1-3 多項式的乘法與除法
※多項式的乘法
(1)單項式相乘：將係數相乘，文字符號也相乘，相同的文字以乘方表示。
(2)運用分配律展開：( a＋b ) ( c＋d )＝ac＋ad＋bc＋bd。
隨堂練習--- 1. 計算下列各式：
(1) x3×x2= x 5 。 (2) x3÷x2= x 。
2. (1) 長為 x＋3、寬為 x＋2 的長方形，其面積為 ( x ＋ 3 ) ( x ＋ 2 ) 。
(2) 將右圖分成四個小長方形甲、乙、丙、丁，
則這四塊面積的總和為 x 2 ＋ 5 x ＋ 6 。
--- 隨堂練習--- 計算下列各式：
(1) ( 2x2＋4x－1 )×7＝___________________原式＝14x2＋28x－7 (2) (－3 )×( x3＋2x2－1 ) ＝___________________ 原式＝－3x3－6x2＋3 (3) (－4x )×2x2＝___________________原式＝－8x3
(4) (－5x )×(－x2 ) ＝___________________原式＝5x3 (5) (－4x )2＝___________________原式＝16x2
---
例題1--- 計算下列各式：
(1) 6x×( 2x＋7 ) (2)( 4x－1 )×(－x2 )
--- 12x2＋42x －4x3＋x2
隨堂練習--- 計算下列各式：
(1) －x×( x＋3 ) (2) ( 2x－1 )×x2 (3) 2x×( 3x2－x＋1 )
--- 原式＝－x2－3x 原式＝2x3－x2 原式＝6x3－2x2＋2x
甲
丙 丁
乙 3
x x
2
例題2--- 計算下列各式：
(1) ( x－5 ) ( x－6 ) (2) ( 3x＋1 ) ( 2x－5 )
--- 6x2＋2x－4 3x2＋9x
隨堂練習--- (1) ( x＋4 ) ( x＋3 ) (2) ( x＋2 ) ( x－11 )
(3) ( x＋6 ) ( 2x－1 ) (4) ( 2x－3 ) ( 5x－1 )
--- 5 x2＋7x＋12 x2－9x－22
2x2＋11x－6 10x2－17x＋3
※多項式的乘法 (1)橫式計算
(2)直式計算：先將多項式按降冪排列，對齊同類項後再做運算。
(3)分離係數法：將直式中的文字符號 x 略去不寫，只寫出其各項係數，遇 缺項 補 0 。
例題3--- 用直式計算下列各式：
(1) ( 2x＋1 ) ( 5x－2 ) (2) ( 3x－5 ) ( x＋4 )
--- 4x2＋8x＋1 x3＋2x2－x－7
隨堂練習--- 用直式計算下列各式：
(1) ( 2x－5 ) ( 3x－1 ) (2) ( 4x＋1 ) (－2x＋1 )
--- 6x2－17x＋5 －8x2＋2x＋1
例題4--- 用直式計算 (－x2＋x＋2 ) ( x－3 )。
---
－x3＋4x2－x－6
隨堂練習--- 用直式計算下列各式：
(1) ( x2－x＋5 ) (－2x＋3 ) (2) ( 3x－1 ) ( 2x2＋3x＋1 )
---
－2x3＋5x2－13x＋15 6x3＋7x2－1
例題5 多項式的乘法－降冪排列--- 計算 ( 3x＋4 ) ( 3x－x2－4 )。
---
－3x3＋5x2－16
隨堂練習--- (1) ( 1＋2x ) ( x2－2x＋3 ) (2) ( 2－3x－4x2 ) ( 1＋2x )
--- 2x3－3x2＋4x＋3 －8x3－10x2＋ x＋2
例題6 分離係數法－遇缺項補 0--- 計算 ( 5x2＋3 ) ( 3x－4 )。
--- 15x3－20x2＋9x－12
※多項式乘法運算後的次數
(1) 二次式與一次式相乘後的結果是______次式
(2) m 次式與 n 次式相乘後的結果是____________次式
例題7--- 利用乘法公式計算下列各式：
(1) ( 5x＋3 )2 (2) ( 4x－7 )2 (3) ( x2＋5 ) ( x2－5 )
--- 25x2＋30x＋9 16x2－56x＋49 x4－25
隨堂練習--- 利用乘法公式計算下列各式：
(1) ( 6x＋5 )2 (2) ( 2x－10 )2
(3) ( 4x－3 ) ( 4x＋3 ) (4) ( x2＋1 )2
--- 36x2＋60x＋25 4x2－40x＋100 16x2－9 x4＋2x2＋1
例題8--- 應用問題
右圖是一個長為3x－2、寬為 2x＋1 的長方形，其內部有一個邊長為 x＋1 的正方形，求紫
色部分的面積。( 以 x 的多項式表示 )
---
5x2－3x－3 3x－2
2x＋1 x＋1
x＋1
隨堂練習---
右圖是一個邊長為3x－4 的正方形，其內部有一個長為 2x－3、寬為 x－1 的長方形，求藍色
部分的面積。( 以 x 的多項式表示 )
--- 藍色部分的面積
＝正方形面積－長方形面積
＝( 3x－4 )2－( 2x－3 ) ( x－1 )
＝〔( 3x )2－2×3x×4＋42〕－( 2x×x－2x×1－3×x＋3×1 )
＝( 9x2－24x＋16 )－( 2x2－5x＋3 )
＝9x2－24x＋16－2x2＋5x－3
＝7x2－19x＋13
多項式的除法 (1) 單項式相除
(2) 長除法與分離係數法
隨堂練習--- (1) 12x2÷3x (2) 6x÷2x (3) 12x3÷(－3x2 ) (4) x2÷2x
---
隨堂練習--- 求 ( 9x2－12x )÷3x 的商式與餘式。
---
例題9--- 求 (－6x2＋9x＋3 )÷3x 的商式與餘式。
---
隨堂練習--- 求 ( 12x2－6x＋8 )÷(－2x ) 的商式與餘式。
--- 3x－4
3x－4 2x－3
x－1
例題10--- 求 ( 6x2＋7x－1 )÷( 2x－1 ) 的商式與餘式。
--- 商式為3x＋5，餘式為 4。
隨堂練習--- 求下列各題的商式與餘式：
(1) ( 3x2＋7x－1 )÷( 3x＋1 ) (2) ( 6x2－13x－5 )÷( 2x－5 )
--- 商式為x＋2，餘式為－3 商式為 3x＋1，餘式為 0
例題11 降冪方式排列--- 求 ( 8x2＋7x－6x3－1 )÷( 3x－1 ) 的商式與餘式。
--- 商式為－2x2＋2x＋3，餘式為 2
隨堂練習--- 求下列各題的商式與餘式：
(1) ( x3＋5x－2x2－1 )÷( x＋1 ) (2) ( 3－4x＋7x2＋2x3 )÷( 3＋2x )
--- 商式為x2－3x＋8，餘式為－9 商式為 x2＋2x－5，餘式為 18
例題12 多項式除法－遇缺項補 0--- 求 ( 2x3＋8x2－3x＋1 )÷( 2x2－1 ) 的商式與餘式。
--- 商式為x＋4，餘式為－2x＋5。
隨堂練習--- 求下列各題的商式與餘式：
(1) ( x3－4x2＋5x )÷(－x＋2 ) (2) (－2x3－5x＋3 )÷( 1＋2x＋2x2 )
--- 商式為－x2＋2x－1，餘式為 2 商式為－x＋1，餘式為－6x＋2
例題13 多項式除法--- 求 ( x2＋2x＋3 )÷( 2x－1 ) 的商式與餘式。
--- 商式為x＋，餘式為。
隨堂練習--- 求 ( x2－x－1 )÷( 3x＋1 ) 的商式與餘式。
--- 商式為x－，餘式為－
※除式定理
被除式＝ 除式 × 商式 ＋ 餘式
例題1 ４---
若一多項式除以x2＋3 得商式為 2x－1，餘式為 2x＋3，試問該多項式為何？
--- 2x3－x2＋8x
隨堂練習---
若一多項式除以x2－2x 得商式為 x＋1，餘式為 x－5，試問該多項式為何？
--- x3－x2－x－5
自我評量
計算下列各式： ( 每小題 15 分 ) (1) ( 3x2－5x－1 ) (－x ) (2) ( 7x－1 ) ( 3－2x )
－3x3＋5x2＋x －14x2＋23x－3
(3) ( x－2x2 ) ( x－5 ) (4) ( 2x－7 ) ( 2x＋7 ) －2x3＋11x2－5x 4x2－49
求下列各題的商式與餘式：
(1) ( 2x－8＋x2 )÷( x－2 ) (2) ( 4x3－2x )÷( 2x＋1 )
若一多項式除以 3x－4 得商式為 x－3，餘式為 6，試問該多項式為何？
該多項式＝( 3x－4 ) ( x－3 )＋6 ( 10 分 )
＝3x×x－3x×3－4×x＋4×3＋6 ＝3x2－9x－4x＋12＋6
＝3x2－13x＋18
商式為 2x2－x－
餘式為
乘法速算法
十位數字相同，個位數字和為10 的二位數乘法。步驟如下：
1. 先將「十位數字」乘以「十位數字加 1」得到一數。
2. 再將原本兩數的個位數字相乘得到另一數。
3. 將 1. 計算所得的數乘上 100 後，再加上 2. 計算所得的數即為所求。
例題--- 15 × 15 ＝
25 × 25 ＝ 35 × 35 ＝ 45 × 45 ＝ 55 × 55 ＝ 65 × 65 ＝ 75 × 75 ＝ 85 × 85 ＝ 95 × 95 ＝
---
隋堂練習--- 73 × 77 ＝
34 × 36 ＝ 89 × 81 ＝ 54 × 56 ＝ 48 × 42 ＝ 93 × 97 ＝
--- 例題--- 試展開( 10x＋a ) ( 10x＋b )式子，其中 a＋b＝10
--- ( 10x＋a ) ( 10x＋b )＝100x2＋10x×b＋a×10x＋a×b
＝100x2＋10x ( a＋b )＋ab ＝100x2＋10x×10＋ab ＝100x2＋100x＋ab ＝100x ( x＋1 )＋ab
隋堂練習--- 104 × 106 ＝
101 × 109 ＝
--- 兩數的個位數字和
a＋b＝10
【延伸題】
1. 計算下列各式：
(1) ( 3x－4 ) × ( －x ) 解 ▼ －3x2＋4x。
(2) 3x × ( x2－x＋3 ) 解 ▼ 3x3－3x2＋9x。
(3) ( 3－x＋2x2 ) × ( －2x ) 解 ▼ －4x3＋2x2－6x。
2. 計算 6x × ( －3x )3 × ( －x2 )。解 ▼ 126x6。
3. 計算下列各式：
(1) ( 3x－4 ) ( x＋6 ) 解 ▼ 3x2＋14x－24。
(2) ( x－4 ) ( －x－6 ) 解 ▼ －x2－2x＋24。
(3) ( 2x－1 ) ( 3x－1 ) 解 ▼ 6x2－5x＋1。
(4) ( 6－x ) ( 3＋5x )--- 解 ▼ －5x2＋27x＋18。
4. 已知 ( ax＋1 ) ( 3x－2 )＝6x2＋bx＋c，求 a、b、c 三數的值。
解 ▼ a＝2，b＝－1，c＝－2。
5. 計算下列各式：
(1) ( 3x－1) ( 4x＋1 ) 解 ▼ 12x2－x－1。
(2) ( 6－5x ) ( x－3 ) 解 ▼ －5x2＋21x－18。
6. 計算下列各式：
(1) ( x2－3x－4 ) ( x＋1 ) 解 ▼ x3－2x2－7x－4。
(2) ( －x＋2 ) ( x2－x＋6 ) 解 ▼ －x3＋3x2－8x＋12。
7.展開( －2x2＋3x－7 ) ( 5x－4 )後，x2項係數是多少？解 ▼ 23。
8. 計算下列各式：(1) ( 3－x＋2x2 ) ( 2x＋3 ) (2) ( 3－x ) ( 4x－x2＋7 ) 解 ▼ 4x3＋4x2＋3x＋9。
解 ▼ x3－7x2＋5x＋21。
9. 若 x2＋5x－6＝0，則 ( x＋2 ) ( x＋3 )＝？解 ▼ 12。
10. 計算下列各式：
(1) ( 4－x2 ) ( x＋2 ) 解 ▼ －x3－2x2＋4x＋8。
(2) ( 2x－5x2 ) ( x＋1 )---解 ▼ －5x3－3x2＋2x。
11. 利用乘法公式計算下列各式：
(1) ( x＋1 )2 解 ▼ x2＋2x＋1。
(2) ( 1－x )2 解 ▼ x2－2x＋1。
(3) ( x2＋1 ) ( 1－x2 ) 解 ▼ 1－x4。
12. 計算下列各式：
(1) ( －3x2＋1 )2 解 ▼ 9x4－6x2＋1。
(2) ( －x2－5 )2 解 ▼ x4＋10x2＋25。
13.右圖是一個邊長為 3x＋8 的大正方形，其內部是一個邊長為 3x＋2 的正方形，求紫色部分 面積。
解 ▼ ( 3x＋8 )2－( 3x＋2 )2＝〔( 3x＋8 )＋( 3x＋2 )〕〔( 3x＋8 )－( 3x＋2 )〕
＝( 6x＋10 ) × 6 ＝36x＋60
14. 計算下列各式：
(1) y5 ÷ ( －y ) (2)－8y3 ÷ 2y (3)12y7 ÷ 27y3 (4)－y3 ÷ 10y
解 ▼ －y4。 解 ▼ －4y2。 解 ▼ y4。---解 ▼ －y2。
15. 求下列各題的商式與餘式：
(1) ( x2－2x )÷( －x ) 解 ▼ 商式為－x＋2，餘式為 0。
(2) ( 3x2－6x＋9 )÷3x 解 ▼ 商式為 x－2，餘式為 9。
(3) ( －4x2＋12x－3 )÷( －4x )---解 ▼ 商式為 x－3，餘式為－3。
16. 求下列各題的商式與餘式：
(1) ( x2－2x－3 )÷( x＋1 ) 解 ▼ 商式為 x－3，餘式為 0。
(2) ( 3x2－7x＋9 )÷( 3x－1 ) 解 ▼ 商式為 x－2，餘式為 7。
(3) ( －4x2＋12x－3 )÷( －2x＋3 )---解 ▼ 商式為 2x－3，餘式為 6。
17. 求下列各題的商式與餘式：
(1) ( 3x3＋6＋x2－5x )÷(－x＋1 ) 解 ▼ 商式為－3x2－4x＋1，餘式為 5。
(2) ( 4x3＋6x2－12x＋3 )÷( 3－2x ) 解 ▼ 商式為－2x2－6x－3，餘式為 12。
(3) ( 1＋5x－2x2＋6x3 )÷( 2＋3x )--- 解 ▼ 商式為 2x2－2x＋3，餘式為－5。
18. 求下列各題的商式與餘式：
(1) ( 7－4x＋x2 )÷3x 解 ▼ 商式為 x－，餘式為 7。
(2) ( 4x2＋3x－8 )÷( 2x－1 ) ---解 ▼ 商式為 2x＋，餘式為－。
19. 多項式 ax2＋bx＋c 除以 5x－3 得商式為－7x＋9，餘式為 6，試問該多項式為何？
解 ▼ －35x2＋66x－21。
20. 已知 A 為 x 的多項式，且＝x－2＋，求多項式 A。
解 ▼ 3x－1。
