勾股定理證明-G192
【作輔助圖】
1. 以 AC 為邊長向內作正方形 ACFG .
2. 延長 CA 至 H 點使得 AH AB，作正方形 AHKL . 3. 延長 GL 至 E 點使得 GECB，作正方形 GEDR . 4. 過 G 點作平行 AB 的直線，交 RD 於 P 點。
5. AL 上取一點 S 點使得 LS GP，連 SK . 6. 過 H 點作垂直 SK 的直線，交 SK 於 N 點。
7. 過 L 點作垂直 SK 的直線，交 SK 於 O 點。
8. 過 B 點作垂直 AB 的直線，交 FG 於T 點。
9. KL 上取一點 Q 使得 QK BT，過 Q 點作垂直 SK 的直線，交 SK 於 M 點。
A B C
D H
K
L
M N
O P
Q
R S
G
F
E T
【求證過程】
證明正方形 AHKL 面積等於正方形 GEDR 的面積加上正方形 ACFG 的面積，最後推 出勾股定理的關係式。
1. 證明三角形 LSO 與三角形 GPR 全等：
設 CAB x, CBA y，且已知xy 90。因為RG/ /CA, GP/ /AB ，所以 RGP CAB x
。因為 OLS x RGP, LOS 90 GRP, LS GP， 所以
LSO GPR
(AAS).
2. 證明三角形 KLO 與三角形 ABC 全等：
因為 LSO GPR，所以 LO GR a BC，又因為KOL90 ACB, KL c AB，所以
KLO ABC
(RHS 全等).
3. 證明三角形 KQM 與三角形 BTF 全等：
因為 KLO ABC，所以 OKL CAB x，又因為 BTF 中，
90
FBT CBA x
，所以 MKQ OKLx FBT。因為 MKQ FBT,
90
KMQ BFT
, QK BT，所以 KQM BTF
(AAS).
4. 證明四邊形 QMOL 與四邊形 PDEG 全等：
因為 KLO ABC，所以 KLO ABC y，又因為
90 90
EGP RGP x y
，所以 KLO y PGE。因為
QLO KLO y PGE
, QMO90 PDE, MOL90 DEG，所以
QMOL PDEG
四邊形 與四邊形 的四個內角都對應相等。
因為 KLO ABC，所以 OK CAb，又因為 KQM BTF ，所以 KM BF ， 可推得
MOKOKM b BF CFBF CB a DE， 因為 KLO ABC，所以
OLCB a EG， 故
QMOL PDEG
四邊形 與四邊形 全等。
5. 證明三角形 HKN 與三角形 ABC 全等：
因為NKH 90 OKL90x y CBA, HNK 90 ACB, HK c AB，所以
HKN ABC
(AAS 全等).
6. 證明四邊形 ASNH 與四邊形 BTGA全等：
因為 HKN ABC，所以 NHK CAB x，可推得
90 90 90
AHN NHK x CAB BAG
，又HAS 90 ABT, 90
SNH TGA
，因此
ASNH BTGA
四邊形 與四邊形 的四個內角都對應相等。
因為 HKN ABC，所以 HN AC b，可推得 HN b AG，又 HA c AB，
故
ASNH BTGA
四邊形 與四邊形 全等。
7. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
AHKL LSO KQM QMOL
HKN ASNH
GPR BTF PDEG
ABC BTGA
正方形 面積 面積 面積 面積
面積 面積
面積 面積 面積
四邊形
四邊形
四邊形
四
面積 面積
邊形 (
(
GPR PDEG
BTF ABC BTGA
GEDR ACFG
面積 面積)
面積 面
四邊形
四邊形
積 面積)
面積
正方形 正方形 面積，
即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis ) 在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是他想 到的。
2. 心得：此證明滿直觀的，就是證明正方形AHKL 切割出來的所有區塊的面積等於正 方形 GEDR 的面積加上正方形 ACFG 的面積，就能推導出勾股定理的關係 式，證明過程必須一步一步地證明圖形的全等關係，才能得到三個正方形的 面積關係。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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4. 補充：
(1) 此證明在魯米斯的書中所提的作圖是錯誤的，書上說S 點要滿足 LS AC是 錯誤的， S 點要滿足 LS GP才是正確的。
(2) 此證明為拼圖證明，其拼法可參考下圖：
