第㆓章 基本理論
2-1 繞射強度
繞 射 點 的 強 度(intensity)反 映 出 表 面 週 期 性 的 強 弱 與 參 與 繞 射 的 原 子 數 目 。 表 面 ㆖ 薄 膜 成 長 的 愈 好 ， 則 參 與 繞 射 的 原 子 數 較 多 ， 繞 射 點 的 強 度 也 就 會 愈 亮 ； 而 不 完 整 的 成 長 ，會 降 低 原 子 間 的 相 長 干 涉 ， 使 得 繞 射 點 變 暗 。 由 LEED 繞 射 點 的 亮 度 分 析 可 以 估 計 出 薄 膜 成 長 的 大 小 與 成 長 模 式 。
考 慮 彈 性 散 射 的 電 子 ， ψ0 為 入 射 的 電 子 束 ， 以 平 面 波 表 示 為 ：
ψ 0= ψo e x p ( i k⋅r) ( 2 - 1 ) 在 空 間 ㆗ 某 ㆒ 點 偵 測 到 的 電 子 束 合 成 波 的 波 幅 為 ：
ψ = ( ψ 0
R
eik⋅r ) f j ( k0, k) e x p [ i ( k-k0)⋅Rj ( 2 - 2 )
其 ㆗ ， k0 = k = λ
π
2 為 入 射 波 和 散 射 波 的 波 向 量 。 Rj 為 第 j
個 原 子 距 原 點 的 距 離，f j 為 單 ㆒ 原 子 的 散 射 因 子。如 果 考 慮 所 有 的 原 子 ， 則 散 射 的 合 成 波 為 ：
ψ ∝
∑
f j (j k0, k) exp[i(k-k0 )⋅Rj] (2-3)
若 散 射 來 自 於 ㆓ 維 的 週 期 性 晶 格 ， 其 ㆗ 共 有 N 個 單 位 晶 胞 ， 每 個 單 位 晶 胞 內 有 M 個 原 子 。 則 Rj =rp +rm；rp為 各 晶 胞 ㆗，原 子 在 晶 胞 ㆗ 的 位 置，而 rm 為 晶 胞 原 點 在 晶 體
㆗ 之 位 置 向 量 。 如 此 ㆖ 式 可 改 寫 為 ：
ψ
∑ ∑
−=
−
=
⋅
−
⋅
⋅
−
∝ 1
0 1
0
0
0) ]} exp[ ( ) ]
( exp[
{
N m
M p
m p
p i k k r i k k r
f ( 2 - 4 )
定 義 結 構 因 子 F ( k0, k ) 為 ：
F (k0 , k)≡
∑
−=
⋅
1 −
0
0) ]
( exp[
M p
p
p i k k r
f (2-5) 則
ψ ∝ F (k0 , k)· 1exp[( 0) ]
0 m
N m
r k k
i − ⋅
∑
−=
(2-6)
設 ㆓ 維 晶 格 ㆗ ， 沿 主 軸 方 向 ， a1， a2， 分 別 有 N1 與 N2 個 單 位 晶 胞 ， 晶 胞 總 數 N= N1· N2， 而 rm =x1a1+x2 +a2 ， 則
∑
N−1exp[i(k−k0)⋅rm]m=0
=
∏ ∑
=
−
=
⋅
2 −
1
0 1
0
] )
( exp[
j
j j N
x
a x k k i
j
j
( 2 - 7 )
令 β =(k− )k0 ⋅aj， 則
1exp[( 0) ]
0
j j N
x
a x k k
i − ⋅
∑
−j= j
=
∑
− == 1
0 N x
ixj j
e β
1 1
−
−
j j j
i iN
e e
β
β 代 入 (2-6)式 得
ψ ∝ F (k0 , k)·
∏
= −
−
2
1 1
1
j i
iN
j j j
e e
β
β ( 2 - 8 )
因 此 ， 繞 射 點 在 空 間 分 佈 強 度 如 ㆘ ：
I = ϕ2 ∝ F(k−k0)2
∏
= 2
1 2
2
2 sin 1
2 sin 1
j j
j
Nj
β β
= F(k−k0)2J ( 2 - 9 )
干 涉 函 數 ：
J =
)]
2 ( [1 sin
)]
2 ( [1 sin )]
2 ( [1 sin
)]
2 ( [1 sin
0 2
2
0 2
2 2
0 1
2
0 1
1 2
k k a
k k a N k
k a
k k a N
−
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅ (2-10)
當
=
−
⋅
=
−
⋅
π π k k k a
h k k a
) 2 (
1
) 2 (
1
0 2
0
1 (2-11)
其 ㆗ h ， k 均 為 整 數 時 ， 具 有 建 設 性 干 涉 效 應 ， 即 在 此 條 件 之 ㆘ ， 干 涉 函 數 值 為 N2。 此 為 勞 厄 繞 射 條 件(Laue condition of diffraction)， 此 時 (2-9)式 為 ：
I∝ F(k−k0)2N2 ( 2 - 1 2 )
若 h ， k 任 ㆒ 數 不 為 整 數 時 ， 繞 射 強 度 均 近 於 零 即 不 產 生 繞 射 現 象 。 若 考 慮 N = 6 之 ㆒ 度 空 間 的 散 射 ， 我 們 可 得 函 數 之 變 化 ， 如 圖 2-1 所 示 。
圖2-1. ㆒度空間干涉函數在 N=6 時之情況
因 此 ， 從 圖 ㆗ 我 們 可 以 了 解 ：
1 . 最 高 之 繞 射 強 度 發 生 在 β/2=h π ， h 為 整 數 時 。
2 . 此 最 高 繞 射 強 度 隨 原 子 數 目 M 增 加 而 提 高 。 3. 最 高 繞 射 峰 之 寬 度 隨 M 增 加 而 變 窄 。
2-2 儀 器 限 制 (Instrumental limitation)
由 干 涉 函 數 我 們 知 道 繞 射 束 的 亮 度 分 佈 的 寬 度 會 隨 M 數 目 增 加 而 減 少 ， 理 論 ㆖ ， 對 ㆒ 完 美 的 表 面 來 說 ， 繞 射 亮 點 是 非 常 小 且 清 晰 的 ㆒ 點 ， 但 是 實 際 ㆖ ， 由 於 LEED 儀 器 解 析 度 ㆖ 的 限 制 ， 使 得 繞 射 亮 點 有 寬 度 ㆖ 的 分 佈 。
LEED 繞 射 亮 點 的 強 度 分 佈 J(K)為 晶 體 的 繞 射 圖 形 I(K)和 儀 器 反 應 函 數 (instrumental response function, T(K)) 的 迴 旋(convolution)。 在 LEED 系 統 ㆗ ， instrumental response function T(K) 的 傅 利 葉 轉 換 t(x)的 半 寬 度 tw 稱 為 轉 移 寬 度(transfer width)。tw 是 表 面 缺 陷 的 平 台 寬 度 和 島 的 大 小 的 儀 器 限 制(instrumental limitation)。 tw 會 隨 著 入 射 電 子 能 量 和 電 子 槍 的 大 小 有 關 ， ㆒ 般 的 值 大 約 是 在 5~10 nm 的 範 圍 ， 如 入 射 電 子 束 的 亮 點 大 小 為 1 mm 樣 品 與 螢 光 幕 的 距 離 為 70 mm 的 話 ， tw 與 入 射 電 子 能 量 的 關 係 如 圖 2-2。
圖 2-2. ㆒ 般 LEED 系 統 ㆗ 電 子 束 寬 度 為 1mm 的 transfer width
tw 也 可 由 公 式 求 出，假 設 有 ㆒ 完 美 的 表 面，其 LEED 繞 射 亮 點 的 半 寬 度 ht 與 繞 射 點 間 的 距 離 a* 的 比 值 等 於 實 際 空 間 原 子 間 距 離 與 tw 的 比 值 ， 即 ：
* a
ht = tw
a (2-13)
如 果 有 ㆒ 具 週 期 性 的 島 狀 結 構(island)， 其 平 均 直 徑 為 d 在 倒 空 間 ㆗ ， 其 繞 射 亮 點 的 半 寬 度 為 hd~ 1 / d， 因 此 ， 從 實 驗 得 到 的 半 寬 度 hm， 應 該 是 ：
hm= hd2 +ht2 (2-14)
所 以 ， 我 們 可 以 從 繞 射 亮 點 的 寬 度 求 出 直 徑 的 最 大
值 dm a x， 不 只 是 由 tw， 而 是 由 半 寬 度 的 準 確 度(accuracy)
來 得 到 的 ：
h
∆h~
t t m
h h
h − = hd2 +ht2 -ht~
2 2
2
d
h h
t
= 2
2
2D tw
max
或
tw
Dmax
= h
∆h 2
1 (2-15)
如 果 h
∆h=0.1， 則 Dm a x≅2tw， 也 就 是 Dm a x 約 在 10-20 nm 的
範 圍 內 。
對 於 來 自 材 料 表 面 ㆖ 定 量 與 定 性 的 訊 息 ， 低 能 量 電 子 繞 射(LEED)㆒ 直 是 ㆒ 種 廣 用 的 表 面 分 析 技 術 。 由 觀 察 LEED 螢 光 幕 ㆖ 亮 點 的 排 列 方 式 ， 可 以 做 定 性 的 結 構 分 析 ； 作 LEED 的 繞 射 亮 點 的 亮 度 分 佈 (spot profile)， 可 反 映 出 基 底 ㆗ 單 位 晶 胞 和 覆 蓋 層 的 大 小 和 形 狀；LEED 繞 射 亮 點 的 強 度 反 映 出 每 ㆒ 晶 格 對 應 的 原 子 數 目 以 及 原 子 間 距 離 的 大 小 。 若 測 量 某 些 繞 射 點 強 度 與 入 射 電 子 能 量 的 關 係 ， 也 就 是 I(E)圖 ， 可 與 理 論 計 算 相 配 合 ， 估 計 出 原 子 間 或 平 面 間 的 距 離 。
要 做 ㆒ 表 面 缺 陷 結 構 的 定 量 分 析 工 作 ， 就 要 利 用 繞 射 點 間 的 距 離 D 或 半 寬 波 高 (the full width at half
maximum)。 這 些 參 數 可 以 做 平 台 或 島 寬 度 的 大 小 或 距 離 的 直 接 計 算 。 島 或 階 梯 的 高 度 可 由 繞 射 亮 點 的 形 狀 與 電 子 能 量 的 關 係 估 計 出。圖 2-3 ㆗ 為 各 種 表 面 缺 陷 的 亮 度 分 佈 訊 息 ：
Spot shap Spot profile Surface structure
˙ ideal surface
˙ ˙ regular steps
random steps
regular size
or regular distance
random size and distance
圖 2-3. 各 種 晶 體 表 面 的 缺 陷 結 構 之 LEED 繞 射 亮 點 形 狀
對 於 低 能 量 電 子 繞 射 而 言 ， 因 訊 號 的 來 源 是 反 向 的 彈 性 散 射 電 子 ， 此 電 子 只 來 自 表 面 很 淺 的 深 度 ， 若 以 100eV 電 子 為 例，電 子 的 逃 離 深 度 (es cap e d e p t h ) 約 5 埃 ， 因 此 反 商 晶 格 空 間 在 表 面 垂 直 方 向 的 形 狀 效 應(shape effect)很 強 。
2-3 繞射球之繪造
繞 射 球 又 稱 EwaId 球 (Ewald sphere)， 乃 由 Ewald 氏 首 先 提 出 之 ㆒ 種 分 析 繞 射 現 象 的 工 具 。 由 Brag’s 繞 射 原 理 ：
2 d s i n θ = n λ ( 2 - 1 6 ) 其 ㆗ d 是 繞 射 平 面 間 的 距 離 、 θ 是 入 射 電 子 與 平 面 的 夾 角、λ 是 電 子 波 長、n 是 整 數。在 反 商 晶 格 空 間 ㆗，Brag’s
繞 射 的 形 式 為 ：
K'- K=Ghkl ( 2 - 1 7 )
其 ㆗ K'是 散 射 電 子 的 波 數(wave number，等 於 2π /λ )、K 是 入 射 電 子 的 波 數 、 Ghkl 是 反 商 晶 格 的 位 移 向 量 。 ㆖ 式 就 是 繞 射 之 必 要 條 件，滿 足 這 個 條 件 時 就 會 有 繞 射 點 沿 '方 向 射 出 進 入 螢 幕 。 要 使 用 或 了 解 這 公 式 的 最 好 方 法 是 使 用 Ewald Sphere 圖 ， 如 圖 2-4 先 繪 造 與 晶 體 對 應 之 倒 晶 格 。 以 任 何 ㆒ 點 為 原 點 ， 繪 ㆒ 向 量
K
K， 再 以 其 末 點 C 為 球 心 ， K 為 半 徑 ， 繪 ㆒ 繞 射 球 。 如 此 繞 射 球 與 倒 晶 格 任 ㆒ 點 P 相 交 ， 則 CP= K'為 ㆒ 可 能 之 繞 射 向 量 。
繞 射 球 為 ㆒ 分 析 晶 體 繞 射 之 有 力 工 具 。 對 於 不 合 Bragg 繞 射 條 件 與 有 缺 陷 之 晶 體 的 繞 射 分 析 有 很 大 的 幫 助 。
d π 2
k'
k
G
surface
1 2
3 4 5
P
C
(00) (01) (02) (0 )
2-4 結 晶 與 非 結 晶
固 體 有 結 晶 與 非 晶(amorphous)兩 類 。 非 晶 類 固 體 (或 稱 玻 璃 質)實 際 ㆖ 也 可 視 作 超 冷 液 體 (supercooled
liquid)。主 要 是 因 為 在 冷 卻 的 速 度 太 快，使 得 原 子 或 分 子 無 足 夠 的 時 間 有 次 序 ㆞ 排 列 起 來 。 非 晶 體 之 物 理 性 質 及 機 械 性 質 異 於 結 晶 體 ， 有 其 特 殊 之 應 用 領 域 。
(0 ) (0 ) (0 ) (0 )
圖2-4. Ewald sphere construction
結 晶 體 ㆗ 的 原 子 或 分 子 是 以 ㆒ 種 規 律 形 式 排 列 起 來 ， 此 種 規 律 性 包 含 週 期 及 對 稱 關 係 。 若 結 晶 材 料 任 何 部 份 之 原 子 或 分 子 排 列 完 全 ㆒ 致 ， 稱 為 單 晶(single crystal)。 如 果 排 列 終 止 於 某 個 ㆔ 度 空 間 範 圍 ， 此 ㆒ 範 圍 為 ㆒ 單 晶 顆 粒 ， 稱 為 晶 粒( g r a i n )， 而 晶 粒 與 晶 粒 間 邊 界 ， 稱 為 晶 粒 邊 界(grain boundary) 。 在 真 實 晶 體 ㆗ ， 還 可 能 因 原 子 空 位 或 間 隙 插 入 原 子 而 改 變 局 部 的 規 律 性 ， 任 何 改 變 原 子 排 列 之 規 律 性 的 組 織 ， 均 稱 為 缺 陷 結 構(defect structure) 。
