三次曲線
平斯
完成費瑪最後定理的證明, 肯定是個在 我們眼前發生的歷史事件, 坊間自然有書討 論這件事, 在我的案頭書架就有兩本, 其中左 邊的是本翻譯書, 另外在右邊的一本也是翻 譯書, 頭一本 [1]由曹亮吉寫過書評 [2], 他自 己曾於 1978 在高等學院受志村五郎親炙, 掌 故寫來人地歷歷在目, 絕非捕風捉影。 經他這 麼一寫, 旁人就不必再評了, 於是當另一本 [3]上市的時候, 洪萬生寫的是導讀, 由數學史 切入, 果然書內生動的描寫數學家如何爭名 奪譽, 暴露人性深沉最黑暗的一面。 本書附錄 並由余文卿補充, 這篇同時也登於本刊 [4]。
本文是前述補充的一個注解, 說明為甚麼橢 圓曲線是個環面; 當然原文已經說的很清楚, 這是個複平面除以整數方格的商群, 本文要 另外從拓樸的角度來解釋環面的形成, 首先 橢圓曲線亦名三次曲線, 有個普遍式
y2 = 4x3− g1x− g2
這裡等式兩邊的自變數x與應變數y本來都是 複數, 因此這是一個四維空間裡的二維曲面, 姑且先視xy都為實數, 於是可得平面上一組 曲線,
圖一
目下的挑戰是要知道這個圖要表現甚 麼, 在談數學之前, 先用繪事來釐清我們的 觀念, 不久之前, 外雙溪的故宮博物院展出畢 卡索與張大千兩個東西方藝術家的作品, 其 中畢卡索很特出的一個時期是立體畫派, 說 穿了是用巧妙的方法來銜接不同視角的描繪, 因此在同一個畫面可以看到人像的正面和側 面, 這個畫風顯然顛覆了觀賞人反客為主的 地位。 在東方的山水畫大千居士要含蓄多了, 但是保守嗎? 山水畫宗師郭熙, 在距今八百 年前宋神宗時就提出從平面畫紙的描寫, 還
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80 數學傳播 24卷1期 民89年3月
原山水的時空經驗, 諸如“三遠四時”的繪畫 理論 [5], 一個畫家高明與否, 以數學的語言 來說, 就是能不能把四向度的資料, 壓縮成兩 向度而不失真, 因此逆向過程是把上圖看成 是下圖曲面上各種角度的截線,
圖二
何以然呢? 唯心論哲學家康德認為空間 的體認是天生的良知良能 [6], 所以憑直觀, 可以說是必然如此, 只須意會不必言傳, 但是 實證邏輯下, 不是說得權威, 或圖看得順眼就 算, 凡是命題論述, 都需要驗證; 為方便討論, 首先我們固定一橢圓曲線 y2 = 4(x3− x) 兩 邊開方得
y= ±2qx(x − 1)(x + 1)
不妨先把 x 安在複平面上, 因為開方零有重 根, 於是 y = 0 時 x = −1, x = 0, x = 1 這些點配上無限點 x = ∞, 得到 兩對岐點, 岐點之間割後撐開叫岐割, 圖三就 是操作後的複平面。
又 y 6= 0 時, 開方有正負兩個異根, 於 是拿兩張複平面代表兩個值, 每次 x 繞過歧 點一次 y 就要變號一次, 好像跳上跳下, 而
起跳與落著點都在岐割上, 因此連接相對應 的岐割之後, 圖二就很清楚了, 連接和岐割都 是常用的拓樸手段。
圖三
這個曲面的邊緣可無限延伸, 全收斂到 無限點, 用另一個拓樸手段叫緊化, 也就是把 所有的邊緣連接在無限點, 就可得到虧格為 一的環面, 本來四維的實空間以球面來緊化 可得複二維射影面; 上述的環面與球面正好 相交於無限點, 我們亦可將兩個步驟顛倒過 來, 先緊化再連接: 先透過立像射影, 把複平 面連同無限點對應到球面上。
圖四
三次曲線 81 兩個這樣的球面適當的連接也可以得到
環面。 橢圓曲線可用外爾司錯的雙週期橢圓 函數解得參數式
x= P(t), y = P′(t),
這些週期形成整數的格點, 這樣又回到 一開始余文卿的解釋: 橢圓曲線的萬有覆蓋 是個複平面, 如此前瞻的看法, 可以引伸, 是 很重要的關鍵。 事實上三次曲線視為環面是 緊黎曼曲面的特例, 我們可以同理討論二次 曲線或又叫圓錐曲線, 只須高中的解析幾何 就看出這是個球面, 細節從略。 更高次如五, 七· · · 等次曲線可得到虧格為二, 三· · · 等比 較複雜的緊黎曼曲面, 代數曲線與黎曼曲面 是一體兩面。 單值化定理 [7] 分類了所有緊 黎曼曲面的萬有覆蓋, 他們的共同刻畫是單 連通及常曲率, 除了
(a) K = 0 複平面, 還有 (b) K > 0 球面, 與
(c) K < 0 半平面。
這些是最基本的複一維凱勒流形, 高維 的類比是: 複歐氏空間, 複射影空間和早年 華羅庚 [8]研究的典型域等。 這時的K 是雙 截曲率, 廣義的單值化定理要分類普遍高維 凱勒流形的萬有覆蓋, 在 K ≥ 0 的情況已 經被莫毅明分類完畢 [12], 剩下K < 0 有許 多可能的複雜情況, 未能完成, 他的得意門生 蔡宜洵在這個問題也很有貢獻。
後記: 本文的作圖都有出處, 圖一 在 [9]; 圖二在 [10], 是我最喜歡用的 代數課本, 圖四在 [11], 所有繪圖的原 始碼可由網路侍服站下載: anonymous@
ftp.scu.edu.tw/scu/math/pub/cubic.zip
參考文獻
1. 薛密, 費瑪最後定理 (譯), 周青松審訂, 台灣 商務印書館。
2. 曹亮吉, 中國時報八十七年四月十六日開卷 版。
3. 林瑞雲, 費瑪最後定理 (譯) 余文卿審訂, 時 報文化。
4. 余文卿, 關於懷爾斯解決費瑪最後定理的一 些補充說明, 「數學傳播季刊」 第二十三卷第 一期, 49 頁。
5. 中國大百科全書, 藝術卷 I。
6. Durant, Story of philosophy.
7. 伍鴻熙, 緊黎曼曲面引論, 聯經出版, 第 59 頁。
8. 華羅庚, 多複變函數論中典型域的調和分析, 科學出版社 1958。
9. Kendig, Elementary Algebraic Geome- try, Springer, GTM 1977, p.15.
10. Artin, Algebra, Prentice-Hall, 1991, p.525.
11. Springer, Introduction to Riemann sur- faces, Addison-Welsey, 1959, p.7.
12. 莫毅明, J. Diff Geom, 1988, p.179.
