中華民國第 61 屆中小學科學展覽會作品說明書

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中華民國第 61 屆中小學科學展覽會作品說明書

排版\050412-封面

高級中等學校組數學科第二名

050412-封面

我能搭到「他」的機車嗎？抽鑰匙的機率問題

學校名稱：國立臺南女子高級中學

作者：指導老師：

高二陳聖喬高二萬庭禎

姜焙元

關鍵詞：條件機率、矩陣

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【評語】 050412

這個抽鑰匙的問題，來自於 105 學測的推廣。問題有趣自然，且逐步推廣到 n 人中恰有 m 個人不選某一把鑰匙，且這 m 個人不選的鑰匙均相異時。作品利用了矩陣的方式，和矩陣分割的方法來分析問題。相關的結果和方法應該可以應用至其他科學模型上。書面報告非常詳細清楚，口頭報告亦佳。

050412-評語

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作品簡報

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我能搭到「他」的機車嗎？

抽鑰匙的機率問題

高級中等學校組

數學科

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研究動機

我們在課堂上看到一道關於機率的試題如下 105 年學測多選第 13 題

甲、乙、丙、丁四位男生各騎一台機車約 A、B 、C 、D 四位女生一起出遊，他們約定 讓四位女生依照 A、B 、C 、D 的順序抽鑰匙來決定搭乘哪位男生的機車。其中除了 B 認得甲的機車鑰匙，並且絕對不會選取之外，每個女生選取這些鑰匙的機會都均等。請選出正確的選項。

1. A 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到甲的鑰匙的機率 2. C 抽到甲的鑰匙的機率大於 D 抽到甲的鑰匙的機率 3. A 抽到乙的鑰匙的機率大於 B 抽到乙的鑰匙的機率 4. B 抽到丙的鑰匙的機率大於 C 抽到丙的鑰匙的機率 5. C 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到乙的鑰匙的機率

我們想要知道在此情況下每個人抽到每支鑰匙的機率，並且推廣這個問題。

(34)

研究目的與方法

1. 找出原始問題中每個人抽到每一把鑰匙的機率。

2. 設有 n 個人依序抽鑰匙，其中第 r 個人必不選第一把鑰匙，求每個人抽到每把鑰匙的 機率公式(定理 1)。

3. 設有 n 個人依序抽鑰匙，其中恰有 m 個人必不選第一把鑰匙，求出每個人抽到每把鑰 匙的機率公式(定理 2)。

4. 設有 n 個人依序抽鑰匙，其中恰有 m 個人必不選某一把鑰匙，

且這 m 個人不選的鑰匙均相異，求出機率矩陣的遞迴關係(定理 3)。

5. 設計程式模擬抽鑰匙過程，輔助觀察定理二和定理三的結果。

(35)

n 個人中第 r 個人必不選第一把鑰匙的抽鑰匙機率對應表格

4 人中第 2 個人必不選第一把鑰匙 (原始問題)

甲乙丙丁

A

1

4 1 4

1 4

B

0 1

3 1 3

1 3

C

3

8 5 24

5 24

D

3

8 5 24

5 24

定理1：n 人中第 r 個人必不選第一把鑰匙 人：Ai 鑰匙：Kj，其中 1

≤ i, j ≤ n

且 Ar必不選 K1

K1 K2 . . . Kn

A1

1 A2 n ...

Ar 0 1

n− 1 Ar+1 (

1 + 1 n− r

)1 n

(

1− 1

(n− 1)(n − r) )1 ... n

An

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符號說明 (PART 1)

定義

1.

A

i代表人，Kj代表鑰匙，P (Ai

, K

j) 為 Ai

抽到 Kj的機率，其中 1

≤ i, j ≤ n。

2. 機率矩陣：將 n 個人抽鑰匙的機率對應表格 以 n 階方陣 P = [p_ij] 來表示，其中

p

ij= P (Ai

, K

j)。

3. [v] 是一個 n

× 1 的矩陣，且 [v] 的第

r

1

, r

2

, · · · , r

m列位置的元為0，其餘為 1。即

v

i1=

{

0 , 若 i = rk

1 , 若 i

̸= r

k

, k = 1, 2, 3, · · · , m

4. F ([v]) 為 n 人抽鑰匙且第 r1

, r

2

, · · · , r

m個人

不選 K1的條件下，n 個人抽鑰匙的機率矩 陣。且 F ([v])ij表此機率矩陣的第 (i, j) 元。

說明

4 個人 A1

, A

2

, A

3

, A

4抽 K1

, K

2

, K

3

, K

4

已知 A₁與 A₃必不選 K₁，則取 [v] =





 0 1 0 1





 經過計算可得此時的機率矩陣

F ([v]) = F











 0 1 0 1











=





 0 1

3 1 3

1 3 1

3 2 9

2 9

2 9 0 1

3 1 3

1 3 2

3 1 9

1 9





 所以 F ([v])32=1

3 = P (A3

, K

2)

(37)

機率矩陣的分割 (n 階機率矩陣可寫成若干個 n − 1 階機率矩陣之線性組合)

n = 4, P (A

1

, K

1) = P (A3

, K

1) = 0 4 個人抽鑰

匙且第1,3 個 人不選 K1的機率矩陣

=1 3

×

4 個人抽鑰匙且已知第1 個人選 K2的情況下的機率矩陣

+1 3

×

+1 3

×







0 ¹₃ ¹₃ ¹₃

1 3

2 9

0 ¹₃ ¹₃ ¹₃

2 3

1 9





= 1 3







0 1 0 0

1

3 0 ¹₃ ¹₃ 0 0 ¹₂ ¹₂

2

3 0 ¹₆ 1

6





 +1

3







0 0 1 0

1 3

1 3 0 ¹₃ 0 ¹₂ 0 ¹₂

2 3

1 6 0 ¹₆





+1 3







0 0 0 1

1 3

1

3 0

0 ¹₂ 1 2 0

2 3

1 6

1

6 0







(38)

n 人中恰有 m 個人必不選第一把鑰匙的機率矩陣

用機率矩陣的分割和數學歸納法，我們證明了以下的定理定理2

對於任意大於 1 的正整數 n，令 [v] 為一個 n

× 1 的矩陣，且 v

i1= {

0 若 i = rk

1 若 i

̸= r

k

，其中 1

≤ r

k

< r

k+1

, k = 1, 2, 3, · · · , m 且 r

m

̸= n，並規定 r

m+1= n

則 F ([v])i1=









 1

n

，若 1

≤ i < r

1

0 ，若 i = rk

∏k j=1

(

1 + 1

n − r

j

)1

n

，若 rk

< i < r

k+1

(39)

符號說明 (PART 2)

定義

令 n 階方陣 X 滿足第 (r_i

, i) 元

X

r_ii= 0, i = 1, 2, 3,

· · · , m，其餘元為 1。則 F (X) 為 n 人抽鑰匙且 A

r₁不選 K1、Ar₂不選

K

2、

· · · 、A

r_m 不選 Km，所對應的機率矩陣。

說明(4 人抽鑰匙且 A1不選 K1，A3不選 K2)

X =







0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1







F (X) =







0 ¹₃ ¹₃ ¹₃

1 3

2 9

2 9 4

9 0 ₁₈⁵ ₁₈⁵

2 9

4 9

1 6







引理4 令 Qn=

[

[0]

_n_×1

I

n

]，其中 [0]_n_×1是一個

n × 1 的零矩陣，而 I

n是一個 n 階單位方陣。則 對於任意的 n 階方陣 Xn，有

Q

^Tn

X

n

Q

n= [

0

[0]

_1×n

[0]

_n×1

X

n

]

其中 Q^T_n是 Qn的轉置矩陣。

說明

Q

2=

[

0 1 0 0 0 1

]

, X

2 =

[ 1 2 3 4

]

，則

Q

^T₂

X

2

Q

2=





0 0 0 0 1 2 0 3 4





(40)

符號說明 (PART 3)

定義

C

ij(n) 是將 n 階單位方陣 In中第 i 行與第 j 行交換後所得的矩陣。

定義

S

_k(n) = C₁₂(n)C₂₃(n)

· · · C

k−1,k(n)

=

k∏−1 i=1

C

_i,i+1(n)。

並規定 S1(n) = In

定義

令 X 為 n 階方陣，定義 Mij(X) 是將矩陣 X 中刪除第 i 列與第 j 行後，所形成的 n

− 1 階

方陣。

說明

M

12









1 2 3 4 5 6 7 8 9







 = [

4 6 7 9

]

(41)

n 人中恰有 m 個人必不選某把鑰匙且不選的鑰匙皆相異的遞迴關係式

定理3

1. F

([

1 1 1 1

])

=1 2 [

1 1 1 1

]

, F

([

0 1 1 1

])

= [

0 1 1 0

]

, F

([

1 0 1 1

])

= [

1 0 0 1

]

2.

當 n

≥ 3 時，已知 n 階方陣 X = [x

ij] 中 xij不是 1 就是 0。令 bk=

x

1k

∑n i=1

x

1i

，則

F (X) =

[

Q

^T_n₋₁

F (M

11(X))Qn−1

· · · Q

^Tn−1

F (M

1n(X))Qn−1

]







b

1

S

1(n)

b

2

S

2(n)

...

b

n

S

n(n)





 +

[

b

1

b

2

· · · b

n

[0]

_(n_{−1)×(n−1)} ]

(42)

定理 3 的程式實作構想與結果

定理3 的程式實作構想

使用動態規劃(dynamic programming)，採由下而上的順序解題，即先解 n

− 1 個人抽鑰匙

的機率矩陣並存入表格，再解 n 個人抽鑰匙的機率矩陣。

當 n = 6, P (Ai

, K

i) = 0, i = 1, 2, 3, 4, 5 的程式實作結果

F













0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1













=







0 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

0.24 0 0.19 0.19 0.19 0.19

0.225 0.2375 0 0.17916666 0.17916666 0.17916666 0.20833333 0.21944445 0.23888889 0 0.16666666 0.16666666 0.1875 0.19722222 0.21388889 0.25 0 0.15138889 0.13916667 0.14583334 0.15722222 0.18083333 0.26416667 0.11277778







我們可以看出用程式實作的計算結果與模擬抽鑰匙試驗所得的相對次數很接近。(參見作品說明書第25 頁表格 4)

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未來展望與參考文獻

未來展望

1. 當 n 人中 m 人所不選的鑰匙均相異時，是否能求出 P (Ai

, K

_j) 的一般式，或可將定理3 所得到的遞迴關係式進一步簡化。

2. 改編原始問題並加入機會成本的概念，例如：付出10 元可換得重新抽取鑰匙的機會。

參考文獻

• 周伯欣(2019)。抽籤的公平性。數學傳播 43 卷 2 期, pp. 49-54

• Row and column operations。

https://tartarus.org/gareth/maths/Linear_Algebra/row_operations.pdf

• 使用Python 來認識矩陣。

https://tinyurl.com/ydebxzkk

• 演算法筆記(Dynamic Programming)

http://web.ntnu.edu.tw/~algo/DynamicProgramming.html

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