4-3 雙 曲 線

4-3 雙 曲 線

1. 右圖是一雙曲線的部分圖形﹐已知 A ﹐ D ﹐ E ﹐ F 四個點中 有一個是其焦點﹐試判別哪一點是雙曲線的焦點？

(1)A (2) D (3) E (4) F ﹒

解：設焦點為 P ﹐因滿足

c

² 

a

² ﹐

b

²

知OP c OC﹐善用尺規知焦點為 F ﹐故選(4)﹒

2. 在坐標平面上﹐試問下列哪一條直線與雙曲線

2 2

16 9 1 x y

  會相交？

(1)3x4y (2) 30 x4y (3)0 x3 (4) y500﹒ 解：雙曲線是開口向左向右﹒

(1)(2)兩漸近線為 3

x

4

y

 與 30

x

4

y

 ﹒ 0 (3)因頂點 (4, 0)

A

﹐知x3與雙曲線不相交﹒

(4)因雙曲線的圖形可以無限延伸﹐

y

500與雙曲線相交二點﹐故選(4)﹒

3. 已知雙曲線： ^{2 2} 1 16 9

x  y  的一焦點 (5, 0)F ﹐若 P 為 上的一動點﹐且滿足PF5﹐試問 P 點共有多少個？

(1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4﹒

解：雙曲線是開口向左向右﹐因 (5, 0)

F

且滿足PF 5﹐ 知 P 點是以 (5, 0) 為圓心﹐半徑為 5 的圓﹐

得圓與雙曲線共有 2 個交點﹐故選(2)﹒

x y

F

4. 雙曲線的兩焦點F₁(5, 0)﹐F₂( 5, 0) 且通過 (3, 0)P ﹐試求：

(1)中心坐標﹒ (2)貫軸長﹒ (3)含共軛軸的直線﹒

解：(1) 中心是F F_{1 2}的中點 (0, 0) ﹒

(2) 因PF₂ 8﹐PF₁2﹐得貫軸長2

a



PF

₁

PF

₂  ﹒ 6 (3) 含共軛軸的直線x0﹒

5. 貫軸與共軛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線﹒已知等軸雙曲線的漸近線為 0

x  ﹐y x  且通過 (3,1) ﹐試求雙曲線的 y 0 (1)中心坐標﹒ (2)方程式﹒

解：(1) 兩漸近線的交點 (0, 0) ﹐即為雙曲線的中心﹒

(2) 設雙曲線方程式為 (

x



y x

)( 

y

) ﹐

k

(3, 1) 代入得k 8﹐ 所求方程式為

2 2

8 8 1

x y

  ﹒

6. 試求x²9y²8x36y  的共軛雙曲線﹒ 2 0 解：方程式整理得(

x

4)²9(

y

2)²   ﹐ 18

故共軛雙曲線為(

x

4)²9(

y

2)² 18﹐即

x

²9

y

²8

x

36

y

38 ﹒ 0

1. 已知雙曲線

2 2

( 2) ( 1) 9 16 1 x y

  ﹐試求雙曲線：

(1)焦點﹒ (2)貫軸端點﹒ (3)漸近線﹒

解：開口為左右﹐中心 (2, 1) ﹐a3﹐b4﹐c5﹐ (1) 焦點( 3, 1) ﹐ (7, 1) ﹒

(2) 貫軸端點 ( 1, 1) ﹐ (5, 1) ﹒ (3) 漸近線 4(

x

 2) 3(

y

  ﹒ 1) 0

2. 已知雙曲線

2 2

( 2) ( 1) 1 9 1

y  x  ﹐試求雙曲線：

(1)共軛軸端點﹒ (2)漸近線﹒

解：開口為上下﹐中心 (1, 2) ﹐a1﹐b3﹐

c

 10﹐

(1) 共軛軸端點 ( 2,  ﹐ (4, 2)2)  ﹒ (2) 漸近線 (

x

 1) 3(

y

2) ﹒ 0 3. 試求滿足下列各條件的雙曲線方程式：

(1)兩頂點A( 3, 0) ﹐ (3, 0)A ﹐一焦點 (5, 0)F ﹒ (2)中心 (1, 2) ﹐一頂點 (4, 2)A ﹐一焦點 (6, 2)F ﹒

解：(1) 開口為左右﹐中心 (0, 0) ﹐a3﹐c5﹐b4﹐方程式

2 2

9 16 1

x



y

 ﹒ (2) 開口為左右﹐中心 (1, 2) ﹐a3﹐c5﹐b4﹐方程式

2 2

( 1) ( 2) 9 16 1

x

 

y

  ﹒

4. 試求滿足下列各條件的雙曲線方程式：

(1)兩焦點F(0, 5) ﹐ (0, 5)F ﹐一頂點 (0, 4) ﹒

(2)兩頂點A( 1,  ﹐ ( 1,17)7) A  ﹐一焦點 ( 1, 18)F  ﹒ 解：(1) 開口為上下﹐中心 (0, 0) ﹐c5﹐a4﹐b3﹐

方程式為

2 2

16 9 1

y x

  ﹒

(2) 開口為上下﹐中心 ( 1, 5) ﹐a12﹐c13﹐b5﹐ 方程式為

2 2

( 5) ( 1) 144 25 1

y



x



  ﹒

5. 設 P 為雙曲線

2 2

9 16 1 x y

  上的一點且位在第一象限﹒若

F ﹐1 F 為此雙曲線的兩個焦點﹐且₂ PF PF₁： ₂ 1 3： ﹐則

△F PF 的周長等於_{1 2} 22 ﹒ 【92 學測】

解：由雙曲線的定義：PF₂PF₁2a﹐

得2PF₁6﹐知PF₁3﹐PF₂9﹐由a3﹐b4得c5﹐即F F_{1 2} 10﹐

△

F PF 的周長

_{1 2} PF₁PF₂F F_{1 2} 22﹒

6. 雙曲線的二焦點F( 5, 0) ﹐ (5, 0)F ﹒有一漸近線的斜率 為3

4﹐試求雙曲線的方程式﹒

解：雙曲線的開口向左右﹐中心 (0, 0) ﹐得c5﹐ 設雙曲線方程式為

2 2

2 2 1

x y

a



b

 ﹐又一漸近線的斜率 3 4

m b

  ﹐

a

得

a b c

：： 4 3 5：： ﹐又c5﹐得a4﹐b3﹐方程式

2 2

16 9 1

x y

  ﹒

1. 兩個行星中心點距離為 10 萬公里﹐今有彗星P 的運動軌跡是 以兩行星 Q ﹐ R 的中心點為焦點的雙曲線一支（如右圖）﹐已 知 P 與 Q ﹐ R 的距離分別為 8 萬公里﹐14 萬公里﹐則此彗星 與行星的最近距離為 2 萬公里﹒

解：由

QR

10﹐知c5﹐又

PR



PQ

 ﹐知6 a3﹐b4﹐ 得方程式

2 2

9 16 1

x y

  ﹐由 (3, 0)

A

﹐ (5, 0)

Q

﹐知最近距離

AQ

 （萬公里）﹒ 2

2. 有一幅雙曲線型的彗星軌道圖﹐如右圖﹐在圖中心左方 7 公分處為軌道之頂點﹐9 公分處是太陽為軌道之焦點﹒若 彗星 P 的位置在通過中心的水平線上方 16 公分﹐試求其 與太陽在圖上的距離為 20 公分﹒

解：設橢圓的方程式為

2 2

2 2 1

x y

a



b

 ﹐因頂點為 F ( 7, 0) ﹐得

a

²49﹐ 太陽在焦點 ( 9, 0) ﹐知

c

² 81﹐

b

² 32﹐得方程式為

2 2

49 32 1

x y

  ﹐ 以

y

16代入方程式得x 21﹐即彗星在 ( 21, 16) ﹐

得距離為 ( 21 9)  ²(16 0) ² 20（公分）﹒

3. 所謂一天文單位是表示地球與太陽的距離﹒已知兩個行星中心點的距離為 10 個天文單位﹐今有一衛星同時受到兩行星的萬有引力影響﹐具備足夠的 能量飛離兩行星﹐其運動軌跡為沿著以兩個行星中心點為焦點的雙曲線一 支；在某一時刻﹐此衛星與其一行星距離 8 個天文單位﹐與另一行星距離 14 個天文單位﹐試求此衛星軌跡方程式為

2 2

9 16 1

x



y

 ﹒

解：兩行星分別為 F ﹐ F ﹐知FF10﹐得2c10﹐

衛星 P 滿足

PF



PF

14 8  ﹐知6 2a6﹐得b4﹐ 得軌跡方程式為

2 2

9 16 1

x y

  ﹒