也談二次曲線

也談二次曲線

康明昌

一 . 前言

考慮實係數二元二次方程式

f(x, y)=Ax

²

+Bxy+cy

²

+Dx+Ey+F = 0 是實係數二元二次方程式。 當 f (x, y) = 0 的 xy 項係數如果不為零時, 其圖形不是很 容易瞭解的; 這時, 需要經過移軸和轉軸的變 換, 才能把這個二次方程式化為標準式。

如果我們的目的並不是相當精確的描繪 二次方程式的圖形, 而只是想判斷這個圖形 究竟是雙曲線還是橢圓, 或者是其他圖形, 除 了移軸和轉軸的方法, 我們還可利用常見的 不變量的判定法。 另一個方法是利用以下的 一個簡單的事實: 不管我們如何轉軸和移軸, 橢圓的圖形永遠落在有限的區域 (也就是, 存 在正數 a 與 b 使得 f (x, y) = 0 圖形上的任 意點 (x

0

, y

0

) 恆滿足 |x

⁰

| ≤ a 且 |y

⁰

| ≤ b|);

同樣的, 拋物線與雙曲線的圖形都不會落在 有限區域, 但是拋物線會落在某個半平面上, 而雙曲線永遠不會落在某個半平面上 (如圖 1):

...

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...

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. .. . .. .. . . .. .. . . .. . .. . .. . .. .. ...

...

橢圓落在有限區域上。

.

...

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...

L^{.............}... . . .. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . . . .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. . . . .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . . . .. .. . .. .. .. .

拋物線落在直線 L 所決定的半平面。

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...

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.

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雙曲線是真正沒有界限的曲線。

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也談二次曲線

⁷⁷

圖 1

利用這個事實, 吳建生先生在“二次曲線 新解”(本刊同卷) 提出一種判定二次方程式 圖形的方法。

本文的目的是提出另外一種方法來判定 二次方程式的圖形。

二 . 主要結果

在討論實係數二次方程式

f(x, y) = Ax

²

+Bxy+cy

²

+Dx+Ey+F = 0, (1) 我們不妨假設它的圖型不是空集合 (註 1)。

在作了以上的假設之後, 大家都知道 f(x, y) = 0 的圖形不是退化曲線 (也就是, 它是圓、 橢圓、 拋物線或雙曲線) 的充分必要 條件是

∆ :=

        

2A B d B 2C E D E 2F

        

6= 0。 (註2)

因此, 我們從現在開始就假設 f (x, y)

= 0 的圖形是圓、 橢圓、 拋物線、 雙曲線之 中的一種。

先回憶一下轉軸的公式。 如果我們把坐 標軸旋轉 θ 角度, 則同一個點 P 的舊坐標 (x, y) 與新坐標 (x

^′

, y

^′

) 有什麼關係呢?

請看圖 2,

.

...

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...

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O

X Y

X ^′ Y ^′

A B C P

θ

. .. . .. .. . .. .. .

...

. .. ...

. ...

.. .. ...

.. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .

... ...

. ...

... . ...

... ...

. ...

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圖 2

設P C⊥X

^′

軸, P A⊥X軸, CB⊥X軸。

則

_∠

CP A =

∠

AOC = θ, 且 x = OA, x

^′

= OC, y

^′

= P C。

很容易可導出 x = OA=OB − AB=x

^′

cos θ − y

^′

sin θ。 同理可證明

y = x

^′

sin θ − y

^′

cos θ。

簡單的說, 我們把變數 x 與 y 變成 x

^′

與 y

^′

的關係是







x= ax

^′

+ by

^′

y= cx

^′

+ dy

^′

(2) 其中 a, b, c, d 是滿足以下關係的實數:



 

 

 

 

a

²

+ c

²

= b

²

+ d

²

= a

²

+ b

²

= c

²

+ d

²

= 1, ab+ cd = ac + bd = 0。

當我們把 (2) 式代入 (1) 式, 得

g(x

^′

, y

^′

) = f (ax

^′

+ by

^′

, cx

^′

+ dy

^′

)

= A

^′

x

^{′ 2}

+B

^′

x

^′

y

^′

+C

^′

y

^{′ 2}

+D

^′

x

^′

+E

^′

y

^′

+F

^′

。

78

數學傳播

²⁰

卷

⁴

期 民

⁸⁵

年

¹²

月

很容易可以檢查出來,

A= C 且 B = 0

⇔ A

^′

= C

^′

且 B

^′

= 0。

因此, 如果 f (x, y) = 0 的圖形是個 圓, 即使我們沒有作轉軸的變數變換, 我們仍 然可以一眼看出它究竟是不是個圓。 換另一 種說法, 也就是, 在任何坐標系統下, 圓仍然 是個圓。 這就是以下的定理 1,

定理1: 如果二次方程式 f (x, y) = 0 的圖形不是空集合, 也不是退化曲線, 則它 的圖形是圓的充分必要條件是 A = C 且 B = 0。

定理2: 如果二次方程式 f (x, y) = 0 的圖形不是空集合, 也不是退化曲線, 則

(i) 當 Ax

²

+ Bxy + cy

²

可分解成兩個相 異的一次因式乘積時, f (x, y) = 0 的 圖形是雙曲線;

(ii) 當 Ax

²

+ Bxy + cy

²

=γ(αx + βy)

²

時 (α、 β、 γ 都是實數), f (x, y) = 0 的圖 形是拋物線;

(iii) 當 Ax

²

+ Bxy + cy

²

不可分解時, f(x, y) = 0 的圖形是橢圓。 (我們把圓 看成橢圓的一種。)

證明: 令 ϕ(x, y) := Ax

²

+ Bxy + Cy

²

, ψ(x

^′

, y

^′

):=ϕ(ax

^′

+ by

^′

, cx

^′

+ dy

^′

)。 很 容易可以檢查,

ϕ(x, y) 可分解 ⇔ ψ(x

^′

, y

^′

) 可分 解,

ϕ(x, y) 可分解成相異之一次因式 乘積 ⇔ ψ(x

^′

, y

^′

) 可分解成相異 之一次因式乘積 。

因此, 當 g(x

^′

, y

^′

) := f (ax

^′

+by

^′

, cx

^′

+ dy

^′

) 變成標準型 g(x

^′

, y

^′

)=A

^′

x

^′2

+ C

^′

y

^′2

+ D

^′

c+ E

^′

y+ F

^′

時, 因為 g(x

^′

, y

^′

) = 0 只 可能是雙曲線、 拋物線與橢圓中的一種 (根據 f(x, y) = 0 的假設), 可知:

(i) 當 g(x

^′

, y

^′

) = 0 是雙曲線時, A

^′

C

^′

<

0, 故 ψ(x

^′

, y

^′

) = A

^′

x

^′2

+ C

^′

y

^′2

可分 解成兩個相異的一次因式的乘積;

(ii) 當 g(x

^′

, y

^′

) = 0 是拋物線時, A

^′

= 0 或 C

^′

= 0, 故 ψ(x

^′

, y

^′

) = A

^′

x

^′2

或 C

^′

y

^′2

;

(iii) 當 g(x

^′

, y

^′

) = 0 是橢圓時, A

^′

C

^′

>0, 故 ψ(x

^′

, y

^′

) = A

^′

x

^′2

+C

^′

y

²

不可分解。

證明完畢。

例題1: f (x, y) = x

²

+ xy + y

²

+ x + y= 0。

因為 f (0, 0) = f (0, −1) = 0, 故 f(x, y) = 0 的圖形不是空集合。

因為

∆ =

        

2 1 1 1 2 1 1 1 0

        

= −2 6= 0,

故 f (x, y) = 0 不是退化曲線。

利用定理 2, 因為 x

²

+ xy + y

²

不可 分解 (⇔ u

²

+ u + 1 = 0 沒有實根), 故 f(x, y) = 0 的圖形是橢圓。 利用定理 1, 這 個橢圓不是圓。

也談二次曲線

⁷⁹

例題2: f (x, y) = x

²

+ xy − 2y

²

+ x + y= 0。

很容易檢查 f (x, y) = 0 的圖形不是空 集合, 也不是退化曲線。

利用定理 2, 因為

x

²

+ xy − 2y

²

= (x − y)(x + 2y) (⇔ u

²

+ u − 2 = 0 的二根是 1 或 −2), 故 f(x, y) = 0 代表雙曲線。

例題 3: f (x, y) = x

²

− 4xy + 4y

²

− y− 1 = 0。

f(x, y) = 0 的圖形不是空集合, 也不是 退化曲線。 因為 x

²

−4xy+4y

²

= (x−2y)

²

, 故 f (x, y) = 0 代表一個拋物線。

三 . 討論

定理 2 的基本精神, 如果從射影機幾何 的觀點來看, 就變得非常直觀。 在本節的說明 中, 我們假設讀者知道射影平面的定義。

我們把歐氏平面的點 P (x, y) 放在實 射影平面。 設射影平面上的齊次坐標為 (x : y : z), 歐氏平面上點 (x, y) 的齊次坐標為 (x : y : 1)。 z = 0 就是所謂的無窮遠線 (the line at infinity)。

歐氏平面上的二次曲線 f (x, y) = Ax

²

+ Bxy + Cy

²

+ Dx + Ey + F = 0 在 實射影平面的閉包 (Zariski closure) 是二次 射影曲線 F (x, y, z) = Ax

²

+Bxy +Cy

²

+ Dxz+ Eyz + F xy = 0。 定理2可敘述如下:

定理 2

^′

: 設 A, B, C, D, E, F 都是 實數且 f (x, y) = 0 的圖形含有一個實數點, 並且 f (x, y) = 0 不是退化曲線, 則

(i) 當 F (x, y, z) = 0 與 z = 0 如果有兩 個相異實交點, 則 f (x, y) = 0 代表雙 曲線;

(ii) 當 F (x, y, z) = 0 與 z = 0 如果有一 個重數為 2 的實交點, 則 f (x, y) = 0 代表拋物線;

(iii) 當 F (x, y, z) = 0 與 z = 0 沒有實交 點, 則 f (x, y, z) = 0 代表橢圓。

註釋 :

註1: f (x, y) = 0 的圖形是空集合的充 分必要條件是 f (x, y, z) 或 −f (x, y, z) 可 寫成 L

² 1

+L

² 2

+L

² 3

, 其中 L

i

:= a

i

x+b

i

y+c

i

(a

i

, b

i

, c

i

是實數) 且直線 L

1

= L

2

= L

3

= 0 沒有交點。

註2: 利用配方法, f (x, y) 可寫成 α

1

L

² 1

+ α

2

L

² 2

+ α

3

L

² 3

其中 L

ⁱ

= a

ⁱ

x+ b

ⁱ

y+ c

ⁱ

(a

ⁱ

, b

ⁱ

, c

ⁱ

, α

ⁱ

都 是實數)。 由此可證明 f (x, y) 可分解成兩個 複係數的一次因式的乘積的充分必要條件是 α

1

α

2

α

3

= 0, 因此可導出 ∆ = 0

—本文作者任教於台大數學系—