數學化教學︰整除性檢定 楊思敏

數學化教學︰整除性檢定

楊思敏

聖公會置富始南小學 馮振業

香港教育學院數學系

數學化觀點

隨著時代的轉變，社會的進步，如今小學數學科所教授的內容大都能 利用一般的電子計算機完成，不期然讓人質疑學數學的意義。的確，現今 的學生不應只是單純地學習特定的題材，盲目地進行操作訓練、追求準確 度。Freudenthal（1973, 1991）提出以數學化（Mathematising）觀點組織數 學教學。「數學化」就是數學產物由無到有，由粗疏變精密的過程。在過程 中，學習者以數學方法、手段或工具去認識及組織現實經驗。而學數學的 真正意義，就是參與這個數學「再創造」（re-invention）的過程。

研究範式

德 國 數 學 教 育 家 Wittmann （ 1995, 2001 ） 提 出 以 「 系 統 進 化 」

（Systemic-evolutionary）的「設計科學」（Design science）範式處理複雜的 教學問題，從教學單元的研究入手，對不同課題的教學作出小心設計。是 次的研究報告就是希望以這種發展性研究（Developmental Research），根據 數學化的觀點對整除性一課題進行設計、施教、評鑑及反思，以體驗數學 化觀點在教學設計上所起的作用。

數學化教學

「數學化」觀點，被馮（1999）首次引進香港，作為教學研究計畫「數 學化教學」的指導思想。他指出現今數學教育往往只著重數學最終成果的 運用，忽略數學原理的推演，妨礙學生思考數學、理解數學，形成教學斷 層（馮、王、葉、何，2000）。「數學化教學」正正是針對這個廣被忽略的 教學斷層，主張讓學生從現實世界的經驗開始，經歷數學產物由衍生、改 良、到精煉的數學化過程。

沒有數學的世界 懂一些簡陋數學 懂一些精密數學

形成數學產物 的階段

改良數學產物 的階段

運用數學產物 的階段

數學化教學重視的部分

（教學斷層） 目前著重的部分

數學化觀點的作用

於 2004 年的香港數學教育會議上，馮對數學化觀點如何指導研究工 作，作了更進一步的解釋。在數學化教學的執行方式之下，有三個重要的 研究對象：骨架方案、執行方案和實踐檢驗。在研究課題教學設計時，骨 架方案所指的是學習經驗的宏觀布局，執行方案就是教學進行的具體細 節，而實踐檢驗便是教學的實踐部分。他提出九個關注項目如下：

（一） 主體內容是否遵遁由無到有，由粗疏變精密的推演過程？

（二） 教學發展有否充分照顧，學生運用其已建構的知識和技巧，透過具 體的科學辯證手法，再創造新數學知識的學習規格？

（三） 教學軌道是否充分體現數學思想的發展，和具一般性的數學方法？

（四） 教學設計在實踐的課室環境是否具備一定的可行性？

（五） 教學設計有否措施舒緩差異對教學發展構成的壓力？

（六） 教學設計有否照顧孕育適當數學語言的需要？

（七） 教師能否讓內容重點快速、準確和清晰地在學生面前呈現？

（八） 教師能否透過充分示範和適當回饋，讓學生掌握數學獨特的思考方 法和語言運用？

（九） 教師有否重視培養有利學習數學的工作習慣和態度？（馮，2004）

上述（一）、（二）、（三）、（六）、（八）、（九）項，可算是「數學化觀 點」的自然引伸。教學由設計到執行有多「數學化」，就得看這些關注項目 有多大程度得到照顧。

一般書的做法

在 2002 年推行的新小學數學課程中，除了 2、5、10 的整除性外，其 餘的整除性被放入增潤課程（香港課程發展議會，2000）。

觀察市面上的教科書，大多會在這個課題上利用觀察規律的歸納推理 模式，讓學生在大量的同樣能被某數整除的數中，找出其整除性檢定法，

然後再進行大量操練（可參考林、陳（2002），《現代數學》4 上 B 冊）。面 對這個看似理所當然的教學設計，不期然讓人疑惑︰透過觀察，似乎找出 整數的某些特性，但究竟是甚麼導致整數有這樣的一個整除特性卻無從得 知。在不知其原因的情況下，學生只能死記各個不同的整除性，教學流程 並未能進一步培養學生有系統的數學思維能力。

高等數學的做法

事實上，整除性檢定法的發展是源於對數值、整除與餘數關係的理解，

背後有著嚴謹的證明支持（可參考文、梁、吳（2000），《基礎數學引論》，

99 − 101 頁）。而 6 的整除性，更是利用了以下定理：

定理 1 設 a、b 互質正整數，則 m 是 a 和 b 的公倍數當且僅當 m 是 ab 的 倍數。

證明 當 a、b 互質，必存在整數 x 和 y 使 ax + by = 1。 (1) 由 m 是 a 和 b 的公倍數得知必存在整數 k 和 n 使 ak = m (2)

及 bn = m。 (3) 將 (1) 式乘以 m，得 m(ax + by) = m，即 axm + bym = m。 (4)

將 (2) 式、(3) 式代入 (4) 式，便有 axbn + byak = m，即存在整數 (xn + yk) 使 ab(xn + yk) = m，得證 m 是 ab 的倍數。

逆定理明顯，此處從略。

在以上的論證中，清楚顯示兩數互質是證明的關鍵，使等式 ax + by = 1

存在，進而推得所需結果。

儘管上述結果能一般地提供整除性檢定法則聯結運用的可行性，不幸 地，以上的論證涉及小學生不懂的定理、抽象的表達、及高層次的數學語 言，不可能全盤搬到小學的教學上。如果繞過理解與證明，恐怕只能著學 生相信這些檢定法了。

骨架方案

根據數學化教學的執行方式，整個骨架方案（附件一）的設計過程中，

最重要的考慮是如何將嚴謹的思考過程，以學生明白並能參與的形式表達 出來。以下會分別由宏觀的主體內容的推演、辯證手法及數學思想和方法 三方面作出討論。

一、主體內容的推演。從一個宏觀的角度來看，主體內容必須遵循由 無到有，由粗疏變精密的推演過程（馮，2004）。單看各個整除性檢定的「口 訣」，並沒有難易之分，最多只可介定有些整除性檢定法較易表達和運用，

有些則需要較多的計算，當中談不上甚麼由粗疏變精密的推演。然而，透 過了解整除性檢定法則的證明，可以清晰地了解到它們之間存在不同的層 次。根據背後理念的複雜程度，及推演過程中所需的思維精密程度，整個 教學順序首先會是 2、5、10 的整除性，因為這個最易理解，然後是 4 和 8 的整除性，由於這兩個的整除性檢定法則原理相近，同是要確立某位值以 上的數必能被檢定數整除，可以不必考慮，學生較容易接受此思考模式，

因此放在較前的順序。當有以 4、8 整除性的經驗後，便可嘗試加入各位值 均非檢定數的倍數的情況。以 9 和 3 除各位值時，同樣餘 1，可放在 4 和 8 後，引導學生思想餘數與整除性的關係。不過，先教授 9 的整除性會較合 乎學生的進度，因為較易看出餘數。而檢定 11 的奇偶位差法則是由餘數是 10 和 1 相間的現象得出，與 3、9 儘管近似，卻較複雜。雖然同是考慮各 位值的餘數，但另加要求學生留意奇偶位值的餘數的特點，並加以組合，

才能理出奇偶位差法的原理，較適合緊隨 3、9 的整除性教授。最後，才進 入要繞過互質概念的 6 的整除性。

二、辯證手法。教學發展需要充分考慮，讓學生運用其已建構的知識 和技巧，並透過具體的科學辯證手法，再創造新數學知識的學習規格（馮，

2004）。就以上的觀點，在詳細的教學設計上，需要先考慮甚麼是學生已掌

握的。學生對整除觀念最根本的理解是︰當一個整數能被 a 整除，即該整 數滿足每 a 個一數，沒有餘數。當中只要抓緊這一個原理，引導學生按位 值考慮能否每 a 個一數，或進一步將 a 的倍數移走，再根據餘下數粒的數 目特質，推敲出相應的整除性檢定法則。在整個學習過程中，還需要考慮 如何具體、有系統地辯證整除性檢定的原理。要進行這樣的教學發展，必 須有方便展示位值、移走倍數和顯示餘數的輔助工具。此次實驗用上了十 進制積木，切實地向學生展示所檢數的各個位值，然後按位值移走檢定數 的倍數，並將其餘數展示出來，使學生實在地感受到整除概念的運作。更 重要的是，透過這樣的具體物演示，學生便掌握到一套具一般性的方法。

在整個課題的學習過程裏，這手法會重複出現，推導不同的檢定法則。學 生不單可以以此為科學辯證的基礎，甚至可以運用它去自行發掘整除性檢 定法則。這麼一來，學生便有了再創造數學的主動權，不必再事事依賴教 師講解。

以下以 4 的整除性作為例子︰

1. 重申整數可以按位值展開，並具體地以十進制積木展示出來。

3552

= 3000 + 500 + 50 + 2

3000 500 50 2

2. 針對學生在操練背後，對「除」的概念仍然薄弱的事實，須先引導學 生釐清「整除」的意義︰可被 4 整除的整數，一定可以每 4 個一組排 列，沒有剩餘。

3. 按整數的位值，逐一觀察，在「整除」的意義上，把檢定數的倍數，

從各位值中移走，把所檢數是否檢定數的倍數的問題，化為各位值上 殘餘的數，合起來是否檢定數的倍數的問題。

4. 先觀察百位位值，歸納出︰由於 1 塊 100 積木能每 4 粒一組排列，沒 有剩餘，2 塊 100 積木當然也能滿足每 4 個一組排列，沒有剩餘。如 此類推，能寫成 100 的倍數的整數，均能被 4 整除。

5. 換言之，百位及更高位值的數字可以不理，因它們代表的數都是 4 的 倍數。

6. 由此推論出我們只要著眼於餘下的十位和個位，原數能被 4 整除當且 僅當其十位和個位所組成的兩位數能被 4 整除。

4、8、9、3 及 11 的整除性檢定均可透過以上的整理手法向學生展示（附 件二︰9 的整除性檢定法之教學設計），唯在 11 的整除性檢定法，與其它的 略有分別，老師需要引導學生觀察以 11 除各位值時，餘數 1 和 10 是交替 出現，只要將奇、偶數位值的餘數湊合，便能得出奇偶位差法。

至於 6 的整除性檢定法的教學設計，則與前述有所不同。6 的整除性 涉及兩個互質因數的整除性的結合，即只要一個整數能同時被 2 和 3 整除，

該整數必為 6 的倍數。觀乎現今一般教科書的處理手法，大都以十行表來 顯示 6 的倍數與其因數 2 和 3 的關係（可參考林、陳（2002），《現代數學》

4 上 B 冊），一來欠缺普遍性，二來由於沒有強調其因數 2 和 3 是互質的關 係，容易混淆學生，使誤以為所有合成數都有這樣的特性。事實上，6 有 這樣一個整除性不單單是因為 2 乘以 3 等於 6 這個關係，還因為 2 和 3 是 互質的（證明見上文定理 1）。然而，在小學四年級這階段，學生是未曾接 觸過互質概念。面對這種情況，只有繞過互質概念，放棄證明的普遍性，

追求能用於此特殊情況（即某數是 2 和 3 的公倍數當且僅當它是 6 的倍數）

的解說。因此在演繹上，最重要的考慮是如何以具體的手法，令學生理解 不是所有的合成數均有這種特質，並明白其衍生的過程。

在這發展脈絡上，最直接的方法就是向學生提出反例子，例如︰20 可 以分別被 2 和 4 整除，但卻不能被 8 整除。接著，更可進一步以數粒向學 生展示推論過程。

以下是具體的處理手法︰

能被 6 整除必定能被 2 和 3 整除

1. 能被 6 整除的整數，以數粒表示，即可以每 6 粒一組，沒有剩餘

… …

2. 引導學生觀察其排列，得出 6 的倍數必定能排成 2 粒一組及 3 粒一組

… …

… …

同時是 2 和 3 的倍數必定能被 6 整除

3. 先由 2 的倍數開始，利用數粒排出 2 的倍數（必成兩排同長）

… …

4. 在分兩排的情況下，每排獨立進行每 3 粒一組︰

可能性一

… …

可能性二

… …

可能性三

… …

5. 觀察得出：同時是 2 和 3 的倍數，可能性一和二不會出現。剩下可能 性三必定能滿足每 6 粒一組排列，沒有剩餘

… …

6. 若時間許可，可以用上述的方法考慮 8 的整除性不可能由 2 和 4 的整 除性推得，即 2 和 4 的公倍數不一定是 8 的倍數（這樣可以進一步鞏 固學生對證明關鍵的理解）。

回顧整個展示過程中，是以學生的已有知識出發，並以具體的數粒操 作作為引導，並沒有涉及超乎學生的知識和能力，使學生能順暢地理解整 性檢定法的由來。

三、數學思想和方法。骨架方案中的教學軌道須充分體現數學思想發 展，和具一般性的數學方法（馮，2004）。上述的教學軌道，說穿了，只是 同餘概念的具體演示。這樣的「化大為小」，去除阻人視線的大部份，著眼 探討關鍵的小部份，是重要的數學思想，能開眼界，對學生實有莫大的益 處。為了配合此觀點，是次教學的整體設計均以十進制積木作為貫穿，換 算的操作與模式相近，至於工作紙的設計亦與課堂上的換算操作相似，讓 學生按照統一的軌道，思考出其他的整除性，有助學生培養有系統的數學 思維。

執行方案

在執行方面，需要以骨架方案為主幹，就課堂的限制作出微調，成為 合用的執行方案，以下根據可行性、差異處理和數學語言三方面透視執行 方案的布置︰

四、教學設計在實踐的課室環境需要具備一定的可行性（馮，2004）。

根據骨架方案，最理想的教學就是讓學生有機會親身利用十進制積木進行 換算，然而礙於物資的限制，唯有改以教師作黑板示範，透過提問，鼓勵 學生參與討論演化的過程。另外，由於課時所限，未能每一個整除性均詳 細論及，考慮到 4、8、3、9、11 的整除性分析方法較為接近，無太大壓縮 的空間，決定在 6 的整除性上只作簡略介紹。

五、教學設計需有措施舒緩差異對教學發展構成的壓力（馮，2004）。

是次研究，並未有詳細的考慮舒緩差異的措施。然而，重複出現的「按位 值考慮餘數」的策略，應可照顧能力不同的學生的進度差異。

六、教學設計要照顧孕育適當數學語言的需要（馮，2004）。在此課題，

要特別培育學生對位值描述的準確性，例如︰在 4 的整除性上，只要刪去 百位以上的數字後，剩下的兩位數能被 4 整除，其原數便能被 4 整除，但 決不能說成「只要最後兩個數字能被 4 整除，其原數便能被 4 整除」。另外，

如何引導學生有條理地說清辯證過程，也是一重要的關注點。要達至以上 兩個重點，老師除了要掌握準確的表達外，還須要求學生以正確、完整的 數學語言回答及陳述。在工作紙的設計方面，亦刻意將整個辯証過程及模 式由黑板搬到紙上（附件三、四），讓學生自己有多些機會體驗其過程，從 中學會準確的表達。

課堂實踐︰學生學習的成效

筆者之一曾就設計於四年級中進行一次試驗，根據工作紙（附件三）

中學生的整體表現，顯示全班四十名學生均能順利地掌握整除性發展的思 考過程，其中超過八成的學生更能單靠工作紙（附件四）的協助，進行模 仿，從而自行找出 3 的整除檢定法。另外，依據對四位能力不同的學生所 進行的問卷調查（附件五）顯示，雖然他們的學習存在差異，但四位均能 準確說出各個整除檢定法，當中有中等或以上能力的學生已能正確地理解 及轉述 4 和 8 的整除檢定法背後的原理，數學能力較高的學生更能進一步

清楚地演示 9 的整除檢定法的由來，顯示對課題有高度理解，而能力稍遜 的學生亦表示對課題甚感興趣。因此，有理由相信，以十進制積木作為演 繹推理的媒介，是有效的教學設計，能把具體的實物操作為思考的起點，

總結出數學產物。這樣既有助學生對各整除檢定法的記憶，減少混淆情況 的出現，亦能向學生介紹有效的數學思考模式。

然而，在施教的過程中，並不是一面倒的順利。根據上文提及是次有 關 8 之整除性的教學設計，放棄了以教科書提供的較複雜的版本︰「一個 數的最後兩位數是 4 的倍數，不是 8 倍數，而百位數字是單數時，這個數 便可以被 8 整除。一個數的最後兩位數是 00 或 8 的倍數，而百位數字是雙 數時，這個數也可以被 8 整除。」，改以較適合學生理解的定義︰「一個數 的個、十、百位所組成的數是 8 的倍數時，這個數便可以被 8 整除。」但 發現學生的學習文化慣於依賴教科書的內容，即使不理解箇中原因，學生 也是自然地傾向背誦。由於學生不明所以，導致背誦錯漏百出，教學上有 一定的困難，耗掉了一些時間。

改良建議

在施教之後，發現除了數學語言的運用仍需改善外，教學設計亦有修 訂的空間。首先，在前文提及，工作紙是一件有效引導學生的工具，使他 們利用已學的思考過程，自行歸納其他的整除性。以 3 的整除性檢定為例，

此課題是緊貼 9 的整除性檢定之後，自己只是著學生完成工作紙（附件 四），學生便能根據工作紙所得的經驗，說出 3 的整除性檢定法及其背後原 因，並不需要額外的課節來教授。因此，工作紙在整個教學流程中的角色，

可以更重要，由只在 3 的整除性中使用，推廣到 8、11 的整除性上。相信 這會令學生的學習自主性增強，刺激思考。

最後，我們認為在 6 的整除性部分，可變得更具啟發性，在進行前述 的教學步驟之前，可以著學生以前幾節的經驗，先觀察各位值的餘數，從 中找尋關係，就各十位以上的位值除以 6 均餘 4 的現象，討論可行的整除 性檢定法，如︰將十位以上的數字相加，將總數再乘以 4，最後加以個位 的數值，所得的總和如能被 6 整除，原數便能被 6 整除。再通過驗算，讓 學生自行確定方法是否正確，增加學習興趣。接著再提出是否可透過 2 和 3 的的檢定法檢查 6 的整除性的探討，待得到結論後再與已知方法比較，

著學生評價兩個方法的優劣，加深學生對整除性檢定法的認識。

結論

總結是次研究的經驗，發覺在數學化觀點的指導下，教學的設計不但 能配合學生的能力與經驗，更會讓他們經歷數學衍生的過程，一方面漸進 地鞏固概念的掌握，另一方面培養學生以具一般性的數學方法去思考問 題。以整除性一課題為例，從前學生只能著眼於技術上的運用，只要熟背 法則便足夠。如今透過具體物操作的輔助，再創造各個整除性檢定法則，

使能體驗數學獨特的思考模式。這樣的學習經驗，不但有助學生理解整除 性，亦可加深學生對位值、除法意義的認識，能提升學生的數學修養。

參考文獻

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馮振業、王倩婷、葉嘉慧、何妙珍（2000）。《數學化教學 — 除法》。香港：作者。

附件一︰骨架方案流程圖

根據以上的各個考慮，發展出以下的骨架流程圖︰

4 的整除性

透過十進制積木，向學生展示 4 的整除檢定法則。

9 的整除性

利用十進制積木，按各個位值被 9 除後的餘數，進行演化，引導 學生以整除的定義為基礎，想出 只要各位值上的餘數之和能被 9 整除，該數便能被 9 整除，因 而衍生 9 的整除檢定法。

以 4 的整除性之思考過程為基 礎，在十進制積木的協助下，鼓 勵學生考慮位值，思考出 8 的整 除檢定法。

8 的整除性（可讓學生自行發現）

以 9 的整除性之思考過程為基 礎，在十進制積木的協助下，思 考出 3 的整除檢定。

3 的整除性（可讓學生自行發現）

以數粒向學生展示 6 的倍數，同 時一定能被 2 和 3 整除，相反地，

同時是 2 和 3 的倍數之數值，必 定是 6 的倍數。

6 的整除性 11 的整除性

引導學生留意各位值的除以 11 後，所得餘數的規律，從而想到 其整除性檢定法。

利用十行表，透過觀察，幫助學生綜合出 其整除性。

2、5 和 10 的整除性

向學生清晰地介定整除的定義︰可被某數 整除的整數，一定可以該數為單位分組。

定義

附件二︰9 的整除性

9 的整除性檢定法與 4 和 8 的整除性檢定法雖有分別，但亦能透過十 進制積木的操作，將其法則的衍生過程表達出來。以下是詳細的過程︰

1. 以學生熟識的方法表達整數 3231 = 3000 + 200 + 30 + 1

3000 200 30 1

2. 引導學生觀察每一個數值，得出各位值（1、10、100、1000 …）均不 能被 9 整除，但卻有一特點︰十位、百位、千位 … 被 9 除均餘 1 3. 因而得出 3 個 1000 的十進制積木每 9 粒一數便餘 3 粒，2 個 100 的十

進制積木每 9 粒一數便餘 2 粒、3 個 10 的十進制積木每 9 粒一數便餘 3 粒、以及餘下個位的數目

3231 = 3000 + 200 + 30 + 1

3000 200 30 1

4. 最後得出︰餘下的所有數粒的總和（即所檢數各位數字的總和）能被 9 整除當且僅當原數便能被 9 整除，亦即︰3 + 2 + 3 + 1 能被 9 整除當

附件三︰工作紙（有關 9 之整除檢定的背後理念）

附件四︰工作紙（有關 3 之整除檢定的背後理念）

附件五︰不同數學能力學生的訪問結果 一、高能力學生之問卷

第一頁

表達雖欠完整，但足 以顯示對 9 的整除檢 定原理有充分理解。

第二頁

二、中等能力學生之問卷（1）

8 的整除檢定法錯 誤，這是學生依賴 背誦的結果。

顯示對 4 和 8 的整除檢定 之原理有清晰的理解。

第一頁

只 能 演 示 其 檢 定 的操作，未能清楚 指出其背後原理。

第二頁

二、中等能力學生之問卷（2）

顯示對 4 和 8 的整除檢 定之原理有清晰的理 解，唯表達欠完整。

第一頁

同學表示不知如何表 達，但在工作紙的幫助 下能理解其背後原因。

第二頁

三、能力較遜學生之問卷

能準確背出書中 8 的檢 定法，但卻不能清楚表 達，更不能解釋為何可 以得出這樣的操作。

第一頁

第二頁