屏東縣國小四年級學童在同分母分數加減解題表現之研究
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(3) 謝. 詞. 終於，我完成了我的學業和論文，四年來的碩士學習，也準備劃上 句點。回想這四年，做研究和學習的路上縱使辛苦，也因為有所上老師 的耐心教導和同學的不斷鼓勵，讓我也能一一克服，一步步走到終點。 我很幸運，能遇到這麼好的老師與同學，謝謝您們，也感謝這一路走來 幫助過、支持過我的人。 首先，我要感謝我的指導教授－劉曼麗老師。在學習過程中，謝謝 老師教導我做學問的方法和態度，老師對於數學教育的堅持和付出，也 重新點燃我在教學上的熱忱。在著手撰寫期刊文章與論文時，老師再忙 也仍會挪出時間，耐心地指導我文章的內容與方向；當撰寫遭遇困難時， 老師更是一次次地幫助我們思考如何突破瓶頸。老師，謝謝您。 接著感謝的是我的班導師－徐偉民老師。記得當我因為身體狀況不 佳而心裡猶豫要不要繼續做研究的時候，手機鈴聲響起，電話的那端是 老師您的關心和鼓勵，電話的這端是我的感動和決定堅持下去。 同時，我也要感謝在我碩班學習過程中，簡清華老師、林曉雯老師 和吳進通老師傳授不同領域的知識，讓我受用無窮。 另外，我要感謝擔任口試委員的蘇順德老師，在百忙之中仍抽空仔 細地審視我的論文並提供許多寶貴的意見，讓我能知道自己論文的缺失 所在，進行修正。 此外，我也要感謝我碩班的讀書團隊－妙如、職鴻、國家、寶葵， 你們總是在我受挫、失意的時候，拉著我的手繼續往終點邁進，謝謝你 們的扶持與鼓勵，你們是最好的研究伙伴，也是最好的朋友。 最後，我要感謝我的老婆－倍儀。在學習和撰寫論文的過程中，默 默承受著我的負面情緒，包容著我，也不斷的鼓舞著我，讓我能順利完 成學業。還有很多的人要感謝，雖無法在此逐一的謝過，但真的感謝所 有幫助過我的人 i.
(4) 屏東縣國小四年級學童在同分母分數加減解題表現之研究. 摘. 要. 本研究採調查研究法。研究者利用自編的測驗工具「同分母分數加 減之計算試題與圖形試題」 ，透過分層叢集抽樣的方法，從屏東縣國小四 年級學童中選取 383 位學童進行施測。旨在了解學童在同分母分數加減 的解題表現，並分別在族群（漢族、新住民、原住民） 、地區（一般地區 學校、偏遠地區學校、特殊偏遠地區學校） 、家庭社經地位（低社經背景、 非低社經背景）及性別（男性、女性）四項因素下，探討學童的解題表 現是否存在顯著差異。本研究資料以描述性統計與獨立樣本單因子多變 量變異數分析，獲得以下的發現： 一、屏東縣國小四年級學童在同分母分數加減之計算試題與圖形試 題的解題表現不理想。在計算試題答對率為 0.71，而在圖形試題答對率 只有 0.44，顯示多數學童在同分母分數計算的理解表現不佳。 二、不同族群學童的解題表現：漢族學童與新住民學童在計算試題 和圖形試題的表現皆顯著優於原住民學童，而漢族學童與新住民學童間 則沒有顯著差異存在。 三、不同地區學童的解題表現：一般地區學童在計算試題和圖形試 題的表現皆顯著優於偏遠地區學童，且一般地區學童在計算試題的表現 顯著優於特殊偏遠地區學童，而偏遠地區學童與特殊偏遠地區學童間則 沒有顯著差異存在。 四、不同家庭社經地位學童的解題表現：非家庭低社經地位學童在 計算試題和圖形試題的表現皆顯著優於家庭低社經地位學童。 五、不同性別學童解題表現：男性學童與女性學童在計算試題和圖 形試題的表現皆沒有顯著差異存在。 關鍵詞：同分母分數、加減運算、國小四年級學童. ii.
(5) The Study on the Fourth-grade Elementary School Students’ Performance on Fractions Addition and Subtraction With the Same Denominator in Pingtung County. Abstract The purpose of the study was to explore the performance of fourth grade students on denominator fraction addition and subtraction with the same denominator in Pingtung County by survey research method. The study, moreover, aimed at exploring the differences of the performance on fractions addition and subtraction with the same denominator for students of different ethnic groups (the Han students, the new immigrant students and the indigenous students) , different regions (general areas, suburban area and remote areas), different social status (non-low and low socioeconomic status) , and different genders (male and female). The self-designed test for “same denominator fraction addition, subtraction operation and graphic questions” was adopted as the instrument. While, 383 fourth-grade students were chosen as the subjects by hierarchy cluster sampling method. Afterward, the research data were collected by the written tests and the data analysis of this study was through descriptive statistics and one -way multivariate analysis of variance. Meanwhile, the main findings were concluded as the followings: 1. The fourth grade students in Pingtung County did not have good. performance on fractions addition and subtraction with the same denominator as well as the related graphic questions. It showed the correct rate of fractions addition and subtraction with the same denominator is 0.71, while, the correct rate of the related graphic iii.
(6) questions is only 0.44. 2. The performance of fractions addition and subtraction with the same. denominator. and graphic questions for students of different ethnic. groups: the Han students and the new immigrant students performed significantly better than the indigenous students. And, there were no significant differences on students’ performance between the Han and the new immigrant. 3. The performance of fractions addition and subtraction with the same. denominator. and graphic questions for students of different areas:. the students of general areas performed significantly better than the students of suburban areas and remote areas, whereas, there were no significant differences on the performance between the students of suburban areas and remote areas. 4. The performance of fractions addition and subtraction with the same. denominator. and graphic questions for students of different. socioeconomic status: the students of non-low socioeconomic status performed. significantly. better. than. the. students. of. low. socioeconomic status not only in the fraction operation but also the graphic questions. 5. The performance of fractions addition and subtraction with the same. denominator. and graphic questions for students of different. genders: there were no significant differences on students’ performance between male and female.. Keywords: denominator fractions with the same denominator, addition and subtraction operation, fourth-grade elementary school students iv.
(7) 目 謝. 次. 詞 ....................................................................................................... i. 中文摘要 .................................................................................................. ii 英文摘要 ................................................................................................. iii 表. 次 .................................................................................................... vii. 圖. 次 ..................................................................................................... ix. 第一章 緒論 ............................................................................................. 1 第一節. 研究動機 ......................................................................... 1. 第二節. 研究目的與問題 .............................................................. 4. 第三節. 名詞界定 ......................................................................... 6. 第四節. 研究限制 ......................................................................... 7. 第二章 文獻探討 ..................................................................................... 9 第一節. 國小分數教材與同分母分數加減之相關研究................. 9. 第二節. 多元文化教育的意涵 .................................................... 17. 第三節. 探討背景與學業成就之關聯性 ..................................... 19. 第三章 研究方法 ................................................................................... 25 第一節. 研究設計與架構 ............................................................ 25. 第二節. 研究假設 ....................................................................... 27. 第三節. 研究對象 ....................................................................... 27. 第四節. 研究工具 ....................................................................... 32. 第五節. 資料的處理與分析 ........................................................ 40. 第六節. 研究步驟 ....................................................................... 41. 第四章 研究結果與討論 ........................................................................ 43 第一節. 屏東縣國小四年級學童在同分母分數加減之計算試題 與圖形試題的解題表現 ................................................. 43. 第二節. 不同族群之國小四年級學童在同分母分數加減之計算 v.
(8) 試題與圖形試題的解題表現及差異情形 ....................... 45 第三節. 不同地區之國小四年級學童在同分母分數加減之計算 試題與圖形試題的解題表現之差異情形 ....................... 50. 第四節. 不同家庭社經地位之國小四年級學童在同分母分數加 減之計算試題與圖形試題的解題表現及差異情形 ........ 54. 第五節. 不同性別之國小四年級學童在同分母分數加減之計算 試題與圖形試題的解題表現及差異情形 ....................... 59. 第六節 第五章. 綜合討論 ........................................................................ 62. 結論與建議 .............................................................................. 69. 第一節. 結論 ............................................................................... 69. 第二節. 建議 ............................................................................... 71. 參考文獻 ................................................................................................. 73 中文書目 ....................................................................................... 73 英文書目 ....................................................................................... 79 附錄 ......................................................................................................... 83 附錄一. 學童基本資料問卷 ......................................................... 83. 附錄二. 第一次預試同分母分數加減之計算試題與圖形試題試 卷 ................................................................................... 84. 附錄三. 正試施測同分母分數加減之計算試題與圖形試題試卷 86. vi.
(9) 表. 次. 表 2-1-1. 92 課綱數學領域分數相關課程之分年細目表 ........................ 9. 表 2-1 -2. 92 課綱分數概念與分數計算學習步驟 ................................ 11. 表 2-1-3. 97 課綱數學領域分數相關課程之分年細目表 ...................... 11. 表 2-1-4. 97 課綱分數概念與分數計算學習步驟 ................................. 13. 表 3-2-1. 第二次預試人數統計表 ........................................................ 28. 表 3-2-2. 屏東縣四年級學童有效抽樣人數一覽表 .............................. 29. 表 3-2-3. 屏東縣四年級學童正式施測試卷回收-族群人數一覽表 ...... 30. 表 3-2-4. 屏東縣四年級學童正式施測試卷回收-地區人數一覽表 ...... 30. 表 3-2-5. 屏東縣四年級學童正式施測試卷回收-社經地位人數一覽表 ............................................................................................... 31. 表 3-2-6. 屏東縣四年級學童正式施測試卷回收-性別人數一覽表 ...... 31. 表 3-3-1. 國小四年級學童「同分母分數加減運算測驗」試題內容分 析表 ................................................................................... 34. 表 3-3-2. 國小四年級學童同分母分數加減之計算試題與圖形試題預 試試題難度和鑑別度 ............................................................. 38. 表 3-5-1. 計算試題與圖形試題的相關係數統計表 .............................. 41. 表 4-1-1. 在同分母分數加減計算與圖形試題兩個主題的平均數、標 準差及答對率 ........................................................................ 44. 表 4-2-1. 屏東縣不同族群學童在同分母分數加減之計算試題與圖形 試題之平均數、標準差及答對率 .......................................... 46. 表 4-2-2. 屏東縣不同族群四年級學童在同分母分數加減之計算試題 與圖形試題之多變量變異數分析摘要表 ............................... 48. 表 4-2-3. 屏東縣不同族群學童在計算試題與圖形試題之單變量變異 數分析及事後比較摘要表 ..................................................... 49. 表 4-3-1. 屏東縣不同地區學童在同分母分數加減之計算試題與圖形 vii.
(10) 試題的平均數、標準差及答對率 ........................................... 50 表 4-3-4. 屏東縣不同地區四年級學童在同分母分數加減之計算試題 與圖形試題之多變量變異數分析摘要表................................ 53. 表 4-3-5. 屏東縣不同地區學童在同分母分數加減之計算試題與圖形 試題之單變量變異數分析及事後比較摘要表 ........................ 54. 表 4-4-1. 屏東縣不同家庭社經地位學童在同分母分數加減之計算試 題與圖形試題兩個主題的平均數、標準差及答對率 ............. 55. 表 4-4-2. 屏東縣不同家庭社經地位學童在同分母分數加減之計算試 題與圖形試題之多變量變異數分析摘要表 ............................ 58. 表 4-4-3. 不同家庭社經地位學童在同分母分數加減之計算試題與圖 形試題的單變項變異數分析摘要表 ....................................... 58. 表 4-5-1. 屏東縣不同性別學童在同分母分數加減之計算試題與圖形 試題兩個主題的平均數、標準差及答對率 ............................ 60. 表 4-5-4. 屏東縣不同性別學童在同分母分數加減之計算試題與圖形 試題之多變量變異數分析摘要表 ........................................... 62. viii.
(11) 圖. 次. 圖 2-1-1. 國小分數學習架構 ................................................................ 14. 圖 3-1-1. 研究設計架構圖 .................................................................... 26. 圖 3-5-1. 研究流程圖 ........................................................................... 42. 圖 4-1-1. 屏東縣四年級學童在同分母分數加減之計算試題與圖形試 題之平均答對率..................................................................... 44. 圖 4-1-2. 同分母分數加減之計算試題與圖形試題 .............................. 45. 圖 4-2-1. 不同族群學童在同分母分數加減之計算試題與圖形試題之 平均答對率 ............................................................................ 47. 圖 4-2-2. 不同族群學童在同分母分數加減之計算試題與圖形試題標 準差統計圖 ............................................................................ 47. 圖 4-3-1. 不同地區學童在同分母分數加減之計算試題與圖形試題之 平均答對率 ............................................................................ 51. 圖 4-3-2. 不同地區學童在同分母分數加減之計算試題與圖形試題標 準差統計圖 ............................................................................ 52. 圖 4-4-1. 不同家庭社經地位學童在同分母分數加減之計算試題與圖 形試題之平均答對率 ............................................................. 56. 圖 4-4-2. 不同家庭社經地位學童在同分母分數加減之計算試題與圖 形試題標準差統計圖 ............................................................. 57. 圖 4-5-1. 不同性別學童在同分母分數加減之計算試題與圖形試題之 平均答對率 ............................................................................ 60. 圖 4-5-3. 不同性別學童在同分母分數加減之計算試題與圖形試題標 準差統計圖 ............................................................................ 61. 圖 4-6-1. 學童在計算試題中出現的錯誤類型（一） .......................... 63. 圖 4-6-2. 學童在計算試題中出現的錯誤類型（二） .......................... 63. 圖 4-6-3. 學童在計算試題中出現的錯誤類型（三） .......................... 64 ix.
(12) 圖 4-6-4. 學童在計算試題中出現的錯誤類型（四） ........................... 64. 圖 4-6-5. 學童在計算試題中出現的錯誤類型（五） ........................... 65. 圖 4-6-6. 學童在同分母分數圖形試題的錯誤 ...................................... 65. x.
(13) 第一章 緒論 本研究旨在探討屏東縣國小四年級學童面對同分母分數加減之計算 試題與圖形試題的解題表現，分析國小四年級學童在不同族群、地區、 社經地位與性別中的表現是否存在顯著差異。本章緒論分為四節：第一 節為研究動機，第二節為研究目的與問題，第三節為名詞釋義，第四節 為研究限制。兹分節說明如下：. 第一節. 研究動機. 一、同分母分數加減運算的重要性 有研究指出數學教育的成敗將影響國家未來之整體競爭力與生存能 力（Kilpatrick, Swafford, & Findell, 2001; TIMSS, 2004），Ernest 指出學 童能藉由數學學習的成功，增加往上流動的機會，因為數學扮演著一個 「關鍵過濾器」（critical filter）的角色，用來決定個人未來是否成功的 重要指標（徐偉民、林潔慧，2010） ，數學教育更是我國國民教育中重要 之一環（教育部，2003）。 在目前的國小數學課程中， 「數」的學習是學童最早接觸的數學課程 之一，而「數」的學習包含「整數」 、 「分數」與「小數」 。當學童學習「整 數」到達一定程度後，便進入學習「分數」的領域。在國小數學課程中， 「分數」扮演著重要的角色，它不僅讓學童將「數」的概念延伸，更是 日後學童學習小數、除法、比例等數學課程的重要基礎概念與連結。國 小的分數課程 主要分成兩 大類，一 類是分數概念 ，另一類是 分數 運算 （ NCTM, 2000）。 分數概念 的學習 一直都是國小 學童遭遇的 第一道難 關，因為「分數」對於國小學童而言，是意義多樣化且難以和生活經驗 連結，導致學童不易理解，學童對分數不能理解，便會阻礙他們以後的. 1.
(14) 數學學習發展（林碧珍，1990 ） ，造成兒童數學發展上的嚴重障礙（Behr, 1992） 。國內外有許多學者研究指出學生在分數的學習是困難且成效不彰 （林福來、黃敏晃、呂玉琴，1996；洪素敏，2004；孫碧霞，2006；林 右珊，2007；Annette, 2004；Mack, 1998）。學童因為對於分數概念的理 解不足，造成學童學習分數運算時的困難，被迫以機械式的算則進行解 題，增加學習上的困難（湯錦雲，2002） 。當學童只能依靠背誦算則來處 理同分母分數的加減而缺乏對於計算的理解時，將會導致學童出現更多 的錯誤，且嚴重影響學童學習更高深的分數運算。 九年一貫課程綱要指出，學童在小學畢業前應能熟練小數與分數的 四則計算(教育部，2008)，可見分數的計算也是國小課程重要的一環， 而其中「同分母分數的加減計算」更是「分數的四則計算」的重要起步， 背負著承先（三年級簡單分數加減計算）啟後（高年級異分母分數加減 計算）的重大責任。吳麗玲和楊德清（2007）指出概念理解與程序性知 識其實是同等重要的，因為概念性理解是計算流暢性的先決要素（NCTM, 2000） 。換言之，學習同分母分數的加減時，學童計算的能力與概念的理 解都很重要，都是解題的基本技能，如果缺乏概念理解，就很難正確的 解題。 同分母分數的加減運算是國小分數課程的重要課題，也是五年級學 習異分母分數加減的基礎。研究者的任教經驗中，教導分數課程時，多 會利用圖形或是具體物來協助學童理解「同分母分數的加減」 ；可是當學 童在進行同分母分數的加減計算時，卻大多無法利用圖形連結來幫助解 題，反而藉由記憶算則解題，因而出現許多錯誤。有學者認為學生應透 過問題中數學 符號與指示 物互相連 結而賦予意義 ，選擇程序 來解決問 題，進而連結概念與程序才能獲得答案（Hiebert & Wearne, 1994） 。因此， 研究者設計一份「同分母分數加減之計算試題與圖形試題」試卷，選定 屏東縣四年級學童作為研究樣本，並以探討四年級學童在同分母分數加 減之計算試題與圖形試題的解題表現為主題之一。 2.
(15) 二、多元文化教育與教育公平性 臺灣除了最初的原住民族和閩客族群外，隨著時代邁進，非本國籍 人口因為工作、學術、婚姻等因素定居臺灣，改變了台灣固有的社會文 化結構，讓臺灣成為一個多元文化的社會，也使外籍族群逐漸成為台灣 之主要族群之一。但在主流社會中的少數民族，常因文化差異、經濟條 件弱勢，加上教育資源相對匱乏等因素，使得其在教育成就與機會上處 於不利地位（陳枝烈、歐秀梅，2010） 。而多元文化教育主張透過教育， 來消弭性別、族群、宗教、階級差異所產生的偏見與歧視（周惠民，2009） ， 並解決多元族群社會中主流文化與非主流文化間的不平等現象和不利條 件，其中「教育公平性」和「教育機會均等」更是重要的指標之一。鑑 於此，我們應思考如何藉由落實多元文化教育的推動，協助並強化學習 條件和機會，讓所有的學童都能有學習成功的能力和機會。 另一方面，在社會型態轉變的衝擊下，M 型社會不同階層所享有的 教育資源與教育機會的差距逐漸被拉大，使「教育公平性」成為熱門的 教育議題。教育公平性即強調保障「每一位」孩童接受基礎教育的公平 機會（張國保、張熒書，2012） 。許多國家在教育目標中均強調教育公平 性的重要，如美國政府 2002 年重新修訂「中小學教育法」 （ The Elementary and Secondary Education Act, ESEA），並於 2005 年通過「No Child Left Behind」教育政策，意即不讓任何一個孩子落後，不因學童背景不同而 造成學業成就的落差（李孟峰、連廷嘉，2010；陳明印，2002；Hess & Petrilli, 2006；McDermott & Jensen, 2005 ; Rodriguez, 2005） ；聯合國《2010 千禧年發展目標報告書》 （The millennium development goals report 2010） 目標二所宣示之「確保在 2015 年之前，世界各地的學童，不分性別，均 能夠完成足夠的基礎教育（United Nations, 2010）」；我國亦基於教育公 平性的理念及教育機會均等的原則，致力推廣相關教育政策，先是將「增 進弱勢族群機會、確保社會公平正義」列為三大中心議題之一（教育部， 2003） ，接著在九年一貫課程的理念中強調把每一位學生都帶上來（教育 3.
(16) 部，2008） 。為能讓每一位學童都有接受基礎教育的公平機會，不斷推動 攜手計畫－課後輔助、教育優先區計畫、夜光天使等方案，希望能扶助 學童學習，進而縮短學習上的落差，提升學習成效，實現「社會公平正 義」的精神，促進教育發展、教育機會均等與理想的實現。 研究者任教於屏東縣偏鄉地區近十年，屏東縣除了漢族（閩客）外， 新住民及原住民的比例亦不低，是族裔較多元的代表縣市之一（陳淑麗， 2008） 。在如此特殊的多元文化中，我國教育機關為求能真正落實教育公 平，投入大量經費，推動許多教育優先區計畫，並在計畫中指出對象應 包括族群、地區、社經地位等因素。此外，研究者發現文獻中對於「性 別」是否影響學習公平的說法兩極，如研究指出，在 TIMSS 2003 和 TIMSS 2007 的測驗結果中，同樣發現不論我國或是國際在四年級男女童的數學 成就表現，皆無性別上的顯著性差異（林碧珍、蔡文煥，2005；林碧珍， 2012） ；但邵國志（2007）的研究中卻發現不同性別的五年級原住民學童， 數學學習成就之「總分」、「數方面」、「量方面」及「形方面」的表現都 有顯著的差異。綜合上述內容，研究者想進一步瞭解在「族群」 、 「地區」 、 「社經地位」和「性別」四項因素下，學童的解題表現是否有所差異作 為主題之二，並期能藉此檢視政府推動教育公平性及多元教育的成效， 作為現場教師教學面對不同文化背景的學童時的參考。. 第二節. 研究目的與問題. 基於上述的研究動機，本研究目的為探討國小四年級學童在同分母 分數加減之解題情形及其影響因素。而同分母分數加減問題包括計算試 題與圖形試題兩部分。 依據上述研究目的，將本研究之待答問題依同分母分數加減計算試 題與圖形試題分述如下：. 4.
(17) （一）屏東縣國小四年級學童在同分母分數加減之計算試題與圖形試 題的解題表現為何？ （二）不同族群之國小四年級學童在同分母分數加減之計算試題與圖 形試題的解題表現是否有顯著差異？ （三）不同地區之國小四年級學童在同分母分數加減之計算試題與圖 形試題的解題表現是否有顯著差異？ （四）不同家庭社經地位之國小四年級學童在同分母分數加減之計算 試題與圖形試題的解題表現是否有顯著差異？ （五）不同性別之國小四年級學童在同分母分數加減之計算試題與圖 形試題的解題表現是否有顯著差異？. 5.
(18) 第三節. 名詞界定. 一、同分母分數加減之計算試題與圖形試題 本研究 中同分 母分數 的加 減試 題分為 兩部分 ：計算 試題 和圖形試 題。同分母分數加減計算試題是指兩組分母相同的分數（可為真分數、 假分數或帶分數）或是整數與分數間進行加法或減法的一步驟運算，如： 2. 1 － ＝（ 3 3. 2. 1. 3. 3. ）、 ＝（. 3. ）、 4 ＝（ 7. 3. ）、 4－ ＝（. ）。同. 7. 分母分數加減圖形試題則是利用圖形和文字來呈現與計算試題相同的問 題，題目中完全沒有出現分數符號，如 請問塗色部分『. 』和『. 1 共有（ 』○. 表示一個披薩平分成三等份， 2 相差（ ）個披薩；○. ）. 個披薩。. 二、國小四年級學童 本研究樣本所選定之國小四年級學童為屏東縣 101 學年度下學期四 年級學童，其所學習的數學為 92 課綱之九年一貫數學課程。. 三、族群 本研究中將族群區分為三類，即漢族子女、原住民族子女與新住民 子女。其中漢族子女包括閩客族群和外省族群；原住民族子女則根據學 童戶籍是否為原住民籍來區分；新住民子女則是父親或母親其中一方非 中華民國國籍人士。. 四、地區 依據屏東縣政府所屬各級學校類型區分原則，將所屬各級學校及其 分校、分班，依交通狀況、所處地理環境等情形，區分為一般地區學校、. 6.
(19) 特殊偏遠地區學校及偏遠地區學校等三種類型。一般地區類型學校，包 括校址位於屏東市、潮州鎮、東港鎮、麟洛鄉、九如鄉、長治鄉、鹽埔 鄉及萬丹鄉之各級學校及其分校、分班；特殊偏遠地區類型學校需符合 下列條件之一：（一）本縣琉球鄉各級學校，（二）校址距離本府六十公 里以上， （三）校址位處海拔五百公尺以上， （四）連續山路十公里以上； 而非上述兩種地區類型學校則為偏遠地區類型學校。. 五、家庭社經地位 本 研究 所指 之 家庭 社 經地 位， 主要根 據學童 家庭 經 濟能 力進行區 分。屏東縣政府近年來扶助家庭經濟弱勢學童午餐費減免，其減免對象 為低收入戶學童、中低收入戶學童、家庭突遭重大變故學童和經由導師 認定家庭經濟弱勢學童。故本研究以此為分類依據，將家庭社經地位分 為「有接受午餐費用減免學童」與「無接受午餐費用減免學童」兩類。. 第四節. 研究限制. 一、研究範圍限制 本研究旨在探討屏東縣國小四年級學童在同分母分數加減之計算試 題與圖形試題的解題表現。並未將教學、教科書、個別差異、語意、閱 讀理解能力等變項納入本研究的範圍，仍有待後續研究加以驗證。. 二、研究對象限制 本研究因人力、時間及經費等因素之限制，研究對象以 101 學年度 屏東縣國小四年級學童為研究母群體，並依據屏東縣政府所屬各級學校 類型區分原則，將屏東縣學校分為一般地區、偏遠地區與特殊偏遠地區 （以下簡稱為特偏地區）三個地區，採分層叢集抽樣方式選取研究對象，. 7.
(20) 故研究結果不宜過度推論到其他年級與區域的學童。. 8.
(21) 第二章 文獻探討 本章根據研究目的，探討相關文獻，做為本研究之理論基礎，並藉 以建立本研究之研究架構。本章共分三節，第一節探討國小分數教材與 同分母分數加減之相關研究；第二節探討多元文化教育的意涵；第三節 為探討背景與學業成就之關聯性。. 第一節. 國小分數教材與同分母分數加減之相關 研究. 本節將探討九年一貫課程綱要分數教材分析、國小分數學習架構、 和同分母分數加減之相關研究。. 一、九年一貫課程綱要分數教材分析 現行九年一貫課程綱要將國小數學課程分為「數與量」 、 「幾何」 、 「代 數」 、 「統計與機率」 、 「連結」五大主題，其中分數課程包含於「數與量」 的有理數之中（教育部，2008） 。教育部於 97 年及 98 年微調發布國民中 小學九年一貫課程綱要（以下簡稱 97 課綱） ，97 課綱訂於 100 學年度起 自一年級、七年級逐年向上實施。本研究之研究對象為民國 98 年入學之 國小四年級學童，故適用於 92 年版的國民中小學九年一貫課程綱要（以 下簡稱 92 課綱），其內容如表 2-1-1： 表 2-1-1. 92 課綱數學領域分數相關課程之分年細目表. 年級（階段） 分年細目 二年級. 對應指標. 2-n-10 能在平分的情境中，認識分母在 12 以內的單位 N-1-09. （第一階段） 分數，並比較不同單位分數的大小。. 9.
(22) 三年級. 3-n-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分 N-1-09. （第一階段） 母分數的比較與加減問題。 4-n-06 能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的 N-2-06 意涵。 4-n-07 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數 四年級 與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減. N-2-07. （第二階段） 與非帶分數的整數倍的計算。 4-n-08 能 理 解 等 值 分 數 ， 進 行 簡 單 異 分 母 分 數 的 比 N-2-08 較，並用來做簡單分數與小數的互換。 5-n-04 能用約分、擴分處理等值分數的換算。. N-2-08. 5-n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。. N-2-09. 5-n-06 能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的 N-2-06 五年級. 意涵。. （第二階段） 5-n-07 能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決 N-2-11 生活中的問題。 5-n-11 能將分數、小數標記在數線上。. N-2-13. 5-n-12 能認識比率及其應用（含「百分率」、「折」）。. N-2-14. 6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數 互質的意義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方. N-3-02. 式，並能將分數約成最簡分數。 六年級 6-n-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決 （第三階段）. N-3-03 生活中的問題。 6-n-05 能作分數的兩步驟四則混合計算。. N-3-11. 6-n-07 能認識比和比值，並解決生活中的問題。. N-3-05. 資料來源：教育部（2003)。國民中小學九年一貫數學領域課程綱要。臺北市：教育 部。. 10.
(23) 從表 2-1-1 中可以看出 92 課綱中，不同階段學童應學習的分數概念 與計算能力，茲摘要如表 2-1-2： 表 2-1 -2. 92 課綱分數概念與分數計算學習步驟 項目. 分數概念. 分數計算. 年級 一年級 1. 認識單位分數 二年級 2. 比較不同單位分數大小 1. 認識分數的名稱與意義. 1. 同分母分數的加減. 三年級 2. 比較同分母分數的大小 1. 認識真分數、假分數、帶. 1. 假分數和帶分數互換. 分數、等值分數. 2. 同分母分數的加減. 1. 等值分數的應用. 1. 約分、擴分. 2. 比較異分母分數的大小. 2. 異分母分數的加減. 四年級. 五年級. 3. 分數乘法. 六年級. 1. 複習分數概念. 1. 分數除法. 2. 最簡分數. 2. 分數的四則運算. 3. 比和比值. 但教育部於民國 97 年及 98 年微調了 92 年版的課程綱要（微調後的 課綱要簡稱 97 課綱），並明訂於 100 學年度開始逐年實施，其內容呈現 如表 2-1-3： 表 2-1-3. 97 課綱數學領域分數相關課程之分年細目表. 年級（階段） 分年細目. 對應指標. 三年級. N-2-09. （第二階段） 四年級. 3-n-11 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母 分數的比較與加減問題。 4-n-07 能理解分數之「整數相除」的意涵。. 11. N-2-10 N-2-11.
(24) （第二階段） 4-n-08 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與 帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、. N-2-10. 減與非帶分數的整數倍的計算。 4-n-09 能認識等值分數，進行簡單異分母分數的比較， N-2-12 並用來做簡單分數與小數的互換。 4-n-10 能將簡單分數標記在數線上。. N-2-16. 5-n-06 能用約分、擴分處理等值分數的換算。. N-3-06. 5-n-07 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。. N-3-07. 5-n-08 能理解分數乘法的意義，並熟練其計算，解決生 N-3-09 活中的問題。 五年級 5-n-09 能理解除數為整數的分數除法的意義，並解決生 （第三階段）. N-3-10 活中的問題。 5-n-13 能將分數、小數標記在數線上。. N -3-13. 5-n-14 能認識比率及其在生活中的應用（含「百分率」、 N-3-14 「折」）。 6-n-03 能認識兩數互質的意義，並將分數約成最簡分數。 N-3-05 6-n-04 能理解分數除法的意義及熟練其計算，並解決生 N-3-10 六年級. 活中的問題。. （第三階段） 6-n-05 能在具體情境中，解決分數的兩步驟問題，並能 N-3-02 併式計算。 6-n-09 能認識比和比值，並解決生活中的問題。. N-3-15. 資料來源：教育部（ 2008）。國民中小學九年一貫數學領域課程綱要。 臺北市：教育 部. 從表 2-1-3 中，我們能看到 97 課綱中，不同階段學童應學習的分數 概念與計算能力，茲摘要如表 2-1-4：. 12.
(25) 表 2-1-4. 97 課綱分數概念與分數計算學習步驟 項目. 分數概念. 分數計算. 年級 一年級 二年級 1. 認識分數的名稱與意義. 1. 同分母分數的加減. 三年級 2. 比較同分母分數的大小. 四年級. 1. 認識真分數、假分數、帶. 1. 假分數和帶分數互換. 分數、等值分數. 2. 各類同分母分數的加減. 2. 比較同分母分數的大小 1. 等值分數的應用. 1. 約分、擴分. 2. 比較異分母分數的大小. 2. 異分母分數的加減. 五年級 3. 分數乘法 4. 分數除法（除數為整數）. 六年級. 1. 複習分數概念. 1. 分數除法（除數為分數）. 2. 最簡分數. 2. 分數的四則運算. 3. 比和比值. 比較表 2-1-4 和表 2-1-2，可以發現 97 課綱與 92 課綱在分數課程編 排上有兩項明顯不同： （一）97 課綱從三年級才開始導入分數概念； （二） 97 課綱將分數的除法拆成兩部分，五年級學習除數為整數的分數除法， 六年級學習除數為分數的分數除法。而其中不變的是，97 課綱和 92 課 綱都將同分母分數的加減安排在中年級學習，再以此為基礎，於高年級 學習異分母分數的加減。我國九年一貫數學領域的編輯委員認為數學運 算或計算並不 只是機械式 計算操作 而已。所謂能 熟練數學的 運算或計 算，係指在能夠理解數學概念或演算規則的情況下，所進行的純熟操作。 透過理解並能將觀念與計算結合的能力，才是演算能力（教育部，2003） 。 因此，研究者編製紙筆測驗試題時將參酌現行之國小分數教材，編入包 13.
(26) 括同分母分數加減的計算試題和相對應的圖形試題，以國小四年級學童 為對象，探討學童在同分母分數加減的解題表現。. 二、國小分數學習架構 根據目前國小數學課程的分數教材，分數的學習架構大致可分成分 數的概念、分數的計算與分數的應用三大類。 「分數的概念」主要包含分 數的意義、分數比大小、等值分數、分數的稠密性以及分數與小數的關 係； 「分數的計算」主要包含分數的加法、分數的減法、分數的乘法及分 數的除法； 「分數的應用」則包含分數的加法文字題、分數的減法文字題、 分數的乘法文字題與分數的除法文字題。如圖 2-1-1： 分數教材. 分數的概念. 分數的計算. 1.分數的意義. 1.分數的加法. 2.分數比大小. 2.分數的減法. 3.等值分數. 3.分數的乘法. 4.分數的稠密性. 4.分數的除法. 5.分數與小數的關係. 分數的應用. 1.分數的加法文字題 2.分數的減法文字題 3.分數的乘法文字題 4.分數的除法文字題 圖 2-1-1. 國小分數學習架構. 從圖 2-1-1 的國小分數學習架構圖可以瞭解，分數課程從分數概念 14.
(27) 開始學習，以概念為基礎，進一步學習分數計算，當學童能充分掌握概 念的理解與計算的能力時，才能順利解決分數的應用問題。因此，概念 固然重要，但解題時仍需要有正確使用計算的能力才行。蔡文標（2002） 指出數學計算能力是數學最基本的能力，是學童數學成績能否提升的關 鍵；教育部（2008）指出，學童在小學畢業前，應能熟練小數與分數的 四則計算。所以分數的計算的確是國小分數學習的一大主軸，其中「同 分母分數的加減」更是分數計算中的基礎，因此，本研究希望透過同分 母分數加減之計算試題與圖形試題的施測，瞭解國小四年級學童的解題 表現。. 三、同分母分數加減之相關研究 有 學 者 認 為 發 展 良 好 的 同 分 母 分 數 演 算 技 巧 是 必 要 的 （ Kieren , 1976） ，九年一貫課程綱要中也強調熟練數學的運算或計算的重要性，並 認為其也是學童獲得新數學經驗的方法，新的經驗將會再形成學童下一 階段新主題學習所需的具體經驗（教育部，2008） 。而熟練數學的運算或 計算，係指在能夠理解數學概念或演算規則的情況下，所進行的純熟操 作。透過理解並能將觀念與計算結合的能力，才是演算能力（教育部， 2003） 。換句話說，如果學童藉由反覆練習達到精熟而非理解，便稱不上 是具備數學演算或計算的能力。國小分數計算課程中，同分母分數加減 計算是學童認為最簡單的，但其實大多學童並非理解其加減法背後的原 理，而是利用口訣「分母不變，分子相加或相減」 ，也就是「. b c bc ± ＝ 」 a a a. 來解題，多數老師在教學時也強調算則的使用而忽略了理解算則。這樣 解題方式在三年級的分數計算中，不懂其運算原因，也可以得到正確答 案，因此學童便記憶此算則來解題。但卻有許多研究指出學童對同分母 分數加減的答對率不是很理想（楊壬孝，1987，1988， 1989；Lukhele, Murray & Olivier, 1999）。推論其原因，學童因為對於同分母分數計算的 15.
(28) 理解不足，造成學習的困難，被迫依賴背誦算則來處理同分母分數加減 計算時產生的困難和錯誤也因而如滾雪球般愈滾愈大。 在探討學童分數加減解題能力之研究中發現，學童學習分數加減計 算時， 「假分數計算」是屬於較為簡單之計算類型，因此也較容易被學童 所接受、學習。並指出學童熟不熟練「帶分數與假分數互換」或「帶分 數拆解」，對於學習分數加減概 念是具有關鍵性的影響。在運算類型方 面， 「假分數＋假分數」的運算是屬於比較簡單之運算類型，而「假分數 ＋帶分數、帶分數－假分數」則是屬於較為困難的運算類型（劉韋成， 2010）。 另外，也有研究在分數加減運算學習表現與錯誤類型得到以下的結 論：學童在加減運算表現中，在分數加法中以「真分數+真分數」的題 型表現最佳，牽涉到「帶分數」的題型表現較不理想；而在減法是以「真 分數－真分數」的題型表現最佳，「不需借位」的題型表現比「需借位」 的題型較好（許正泰，2009）。 從上述文獻中，我們可以發現學童在同分母分數加減的表現會因加 減運算中的分數類型不同而有不同的解題表現，其中又以試題中出現「帶 分數」的題型或減法運算中「需要將整數部分與分數部分進行轉換」的 題型表現最為不佳。 本研究欲探討屏東縣國小四年級學童在同分母分數加減之計算試題 與圖形試題的解題表現，在計算試題方面，考量若將加法與減法試題混 合，學童可能因為錯看題目而造成失誤，因此在計算試題方面將加法試 題與減法試題分為兩欄，其運算類型包括真分數、假分數、帶分數與整 數間兩兩相加或相減；而圖形試題方面，考量若以分數符號出現，則學 童恐怕仍會以算則或口訣來解題，故圖形試題全部沒有出現分數符號， 其內容則為連續量和離散量的圖形表示分數，以「共有」表示加法， 「相 差」表示減法。. 16.
(29) 第二節. 多元文化教育的意涵. 多元文化教育辭典（Dictionary of Multicultural Education）將多元文 化教育定義如下（取自 Grant & Ladson-Billings, 1997）：「多元文化教育 起源於 1960 年代的族群研究運動，它是一種哲學概念和教育過程，概念 奠基於美國憲法和獨立宣言中自由、正義、平等、公平和人性尊嚴的哲 學理念上，一方面透過學校和其他教育機構的運作，提供學生不同群體 的歷史、文化和其貢獻，在體認社會的豐富性及多樣性的同時，更使學 生瞭解並認同自身文化，進而欣賞及尊重他人文化。另一方面則提供適 性教育及補救教學等措施，協助文化不利的學生發展積極的自我概念。 它所面對的社會議題包括了種族、族群、社會階級、性別、宗教、語言 及特殊教育等層面。」 Banks（1989）認為多元文化教育是一種教育歷程，主要為幫助不同 文化背景的學生獲得均等的教育機會，並且協助學生發展正向、積極的 跨文化態度、觀念及行為概念。Banks（1993）指出多元文化教育不僅是 一種概念（an idea of concept）、更是一種教育改革運動（an educational reformmovement）、也是一種連續的過程（a progress），詳述如下： （一）一種概念：所有的學生不論性別、階級、民族、種族或文化特質 等，在學校都享有均等的學習機會。 （二）一種教育改革運動：並非只是改變課程，而是試圖對整個學校和 教育環境進行改革，包含如教師態度期望、教學策略、學校措施、 教室氣氛、教材內容、測驗與評量等等。 （三）一種持續不斷的過程：儘管致力消除因種族主義、性別、殘障等 形式的不公平，但這些歧視和不平等仍無法完全消除。因此唯有 長期的、不斷的促進不同階層、文化和族群的機會均等與公平正 義，才能達成教育機會均等及歧視與偏見的消除的理想。. 17.
(30) Bennett（1990）認為多元文化教育不僅是一種運動、還是一種課程 設計模式，也是一種轉變過程，更是一種承諾，詳述如下： （一）一種運動：旨在促進教育機會均等和社會正義，使不同族群團體， 都能公平的接受教育。 （二）一種課程設計模式：打破為主流族群所設計的課程，將多元族群 及全球化的觀點統整於傳統課程之中，讓學童認識並瞭解現今各 族群與國家間的文化差異、歷史及貢獻。 （三）一種轉變過程：在學習的轉變歷程中，培養學童具有多元文化知 識，能接納和欣賞不同文化背景的人所具有的差異。 （四）一種承諾：透過理解和適切態度，來對抗種族主義和其他各種形 式的文化歧視與偏見。 沈六（1993）提出對多元文化教育的概念及定義有二： （一）包含各項教育概念，用於設計各項不同的學校措施、課程和教材， 以幫助學生從不同的群體去感受教育均等的理想。 （二）從教師方面定義，則在幫助教師達成他們的主要目標，促使每個 學生的知能、社會、和個人潛能都可以達到最高的發展。 林清江（1997）認為多元文化教育的目標有三： （一）讓各民族、種族、或社會團體成員，在文化適應（acculturation）、 調適（accommodation）與同化（assimilation）的過程中均能獲得 充分且平等的教育學習機會。 （二）在各民族、種族、或社會團體成員獲得充分且平等的教育學習機 會並完成學習後，能融入主文化（dominant culture）之中，且提 昇自己的社會地位。 （三）培養全民的多元文化能力（muti culture competence） ，以形成平等、 和諧的動態社會。 陳枝烈（1999）試為多元文化教育是一種排除受傳統偏見、狹隘情 感影響的教育，而能自由地去探所其他文化與遠景，更允許個人在完全 18.
(31) 意識中做抉擇。劉美慧、陳麗華（2000）認為多元文化教育希望藉由教 育的力量，肯定文化多樣性的價值，尊重文化多樣性下的人權，增加人 民選擇生活方式的可能性，進而促進社會正義與公平機會的實現。賴金 河（2012）認為狹義的多元文化教育是尊重差異的一種泛文化學習的教 育，而廣義的多元文化教育則是希望透過學校的改革，促進社會正義與 公平的一種教育方式。 綜合上述國內外學者的文獻，研究者認為多元文化教育是一種結合 理念、方法與改革的行動，在不斷的課程改革和教育環境改革過程中， 讓學童肯定自我文化背景，並學會尊重、接納和欣賞各種文化，進而打 破種族、經濟階級、地區弱勢、性別等各種既存的不當歧視與不平等， 去除弱勢族群所面臨的不利處境和壓迫，讓每一位學童有公平的學習機 會，期能達到教育機會均等的理想。. 第三節. 探討背景與學業成就之關聯性. 研究者於屏東縣任教十年的經驗中發現，學童的背景與其學業成就 表現有相當大的關聯，本節分別就族群、地區、社經地位與性別四項因 素來探討學童背景與學童學業成就之關聯性，分別敘述如下：. 一、族群方面： 臺灣是一個多元族群的社會，不同的族群會有各自不同的文化，而 族群間的文化差異或多或少影響著學童的學業成就。Clifton, Williams & Clancy（1987, 1991）發現族群是構成學業成就差異的主要來源，因此研 究者認為族群是值得探討一項重要因素。陳振新（2007）將台灣族群的 結構分為閩南、客家、外省、原住民與外籍配偶（後文中稱新住民）五 大族群，尤於閩南、客家和外省族群皆屬漢族，因此研究者將五大族群. 19.
(32) 簡化為漢族（包含閩南、客家和外省）、原住民和新住民三類。 楊肅棟（1997）以原漢族群做為分析對象，探討族群與學業成就之 間的關聯性，研究中證實省籍族群對於學業成就會有顯著的影響。陳建 志（2000）以台東縣國小五年級之原、漢族群的學生作學業成就之關聯 比較，發現族群對於學生的成就確有影響。更有研究顯示，原漢之間學 生的學業成就有明顯的差異，且原住民學業成就較低的差異，有愈來愈 多的現象（楊肅棟，2001；王天佑，2002）。李鴻章(2006)在探討原漢族 群之間對學童教育的影響時，發現漢人學童的學業成就比原住民學童高。 另外，根據教育部（2010）的統計資料中指出，外籍配偶子女就讀 國、中小學童數自 93 學年 4.6 萬人成長至 98 學年 15.5 萬人，增加 2.3 倍，由外籍配偶子女學童占該教育階段學童數比率觀察，6 年來國小由 2.17%升至 8.35%，成長幅度快速。上述數據說明了新住民在臺灣成為一 群新起的少數族群，但是文獻中對於新住民子女和漢族子女的學業成就 的比較卻有不同的看法。林璣萍（2003）的研究指出外籍配偶子女的國 語能力與本籍子女之間有明顯差距。鍾文悌（2004）研究屏東縣國小新 台灣之子的學業表現與生活適應之相關，發現新台灣之子的學業表現確 實較一般學童落後。張慧貞（2005）的研究顯示，外籍配偶子女數感測 驗得分分布較 偏向低分群 ，而非外 籍配偶子女則 偏向高分群 。蘇雅雯 （2008）則是以臺中某國小四年級學生為研究樣本，發現本國籍子女的 數學科學習成就優於新移民子女。另一方面，蕭彩琴（2005）探討台中 縣新移民女性國小低年級子女的同儕社會地位與學業成就關係，指出新 台灣之子的學業成就與一般學童沒有差異。陳湘淇（2004）以高雄市國 小一年級學童為研究對象，也發現新台灣之子與本國籍兒童在智力、語 文能力、各學習領域及整體學業成就的表現並無顯著差異。陳振新（2007） 針對台東縣不同族群學童，研究在學業成就上的差異時，發現漢族學童 與外籍配偶子女之學業成就無顯著差異，且皆顯著優於原住民學童。 從上述文獻中，我們能發現族群確實對於學童的學業成就有著相當 20.
(33) 的影響。鑑於此，我國近年來秉持著教育公平性的理念，不斷推動相關 教育活動，研究者好奇目前在漢族、原住民族與新住民間的學習成就是 否仍存在著差異，故擬利用一份試題，將屏東縣國小四年級學童分成漢 族、新住民和原住民等三個族群，探討不同族群之國小四年級學童的解 題表現是否仍有差異存在。. 二、地區方面： 在研究者的教學經驗中，曾讓班上學童回家後利用網路查詢資料， 但卻發現班上有近三成的學童家中沒有網路，甚至沒有電腦。兒童福利 聯盟的「2013 台灣偏鄉弱勢學童學習貧窮分析報告」中發現，偏鄉弱勢 學童家中的教育資源不足比例 71.5%，偏鄉弱勢學童和優勢學童也存在 明顯的數位和閱讀資源的落差，而教育資源的落差也實際反映在學童的 學習表現上。謝亞恆（2004）指出區域的差異往往是造成教育機會不均 的主要原因，也造成城鄉教育資源分配不均，導致學生學業成就有所差 異。吳裕益（1993）以臺灣地區國小學生的學業成就進行調查分析，所 得結果顯示，城鄉地區學生的學業成就確實有明顯差異，其都市化程度 愈高的地區，在學業成就上也會有較高之趨勢。還有許多研究也同樣指 出城鄉地區的學生學業成就有明顯差異，且都市化程度較高的地區，學 生學業成就較高（巫有鎰，1999；李坤榮，1990；張善楠、黃毅志，1999） 。 從上述文獻中，我們看到了所謂的「城鄉差距」 。換言之，不同地區 的學童會因為地區的差異而在學習成就上有不同的表現。政府為了改善 這些學習上的機會不均，針對偏鄉地區增加了許多的教育補助與推動相 關的教育政策。研究者好奇這些補助和措施，是否真如預期打破因「地 區」而產生的學習差異，因此研究者擬利用一份試題，探討屏東縣政府 所劃分之一般地區學校、偏遠地區學校及特殊偏遠地區學校的四年級學 童其解題表現是否仍存有差異。. 21.
(34) 三、家庭社經地位方面： 學童的學業成就與學習有關，而學童的主要學習環境有二：家庭與 學校。家庭教育影響著學童的心智發展與學習態度，當學童家庭經濟狀 況不佳時，家長勢必要付出更多的時間與精神在工作上，相對無法兼顧 學童的學業，且學童能獲得的教育資源也跟著缺乏，這也影響著學童的 學 習 與成 就 。國 內外 都 有研 究發 現學 生 家庭 社 經背 景（ socioeconomic background），是造成學業成就差異的主要原因之一（王天佑，2002；郭 丁熒，2000；Ryabov & Hook, 2007）。劉清芬（2000）認為父母的社經 地位對於孩子學業成就影響很深遠。周新富（1999）發現社經地位會直 接影響學生的學習成就，其中高社經地位學生的學習成就高於中、低社 經的學生。翟本瑞（2002）認為家庭經濟能力足夠時，便能提供學童更 多的學習資源，使學童能順利獲取更好的教育地位。賴金河（2012）指 出家庭經濟會影響學生的學業表現，而且家庭社經地位與學童學業成就 有正相關。林碧珍（2012）對 TIMSS 2007 臺灣四年級學生的數學成就 及其相關因素之探討中指出，家中學習環境較豐富的學童，學習成就較 佳。 從上述文獻中，我們可以知道家庭經濟能力不佳時，將會影響著學 童的學業成就，陳淑麗（2008）也指出貧窮的弱勢家庭常伴隨著孩子成 就低落的問題。但家庭的經濟狀況很難界定如何才是「經濟不佳」 ，因此 研究者以學童是否有呈報縣政府「無能力繳交學校營養午餐費」為界定 標準，並分成兩類：一是有能力繳交午餐費用的學童，二是無能力繳交 午餐費用的經濟弱勢學童。近年來政府針對經濟弱勢的學童投入大量補 助和許多教育資源，期能達到教育機會均等和打破因經濟弱勢而存在的 不平等，因此研究者擬以一份試題來探討不同家庭社經地位之國小四年 級學童的解題表現是否仍有差異存在。. 22.
(35) 四、性別方面： 研究者記憶中，小時候總會聽到長輩談論著「男生的理科較好，女 生的文科比較強…」諸如此類的話，當然這樣的言論夾雜著一些重男輕 女的觀念在裡面，但在研究者的求學經驗中似乎真有這麼一回事，如： 自然組的男生多於女生，社會組的女生多於男生。那麼，到底性別是否 會影響學業成就的表現呢？蔡淑鈴與瞿海源（1988）就以台大學生為分 析對象，於課堂上進行問卷調查來探討性別與教育成就的關聯性，研究 結果發現，即便控制了家庭背景因素後，女性之教育成就水準仍低於男 性。陳怡靖（2004）的研究則結果顯示高中男生的學業成績平均高於女 生。邵國志（2007）的研究中發現不同性別的五年級原住民學童，數學 學習成就之「總分」、「數方面」、「量方面」及「形方面」的表現都有顯 著的差異，且國小五年級原住民女童在數學學習成就表現上優於原住民 男童。另外有部分學者指出性別和學習成就並無關係，如張善楠、黃毅 志（1999）探討原漢族群、社區、家庭對學童教育的影響時，發現性別 與教育期望間無顯著差異；龔玉春（2003） 、謝亞恆（2004） 、蔡政賜（2006） 以國小六年級學童為研究對象，發現男、女生的數學成就無顯著差異； 林碧珍（2012）針對 TIMSS 2007 的測驗結果作分析，發現我國和國際 的四年級男女童在數學成就表現皆無性別上的顯著性差異。 在上述文獻中，可以發現學者對於「性別」是否會影響學習成就的 看法並不一致，故本研究擬利用一份試題，針對性別此一背景因素，比 較不同性別之四年級學童的學習成就是否存有顯著差異。. 23.
(36) 24.
(37) 第三章 研究方法 本研究擬設計一份「同分母分數加減之計算試題與圖形試題」 ，以屏 東縣國小四年級學童為研究樣本進行施測。藉由學童在同分母分數加減 之計算試題與圖形試題的答題結果，瞭解學童在計算試題與圖形試題的 解題表現，並進一步探討在不同族群、地區、社經地位及性別四項因素 下，學童的解題表現是否有差異情形。 本章共分為六節。第一節為研究設計與架構，第二節為研究假設， 第三節為研究對象，第四節為研究工具，第五節為資料處理與分析，第 六節為研究步驟。茲詳述如下︰. 第一節. 研究設計與架構. 本研究採調查研究法，藉由紙筆測驗，以屏東縣為例，旨在探討國 小四年級學童在同分母分數加減之計算試題與圖形試題的解題表現，並 進一步探討學童在不同族群、地區、社經地位及性別因素下的解題表現 是否有差異情形存在。 本研究的施測試題以同分母分數的加減為主題，分成「計算試題」 與「圖形試題」兩部分。計算試題中包含真分數、假分數、帶分數、整 數間兩兩相加 和相減；圖 形試題則 對應同分母分 數加減 計算 試題而設 計。根據施測結果，探討四年級學童在同分母分數加減之計算試題與圖 形試題的解題表現，進一步分析在不同族群、地區、社經地位、性別的 因素中，學童在同分母分數加減計算試題與圖形試題的解題表現。根據 研究目的，本研究設計架構如圖 3-1-1 所示。. 25.
(38) 研究對象背景： 1.族群. 屏東縣國小四年級學童在同分母分數加減解題表現之研究 計算部分. 圖形表徵部分. 2.地區. 1.同分母分數加法計算試題. 1.同分母分數加法圖形表徵試題. 3.家庭社經地位. 2.同分母分數減法計算試題. 2.同分母分數減法圖形表徵試題. 4.性別. 目的 1.探討國小四年級學童在計算試題和圖形表徵試題解決同分母分數加減之解題情形。 2.探討不同族群、地區、家庭社經地位及性別之國小 四年級學童在計算試題和圖形試 題來解決同分母分數加減之差異情形。. 應用 作為教師教學上之參考或改進教學策略的依據。. 圖 3-1-1. 研究設計架構圖. 26.
(39) 第二節. 研究假設. 本節針對研究問題二、三、四、五，採用獨立樣本單因子多變量變 異數分析統計方法，分別就族群、地區、家庭社經地位及性別四項不同 自變項，探討在同分母分數加減之計算試題與圖形試題的解題表現是否 存在顯著差異。本研究提出了下列的研究假設： 假設一：不同族群之國小四年級學童在同分母分數加減之計算試題與圖 形試題的解題表現沒有顯著差異。 假設二：不同地區之國小四年級學童在同分母分數加減之計算試題與圖 形試題的解題表現沒有顯著差異。 假設三：不同家庭社經地位之國小四年級學童在同分母分數加減之計算 試題與圖形試題的解題表現沒有顯著差異。 假設四：不同性別之國小四年級學童在同分母分數加減之計算試題與圖 形試題的解題表現沒有顯著差異。. 第三節. 研究對象. 本研究旨在探討屏東縣四年級學童在同分母分數加減之計算試題與 圖形試題的解題表現，與在族群、地區、社經地位及性別等不同的文化 背景因素下，學童的解題表現及差異情形。以下分別依預試樣本、正式 施測樣本等兩部份做更詳細的說明：. 一、預試樣本 本研究筆試測驗工具共進行兩次預試，第一次預試樣本為屏東縣某 國小四年級某班，並由該班導師挑選六名學童進行預試，其中包含數學 程度優秀學童兩名，數學程度普通學童兩名，數學程度不佳學童兩名。 27.
(40) 目的在瞭解：1.試題題意是否能清楚呈現、2.學童作答所需時間及 3.筆 試實際施測情形，以作為測驗工具調整修改之依據。第一次預試中，多 數學童皆能在 40 分鐘內完成施測，故將正試施測時間訂為 40 分鐘內完 成。 第二次預試樣本探方便取樣，從屏東縣挑選 4 個四年級班級學童進 行預試，其中包含一般地區 2 個班級共 53 人，偏遠地區 2 個班級共 49 人，共計 102 位學童進行紙筆預試，目的為確立本研究施測試題的可行 性。預試結束後，統計學童答題結果並進行信度評估。第二次預試人數 統計的情形見表 3-2-1。. 表 3-2-1. 第二次預試人數統計表. 學校分類. 抽樣班級數（班）. 抽樣數（人）. 一般地區. 2. 53. 偏遠地區. 2. 49. 合計. 4. 102. 二、正式施測樣本 本研究基於研究目的，正式研究樣本以屏東縣四年級學童為施測對 象。依據屏東縣政府教育處全球資訊網之公告，屏東縣 101 學年度國小 四 年 級 學 童 共 計 7820 位 （ 取 自 屏 東 縣 政 府 教 育 處 全 球 資 訊 網 ， http://www.ptc.edu.tw/ptc_files/files_view/3f56ac84852b8dec8d8266c0072 311de）。根據相關研究，Creswell 提出調查研究取樣至少要 350 人； Lodico, Spaulding, & Voegtle（2006）認為調查樣本人數 5000 人或以上 的大母群體時，樣本數在 350~500 人即可（引自王文科、王智弘，2008） ； Anderson 提出當母群體人數在 5000～10000 人時，在 5%可接受的誤差 範圍內，最少的樣本數需為 356 人（Verma, 1999）。本研究若同時兼顧 族群、地區、家庭社經地位與性別四項因素進行比例原則抽樣，則抽樣 28.
(41) 過程將會很繁複且樣本數將會非常龐大。礙於人力、物力的限制與考量， 本研究抽樣並沒有兼顧四項因素採用比例原則來抽樣，而是採用分層叢 集抽樣，先依據屏東縣教育處公告之學校屬性區分為一般地區、偏遠地 區及特殊偏遠地區，再從其中各區選取 2~3 所學校，每校再選取 1~3 個 四年級班級進行施測，預計每地區平均選取 120~130 人。 施測完後依據施測班級導師填寫之學童資料表將學童依照族群、地 區、社經地位與性別四項因素進行分類探討。由於一般地區原住民學童 數較少且無原住民學校，因此原住民學童從偏遠地區與特偏地區進行抽 樣。共選取 393 人，其中一般地區 131(含 1 無效樣本)人、偏遠地區 129(含 3 無效樣本)人、特殊偏遠地區 133(含 6 無效樣本)人。經過施測後，扣 除無效樣本 10 人後，剩餘有效樣本 383 人，作為本次正式施測之研究對 象。整理所抽樣之學童人數如表 3-2-2： 表 3-2-2. 屏東縣四年級學童有效抽樣人數一覽表 族群. (漢族、新住民、原住民) 學童數 學校. 班級數. 學校屬性. 一般地區. 偏遠地區. 漢. 新. 原. 總計. A校. 2. 44. 4. 2. 50. B校. 2. 45. 8. 5. 58. C校. 1. 18. 4. 0. 22. D校. 3. 52. 10. 11. 73. E校. 1. 0. 1. 10. 11. F校. 1. 0. 0. 12. 12. G校. 1. 0. 0. 21. 21. H校. 1. 0. 0. 9. 9. I校. 2. 39. 6. 1. 46. J校. 1. 17. 8. 1. 26. 特偏地區. 130. 126. 127. 29.
(42) 總計. K校. 2. 30. 8. 5. 43. L 校. 1. 0. 0. 12. 12. 10. 18. 245. 49. 89. 383. 三、研究樣本之基本資料描述 本研究共收回施測試卷 393 份，剔除無效的空白試卷 10 份，共計有 效試卷為 383 份。分別依族群、地區、社經地位與性別四個因素，敘述 樣本的人數分布： （一）族群：以族群為分類變項，區分成漢族、新住民以及原住民，各 族群人數詳述如表 3-2-3。. 表 3-2-3. 屏東縣四年級學童正式施測試卷回收-族群人數一覽表. 族群. 漢族. 新住民. 原住民. 合計. 人數. 245. 49. 89. 383（人）. （二）地區：依據屏東縣教育處公告之學校屬性區分為分類變項，分成 一般地區、偏遠地區以及特偏地區，各地區人數詳述如表 3-2-4。 表 3-2-4. 屏東縣四年級學童正式施測試卷回收-地區人數一覽表. 地區. 一般. 偏遠. 特偏. 合計. 人數. 129. 126. 128. 383（人）. （三）社經地位：以學童是否有呈報屏東縣政府「無能力繳交學校營養 午餐費」為界定標準分成兩類：一是有能力繳交午餐費用的學童， 在本研究中稱「非低社經地位學童」 ；二是無能力繳交午餐費用的 經濟弱勢學童，在本研究中稱「低社經地位學童」 。各類人數詳如. 30.
(43) 表 3-2-5。 表 3-2-5. 屏東縣四年級學童正式施測試卷回收-社經地位人數一覽表. 社經地位. 低. 非低. 合計. 人數. 129. 254. 383（人）. （四）性別：以社經地位為分類變項，分成男童、女童兩個性別，各性 別人數詳述如表 3-2-6。 表 3-2-6. 屏東縣四年級學童正式施測試卷回收-性別人數一覽表. 性別. 男童. 女童. 合計. 人數. 221. 162. 383（人）. 31.
(44) 第四節. 研究工具. 本研究先透過施測班級導師填寫問卷（附錄一）獲得施測樣本的基 本資料，再藉由紙筆測驗工具來蒐集學童的解題表現，茲針對其內容分 述如下：. 一、紙筆測驗工具的發展 （一）試題的編製與內容 本研究之研究工具為自編之筆試測驗，研究者針對研究問題，根據 九年一貫數學領域課程綱要、相關文獻與不同版本之國小四年級數學課 本內容所設計。研究者希望能透過學童在紙筆測驗的解題表現，來瞭解 國小四年級學童在同分母分數加減法運算的計算部分和圖形部分的解題 表現是否一致，所以試題的內容與設計以計算題和與其相對應的圖形題 呈現。 本研究編製之試題內容包含同分母分數的加減運算和與其相對應的 圖形題兩部分。在計算試題部分，同分母分數的類型則為真分數、假分 數與帶分數，其中帶分數包含整數；而運算類型分成同分母分數的加法 與減法兩部分。在同分母分數的減法計算試題中，減數可以是真分數、 假分數、帶分數與整數，而減數則會因被減數的分數類形而受到侷限。 故同分母分數減法試題為「真分數－真分數」、「假分數－真分數」、「假 分數－假分數」、「假分數－帶分數」、「假分數－整數」、「帶分數－真分 數」（不需要將整數部分與分數部分進行轉換）、「帶分數－真分數」（需 要將整數部分與分數部分進行轉換）、「帶分數－假分數」、「帶分數－帶 分數」 （不需要將整數部分與分數部分進行轉換） 、 「帶分數－帶分數」 （需 要 將 整數部分與分數部分進行轉換 ）、「帶分數－整數」、「整數－真分 數」、「整數－假分數」、「整數－帶分數」共 14 道試題。. 32.
(45) 在同分母分數的加法運算中，被加數與加數皆可以是真分數、假分 數、帶分數與整數，扣除因加法具有交換律性質而重覆和「整數＋整數」 的題型，同分母分數加法計算試題為「真分數＋真分數」、「真分數＋假 分數」 、 「真分數＋帶分數」 （ 不需要將整數部分與分數部分進行轉換） 、 「真 分數＋帶分數」（需要將整數部分與分數部分進行轉換）、「真分數＋整 數」、「假分數＋假分數」、「假分數＋帶分數」、「假分數＋整數」、「帶分 數＋帶分數」 （不需要將整數部分與分數部分進行轉換） 、 「帶分數＋帶分 數」（需要將整數部分與分數部分進行轉換）、「帶分數＋整數」11 道試 題，研究者為了能與分數減法題型相呼應而又增加「整數＋假分數」與 「整數＋帶分數」2 道試題，共 13 道試題。 在圖形 試題方 面，雖 然試 題的 呈現較 少出現 於學童 平時 測驗練習 中，但是在進行分數的教學時，教師在課堂中幾乎都會利用連續量圖形、 離散量圖形或 具體操作物 進行教學 ，目的為易於 使學童理解 並學習分 數，所以學童對於利用此類圖形來表達分數符號的方式應該相當熟悉。 為了瞭解四年級學童是否理解同分母分數加減計算的原理，研究者利用 連續量與離散量的圖形呈現出計算試題中的加法與減法共 27 道試題。 另外，四年級的分數課程中不止導入了假分數與帶分數的概念，在 計算方面也增加了「假分數與帶分數間的轉換」和「整數與分數的轉換」 。 此時，學童對於分數的認知「. 中的 b 份」也應提升到「. 就是. b 就是將 1 個整體先平分成 a 份，再取其 a. 1 1 b 就是 b 個 」的模式，並能逆向思考「b 個 a a a. b 」 。本研究為避免學童因為數值過大而造成計算時的錯誤，因此本 a. 研究工具中的數值設計不大，期能藉此研究工具調查四年級學童在同分 母分數加減的學習情形。根據上述同分母分數加減的計算試題設計與相 對應的圖形試題，本研究之筆試測驗試題之內容分析如表 3-3-1： 33.
(46) 表 3-3-1. 國小四年級學童「同分母分數加減運算測驗」試題內容分析表. 同分母分數加法試題. 同分母分數減法試題. 真 假 帶 整 分 分 分 數 數 數 數 與 分 數 轉 換. 對應加減法的圖形試題. 真 假 帶 整 分 分 分 數 數 數 數 與 分 數 轉 換. 圖 形 表 示. 表示一個披薩平分成三等份，請. 1. . 3. 2. 2. ˇ. 3. －. 3. 1. 問塗色部分『. ˇ. 3. 』和『. 1 共有（ ○. ）個披薩；. 2 相差（ ○. ）個披薩。. 』. 表示表示一個披薩平分成四等 份，請問塗色部分『. 2 4. . 5. ˇ. 5. ˇ. 4. －. 4. 2. ˇ. ˇ. 『. 4. 』和. 』. 1 共有（ ○. ）個披薩；. 2 相差（ ○. ）個披薩。. 表示表示一個披薩平分成五等 份，請問塗色部分『. 1. 2. 5. 3. ˇ. 3. ˇ. 1. 2 － 5 5. 5. ˇ. ˇ. 』和『. 』 1 共有（ ○. ）個披薩；. 2 相差（ ○. ）個披薩。. 表示表示一個披薩平分成六等 份，請問塗色部分『. 4. 3. 6. 3 7. 2. ˇ. ˇ. 6. 4. ˇ. ˇ. ˇ. 2. 4. 3 － 6 6. 4－. 3 7. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. 和『. 』. 1 共有（ ○. ）個披薩；. 2 相差（ ○. ）個披薩。. 表示一盒積木有七塊，請問塗 色部色『. 34. 』. 』和.
(47) 『. 』. 1 共有（ ○. ）盒積木；. 2 相差（ ○. ）盒積木。. 表示表示一個披薩平分成八等 份，請問塗色部分 『. 10. . 8. 9. 10. ˇ. －. 8. 8. 9. 』和. ˇ. 8. 『 』 1 共有（ ○. ）個披薩；. 2 相差（ ○. ）個披薩。. 表示一袋鈕扣有九顆，請問塗色 部色. 11. 1. 9. 1. ˇ. ˇ. ˇ. 9. 11. －1. 9. 1. ˇ. ˇ. ˇ. 『. 9. 』和『. 』. 1 共有（ ○. ）袋鈕扣；. 2 相差（ ○. ）袋鈕扣。. 表示表示一個披薩平分成十等 份，請問塗色部分. 12. 1. ˇ. ˇ. 10. 2. 2 11. ˇ. 12. ˇ. －1. ˇ. ˇ. 『. 10. 3. 3 11. 3 ˇ. 3 11. 』和『. －2. 1 共有（ ○. ）個披薩；. 2 相差（ ○. ）個披薩。. 表示一盒燈泡有十一顆，請問塗. 2 11. 』. ˇ. 35. 色部色『. 』和. 『. 』.
(48) 1 共有（ ○. ）盒燈泡；. 2 相差（ ○. ）盒燈泡。. 表示一個披薩平分成十二等 份，請問塗色部分『. 1. 9. 3. 12. 5. 3. 12. ˇ. 5. －1. 12. ˇ. 9 12. ˇ. 』. ˇ 和『. 』. 1 共有（ ○. ）個披薩；. 2 相差（ ○. ）個披薩。. 表示一籃蘋果有十三個，請 問塗色部色. 3. 3. 2. ˇ. 3. 13. 3. 『. ˇ. －2. 13. 』和『 1 共有（ ○. ）籃蘋果；. 2 相差（ ○. ）籃蘋果。. 』. 表示一盒積木有七塊，請問塗 色部色『. 3. 9. ˇ. ˇ. 7. ˇ. 3. 9. ˇ. ˇ. ˇ. 』和. 『. 7. 』 1 共有（ ○. ）盒積木；. 2 相差（ ○. ）盒積木。. 表示一盒積木有七塊，請問塗. 31. 3 7. ˇ. 31. 3. ˇ. 7. 36. ˇ. 色部色『. 』和. 『. 』. 1 共有（ ○. ）盒積木；. 2 相差（ ○. ）盒積木。.
(49) 表示一袋鈕扣有九顆，請問塗色. 1 10 2 － 9 9. 部色『 ˇ. ˇ. ˇ. 』和. 『 』 1 相差（ ○. ）袋鈕扣。. （二）兩次預試後的修正 研究者為求本研究之筆試測驗工具能符合國小四年級學童的數學能 力，於預試施測前委請屏東教育大學數理教育研究所的教授、四位有數 學教育背景的現職國小教師和三位現職國小四年級教師進行審題，並作 出以下修正：第一、為避免學童混淆同分母分數計算題中加法或減法的 運算符號，故將計算題中加法試題及減法試題分成兩個大題。第二、運 算數字太大容易造成學童在圖形測驗試題中數錯，故將原題目中的數字 進行適當修改。第三、為能讓計算試題與圖形試題能相互應，故在加法 計算試題中增加「整數＋假分數」與「帶分數＋假分數」兩道試題。待 試題修正完後，再以此測驗工具進行第一次預試（試卷於附錄二）。 第一次預試施測目的主要是瞭解學童作答所需時間、試題題意是否 能清楚呈現及筆試實際施測情形。研究者在班級中挑選數學程度優秀、 普通及不佳學童各兩名，共計六名學童進行預試。研究者根據第一次預 試結果，做出下列修正：首先是大部分學童皆能在 35 分鐘內完成，故施 測時間訂為 40 分鐘；其次，為能讓學童更瞭解圖形試題的題意，故在圖 形試題前增加例題說明「」 ；最後則是將圖形試題第 5 題的「五等份」修 正為「六等份」。修正完後即成為第二次預試試題（試卷於附錄三）。 第二次預試施測目的是為了瞭解筆試測驗工具之可行性，並分析預 試試卷之難度與鑑別度。研究者採方便取樣，從屏東縣挑選 4 個四年級 班級學童進行預試，共計 102 位學童進行紙筆預試，第二次預試結果詳 述如表 3-3-2： 37.
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