在1990年 AMC12 的題目，我們的解法為：假設x 為「說出_i " "i (左右兩人所挑選數字的 平均值)的人所選之數字」，其中i =1, 2 , 3 , ,10 。依據題意可以列出以下式子：

10 2

1 ( ) 1

2 a +a = ，1 ( _{2 4}) 3

2 a a+ = ，1 ( _{4 6}) 5

2 a a+ = ，1 ( _{6 8}) 7

2 a a+ = ，1 ( _{8 10}) 9 2 a a+ = ，

1 3

1 ( ) 2

2 a a+ = ，1 ( _{3 5}) 4

2 a a+ = ，1 ( _{5 7}) 6

2 a a+ = ，1 ( _{7 9}) 8

2 a a+ = ，1 ( _{9 1}) 10 2 x a+ = 。 將前五式相加可得a a a a a₂+ + + +_{4 6 8 10} =25，又a a₂+ ₄ = ，6 a a₈+ ₁₀ =18

6 25 6 18 1 a

∴ = − − = ，且7 1( _{6 8}) 1(1 ₈) ₈ 13 2 a a 2 a a

= + = + ⇒ =

我們發現：當_n為奇數時，只要求出其中1人的數字，即可求出其他所有人的數字；而當n 為偶數時，則必須要求得其中2 人(此兩人必須在奇偶不同位置)的數字，方可求出其他所有 人的數字。將以上的解代回上述各式可得：a = − ，₂ 3 a = ，₄ 9 a = ，₆ 1 a = ，₈ 13 a = 。 ₁₀ 5 同理，將後五式相加得a a a a a₁+ + + +_{3 5 7 9} =30，又a a₁+ ₃ = ，4 a a₇+ ₉ = ， 16

5 30 4 16 10 a

∴ = − − = ，再將解代回各式可得a = ，₁ 6 a = − ，₃ 2 a = ，₅ 10 a = ，₇ 2 a = 。 ₉ 14 若令a 為一數列_i <a_x > 的第

i

1 6

a = ，a = − ，₂ 3 a = − ，₃ 2 a = ，₄ 9 a =₅ 10，

6 1

a = ，a = ，₇ 2 a = ，₈ 13 a = ，₉ 14 a = 。 ₁₀ 5 接著，為了找出數列<a_x>的規律，我們想了 很久，也嘗試過以代數的方式，想設法解出一 般式，但都沒什麼進展。後來，在專題研究課 程時，組員討論過程中，突然靈機一動，試著 將各個數值以「第幾項(_x)、拿到的數字(

y

作為坐標點_{( , )x y} 繪到坐標平面上，似乎發現 他們有著某種規律，如圖 2 所示。

一、研究方法(一)：

步驟一：把所有點，不等量向下平移。

說明：原函數圖形傾斜，函數振幅、循環 規律不易定義，難以求出一般式，

在試過各種方法，偶然想到將所有_{( , )x y} 進行「不等量下移」^{(註 1)}，發現調整後圖 形為週期函數。

(拿到的數字)

(項數)

圖 2

底下我們針對三種不同調整情況的b 值做討論： _x

(一)若< > 為等差數列且b_x b_x= ，則將點x _{( , )x y} 調整為( ,x y x− )。

(二)若< > 為等差數列且b_x b_x = px q+ ，則將點_{( , )x y} 調整為_{( ,x y}−_{(px q}+ ₎₎。 (三)若< > 為階差數列且b_{x bx} = _x²，則將點_{( , )x y} 調整為( ,x y x− ²)。

接著，我們針對第(一)種情況，及給定的_n值 (_n為人數)所得到的對應點坐標繪製在圖形上，如 下所述。

若< > 為等差數列，b_x b_x = ，x n = 時， 7

將未平移與平移後的點，分別繪製如圖 3、圖 4。

而第(二)種、第(三)種情況中，在坐標平面上的繪 製，亦可如法炮製。

步驟二：將各類型的圖形，依_n值分類為n=4k、 n=4 1k+ 、n=4k+ 、2 n=4 3k+

說明：我們可以觀察出，點的分布會受到不同_n

值(_n為人數)的影響。在觀察n =3 , 4 , 5 , , 20 的圖形之後，發現圖形中，點的分 布情況呈現有四個_n值一循環的規律，因此將圖形以_n值做區分歸類為以下四種：

4

n= k、n=4 1k+ 、n=4k+ 、2 n=4 3k+ ，其中k ∈ 。

步驟三：利用兩段領導係數互為相反數的線段，在不同區間時交互出現，形成類似鋸齒 狀的圖形。

在步驟三中，我們企圖想找出鋸齒狀 圖形的函數，以便讓我們找到數列<a_x >

的一般項。

我們發現可以利用「下取整函數」不 連續與階梯狀的性質。將某一函數減去下 取整函數，可使該函數的特定區段(以下 稱為基準線^{(註 2)})水平無限平移，如圖 5、圖 6。

圖 5 函數 圖形

圖 6 函數

圖 3 圖 4

(註 1：此處「不等量下移」是指將點( , )x y_{i i} 調整為( , ) ( ,x y_i′ _i′ = x y g x_{i i}− ( ))，其中g x 為一個不等量平移函( ) 數，其平移後的點分布應滿足以下條件：

1.y_i′₊₄ = y_i′，其中x_i+1= +x_i 1。 2.y_i′+₂ = −y_i′。

4

因此，若將基準線減去一特定的下取整函數，可讓基 準 線 的 特 定 區 段 呈 現 週 期 圖 形 ， 故 建 構 一 函 數 為 ：

1( ) ( )1 2( ) 2( ) y c x d x c x d x= ⋅ + ⋅ 。

我們所建構的函數中，c x 、₁( ) c x 、₂( ) d x 、₁( ) d x 所代₂( ) 表的意義如下：

(一)存在c x 為一個值會在 1、0、1、0……，每兩單位長₁( ) 會交替出現的函數，如圖 7 之藍色線。

(二)存在c x 為一個值會在 0、1、0、1……，每兩單位長₂( ) 會交替出現的函數，如圖 8 之紅色線。

其中，當c x 的值為₁( )

1

1

段呈現週期出現的函數圖形，即d x 。 ₂( )

(註 2：基準線定義：

在不等量平移後，兩個不同的c x 、₁( ) c x ，當₂( ) x > 時，第一個函數值為0 0的區間裡，分別對應到的

1( )

d x ^、d x₂( )圖形稱為基準線，其中斜率為正者，稱為正基準線，斜率為負者，稱為負基準線，如上 圖 9、上圖 10。)

圖 9 圖 10

藍色線為正基準線，紅色線為負基準線

圖 7

圖 8

圖 11

因此，只要將d x 乘上只要將乘上₁( ) c x ，就可以使₁( ) d x 出現、消失、出現、消₁( ) 失、…，如圖 12。

同理，將d x 乘上₂( ) c x ，同樣可以使₂( ) d x 消失₂( ) ^{(註 3)}、出現、消失、出現、…，如圖 13。

由以上方法，我們可由負基準線和正基準線交 互 出 現 以 構 成 類 似 鋸 齒 狀 的 函 數 ， 故 將

1( ) ( )1

c x d x⋅ 加上c x d x₂( )⋅ ₂( )時，就能使其交互 出現，如圖 14。

步驟四：將y f x c x d x c x d x= ( )= ₁( ) ( )⋅ ₁ + ₂( )⋅ ₂( ) 加上步驟一操作的「不等量平移」的值。

說明：步驟三所形成的鋸齒狀圖形是沿著_x軸水平延伸 的函數，因此，必須將步驟一操作的「不等量平 移」的值加回來，才會是最終的函數，如圖 15。

藉由上述四個步驟，我們可找到函數，在_x為整數 時，其坐標平面上對應到的_y坐標即為數列<a_x > 的第

x項之值，亦即一般項。

而在步驟二的過程中，我們發現當n=4k，k 為正 整數時，且在b 值不盡相同時，並無法找到_x a 的唯一_x 值，亦即此時的a 值並不唯一，此情況違背我們探討的_x 問題，我們將此情況稱為「無解」，並給出下列的定理。

定理：

設有_n個人圍成一圈，有<a_x > 、< > 兩數列，其中：b_x a 為第_x x個人所挑的數字，b 為第_x x 個人兩旁的人所挑的數字之平均值。當b 為公差不為_x 0 的等差數列，且當n=4k時，a 無_x 解。

(註 3：消失意思是：當c x 為( ) 0^時，d x 乘上( ) c x 時為( ) 0，該區段函數即會｢消失」。)

圖 12 圖 13

圖 14

圖 15

6

【證明】：

(一)若< > 為等差數列，b_x b_x =rx，_{r ∈ −} _{0}， 當n = 時，4 b r₁ = 、b₂ =2r、b₃ =3r、b₄ =4r，

得2b a a₁ = ₄+ 、₂ 2b a a₂ = + 、_{1 3} 2b a a₃ = ₂+ 、₄ 2b a a₄ = + _{3 1} ⇒ = ，b b_{1 3} b b₂ = ₄ 將b b₁= 、₃ b b₂ = 代入₄ b_x =rx，得出r= 、3r 2r=4r ⇒ = (r 0 →←)

∴當n=4k時無解。

(二)若< > 為等差數列，b_x b_x =rx s+ ，r s ∈ −,  {0}，

當n = 時，4 b r s₁= + 、b₂ =2r s+ 、b₃ =3r s+ 、b₄ =4r s+ ，

得2b a a₁ = ₄+ 、₂ 2b a a₂ = + 、_{1 3} 2b a a₃ = ₂+ 、₄ 2b a a₄ = + _{3 1} ⇒ = ，b b_{1 3} b b₂ = ₄

將b b₁= 、₃ b b₂ = 代入₄ b_x=rx s+ ，得出r s+ =3r s+ 、2r s+ =4r s+ ⇒ = (r 0 →←)

∴當n=4k時無解

又，在步驟二的過程中，當_n分別為4 1k + 、 4k + 、 4 32 k + 時，我們利用上述方法 找到數列a 的一般項公式，並給出公式一、公式二、公式三。 _x

公式一：

設有_n個人圍成一圈，有<a_x > 、< > 兩數列，其中：b_x a 為第_x x個人所挑的數字，b 為第_x x個人兩旁的人所挑的數字之平均值。當<b_x> 為等差數列且b_x= 時，x <a_x > 的一般項公 式 為 f x c x d x c x d x x( )= ₁( ) ( )⋅ ₁ + ₂( )⋅ ₂( )+ ， 其 中 當 n=4 1k+ 、 4k + 、2 n=4 3k+ ， k ∈

時，所對應的c x d x c x d x ，整理如下方表格： ₁( ) , ( ) , ( ) , ( )_{1 2 2}

1

1

2

4 1 4 2 4 3

0.5 1

4 2 0.5 4 2 1 2

4 4 2

( ) 4 4 4

5 0.5

( ) ( 2 2 ) ( 2 ) ( 3 2 )

2 2 2 2

( )

n k k k

x x x

x x x

c x

x x x

d x n x n n x n n x n

x c x

+ + +

 −  −   − −  − −   − −  − 

           

     

− − −

     

     

     

   −   

− − −    − − − −   − − − −    −

2

0.5 1

4 2 0.5 4 2 1 2

4 4 2

4 4 4

5 0.5

( ) ( 2 2 ) ( 2 ) ( 3 2 )

2 2 2 2

x x x x x

x x x

d x n x n n x n n x n

 −  +   − −  − +   − −  − 

           

     

     

     

     

   −   

− −    + − −   + − −    +

圖 16 圖 17

圖 18 圖 19 圖 20

【證明】：

將各個數值以「第幾項(_x)、拿到的數字(_y)」作為 坐標點_{( , )x y} 繪到坐標平面上，圖 16 為以n = 為例。 9 步驟一：將所有點不等量向下平移 ，如圖 17。

步驟二：利用n 將圖形分類為n=4 1k+ 、n=4k+ 、 2 n=4 3k+ ，k ∈ 。

當n=4 1k+ 時，如圖 18。

1

x = 時，y =0；x = 時，2 y <0； x = 時，3 y =0；x = 時，4 y >0。 此時_y值為零、負、零、正…的循環，

函數最大值與最小值上恰有一點。

當n=4k+ 時，如圖 19。 2 1

x = 時，y >0；x = 時，2 y <0； x = 時，3 y <0；x = 時，4 y >0。 此時_y值為正、負、負、正…的循環，

沒有任何點位在函數最大值與最小值上。

當n=4 3k+ 時，如圖 20。

1

x = 時，y >0；x = 時，2 y =0；x = 時，3 y <0；x = 時，4 y =0。 此時_y值為正、零、負、零…的循環，函數最大值與最小值上恰有一點。

步驟三：利用領導係數為相反數的兩直線，在不同區間時交互出現，形成類似鋸齒狀的圖形 由步驟二得知，_n=_4k+_{1, 4k}+_{2 , 4k}+₃時點都有不同的分布，這會使得c x 、 ₁( )

1( )

d x 、c x 、₂( ) d x 分別有所差異，故分成₂( ) n=4k+1、n=₄k+₂、

4 3

n= k+ 討論。

(一)當n=4 1k+ 時，欲求函數c x 、₁( ) c x ：由圖 21 觀察得知， ₂( ) 領導係數為負的直線出現在4m− ≥ ≥2 x 4m− ，4 m∈ ； 領導係數為正的直線出現在4m x≥ ≥4m− ，2 m∈ ； 分別如圖 21 的紅色線與藍色線。

由上述知，當_x滿足4m− ≥ ≥2 x 4m− ，4 m∈ 時，

可得出之關係如表： ^{0 1 2 3 4 5 6 7 8}

1 1 0 0 1 1 0 0 1

x

y ，

函數c x 的推導過程如下： ₁( )

圖 21

、

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 0 1 2 3 0 4

4

2 1 0 1 2 1 0 1 2 4 2

4

4 2

2 1 0 1 2 1 0 1 2

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

4

1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 ( 4 2)

4 4

1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 ( 4 2)

4 4

y

x x x

x x

x

x x x

x x

 −  

   

 

  

− − − − −  −   −

 −  −

− − − − −    

    

− − − − − ⋅ −

   

− ⋅  −   −

    − 

 

值 對應之函數

1( )

 c x

→

 此為函數

且當_x滿足4m x≥ ≥4m− ，2 m∈ 時，可得出之關係如下表：

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 1 1 0 0 1 1 0 x

y ，函數c x 的推導過程如下： ₂( )

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 0 1 2 3 0 4

4

2 3 4 5 2 3 4 5 2 4 2

4

4 2

2 3 4 5 2 3 4 5 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

4

0 0 1 1 0 0 1 ( 4 2) ( )

4 4

1 1 0 y

x x x

x x c x

x x

x x

 −  

   

 

 −  +

   

 

 −  +

   

 ⋅  −   

 

+ →

     

 

值 對應

此為函數 之函數

欲求函數d x 、₁( ) d x ：由圖 22 觀察得知， ₂( )

當x > 時，負基準線(令為 y0 ₋)、正基準線(令為y₊)分別為：

( 2)

y₋ = −n x− − ，n y₊ =n x( − + ，其中2) n _n為項數(人數)。

接著，為了將負基準線、正基準線分別變成週期性的線段，

需向右平移一個「下取整函數」的量，而此量需要 由圖形觀察出需要重複平移幾個單位來決定。

如圖 23，要將從左邊數過來第一條紅色線平 移至第二條紅色線，需要向右移四個單位(x =1到

5)

x = ，從第二條紅色線移至第三條紅線也需右移 四個單位(x =5到x =9)，依此類推。將每條斜率 為負、正的直線右移四個單位，可以推出下一條斜 率分別為負、正的直線。

從圖 24 得知，每個線段都占兩個x

圖 22

紅色線為負基準線 藍色線為正基準線

圖 23 圖 24

( ) 1 ( 4 2) ( ( 2 2 ) )

4 4 2

1 ( 4 2) ( ( 2 2 ) ) , 32

4 4 2

x x

y f x x n x n

x x

x n x n

      

= = − ⋅  −   − ⋅ − − −    −

      

+ ×  −   + ⋅ − −    + 如圖

y每兩個x 單位就要變一次值。我們以一次右移兩個單位為發想，列出下方的 x 、y關係 表： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 2 2 4 4 6 6 8 8 x

y

利用此表，嘗試找出他的函數對應關係如下表：

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 1 1 2 2 3 3 4 4

2

0 0 2 2 4 4 6 6 8 8 2

2 y

x x x

x

  

 

  

  對應的函數

將原本的y− = −n x( − − 、2) n y+ =n x( − + 同時向右平移2) n ₂ 2 x

  

 ，可得交互循環的兩種 線段變成 _{1( ) ( 2 2 )}

2

d x = −n x− −    x −n、 _{2( ) ( 2 2 )} 2

d x =n x− −    x +n，分別如圖 25、圖 26。

推導至此，可能會產生疑惑：明明原本的圖是要每次向 右移四個單位，但剛才的做法卻是每次平移兩個單位，這樣 不會多出一倍的線段(如圖 28、圖 29)嗎？沒錯，這一點我們也 有考慮到，因此我們就利用了c x 、₁( ) c x 的性質：「₂( ) 0 、1 交替出現」。只需將不要的線所代表的函數乘以0 ，就可以使 該線段消失，如圖 30、圖 31。接著，將推得的c x c x₁( ) , ( ),₂

1( ) , ( )2

d x d x 合併成c x d x c x d x₁( ) ( )⋅ ₁ + ₂( )⋅ ₂( )，得出：

圖 25 函數 圖形 圖 26 函數 圖形 圖 27 將兩函數疊在一起

圖 29 圖 28

10

圖 34

1 (4

1 (4

( ) 4 2) ( ( 2 2 ) )

4 2

4 2) ( ( 2 2 ) )

4 2

x x

y f x x n x n

x x

x n x n x

 ⋅      

        

 

 ⋅      

        

 

= = − − − × − − − −

+ − + × − − + +

最後，利用先前提到的作法，利用步驟四，加上步驟一所扣掉(下移)的值，亦即將 上述的結果加上步驟一減去的平移量_x，得出函數式如下：

此函數之圖形如圖 33。此時，n=4k+1的情形完成。

(二)當n=₄k+₂時，欲求函數c x 、₁( ) c x ：由圖 34 觀察得知， ₂( ) 領導係數為負的直線出現在4 3 4 7

2 2

m− ≥ ≥x m− ，m∈ ；

領導係數為正的直線出現在4 1 4 3

2 2

m+ ≥ ≥x m− ，m∈ ； 分別如圖 34 的紅色線與藍色線。

由上述知，當_x滿足₄ ³ ₄ ⁷

2 2

m− ≥ ≥x m− ，m∈ 時，可得出

之關係如表： 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5

1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

x

y ，

函數c x 的推導過程如下： ₁( )

0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.5

0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 0.5 4 0.5

4

2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0.5 4 0.5 2

4

0.5 4 0.5 2

2 1 0 1 2 1 0 1 2 1

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

4

1 1 0 0 1 1 0 0 1

y

x x x x

x x

x x

−

 − −  − 

  

 

  − 

− − − − − −  − −  −

 − −  − −

− − − − − −   

− − − − − −

值 對應的函數

1

1 0.5

1 ( 0.5 4 2)

4 4

1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

1 ( 0.5 4 0.5 2)

4 4

( ) x x

c x

x x

   −  

−

 ⋅  − −  − − 

    

⋅ − − −

    

 

→

 

 

 

此為函數

且當_x滿足₄ ¹ ₄ ³

2 2

m+ ≥ ≥x m− ，m∈ 時，可得出之關係如表：

0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

x

y ，函數c x 的推導過程如下： ₂( )

圖 33

圖 35

紅色線為負基準線 藍色線為正基準線

0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.5

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 0.5

2

0 0 2 2 4 4 6 6 8 8 2 0.5

2 y

x x x x x

−

−

 − 

 

 

 − 

 

 

值 對應的函數

0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.5

0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 0.5 4 0.5

4

2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 0.5 4 0.5 2

4

0.5 4 0.5 2

3 4 5 2 3 4 5 2 3

2 4

4 4 4 4 4 4 4 4 4

4 4

0 0 1 1 0 0 1 1 0

1 ( 0. 0.5

0 5 4

4 4

y

x x x x

x x

x x

x x

−

 − −  − 

  

 

 − −  − +

  

 

 − −  − +

  



⋅ − − −



值 對應的函數

2

2) ( ) c x

    + 

    

 

→ 此為函數

欲求函數d x 、₁( ) d x ：由圖 35 觀察得知， ₂( )

當x > 時，負基準線(令為 y0 −)、正基準線(令為y+)分別為：

( 5)

y− = −n x−2 − ，n ( 5)

y+ =n x−2 + ，其中n _n為項數(人數)。

同樣地，為了將負基準線、正基準線分別變成週期性的線段，需向右平移一個「下 取整函數」的量，而此量需要由圖形觀察出需要重複平移幾個單位來決定。

如圖 36，要將從左邊數過來的第一條紅色線平移至第二條紅色線，需要向右移四個 單位_{(x =0.5}到_{x =4.5)}，從第二條紅色線移至第三條紅線也需右移四個單位_{(x =4.5}到

8.5)

x = ，依此類推。將每條斜率為負、正的直線右移四個單位，可以推出下一條斜率分 別為負、正的直線。

從圖 37 得知，每個線段都占兩個x 單位，因此y 每兩個x 單位就要變一次值。我們以一次右移兩個單位 為發想，列出下方的x 、y關係表：

0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5

0 0 2 2 4 4 6 6 8 8

x y

我們嘗試找出他的函數對應關係如下表：

將原本的 ( 5)

y₋ = −n x−2 − 、n ( 5)

y₊ =n x−2 + 同時向右平移n ₂ ^0.5 2 x −

 

 

 ，可得交互循環的 圖 36 圖 37

12 1 (4

0.5 5 0.5

0.5 4 x 4 2) ( ( 2 2 x 2 ) )

x n x n x

 ⋅      

      

 

− −

+ − − + − − + +

兩種線段，變成 _{1( ) (} ⁵ ₂ ^0.5 ₎

2 2

d x = −n x− − x−  −n、 _{2( ) (} ⁵ ₂ ^0.5 ₎

2 2

d x =n x− − x−  +n，此兩

函數和n=4k+1的情況相同，存在有多餘的線條，因此我們繼續利用兩函數c x 、₁( ) c x₂( ) 的0、₁交替的性質，仿照n=4 1k+ 的方式，讓多餘的線條消失，可將推得的四個函數式 合併成c x d x c x d x₁( ) ( )⋅ ₁ + ₂( )⋅ ₂( )，最後，加上步驟一所扣掉的值(下移的平移量)_x，得出 下方函數式：

1 0.5 5 0.5

( ) ( 0.5 4 2) ( ( 2 ) )

4 4 2 2

x x

f x = = −y  ⋅ x− −  − −  −n x− −  −  −n

此函數之圖形如圖 38。此時，n=4k+ 的情形完成。 2 (三)當n=4 3k+ 時，推導過程與n=₄k+₁的情況相同，

可得： ₁( ) ¹ 1 2 ¹

4 2

c x = − ⋅x− − x− ， ₂( ) ¹ ( 1 2 ¹ )

4 2

c x = ⋅ x− − x−  

領導係數為負的直線出現在4m− ≥ ≥1 x 4m− ，3 m∈ ； 領導係數為正的直線出現在4m+ ≥ ≥1 x 4m− ，1 m∈ ； 分別如圖 39 的紅色線與藍色線。

且 _{1( ) ( 3 2} ¹ ₎ 2

d x = −n x− − x−  −n， _{2( ) ( 3 2} ¹ ₎ 2

d x =n x− − x−  +n

利用c x c x d x d x 構成函數₁( ) , ( ) , ( ) , ( )_{2 1 2} c x d x c x d x₁( ) ( )⋅ ₁ + ₂( )⋅ ₂( )， 最後加上步驟一所扣掉的值(下移的平移量)_x，得出下方函數式：

1 2 1 2

( ) 2 ( ( 3 2 ) )

4 2

x x

y f x n x x n

 − −  − − 

     

 

= = −  − − −    −

 

 

1 2 1 2

2 ( ( 3 2 ) )

4 2

x x

n x x n x

 − −  − + 

     

 

+  − −    + +

 

 

。

此函數之圖形如圖 40。此時，_n=_4k+₃的情形完成。

至此，我們找到：當b_x = 且x n≠4k (k ∈ )時，a 的一般_x 項公式。至於當b_x= px q+ 且n≠4k (k ∈ )時的情況，是否能 找到a 的一般項公式呢？我們給出公式二來說明_x a 的一般項公_x 式。

圖 39

圖 40

圖 43 圖 44 公式二：

設有_n個人圍成一圈，有<a_x > 、<b_x > 兩數列，其中：a 為第_x x個人所挑的數字，b 為第_x x個人兩旁的人所挑的數字之平均值。當<b_x> 為等差數列且b_x = px q+ 時，<a_x> 的一般 項 公 式 為 f x( )=c x d x c x d x₁( ) ( )⋅ ₁ + ₂( )⋅ ₂( )+ px q+ ，其中當n=4 1k+ 、4k + 、2 n=4 3k+ 時，所對應的c x d x c x d x ，整理如下方表格： ₁( ) , ( ) , ( ) , ( )_{1 2 2}

1

1

4 1 4 2 4 3

0.5 1

4 2 0.5 4 2 1 4 2

4 4 4

( ) 4 4 4

5 0.5 1

( ) ( 2 2 ) ( 2 ) ( 3 2

2 2 2 2

n k k k

x x x

x x x

c x

x x x

d x pn x pn pn x pn pn x

+ + +

 −  −   − −  − −   − −  −  − 

            

     

− − −

     

     

     

− −

     

− − −    − − − −   − − − −  

2

2

)

0.5 1

4 2 0.5 4 2 1 4 2

4 4 4

( ) 4 4 4

5 0.5 1

( ) ( 2 2 ) ( 2 ) ( 3 2 )

2 2 2 2

pn

x x x

x x x

c x

x x x

d x pn x pn pn x pn pn x pn

−

 −  +   − −  − +   − −  −  + 

            

     

     

     

     

− −

     

− −    + − −   + − −   +

【證明】：

將各個數值以「第幾項(_x)、拿到的數字(_y)」作為坐標點 ( , )x y 繪到坐標平面上，如圖 41 為b_x =2 1x− ，n = 為例 9 步驟一：將所有點不等量向下平移，如圖 42。

步驟二：利用n 將圖形分類為4 1k + 、 4k + 、 4 32 k + 。 當n=4 1k+ 時，如圖 43。

1

x = 時，y =0；x = 時，2 y <0； x = 時，3 y =0；x = 時，4 y >0。

此時_y值為零、負、零、正…的循環，函數最大值與最小 值上恰有一點。

當n=4k+ 時，如圖 44。 2 1

x = 時，y >0；x = 時，2 y <0； x = 時，3 y <0；x = 時，4 y >0。 此時_y值為正、負、負、正…的循環，

沒有任何點位在函數最大值或最小值上。

當n=4 3k+ 時，如圖 45。

1

x = 時，y >0；x = 時，2 y =0； x = 時，3 y <0；x = 時，4 y =0。

圖 41 圖 42

14

1 1

( ) ( 4 2) ( 2 ( 2 2 ) 2 ) ( 4 2) (2 ( 2 2 ) 2 )

4 4 2 4 4 2

x x x x

y f x= = − ⋅ x−    − ⋅ − n x− −     − n + ⋅ x−    + ⋅ n x− −     + n

1 ( 4 2) ( ( 2 2 ) )

4 4 2

x x

x pn x pn px q

      

+ ⋅  −   + ⋅ − −    + + +

此時形成_y值為正、零、負、零……的循環，函數最大值與最小值上恰有一點。

步驟三：利用領導係數為相反數的兩直線，在不同區間時交互出現，形成類似鋸齒狀的圖形 由步驟二得知，n=4 1k+ 、n=4k+ 、2 n=4 3k+ 時，都有不同的點分布，這會使c x 、₁( )

1( )

d x 、c x 、₂( ) d x 有所差異。 ₂( )

以下將_n值分成：n=4 1k+ 、n=4k+ 、2 n=4 3k+ ，來進行討論。

而從步驟二亦可得知：三種圖形資料點分布的性質都與公式一相同，因此，使得d x 、₁( )

2( )

d x 出現週期循環的取整函數c x 、₁( ) c x ，全部都與公式一相同，這裡就不再贅述。 ₂( ) 而與公式一的差異是：負基準線、正基準線，因此這裡僅就負、正基準線來

討論。

(一)當n=4 1k+ 時，欲求函數d x 、₁( ) d x ：由圖 46 觀察得知， ₂( ) 當x > 時，負基準線(令為 y0 −)、正基準線(令為y₊)分別為：

2 ( 2) 2

y₋ = − n x− − n，y₊ =2 (n x− +2) 2n，其中_n為項數(人數)。

如圖 58，要將從左邊數過來的第一條紅色線平移至第二條紅色線，

需要向右移四個單位_{(x =0}到_{x =4)}，從第二條紅色線移至第三條紅線也 需右移四個單位_{(x =4}到_{x =8)}，依此類推。將每條斜率為負、正的直線 右移四個單位，可以推出下一條斜率分別為負、正的直線。因此，使 負、正基準線呈現週期性的取整函數亦與公式一的n=4 1k+ 情況相同。

因此， _{1( ) 2 ( 2 2 ) 2} 2

d x = − n x− −    x − n、 _{2( ) 2 ( 2 2 ) 2} 2

d x = n x− −    x + n分別如圖 47、圖 48。

這裡仍可利用c x 、₁( ) c x 的「₂( ) 0 、1 交替出現」性質，把不需要的直線消除。

接 著 ， 將推 得 的c x c x d x d x₁( ) , ( ) , ( ) , ( )_{2 1 2} 合 併 成c x d x c x d x₁( ) ( )⋅ ₁ + ₂( )⋅ ₂( )得 出 下 方 的函數式：

最後，利用先前提到的作法，利用步驟四，加上步驟一所扣掉(下移)的值，亦即將 上述的結果加上步驟一減去的平移量2 1x − ，得出下列函數式：

( ) 1 ( 4 2) ( 2 ( 2 2 ) 2 )

4 4 2

x x

y f x= = − ⋅ x−    − ⋅ − n x− −     − n 1 ( 4 2) (2 ( 2 2 ) 2 ) 2 1

4 4 2

x x

x n x n x

      

+ ⋅  −   + ⋅ − −    + + −

此函數圖形如圖 49，而當平移量為px q+ 時，則函數式為

( ) 1 ( 4 2) ( ( 2 2 ) )

4 4 2

x x

y f x= = − ⋅ x−    − ⋅ −pn x− −     −pn

圖 47 圖 48

圖 49 圖 46