大學入學考試中心 指定科目考試參考試卷

1

大學入學考試中心 指定科目考試參考試卷

數學甲參考答案

選擇（填）題：

題號 答案

1 5

2 4

3 3

4 2

5 3

6 1,2,3,5

7 2,5

8 2,3

9 1,3,4,5

A

10 1

11 －

12 2

13 3

B

14 7

15 0

2

非選擇題：

第一大題 (1) 【解法一】

因 f x( )是一個三次多項式函數， f x( )必為二次多項式函數 由條件(i)可設 f x( )kx x( 2)，其中k 0

(0), (2)

f f 分別為極大與極小值，且反曲點的橫坐標為x 1

（極值發生處 0 與 2 的平均，或 f( )x k(2x2)0的解）

由條件(ii)知 f (1) 3，推得k 3，故 f x( )3 (x x2)

【解法二】

設 f x( )ax³bx²  ，微分得cx d f x( )3ax²2bx c 由題設知 f (0)0，得c 0，且 f (2)0，可得3a b 0

( ) 6 2

f x  ax b，得反曲點之x坐標為

3 x b

  a 由條件(ii)知 ( ) 3

3 f b

  a   ，故得

2 2

2 3

3 3

b b

a a    （亦即c ² 3 3 b

 a   ）

解 ²

3 0

3 3 a b

b a

  



  

 得a 1、b  3，故 f x( )3x²6x (2) 【解法一】

由(1)得 f x( )x³3x² ，其中k k為一常數，

由題設條件 ²

0 f x dx ( ) 0



即

2 2

3 2 4 3

0 0

( 3 ) 1 4 8 2 0

x  x k dx 4x  x kx    k



故 f x( )x³3x² 2

【解法二】

由(1)得 f x( )x³3x² ,其中k k為一常數 由題設條件 ²

0 f x dx ( ) 0



3

第二大題

(1) 由題設

1

1

3 1

2 2

1 3

2 2

n n n

n n n

a a b

b a b





  



  



，可推得 ¹

1

3 1

2 2

1 3

2 2

n n

n n

a a

b b





 

  

   

    

   

 

 

。

故

3 1

2 2

1 3

2 2 A

 

  

 

 

 

 

。

(2)

3 1

cos 30 sin 30 1 0

2 2

sin 30 cos 30 0 1

1 3

2 2

n

n

An

 

        

 

      

 

 

即 cos(30 ) sin(30 ) 1 0 sin(30 ) cos(30 ) 0 1

n n

n n

  

   

     

   ，利用旋轉矩陣的概念，得n 12

(3) 由於 ¹

1

n n

n n

a a

b A b





   

   

   ，

得 ^{100 99 1 3 1 1 1}

100 1 1 1 1

cos 90 sin 90 0 1 sin 90 cos 90 1 0

a a a a a

A A

b b b b b

   

           

   

                

 

解得 ^{1 100}

100 1

0 1 0 1 1 2

1 0 1 0 2 1

a a

b b

 

         

   

             

    。故( , )a b _{1 1} (2, 1) 。 解得( , )a b _{1 1} (2, 1) 。