第二章矩陣

(1)

第二章矩陣

2.1 矩陣運算 2.2 矩陣運算特性 2.3 反矩陣

2.4 基本矩陣

2.5 矩陣運算的應用

Elementary Linear Algebra 投影片設計編製者 R. Larsen et al. (6 Edition) 淡江大學電機系翁慶昌教授

2/95

2.1 矩陣運算



矩陣 (Matrix)

n m

n 3 m

2 1

3 33

32 31

2 23

22 21

1 13

12 11

M ]

[ _



















mn m

m m

n n n

ij

a a

a A







第(i,j)個元素: a_ij 列: m

行: n 大小: m×n

線性代數: 2.1節 p.58

(2)

3/95



第i個列向量 (row vector)



第j個行向量 (column vector)



i i in



i a a a

r  ₁ ₂ 















mj j j

j

c c c

c 

2 1

列矩陣 (row matrix)

行矩陣 (column matrix)



方陣:

m=n

線性代數: 2.1節p.59

4/95



對角矩陣 (diagonal matrix)

) , , ,

(d₁ d₂ d_n diag

A  _n _n

n

M d d

d

 



























0 0

2 1



跡數 (trace)

n n ij] [a A _ 若

ann

a a A

Tr( ) ₁₁ ₂₂ 則

線性代數: 2.1節補充

(3)

5/95



範例：





 4 5 6 3 2

A 1 

 





2 1

r r



c1 c2 c3







1 2 3



,

1

r r₂ 



4 5 6



4 , 1

1 





c ,

5 2

2 





c 



 6 3 c3





 4 5 6 3 2 A 1



6/95

n m ij n

m

ij B b

a

A[ ] _ , [ ] _ 若



相等(equal)矩陣

n j m i b

a B

A _ij  _ij 1  , 1 

若且唯若

則



範例 1：相等矩陣





 

 



d c

b B a

A 4

3 2 1

B A 若

4 , 3 , 2 ,

1   

 b c d

則 a

線性代數: 2.1節 p.58

A 和 B 的大小必須相同

(4)

7/95



矩陣相加 (matrix addition)

n m ij n

m

ij B b

a

A[ ] _ , [ ] _ 若

n m ij ij n m ij n m

ij b a b

a B

A [ ] _ [ ] _ [  ] _ 則



範例 2：矩陣相加





 











 





 





3 1

5 0 2

1 1 0

3 2 1 1 2

1 3 1 1 0

2 1







































2 3 1 2

3 1

























2 2

3 3

1 1

















 0 0 0

線性代數: 2.1節 pp.59-60

A 和 B 的大小必須相同

8/95



矩陣相減 (matrix subtraction)

B A

B

A  (1)



純量積 (scalar multiplication)

A[a_{ij m n}] _ , cA[ca_{ij m n}] _ c:

若則常數



範例 3：純量積與矩陣相減





















2 1 2

1 0 3

4 2 1

A 與





















2 3 1

3 4 1

0 0 2 B

求 (a) 3A, (b) -B, (c) 3A-B。

線性代數: 2.1節 p.60

(5)

9/95

(a)





















2 1 2

1 0 3

4 2 1 3 3A

(b)

 























2 3 1

3 4 1

0 0 2 1 B

(c)









































2 3 1

3 4 1

0 0 2 6 3 6

3 0 9

12 6 3 3A B

解:





















6 3 6

3 0 9

12 6

     

3

     

3 1 3 2 3 4

3 3 3 0 3 1

3 2 3 1 3 2

 

 

   

 

 





















2 3 1

3 4 1

0 0 2





















4 0 7

6 4 10

12 6 1

線性代數: 2.1節 p.61

10/95

矩陣乘法

售出物品的數量

花生熱狗汽水銷售價格

南販賣部 120 250 305 2.00 (花生) 北販賣部 207 140 419 3.00 (熱狗)

西販賣部 29 120 190 2.75 (汽水)

南部銷售額 = 120 2.00 250 3.00 305 2.75 1828.75     



¹²⁰ ²⁵⁰ ^{305 3.00}



^2.00 ^1828.75

2.75

 

  

 

 

線性代數: 2.1節 p.61

(6)

11/95

120 250 305 2.00 207 140 419 3.00 29 120 190 2.75

120 2.00 250 3.00 305 2.75 1828.75 207 2.00 140 3.00 419 2.75 1986.25 29 2.00 120 3.00 190 2.75 940.50

   

   

   

    

   

   

        

        

   

北部銷售額 = 207 2.00 140 3.00 419 2.75 1986.25     

西部銷售額 = 29 2.00 120 3.00 190 2.75     940.50

12/95

120 250 305 2.00 1.80 2.10 2.00 207 140 419 3.00 2.75 3.05 2.80 29 120 190 2.75 2.5 2.80 3.00

1828.75 1666.00 1868.50 1855.00 1986.25 1805.10 2034.90 2063.00 940.50 857.20 958.90 964.00

   

   

   

 

 

  

 

 

第一季第二季第三季第四季

(7)

13/95



矩陣相乘 (matrix multiplication)

p n ij n

m

ij B b

a

A[ ] _ , [ ]_

若則 AB[a_ij]_m__n[b_ij]_n__p [c_ij]_m__p

相等

AB的大小

nj in n

k

j i j i kj ik

ij a b a b a b a b

c 



   





1

2 2 1 1

其中











































in ij

i i nn nj

n

n j

nn n

n

in i

i

n

c c

c c b

b b

b

b b

b

a a

a

a a

a

a a

a























2 1

1

2 2

21

1 1

11

2 1

1 12

11

線性代數: 2.1節 p.62&p64

14/95





















0 5

2 4

3 1

A 與







 

1 4

2 B 3



範例 4：求解下列兩矩陣的乘積

解:











































) 1 )(

0 ( ) 2 )(

5 ( ) 4 )(

0 ( ) 3 )(

5 (

) 1 )(

2 ( ) 2 )(

4 ( ) 4 )(

2 ( ) 3 )(

4 (

) 1 )(

3 ( ) 2 )(

1 ( ) 4 )(

3 ( ) 3 )(

1 ( AB





















10 15

6 4

1 9

線性代數: 2.1節 pp.62-63

(8)

15/95 線性代數: 2.1節補充

範例

1 2 3 4

 

 

 

1 0 1 2 0 1 3 4

   

    

   



^{1   }³ ² ⁴

  

¹¹

3 6 4 8

 

 

 

1 2 1 0 3 4 0 1

   

   

   

1

1 2 3 1 0 0 1 0 0 1 2 3 1 2 3

4 5 6 0 1 0 0 1 0 4 5 6 4 5 6

7 8 9 0 0 1 0 0 1 7 8 9 7 8 9

         

         

         

         

2 

^{1 2}



³

4

 

  

3  

3 1 2 4

  

  

4

16/95 線性代數: 2.1節補充

範例

1 2 5 6 3 4 7 8

   

   

   

1

5 6 1 2 7 8 3 4

   

   

   

2

19 22 43 50

 

 

 

23 34 31 46

 

 

 



AB BA

矩陣乘法不滿足交換律

(9)

17/95



線性方程式系統之矩陣形式





















m n mn m

m

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a







2 2 1 1

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11







































m n

mn m

m

n n

b b b

x x x

a a

a

a a

a

a a

a









2 1

2 22

21

1 12

11

= = =

A x b

條線性方程式 m

單一矩陣方程式 b x A

1

 nn

m m1



線性代數: 2.1節 p.66

18/95



分割矩陣 (partitioned matrices)



 























22 21

12 11

34 33 32 31

24 23 22 21

14 13 12 11

A A

A A a

a a a

a a a a

a a a a A

子矩陣





































3 2 1

34 33 32 31

24 23 22 21

14 13 12 11

r r r

a a a a

a a a a A



1 2 3 4



34 33 32 31

24 23 22 21

14 13 12 11

c c c c a a a a

a a a a

A 



















(10)

19/95



n



mn m

m

n n

c c

c a

a a

a

a a

a

A 







2 1

2 22

21

1 12

11





























 xn

x x x 

2 1

2 1 2 1 1

2 2

22 1 21

1 2

12 1 11





















n m mn m

m

n n

x a x

a x a

x a x

a x a

x a x

a x a Ax









矩陣A之行向量的線性組合 (linear combination)

(A之行向量的線性組合)















mn n n

n

a a a x 

 ²

1















1 21 11

1

am

a a x 















2 22 21

2

am

a a x 

c1 c₂ c_n

線性代數: 2.1節

20/95

摘要與複習 (2.1節之關鍵詞)

 row vector: 列向量

 column vector: 行向量

 diagonal matrix: 對角矩陣

 trace: 跡數

 equality of matrices: 相等矩陣

 matrix addition: 矩陣相加

 scalar multiplication: 純量積

 matrix multiplication: 矩陣相乘

 partitioned matrix: 分割矩陣

(11)

21/95

2.2 矩陣運算的性質



三種矩陣基本運算:

(1) 矩陣相加 (2) 純量積 (3) 矩陣相乘



零矩陣 (zero matrix)：

0_m_n



n階單位矩陣 (identity matrix of order n)：

I_n

線性代數: 2.1節pp.75-81

22/95



矩陣相加與純量積的性質

則(1) A+B = B + A

(2) A + ( B + C )=( A + B ) + C (3) ( cd ) A = c ( dA )

(4) 1A = A

(5) c( A+B ) = cA + cB (6) ( c+d ) A =cA + dA

純量若 A,B,CM_m__n, c,d:

線性代數: 2.1節 p.75

(12)

23/95



零矩陣的性質

純量若 AM_m__n, c:

A 0

A ) 1

(  _m__n  則

n

0m

(-A) A

(2)   _

n m n

m c 0or A 0

0 cA ) 3

(  _    _



注意：

(1) 0_m×n: 所有m×n矩陣的加法單位矩陣

(2) -A: 矩陣A的加法反元素(additive inverse)

線性代數: 2.1節 p.77

24/95



矩陣相乘的性質

(1) A(BC) = (AB)C (2) A(B+C) = AB + AC (3) (A+B)C = AC + BC (4) c (AB) = (cA) B = A (cB)



單位矩陣的性質

A AI

n Mm A

n 

  ) 1 ( 則若

A A I_m  ) 2 (

線性代數: 2.1節 p.78&p81

(13)

25/95

矩陣乘冪

AMn n_ 0

A In

A1 A A2  A A

' kA k

s

A  A A  A

26/95



矩陣的轉置 (transpose)

n m

mn m

m

n n

M a

a a

a

a a

a

A  _















2 1

2 22

21

1 12

11







 若

m n

mn n

n

m m

T M

a a

a

a a

a

a a

a

A  _















2 1

2 22

12

1 21

11







 則

線性代數: 2.1節 p.83

(14)

27/95



範例: 求下列每一個矩陣的轉置





 8 A 2

(b)



















9 8 7

6 5 4

3 2 1 A

(c)





















1 1

4 2

1 0 A

解:

(a)





 8

A 2 A^T 



2 8



(b)



















9 8 7

6 5 4

3 2 1 A





















9 6 3

8 5 2

7 4 1 AT

(c)





















1 1

4 2

1 0

A 



 

 1 4 1

1 2

T 0 A (a)

線性代數: 2.1節 pp.83-84

28/95

 

   

 

) 4 (

) 3 (

) 2 (

) 1 (

T T T

T T

T T T

T T

A B AB

A c cA

B A B A

A A













轉置矩陣的性質

和的轉置純量積的轉置矩陣乘積的轉置

線性代數: 2.1節 p.84

(15)

29/95



對稱矩陣 (symmetric matrix)

若 A = A^T，則方陣 A 被稱為對稱矩陣



範例:



















6 5 4

3 2 1

c b a

若 A 為對稱矩陣，則 a, b, c為何?

解:

5 , 3 ,

2  

 b c

a



















6 5 4

3 2 1

c b a A



















6 5 3

4 2 1

c b a A^T

AT

A 

線性代數: 2.1節

30/95



範例:



















0 3 0

2 1 0

c b a

若 A 為反對稱矩陣，則 a, b, c為何?

解:

3 , 2 ,

1  



 b c

a , 0 3 0

2 1 0

















 c b a A























0 3 2

0 1 0

c b a A^T

AT

A 

線性代數: 2.1節 p.86

若 A^T= -A ，則方陣 A 被稱為反對稱矩陣



反對稱矩陣 (skew-symmetric matrix)

(16)

31/95



注意:

AAT 是對稱矩陣

證明:

為對稱矩陣

T

T T T T T T

AA

AA A

A AA





( ) )

(

32/95



實數

ab = ba

乘法交換律



矩陣

BA AB

p n n m 

沒有定義有定義

則若

(1)

BA p AB m

說明見範例4

但未必相等) (矩陣大小相同,

m m

M BA

M n AB

p m





 

 則

若

(3)

n n

n m

M BA

M n AB

m p m





 

 則

若

(2) , 三種可能情形

(矩陣大小不同)

(17)

33/95



範例 4：無交換性的矩陣相乘

對下列的矩陣證明 AB 和 BA 不相等





 

1 2

3

A 1 與



 

 0 2 1 B 2

解:





 



 





 

4 4

5 2 2 0

1 2 1 2

3 AB 1



注意:

BA AB





 





 

 

 

 4 2

7 0 1 2

3 1 2 0

1 BA 2

線性代數: 2.1節 pp.79-80

34/95

摘要與複習 (2.2節之關鍵詞)

 zero matrix: 零矩陣

 identity matrix: 單位矩陣

 transpose matrix: 轉置矩陣

 symmetric matrix: 對稱矩陣

 skew-symmetric matrix: 反對稱矩陣

(18)

35/95

2.3 反矩陣



反矩陣 (inverse matrix)

n

Mn

A _

若存在一矩陣 BM_n__n使得 ABBAI_n



注意:

若矩陣沒有反矩陣則稱此矩陣為不可逆(noninvertible) 或奇異(singular)矩陣

考慮

則 (1) A 是可逆(invertible)或非奇異(nonsingular)矩陣 (2) B 為 A 的反矩陣

線性代數: 2.1節 p.90

36/95



定理 2.7：反矩陣的唯一性

若 B 與 C 都是 A 的反矩陣，則 B = C

證明:

C B

C IB

C B CA

CI AB C

I AB



) (

因此 B=C，所以一矩陣的反矩陣是唯一的



注意:

(1) A 的反矩陣被表示成 (2)

1

A I

A A AA^¹  ^¹ 

線性代數: 2.1節 pp.90-91

(19)

37/95



實數

ac = bc , c0 b

a



乘法消去律



矩陣

0 

BC C AC

(1) 若C是可逆，則A=B

(2) 若C是不可逆，則 AB (消去法不成立)

線性代數: 2.1節 p.80

38/95



範例 5：消去法不成立的範例

對下列的矩陣證明 AC=BC







 





 

 



2 1

3 , 2

4 2

1 , 0

3

1 B C

A

解:







 







 

 



2 1

4 2 2

1 2 1 1 0

3 AC 1

因此 ACBC 但是 AB







 







 

 



2 1

4 2 2

1 2 1 3 2

4 BC 2

線性代數: 2.1節 p.80

(20)

39/95



利用高斯-喬登消去法求一矩陣的反矩陣



^A ^| ^I



^^{高斯喬登消去法}^^^^^



^I ^| ^A^¹





範例 2：求下列矩陣的反矩陣







 

3 1

4 A 1

解:

AX I









 





 





 0 1

0 1 3

1 4 1

22 21

12 11

x x

1 3

0 4

0 3

1 4

22 12

21 11















 

x x

1 2









 









1 0

0 1 3

3

4 4

22 12 21 11

x x x x

線性代數: 2.1節 p.92

40/95



 



 

 

 





  ^

1 1

0

3 0

1 0

3 1

1 4 1

) 4 ( 21 (1) 12,

r 



 ^高斯^{喬登消去法}

r



 



 



 





  ^ 

1 1

0

4 0

1 1

3 1

0 4 1

) 4 ( 21 ) 1 (

12 , 



 ^高斯 ^{喬登消去法}

r r

1 , 3 ₂₁

11  

x x

1 , 4 ₂₂

12  

x x

1

2



 



 ^

1 1

4

1 3 A X 所以

線性代數: 2.1節 p.92

(21)

41/95



注意：

1 1 1

0

4 3 0

1 1

0 3 1

0 1 4 1

1 ,₂₁⁽ ⁴⁾

) 1 ( 12





  



 



 





 ^

A I

I A

r

r 



 ^高斯 ^{喬登消去法}

若矩陣 A 不能夠用列運算將其化成單位矩陣 I，

則矩陣 A 為奇異矩陣。

線性代數: 2.1節 p.93

42/95



範例 3：求下列矩陣的反矩陣





















3 2 6

1 0 1

0 1 1 A

解:

R₂+(-1)R₁->R₂

1 0 0 3

2 6

0 1 1 1

1 0

0 0 1 0

1 1

)

1 ( 12





















 

 ^



r

 





















1 0 0

0 1 0

0 0 1 3 2 6

1 0 1

0 1 1



 I A

線性代數: 2.1節 p.94

(22)

43/95

 

-1 ₃ ₃

1

4 2 1

0 0

0 1 1 1

1 0

0 0 1 0

1 1

)

1 (

3 R R

r 























 ^



 

4

1

4 2 1 - 0 0

0 1 1 - 1 - 1 0

0 0 1 0

1 - 1

₃ ₂ ₃

) 4 (

23 R R R

r  























2 3

2 (1)

1

4 2 1

0 0

1 3 3 0

1 0

0 0 1 0

1 1

)

1 (

32 R R R

r  

























3 1

3 (6)R - R

R 1

0 6

0 1 1

0 0 1 3

4 0

1 1 0

0 1 1

) 6 (

13  

























r

線性代數: 2.1節 p.94

44/95

所以矩陣 A 是可逆的，其反矩陣為























1 4 2

1 3 3

1 3 2 A1

我們可以藉由A^和 ^{的相乘來得到} ^{以確認其為反矩陣}



注意：

1 I A

1 2

1

4 2 1

0 0

1 3 3 0

1 0

1 3 2 0

0 1

) 1 (

21 R R R

r  

























] [

^¹

 I  A

線性代數: 2.1節 pp.94-95

(23)

45/95



方陣的冪次 (power)

I

A⁰  ) 1 (

0) (k

) 2 (

個



_{ }__

k

k AA A

A

整數 : ,

) 3

( A^rA^s  A^r^^s r s

rs s

r A

A )  (































k n k

k

n d

d d D d

d d D















0 0

) 4

( ²

1

2 1

46/95



定理 2.8：反矩陣的性質

若 A 是可逆矩陣，則有下列的性質:

A A

A^¹ ( ^¹)^¹ 

) 1

( 是可逆且

1 1 1 1 1

'

(2) ^k ( ^k) ( )^k ^k

k A s

A 是可逆且 A ^ A A^^ A^  A^ A^

0 1 ,

) (

c ) 3

( ^¹  A^¹ c

cA c A 是可逆且

1 1

(4) A^T 是可逆且 (A^T)^ (A^ )^T

線性代數: 2.1節 p.97

(24)

47/95

 

AB ^¹B^¹A^¹



定理 2.9：乘積的反矩陣

若 A 和 B 為大小為nxn的可逆矩陣，

則 AB 為可逆且

證明:

1 1

) 1

(AB ^ B^ A^ AB

所以

因為反矩陣有唯一性是可逆的所以

         









I B B IB B B I B B A A B AB A B

I AA A

AI A

I A A BB A A B AB

1 1

1

1 1

1



注意:



A₁A₂A₃A_n



^¹ A_n^¹A₃^¹A₂^¹A₁^¹

線性代數: 2.1節 pp.99-100

48/95



定理 2.10：相消性質

若 C 為可逆矩陣，則以下的性質成立 (1) 若 AC=BC，則 A=B

(右相消性質)

(2) 若 CA=CB，則 A=B

(左相消性質) 證明:

   

B A

BI AI

CC B CC A

C BC C

AC

BC AC





1 1

1

1 因為C是可逆 (即C^-¹存在)



注意:

若C 不是可逆，則相消法是不成立的

線性代數: 2.1節 p.101

(25)

49/95

b A x ^¹



定理 2.11：有唯一解的方程式系統

若 A 為一可逆矩陣，則此線性方程式系統Ax=b 有唯一解

證明:

( A 為一非奇異矩陣)

b A x

b A Ix

b A Ax A

b Ax

1 1 1 1





此解為唯一

2

1 x

x 和

若 為 Ax=b 的兩個解

2

Ax1bAx 則

2

1 x

x 

(左相消性質)

線性代數: 2.1節 pp.101-102

50/95



注意:

b Ax



^A ^| ^b



^^^A^¹



Â^¹Â ^| Â^¹^b

 

^ ^I ^| ^A^¹^b



  

n



A

n I A b A b

b b

b

A | ₁ | ₂ |  | ^¹ | ^¹ ₁ |  | ^¹

線性代數: 2.1節

(26)

51/95

摘要與複習 (2.3節之關鍵詞)

 inverse matrix: 反矩陣

 invertible: 可逆

 nonsingular: 非奇異

 singular: 奇異

 power: 冪次

52/95

2.4 基本矩陣



三項列基本矩陣

) ( )

1

( R_ij r_ij I

) 0 ( ) ( )

2

( R_i⁽^k⁾ r_i⁽^k⁾ I k )

( )

3

( R_ij⁽^k⁾ r_ij⁽^k⁾ I



列基本矩陣 (row elementary matrix)

一nn矩陣稱為列基本矩陣若它可以將單位矩陣 I 進行

一次基本列運算來獲得

兩列互換

一列乘以一非零常數某一列的倍數加到另一列

列基本矩陣基本列運算

單位矩陣



注意:

只能做“一次＂列運算

線性代數: 2.1節 p.107

(27)

53/95



範例 1：基本矩陣與非基本矩陣

(a)

















1 0 0

0 3 0

0 0 1

(b)





0 1 0

0 0 1

(c)

















0 0 0

0 1 0

0 0 1

(d)

















0 1 0

1 0 0

0 0 1

(e)



 1 2

0 1

(f)

















1 0 0

0 2 0

0 0 1 ))

(I (r₂⁽³⁾ ₃

是 ^不是^(非方陣⁾

) (

一個非零常數必須乘上

不是是(r₂₃(I₃))

)) (I (r₁₂⁽²⁾ ₂

是不是(必須只做一次列運算)

線性代數: 2.1節 p.107

54/95



定理 2.12: 基本列運算的表示

令 E 為對 I_m做基本列運算所得到的基本矩陣。

若要對一 mn 的矩陣 A 進行相同的基本列運算，

則所得到的矩陣可以表示成 EA 的相乘



注意:

A R A r_ij( ) _ij

) 1 (

A R A

r_i⁽^k⁾( ) _i⁽^k⁾

) 2

( 

A R A

r_ij⁽^k⁾( ) _ij⁽^k⁾

) 3

( 

EA A r

E I r



 ) (

) (

線性代數: 2.1節 p.109

(28)

55/95

) )

( ( 1 2 3

1 2 0

6 3 1 1 2 3

6 3 1

1 2 0 1 0 0

0 0 1

0 1 0 )

(a r₁₂ A R₁₂A

























































範例 2：基本矩陣與基本列運算

) )

( ( 5 4 0

1 2 0

1 0 1

5 4 0

3 2 2

1 0 1

1 0 0

0 1 2

0 0 1 )

(c r₁₂⁽²⁾ A R₁₂⁽⁵⁾A























































) )

( ( 1 3 1 0

2 3 1 0

1 4 0 1 1 3 1 0

4 6 2 0

1 4 0 1

1 0 0

2 0 0 1

0 0 1 )

( ²⁾

(1

2 2)

(1

2 A R A

r

b 























































線性代數: 2.1節 p.108

56/95



範例 3：使用基本矩陣

求一序列的基本矩陣以將下列矩陣化簡成列梯形形式





















0 2 6 2

2 0 3 1

5 3 1 0 A

解:



















1 0 0

0 0 1

0 1 0 ) ( ₃

12

1 r I

E





















 ^

1 0 2

0 1 0

0 0 1 ) ( ₃

) 2 ( 13

2 r I

E



















2 1 3

2) (1

3 3

0 0

0 1 0

0 0 1 ) (I r E

線性代數: 2.1節 p.109

(29)

57/95

























































0 2 6 2

5 3 1 0

2 0 3 1 0 2 6 2

2 0 3 1

5 3 1 0 1 0 0

0 0 1

0 1 0 )

( ₁

12

1 r A E A

A



























































 ^

4 2 0 0

5 3 1 0

2 0 3 1

0 2 6 2

5 3 1 0

2 0 3 1

1 0 2

0 1 0

0 0 1 )

( ₁ ₂ ₁

) 2 ( 13

2 r A E A

A





















































2 1 0 0

5 3 1 0

2 0 3 1

4 2 0 0

5 3 1 0

2 0 3 1

2 0 1 0

0 1 0

0 0 1 )

( ₂ ₃ ₂

2) (1

3

3 r A E A

A

=

B

A E E E B ₃ ₂ ₁ 



 

12⁽ ⁾

 

) 2 ( 13 2) (1

3 r r A

r

B ^

或

(列梯形矩陣)

線性代數: 2.1節 p.110

58/95

若存在有限數目的基本矩陣使得 A

E E E E

B _k _k_₁ ₂ ₁ 則稱

B列等價於A



列等價 (row-equivalent)

線性代數: 2.1節 p.110

第二章 矩陣