提要

(1)

三度空間中之曲面表示法至少有兩種，一是純量表示法，另一是向量表示法，說明如下。

三度空間中之曲面表示法

三度空間中之曲面表示法至少有兩種，說明如下：

1. 利用高度變化表示一曲面(純量表示法)：如圖 1 所示，xy 平面上任意點



x, y,0

至 曲面之高度 z 可形成一曲面 f

x,y,z

c，且其高度可表為 z g

x,y 。

圖 1 曲面上任意點之高度可由z g

x,y 推求出來

(2)

2. 利用參數式表示一曲面(向量表示法)：曲線需要一個參數 t 才能將曲線表明出 來，曲面則需要兩個參數 u、v 才能將曲面表明出來。如圖 2 所示，曲面上之任 意點

x,y,z

所構成的位置向量 r 可由參數 u、v 之調整得知，即 r = r(u,v) ，其 中參數 u、v 表曲線之座標變數。

圖 2 以 r(u,v)表示曲面之示意圖

附註：以上純量表示法之解釋，係假設曲面上之任意點均可找到高度 z 與變數 x、y 的 關係，但其實這是不一定可行的，以下範例就是一例。

(3)

範例一

試說明如圖 3 所示圓柱曲面方程式x²  y² a²、1z1之向量表示法。

圖 3 x² y² a²、1 z1所示圓柱曲面

解答：

令xacosu、yasinu、zv，由曲面方程式知，曲面上之任意點

^x^,^y^,^z

^所構

成的位置向量 r 為：

k j i

r x y z acosu asinu v 其中0 u2 、1v1。