a       ，讀作「 a 的 n 次方」， a 稱為底數， n 稱為指數 零指數： a 0

【指數的定義】

正整數指數：設 ^{a  , R n  N} ，則 _n ^{ n  }

^個a相乘

^{ } a a a a

a       ，讀作「 a 的 n 次方」， a 稱為底數， n 稱為指數 零指數： _a ⁰

_1

( ^a

^

^R

且

^a

^0

)

負整數指數： ⁿ _n a a 1





( ^a

^

^R

且

^a

^0,

ⁿ

^

^N )

分數指數：

 

 









n m n n m

m n n

a a

a a a

) (

1

( ^{a  0 , m 、 n  N} )

【指數律】

已知 ^a 、 ^{b  N} , ^m 、 ^{n  R} ，則：

1. a ^m



a ⁿ



a ^{m  n} 2. ^{m n m} _n a ^{m n} a

a a

a

   ^

3. ( a ^m ) ⁿ  a ^mn 4. ( a  ) b ⁿ  a ⁿ  b ⁿ

例 1： (1)  ^{a 3  ( a  1 ) 2}  ^{2  a  2} =______ (2) 設

^{22x1 128,}

試求 x 之值 (3)若

2 2 2 2^x

,試求 x 之值

例 2：解方程式 2  4 ^{x  1}  33  2 ^x  4  0

例 3：已知 a ^{2 x}

 21

,試求 _{x x}

x x

a a

a a







 ³

3

之值為何

例 4：實驗室內培養細菌,現有 N 個細菌,其增殖情形為每經 24 小時增加一倍,求此種細菌經過 t 小時後

的滋長公式為何?

【指數函數與圖形】

指數函數定義：設 ^{a  0 , a  1 ,  x  R} ，我們稱 f

(

x

)

a ^x 為以 a 為底數 的指數函數

（1） f ( x )  a ^x ( a  1 ), x  R  圖形遞增 以 y  f ( x )  2 ^x 為例

（2） f ( x )  a ^x ( 0  a  1 ), x  R  圖形遞減 以 y f x ) ^x

2 ( 1 ) ( 

 為例

【指數函數圖形的特性及性質】

a x

x f y R x a

a

0, 1,  ,  ( )

的圖形，其性質有：

1. 圖形恆在 x 軸上方，故 f

⁽

x

⁾

a ^x

⁰

恆成立 2. x 軸為漸近線

3. 圖形恆通過 ( 0 , 1 )

4. 當 a  1 時， ^{f (x )} 為 增函數，即 x 1  x 2 時 f ( x

₁

)  f ( x

₂

)  a ^{x 1}  a ^{x 2} 5. 當 0  a  1 時， ^{f (x )} 為減函數，即 x 1  x 2 時 f ( x

₁

)  f ( x

₂

)  a ^{x 1}  a ^{x 2} 6. 設 a>1 則 y



a

^x

的圖形與 ^x

y a 1 )

 ( 的圖形必對稱於 Y 軸

例 1：將下列各數依大小次序排列 2 ^{2 2}

3

2 , ( 0 . 1 ) , ( 0 . 01 ) , ( 0 . 01 ) )

1 . 0

( ^

例 2：若 5 ^x  7 ^y  35 ，求

^{1 }

_x

¹

_y 之值 答：1

例 3：解不等式 ₂ ^x

²

^{ x  3} _{ 8}

例 4：解不等式 _{0 . 1} ^X

²

^{ X 3  3} _{ 0 . 001}

答：0<x<3

對數

【對數的定義】

1. 若 ^{a  0 , a  1 , b  0} ,，當 a ^x  b 時，我們用符號 log a ^b 表示 x ，即 a ^x  b  x  log _a b 2. log a ^b 中，我們稱為：以 a 為底數， b 的對數，其中 b 稱為真數

3. 常用對數：以 10 為底數的對數，通常 10 可以省略 (0,1)

(0,1)

例 1：判別下列各式是否有意義 (1) log ₂ (  3 ) (2) log ₁ 2 (3)

^log

( 2 )

³

(4)

^log

5

⁰

例 2： ^log ( _x

²

_ 4 _{x } 5 ) ^{( 6}  x  x ^{2 )} 有意義,試求 x 之範圍

【對數的性質】 ^{a  0 , b  0 , c  0 , a  1 , t  0 , s  0 , M  0}

（1） ^log _a ^{1  0} （2） ^log _a ^{a  1}

（3）

log

c ^MN

log

c ^M

log

c ^N （4） ^{M N} N

M

c c

c log log

log  

（5） ^a

s a ^t t _b

b

^s

log

log  （6）

b a a

c c

b log

log  log （換底）→ ^{b } _a ^

a log b

log 1

（7）

log

a ^b

log

b ^c

log

c ^d

log

a ^d （連鎖律）

（8） a ^log

^a

^M  M 例 1： （1） ^log ₈ ¹

2

1 =____ （2） ^log 3 ^(log 5 ^{125 )} =____（3） log

₄

4

^5.7

=____ （4） 5 ^log

⁵

^log

²

^{8 =____}

（5） log 125 log 9 16

log ₂ 1  ₅  ₃ （6） ^log ₅ ^{6  log} ₆ ^{7  log} ₇ ^{8   log} ₂₄ ²⁵

（7） 5

log 21 36 . 0 5 log

log 3 3 1

7 3

7

7   （8） ^(log 3 ⁷  ^log 9 ^{49 )}  ^(log 7 ⁹  ^log 49 ^{3 )}

例 2：已知

^{log20.3010,log30.4771}

，試求下列各式的值

（1）

^log6

（2）

^log12

（3）

^log5

（4） ^log 2 ³ （5）

^log

2

⁵

（6）

^log

3

⁵

答：(1)0.7781 (2)1.0791 (3)0.6990 (4)約 1.5850 (5)約 1.1611 (6)約 0.7325

對數函數及其圖形

【對數函數】

設 ^{a  0 , a  1 , x  0} ，我們稱 ^y  ^f ( ^x )  log a ^x 為以 a 為底數的對數函數

（1） f ( x )  a ^x ( a  1 ), x  R  圖形遞增 以 y  f ( x )  2 ^x 為例

（2） f ( x )  a ^x ( 0  a  1 ), x  R  圖形遞減 以 ^{y f x ) x}

2 ( 1 ) ( 

 為例

【對數函數的性質】

(0,1)

(0,1)

設 ^{a  0 , a  1 , x  0} 且 y  f ( x )  log _a x ，則：

1. 圖形恆在 y 軸右方，故 y  f ( x )  log _a x ＞0 恆成立 2. y 軸為漸近線

3. 圖形恆通過 ( 1 , 0 )

4. 當 a  1 時， ^{f (x )} 為 增函數，即 x 1  x 2 時 f ( x 1 )  f ( x 2 )  log _a x 1  log _a x 2

5. 當 0  a  1 時， ^{f (x )} 為減函數，即 x 1  x 2 時 f ( x 1 )  f ( x 2 )  log _a x 1  log _a x 2

6. 設 a>1 則

log

a ^x 的圖形與 ^x

a

log 1 的圖形必對稱於 X 軸

例 1：試比較下列各數的大小：（1） ^log 2 ^{3 , log} 2 ^{5 , log} 2 ⁷ （2） ^log 0 . 1 ^{3 , log} 0 . 1 ^{5 , log} 0 . 1 ⁷

答：(1)<<(2) >>

例 2：試解下列不等式：（1） log ₂ ( x  1 )  log ₂ 5 （2） ^{log ( 3 ) log ( 5 )}

2 1 2

1 x    x

答 ^{( 1 ) x  4 ( 2 ) 3  x  4} 例 3:若 log 2 log 2 log 2 ^x 有意義,求 x 的範圍 <解題技巧:由外往內解>

【對數方程式】 化為同底，令真數相等。

※ 解完對數方程式後，一定要驗算解答，看是否真數>0，底數>0 且底數  1

例 1：解方程式：(1) log ₂ ( 2 x  1 )  log ₂ 5 (2) log ₃ ( 2 x  3 )  2 (3) ^{2 log( x  5 )  log( x  25 )  1}

答：(1)3 (2)3 (3)15

【科學記號】

若 x 是一個正數， x  a  10 ⁿ 其中 1  a  10 且 n 是整數，則 a 10  ⁿ 稱為 x 的科學記號。

【首數&尾數】

定義：對於每一個正數 x，令 x  a  10 ⁿ ， 其中則 ^{log x}  首數  ⁿ 尾數 ^{log a} ，

1. n  Z （即 n 必為整數）

2. ^{0  log a  1} （即尾數必為正純小數或零）

3. 若 n  0 ，則 x 之整數部分為 n+1 位。

4. 若 n  0 ，則 x 必為純小數，且 x 在小數點後第｜x｜幾位始不為零。

例：

log34685log(3.648510

⁴

)log3.6485log10

⁴

log3.64854

所以首數為「4」，真數為「4+1=5 位數」

例：

log0.0000346log(3.4610

^{ 5}

)log3.46log10

^{ 5}

log3.46(5)

所以首數為「-5」，小數點後面「第 5 位」開始不為 0

【尾數相同】

若 ^{log a} 與 ^{log b} 的尾數相同，則 ^{log a  log b  Z}

例 1：已知

^{log20.3010,log30.4771}

（1） ₃ ⁵⁰ 乘開後為幾位數？（2） ) ²⁰ 2

( 1 自小數點後第幾位起開始不為 0？

答：(1)首數 23，乘開後為 24 位數 (2)首數-7，第 7 位

例 2：若 2 ⁿ  10 ⁵ ，求最小的自然數 n

答：17

例 3：設 ^{1 log 4}

2

1 

 x ，其中 x>0，則 x 的範圍為何？

答：

2

1 16

1  x 

例 4：若 10<x<100，又

log x²

與 x

log 1 的尾數相同，求 x

答：

3

5 3 4

10 10 或

 x

【三角函數的基本關係】

1. 三角函數的定義

sin(sine) ：正弦 tan(tangent) ：正切 sec(secant) ：正割 cos(cosine)：餘弦 cot(cotangent)：餘切 csc(cosecant)：餘割

c A  a

sin c

A  b cos

b A  a

tan a

A  b cot

b A  c

sec a

A  c csc

2. 倒數關係 (對角線關係) 1

csc

sin     cos   sec   1 tan   cot   1 3. 商數關係

 

 tan cos

sin  



 cot sin

cos 

4. 平方關係 (倒三角形關係) 1

cos

sin ²   ²   tan ²   1  sec ²  1  cot ²   csc ²  5. 餘角關係

) 90 cos(

sin      cos   sin( 90    ) tan   cot( 90    )

A C

B c

b

a

A D C

B )

90 tan(

cot      sec   csc( 90    ) csc   sec( 90    )

提示: 30 : 60 : 90    直角三角形,三邊長比例 _{1: 3 : 2} 提示: 45 : 45 : 90    直角三角形,三邊長比例 _{1:1: 2} 角度

函數  0 30  45  60  90 

sin 0 1

cos _{1 0}

tan _{0 無意義}

cot _{無意義 0}

sec _{1 無意義}

csc _{無意義 1}

例 1： ^{ ABC} 中 ^{,  C} 是直角,

8

cos A  7 ,試求 tan A sec  A 之值

例 2：試求下列各式之值：（1） 2 sin 30   3 cos 30  （2） ^ _{ } ^ _ 30 60

30 1

cos sin

sin

例 3： 15 度角的三角函數值

先作一個 30 度-60 度-90 度的直角  ABC,如圖, 延長 _CA

^

並在 _CA

^

上取 AD  AB ,連接 BD ,

則 D  =15 度,試求 tan15 度, cot15 度, sin15 度,cos15 度

答： 2 3

15 1

tan   

1 3 15 2

cot  

4 2 15 6

sin  

4 2 15 6

cos  

例 4：

^已知

tan   3

，試求

? cos sin

cos

sin 













2

2

例 5：已知 sin 



cos 

 ²

，試求

(1) sin   cos   ? （2） sin ³   cos ³   ? （3） tan   cot   ?

例 6：設 ^ 是銳角,

12 cot 25

tan     ,則 sin   cos  之值為何

例 7：若 ^{ A   B  90} 度,且

8

cot A  3 ,試求 sinB 之值

【有向角】

1. 定義：以 OA 繞它的端點 O 依順時針或逆時針方向旋轉，當其停止的位置為 OB ，則稱 OA 為始 邊， OB 為終邊， O 為頂點。如此，有始、末邊之分，且有旋轉方向的角稱為有向角。

2. 正角：逆時針旋轉的角稱為正向角（簡稱正角）

3. 負角：順時針旋轉的角稱為負向角（簡稱負角）

【同界角】

1. 若角

 ^{與 } 有相同的始邊及終邊，則  ^{、  稱為同界角}

2. 若

 ^{、  為同界角，則 }

^

^

^

ⁿ

^360

^（ n 為整數）

3.

 的正同界角中，最小的角稱為最小正同界角

4.

 的負同界角中，最大的稱為最大負同界角

例 1：試求下列各角之最小正同界角與最大負同界角（1） 490 （2）   810 

例 1：已知 sin  ^{ 0} , cos  ^{ 0} ，則  為第幾象限角？

例 1：座標軸上的三角函數值： ( ※可從定義著手 )

例 2：角  位在標準位置且點 ^{P ( 5 , 12 )} 為  終邊上之一點，試求  的六個三角函數值

例 3：已知

5

 3



sin 且 tan   0 ，試求  的其它五個三角函數值  sin  cos  tan  cot  sec  csc 

 0 0 0 ^無意義

90  無意義



180 0 -1 -1 無意義



270 0 0 -1

1. 標準位置角：始邊在 X 軸正向之有向角

2. 第幾象限角：標準位置角之終邊落在第一象限稱為第一象限角（其它同理）

3. 廣義角的三角函數：在終邊上找一點 P（x,y）且 ^{OP  r  x}

²

^{ y}

²

（1）  在第一象限（2）  在第二象限（3）  在第三象限 （4）  在第四象限

^x

^0,

^y

^0

^x

^0,

^y

^0

^x

^0,

^y

^0

^x

^0,

^y

^0

y r x

r y

x x

y r

x r

y

    



    



, cos , tan , cot , sec , csc sin

廣義三角函數在四個象限的正負

sinθ、cscθ cosθ、secθ tanθ、cotθ

＋ ＋ ─ ＋ ─ ＋

─ ─ ─ ＋ ＋ ─

例 4：設 4

tan    3 ,試求 5sin 8 20cos 7









【化任意角為銳角】口訣：奇變偶不變，正負看象限 例 1：試求下列各三角函數之值

（1） cos 120  （2） ^{tan( 60  )} （3） sin 150 

（4） cot 120  （5） sin 730

^

^（6） cos( 1100 ) 

^

（7） ^{sin 240   tan(  120  )  cos 300 }

（8） ^{sin( 180    ) cos( 270    )  sin( 90    ) cos( 180    )}

（9） sin(90

^

  )cos(90

^

  ) sin(180 

^

  )cos(180

^

  )

（10） cot( 180 ) ) 270 tan(

) 360 sin(

) 180 sin(















 









（11） cot( 180 ) ) cot(

) 180 sin(

) 90 cos(













 









（12） sin tan(270 ) cos( ) sin(180 ) tan(270 ) sin(90 )

  

  

 

 

  



  

【三角形面積公式】

 ABC 的面積﹦ ab C bc A ca sin B 2

sin 1 2 sin 1 2

1  

B

A C

例 1：已知 ABC  中，  A =60°， ^{AB, AC} 的長度分別為 20，15 公分，求 ABC  的面積

答：

75 3

^平方公分

c a

b

【正弦定理】 (大角對大邊，小角對小邊)

1. ^R

C c B b A

a 2

sin sin

sin   

2. a ： b ： c  sin A ： sin B ： sin C

※註： R ^{為  ABC 的外接圓半徑}

例 1：已知  ABC 中，  C  120  ,  B  30  , AC  4 ，試求  A , BC , AB 答：30°，4， 4 3

例 2：  ABC 中，若(b+c)：(c+a)：(a+b)=4：5：6,試求 sinA：sinB：sinC

例 3：已知  ABC 中，     A : B : C 1: 2 : 3 ，則 AB BC CA : : 為何？ 答：2:1: 3

例 4：已知 ABC  中，  A  30  , BC  4 ，求  ABC 外接圓半徑及其面積 答：4，16π

【餘弦定理】

C ab b

a c

B ca a

c b

A bc c

b a

cos 2

, cos 2

, cos 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2



















bc a c A b

cos  ²  2 ²  ²

例 1：已知 ABC  中， AB  6 , BC  7 , CA  127 ，則 B  ?

答：120°

例 2： ^{△ ABC 中﹐} a b c : :  3: 5 : 7 ﹐求最大內角為____________度

答：120°

例 3： ^{△ ABC} 中﹐ AB  30 ﹐ AC  10 ﹐   A 60  ﹐求 sin sin

B

C  　(1) 1

2 　(2) 1

3 　(3) 1

4 　(4) 1

5 　(5) 1

6 答： 2

例 4： 一船朝北航行﹐發現在北 30 東處有一燈塔﹐繼續朝北前進 10 浬後﹐測得燈塔在其東北方﹐試問若該船

行駛方向不變﹐則離燈塔最近距離為____________浬

答：

⁵  ^{3 1 } 

【弧度定義】

旋轉量化：角度的旋轉量也可以用弧長與其半徑的比值來表示。

設圓的半徑為 r，圓周長為 2 r ，所以全部圓周所對的圓心角為   2 2

r 

r 弧度

1   180  (弳)；1(弳)  ¹⁸⁰ _ ≒ 57 . 3 ^ 1(度)= 6  0 (分)； 1 ^{(分)= 6  0 (秒)} 弧  ^ 



180 度數 度數 ^{ } 180

 弧

【註】我們可把「弧度」兩字省略不寫，如：一個角為 3

 ，意指它為 3

 弧度。

但當角度的單位為“度“時，一定要將“度“標出來，如： 34 。（即  34  34  ）

30 45 90 135 150 360

2 3

3 3 2

    

      

度 0 弧度 0

4

【扇形】設弧長為 S、夾角為  (指弧度)、半徑為 r ，則 弧長： S  r 

扇形面積： ^{2 }

2 1 2

1 rS r

A  

扇形周長=弧長＋2 半徑= r   2 r

弓形面積=（扇形面積）－（三角形面積）=  sin  2

1 2

1 _{2 2}

r r 

例 1：設一扇形所對之中心角為 120°，半徑為 12 公分，則扇形面積，弧長，周長，弓形面積為多少?

答： 48  cm ² 、8  cm

例 2： 如圖﹐扇形 OAB 與扇形 OCD 中﹐ OA  ﹐ 5 OC  且  2 CD  ﹐求陰影部分之 4 面積=____________ ﹒ 答：21

三角函數的週期

週期為 2  的：sin 、cos 、sec 、csc

週期為  的：tan  、cot 

週期為  的：

^sin

^ 、

^cos

^ 、

^tan

^ 、

^cot

^ 、

^sec

^ 、

^csc

^

【三角函數的特性】

c b k

aF

f (  )  (    )  的週期 

k

1 × ^{F (  )} 的週期

1. ^{y  a sin( kx  b )  c} 的週期為 k



2 ，cos、sec、csc 等函數具相同性質

2. ^{y  a tan( kx  b )  c} 的週期為 k

 ，cot 函數具相同性質

3. ^{y  a sin x} 值域的範圍為 ^{y  sin x} 的 a 倍

4. ^{y  sin( x  b )} 圖形為 ^{y  sin x} 向左、右平移 b 單位（ b  0 向左， b  0 向右）

5. ^{y  sin x  c} 圖形為 ^{y  sin x} 向上、下平移 c 單位（ c  0 向上， c  0 向下）

例 1：試利用繪圖軟體繪製下列函數的圖形？

(1). ^{y  sin x} (2). ^{y  sin 2 x} (3). y  cos x (4). ^y

^tan

^x

(5). ⁾ tan( _  2

 x

y (6). ^y

^cot

^x (7). y  sec x (8). ^{y  sec 2 x}

(9) y  csc x (10) ^y

^|sin

^x

^|

例 2：試求 ⁾

2 4 cos(

3 )

( _{ } 

x x

f 之週期? 【解答】： 

例 3：試求 ⁾

sin( 3 2 )

( x   x  

f 之週期? 【解答】：2

例 4：試求 ⁾

3 sin( 2 2 )

( _ x _  x

f 之週期? 【解答】： 4 

例 5：試求 ^{) 3}

6 3 tan( 2 5 )

(    

x x

f 之週期? 【解答】：3  /2 例 6：試求 ^{f ( x )  sec( 3 x  20}

⁰

^{)  1} 之週期? 【解答】：

3



【和角公式】

















 ) sin cos cos sin sin(

















 ) sin cos cos sin sin(

















 ) cos cos sin sin cos(

















 ) cos cos sin sin cos(











 





 1 tan tan tan ) tan

tan(











 





 1 tan tan tan ) tan

tan(

例 1：試求下列三角函數之值

(1) sin 75  (2) sin 15  (3) cos 75  (4) cos 15  (5) tan 75  (6) tan 15  (7) tan 105 ^

例 2：已知 0     90  、 ^{90     180 } 且

5 sin   3 、

13

sin   5 ，試求下列各式之值：

（1） ^{sin(    )} （2） ^{cos(    )} （3） ^{tan(    )}

例 3：已知

4

 

   ，則 ^{( 1  tan}  ^{)( 1  tan}  ^{) } 　　。【解答】： 2。

例 4：試求下列各式之值

(1) sin 23  cos 37   sin 37  cos 23   ？ (2) sin 17  cos 47   cos 17  sin 47   ？ (3) cos 23  cos 22   sin 23  sin 22   ？

(4)   

 



sin 9 9 sin 4 cos 9

9

cos 4 ？

【解答】：(1) 3 sin 60

  2 (2) 1 sin( 30 )

    (3) 2 2 cos 45

  2 (4) 3 1 cos cos

9 3 2

   

例 5：設 ^tan

^

^{, tan}

^

為方程式 _{3 x} ² _{ x 5  1  0} 之兩根,試求 (1) ^{tan(    )}

(2)

4sin

²

(







)sin(







)cos(







)16cos

²

(







)

之值

【二倍角公式】

（1） sin 2   2 sin  cos 

（2） cos 2   cos ²   sin ²   2 cos ²   1  1  2 sin ² 

（3） 

  ₂ tan 1

tan 2 2

tan  

對於任意的角  都成立 例 1：已知 90     180  且

17

sin   8 ，試求 sin 2  , cos 2  , tan 2  ？

例 2：試求 cos 20 ^ cos 40 ^ cos 80 _

【三倍角公式】

（1） sin 3   3 sin   4 sin ³  (口訣：元 3＝4 元 3－3 元)

（2） cos 3   4 cos ³   3 cos  (口訣：山山富士山) 例 1：已知 θ 為銳角且

3

sin   2 ，試求 sin 3  ＝？ 【解答】： 22 27

例 2：已知 f

(

x

)4

x ³

3

x

1

，試求 ^{f ( x )} 除以 x  sin 20  的餘式？ 【解答】： 3 1 2 

例 3：試求 sin 18  ＝　 　 ？ 【解答】：

4 1 5

例 4：設 0    2  ,若 cos 2   3 cos   2  0 ,試求  之值

【半角公式】

（1）

2

cos 1 sin



2  



（2）

2

cos 1 cos



2  



（3） 1 cos sin 1 cos tan 2 1 cos 1 cos sin

   

  

 

   

 

（取正值或負值，係由 2

θ 終邊所在象限來決定）

例 1：已知     

2 且

5

sin   3 ，試求 sin  2

＋ cos  2

＝　 　 ？ 【解答】：

5 10 2

例 2：已知        tan , cos , sin 13 ,

2 5 sin 2 ,

4    試求 之值

【積化和差】 （口訣：積化和差，積和差) )]

sin(

) [sin(

2 cos 1

sin           

)]

sin(

) [sin(

2 sin 1

cos           

)]

cos(

) [cos(

2 cos 1

cos           

)]

cos(

) [cos(

2 sin 1

sin            

對於任意的角

^

^,

^

都成立

例 1：試求 sin 15  cos 75  之值？【解答】：

4 3 2

例 2：試求 cos 15  cos 75  之值？【解答】：

4 1

例 3：試求 sin 15  sin 75  之值？【解答】： 1 4

例 4：試求 sin 82 . 5  cos 37 . 5  之值？【解答】： 3 2 4



例 5：試求 cos 37 . 5  cos 7 . 5  之值？【解答】： 3 2 4

 例 6：試求 sin 20 ^ sin 40 ^ sin 60 ^ sin 80 ^

【和差化積】 （口訣：和差化積，和差半；積化和差，積和差)

cos 2 sin 2

2 sin

sin           （口訣：S＋S＝2SC)

sin 2 cos 2

2 sin

sin           （口訣：S－S＝2CS)

cos 2 cos 2

2 cos

cos           （口訣：C＋C＝2CC)

sin 2 sin 2

2 cos

cos        





 （口訣：C－C＝－2SS)

對於任意的角

^

^,

^

都成立

例 1：試求 sin 15   sin 75  之值？【解答】：

2 6

例 2：試求 cos 15   cos 75  之值？【解答】：

2 2

例 3：試求 sin 20   sin 40   sin 80  之值？【解答】：0 例 4：試求 sin 80   sin 40   sin 20  之值為【解答】：0 例 5： cos 55   cos 65   cos 175  之值為 【解答】0 例 6：試求 cos 40   cos 80   cos 160  之值？【解答】：0

例 7：試求













15 cos 105

cos

15 sin 105

sin 之值？【解答】： 3

 3

例 8：試化簡 ^ _{ } ^ sin 3 sin

3 cos cos





例 9：試求 sin ² 10 ^ _ sin 10 ^ cos 40 ^ _ cos ² 40 ^

【正弦與餘弦函數疊合之圖形】

(1). 函數 ^{y  a sin x  b cos x} 的圖形可由函數 y ₁  a sin x 、 y ₂  b cos x 之函數相疊合，是一個 波浪狀圖形，其週期為 2 π 。例如：函數 ^{y  sin x  cos x} 之值可由下圖之函數

x

y ₁  sin 、 y ₂  cos x 之虛線圖相加而得

(2). 函數 ^{y  a sin x  b cos x} 可化為 y  a

²

 b

²

sin( x 



) 形式，故其 (1)週期為 2 

(2)值域為  a

²

 b

²

 y  a

²

 b

²

(3)振幅為 a

²

 b

²

例 1：求 ^{y  3 sin x  4 cos x} 的最大值、最小值、週期與振幅。

答：最大值 5、最小值  5 、振幅 5、週期  2 。 例 2： ^{f ( x )  sin x  cos x} ，(1)當 x  ______ 時， f ( x ) 有最大值＿＿＿＿

(2)當 x  ______ 時， f ( x ) 有最小值＿＿＿＿ 答：(1) , 2 4

 (2) 5

, 2 4

 

例 3：求 y  ^{3 sin} x  ^cos x  ⁸ 且 0  x  2  ，則當 x= 時，y 有最小值= 。

答： 5 3 ,6



例 4：試求 4 cos ² x  2sin ² x  8sin cos x x 的最大值與最小值

例 5：試求 2 3 sin 2cos( ),0 2

y  x   3  x   x  ,(1)當 x=___,最大值____(2)當 x=___,最小值___

【複數的極座標】

1、 設 ^a

^,

^b

^

^R ，則複數 z  a  bi ，可在複數平面上找到一個點 ^{P ( a , b )} 與之對應。

2、 令 OP  r ，則 r

,θ

與 a, b 之間有下列關係：

2 2

, sin

, cos

b a r

r b

r a













，

（1） r 為複數 z  a  bi 的絕對值，以 ^z

^

^r 表示

（2）  叫作 z  a  bi 的輻角。若 0  θ  2 π ，則角 θ 角叫作主輻角，以 ^{Arg ( z )} 表示。

【註】一個複數的輻角有很多個，但主輻角是唯一。

例 1：下列的極坐標，何者與 ^



 



 , 6 2 

表同一點？(A) ^



 



 6 , 13

2 

。 (B) ^



 

   6 , 11

2 

。 (C)以上皆是。 (D)以上皆

非。 答：( C )

例 2：求複數 z  1  i 的絕對值與主輻角？ 答：絕對值 ^z

^{ 2}

，主輻角 4



【極坐標(r, ^ ) ^ 直角坐標(a,b)】

(1) 極坐標(r, ) ^ 直角坐標(a,b) a r  cos  b r  sin 

(2) 直角坐標(a,b) ^ 極坐標(r,  )

_{r  a} ² _{ b} ² ? sin

cos





 



 











 r b r a

例 1：將極坐標 



 



 , 6 2 

化為直角坐標。【解答】： ^{( 3 , 1 )}

例 2：直角坐標為 

^2,²

 之點的極坐標為何？

【解答】： 



 





4 , 5 2

2 

或 



 



   

n 4 2 , 5 2

2 ， n  z 。

 2



a ， b   2 ， r    2 

²

   2 

²

 2 2 ，

2 2 2

2

cos  2  

,

2 2 2

2

sin  2  

,取 4 5 

  ，

故極坐標為 



 





4 , 5 2

2 

，或 



 



   

n 4 2 , 5 2

2 ， n  z 。

【複數的極式】 ^{z  r (cos  i  sin  )}

定義： 複數 z  a  bi ， ^a

,

^b

^

^R ，將 ^{a  r cos}

^

^{, b  r sin}

^

代入得

) sin (cos

) sin ( cos









i r

r i r

bi a z













，

例 1：試將複數 z  1  i 化為取主輻角的極式表示？ 【解答】： ⁾ sin 4 (cos 4

2  

i

z  

例 2：試將複數 z  1  i 化為取一般角的極式表示？

【解答】： z   n  i  2 n )), n  Z sin( 4

) 4 2

(cos(

2    

【極式的乘除】

若 z 1  r 1 ^(cos  1  i ^sin  1 ⁾ ， z ₂  r ₂ (cos  ₂  i sin  ₂ ) ，則

（1） z ₁ z ₂  r ₁ r ₂ [cos(  ₁   ₂ )  i sin(  ₁   ₂ )]

（2） ^[cos( 1 2 ^{) sin(} 1 2 ^)]

2 1 2

1      i   

r r z

z ， z ₂  0

例 1：求 



 



 

 

 



 

10 sin 3 10 cos 3 sin 5

cos  5   

i

i 之值。【解答】： i 。

例 2：求      





















60 sin 34

cos

43 sin 43

cos 137 sin 137

cos

i

i

i 之值。【解答】： i

2 3 1 2

。

※【棣美弗定理】

設 ^{z  r (cos  i  sin  )} ，

則 z ⁿ   r ^(cos   i ^sin  ⁾  ⁿ  r ^{n (cos} n   i ^sin n  ⁾ ， n  Z

※ 例 1：試問

(sin20

^

 icos20

^

)

³ 是否等於 _{sin 60} ^ _{ i cos 60} ^ 例 2：試計算 ^{z  (sin 15   i cos 15  )} ，則 z ¹⁰  ?

【解答】： ^{z  (cos 75   i sin 75  )} ，則 z i

2 1 2

10

 3

例 3： 右圖陰影部分所示為複數平面上區域 A＝{z：z＝r(cosθ ＋isinθ ) 0 ﹐  r  1﹐

3 4

  θ  5 4

 }之略圖﹒令 D＝{w：w＝z ³ ﹐zA}﹐試問下列選項中之略圖﹐何者之陰

影部分與區域 D 最接近﹖

【1 的 n 次方根】

設複數 z 為方程式 x ⁿ  1  0 的一個複數根，

令 n

i k n

z k π 2 π

2 sin

cos 

 ，當 k 分別用 0，1，2，3，…， n  1 代入，即得 1 的 n 次方根

例 1：試求 1 的四個四次方根

【a 的 n 次方根】

設複數 z 為方程式 x ⁿ  a  0 的一個複數根， a 是不為 0 的複數，則 ^{(cos 2 sin 2 )} n i k

n a k

z ⁿ     

 

 ，

k 分別用 0，1，2，3，…， n  1 代入

例 1：試求 2i 的四次方根