∑ 傅立葉分析：級數、積分、轉換

週期性現象

巧妙的

傅立葉分析：級數、積分、轉換

週期函數 Fourier 級數：

1. 為一無窮級數；

2. 可用以表示週期函數；

3. 可用以解 ODE 與 PDE。

0 1

( ) ( _ncos _nsin )

n

n n

f x a a b

L L

π π

∞

=

= +

∑

+

找出a a₀, _n與b_n係數是重點！

第十版新加入之內容

三角系統(週期為 2π) 週期可為任意數

基礎週期

2π 2π/2=π 2 π /3

週期

基礎週期 2p, 3p, 4p…亦是週期，故 f x( +np)= f x( )。

最小的週期 p → 稱為原始週期或基礎週期(fundamental period)

共同的週期為2π

三角級數(週期亦為 2π)

常數項

重要公式！

重要公式！

(a)

(b)

(c)

找出a a₀, _n與b_n係數是重點！

任一週期2π的函數

n 分為奇數或 偶數進行討論 cos(n^∥ π)

討論要很小心！

容易出錯！

4

n

b k nπ

=

n 0 b =

0

( 0 0

4 ), 0 ( )

n

n odd n n even n

a a

b k b

nπ

=

=

= = →

因此

0 1

4 4 4

sin sin 3 sin 5 ...

3 5

4 1 1

( ) (

(sin sin 3 sin 5 ..

cos si

....) n )

3 5

n n

n

k k k

x x x

k x x x

f x a a nx b nx

π π π

π

∞

=

=

= +

+ + +

= + + +

∑

+

實際的圖形

(97 台科營建 15%；97 交大電物 15%)

0

0

0

1 2 1 2 0

( )

( ) ( )

a f x dx

k dx k dx

π π

π π

π π

−

−

=

 

=  − + 

=

∫

∫ ∫

_{f(x)奇函數}

0, 0

n n

a = b ≠

( ) f x =

∥

x₌

π

2_代入

根據題意

0

( ) 0

k x

f x k x

π

π

− − < <

=

+ < <



兩項和

三項和

兩項和 一項和

1. 愈多項的和，愈接近實際的圖形。

2. 無窮 Fourier 級數即可確實表示週期函數。

Sn為趨近的圖形

為證明(6)式 的準備工作

正交性

cos( ) cos( )

2 cos cos

cos( ) cos( )

2 sin sin

sin( ) sin( )

2 sin cos

α β α β

α β

α β α β

α β

α β α β

α β

+ −

=

+ −

−

=

+

= −

+ +

−

0

0

0 ( )

( )

n m

n m

π

≠

= 

 =

0 ( )

( )

n m n m

π

≠

=

 = sin( )

0 sin( )

0

cos( ) 2

cos( )

0

cos( )

0

sin(

( )

( )

( cos( ) cos( )

)

)

( )

(

0 0 )

n m x n m

n m x n m

n m xdx dx

n m x n m

n m x n m

n m x

if n m

if n m

if

dx

n m

if

dx n m

π

π π

π π

π π

π

π

π π

π π

π π

π

π

α α

−

−

−

−

−

−

−

−

≠

+ =

+

− =

−

−

= =

− + =

+

− − =

−

−

= =

=

= −

≠

=

∫

∫

∫

∫

∵

0

0 1

( ) ( _ncos _nsin )

n

f x a a nx b nx

∞

=

= +

∑

+

需討論

需討論

0 2π 0

=

故 ₀ 1 2 ( )

a ^π f x dx π ⁻π

=

∫

見前頁推導結果

n=m 時，同理可証 1 ( )sin bn ^π f x mxdx

π ⁻π

=

∫

故 n=m 時

1 ( )cos an ^π f x mxdx

π ⁻π

=

∫

⁰

1 1

cos [ cos cos sin cos ]

n n

a ^π mxdx an ^π nx mxdx bn ^π nx mxdx

π π π

∞ ∞

− = − = −

=

∫

+

∑ ∫

+

∑ ∫

0 =

π

0

任意週期(非一定要 2π週期)

半幅展開

本節的學習重點：

奇函數(odd) f(− = −x) f x( ) 偶函數(even) f x( )= f(−x) 2

( ) 2

f x 的週期從 π → L，其Fourier級數該如何展開！

該如何化簡 展開！

( )

f x 的週期為0≤ ≤x L，其Fouri re 級數該如何展開！

( ) ...

2 ( )

2 2

. )

. ) (

( 2 if v kx

v old

kL k L v kx x

L

dv dx

n

L

x w

A L e π

π π

π π

=

=

= → =

= =

=

=

代入 式中 故

則 且

0 1

0

( )

( ) ( cos sin )

1 ( )

2

1 ( ) cos

1 ( ) s

2

in

n n

n

n

n

g v

g v a a nv b nv

a g v dv

a g v nvdv

b g v nvdv

π π π

π π

π

π π π

π

∞

=

−

−

−

= + +

=

=

=

∑

∫

∫

∫

為週期 的函數：

(A)式

重要公式！

重要公式！

(a)

(b)

(c)

找出a a₀, _n與b_n係數是重點！

任一週期2L的函數

注意解題程序與 建立討論能力

偶函數

0, 0

n n

a ≠ b =

2 0 1

1 2

1 1

4 ( ) 4 2

f x dx kd k

a x

− −

=

∫

=

∫

=

n 分偶數與奇 數討論

1 1

1

1

1 sin

2 2

( 2 )cos

2 2

[cos cos( )]

( cos cos( ) 2

) 2 0

k n xdx

k n x

n

k n n

bn

n

π π

α α

π

π π

π

−

−

=

= −

−

=

= −

=

−

−

∫

∵

0

( x ) g L

π ₌

( ) ( )

( ) g x f x

L v x

L

dv dx

L π

π π

=

=

=

0 1

0

( )

( ) ( cos sin )

1 ( )

2

1 ( )cos

1 ( ) s 2

in

n n

n

n

n

g v

g v a a nv b nv

a g v dv

a g v nvdv

b g v nvdv

π π π

π π

π

π π π

π

∞

=

−

−

−

= + +

=

=

=

∑

∫

∫

∫

為週期 的函數：

奇函數

0, 0

n n

a = b ≠

半波整流器

(A) (6a)

(B) (6b)

sin( ) sin( )

2 sin cos

α β α β

α β

+ + −

=

sin( ) sin cos( ) cos

x x

x x

− = −

− =

n 為奇數a_n =0，討論 n 為偶數的情況

1 0

a = 477 頁 Ex1

0

( ) 0

4 1 1

( ) (sin sin 3 sin 5 ...)

3 5

k if x

f x k if x

f x k x x x

π

π π

− − < <

=

< <



⇒ = + + +

2

x x

v L

π π

= =

(98 彰師光電 20%)

4 1 3 1 5 4 1 1 1

(1) (sin sin sin ...) (1 ...)

2 3 2 5 2 3 5 7

1 1 1

(1 ...)

3 5 7 4

k k

f k π π π

π π

π

⇒ = = + + + = − + −

⇒ − + − =

0_πu t dt( ) 0

−ω

⇒

∫

=

偶函數

奇函數

-L +L (6c)

(C)

(A)(B)(C)代入(5)式中(x 用 t 取代) 同理可得

奇函數(odd) 偶函數(even)

θ θ

×

×

× c 偶 偶=

os =偶函數 s

偶 奇 奇=

in 偶 偶 奇=奇

=奇函數

偶函數

0, 0

n n

a ≠ b =

奇函數

0, 0

n n

a = b ≠

1 ( )

2

L

L f x dx L ⁻

=

∫

^{1 L}_L^{f x( ) cosn xdx}

L L

π

=

∫

−

針對週期2L的函數 n t n t πω

π

=

ω

針對週期2π的函數

1 ( )

2 ^π f x dx

π

⁻π

=

∫

^{1 π} _{f x( ) cosnxdx}

π

⁻π

= ∫

係數相加

係數乘 c

週期2π 1 ^π f x( ) sinnxdx

π

⁻π

= ∫

θ θ

×

×

× c 偶 偶=

os =偶函數 s

偶 奇 奇=

in 偶 偶 奇=奇

=奇函數

解法 1 (硬拼式解法)

0

( ) ,

476 (5)(6)

n, n

f x x a a b by

π

= + 求

頁 出

式

解法 2 (智慧型解法)

0

0

1 2

1

2

0

0 1, 2, 3

( )

..

?

0 0

n .

n

n n

f f f x

f x a

a fo n b

a f

r

a

b π

π

π

=

= + = +

=

= =

=

=

=

=

= 求

函數

時 奇 時

部份積分

udv uv vdu u du dv v

= −

→

→

∫ ∫

先求出

u= →x du=dx

討論 n=1,2,3…

sin cosnx

dv nxdx v

n

= → =−

1

2 2 2

2 sin sin 2 sin 3 sin 4 ...

2 3 4

nsin

n

x

b nx x x x

∞

=

= − + −

=

∑

0

only x L

≤ ≤ 半週期

偶函數

0, 0

n n

a ≠ b =

奇函數

0, 0

n n

a = b ≠ 延展成全週期，

有兩種可能性！

Fourier Series L x L

⇓

− ≤ ≤ 延展成全週期

再變成

如何求出方程式？

, y mx b

m b

= +

代入兩點求

兩者個別用部份 積分求值 務必實際演練幾遍，才 能增加解題的熟練度

udv uv vdu u du dv v

= −

→

→

∫ ∫

先求出 0

(97 台師大機電系 15%)

同理可得

必須寫出計算過程！

原來的圖形(函數)

延伸(擴充)的圖形 必須討論 n 的奇、偶數(難！)

4, 8,12...,

, 0

:

(2 cos cos 1)

2

(2 cos c

0

2, 6,10... , os 1) 4

2

n an

n

n n

if n n

if n

n

π π

π π

= =

=

 − −



 − −

•

•

 = −

= =

= 奇 偶

數 數

, 0

: sin 1, 5, 9..., 1

3, 7

2 ,11..., sin

2 1

n

if n

i n

f

b

n

n n

n π π

= =

= = −

= =

=







•



•

數 數 偶 奇

【補充】(98 交大機械 15%)(98 中興機械 15%) (98 北科化工 15%)

(1) Find the Fourier series of f(x),

f x( )= x, − < <π x π

(2)

1 ¹₂ ¹₂ ¹₂ ...

3 5 7

+ + + +

(3)

1 ¹₄ ¹₄ ¹₄ ...

3 5 7

+ + + +

【Solution】

(1)

(2)

(3)

3

4

=π x x

4 1 3 5

1 8

, , ....

n n π

∞

=

∑

【補充】(97 成大機械 15%)

【Solution】

0

2

3

−π

【機電所 100 學年度入學考試】 (15 分)

Find the Fourier series of the function f x ( ) = cos 2

³

x + sin

⁵

x using Euler formula.

【Hint】

cos sin ; cos sin

ix ix

e = x + i x e

⁻

= x − i x

So cos ; sin

2 2

ix ix ix ix

e e e e

x x

i

− −

+ −

= =

3 3 2 2 3

( a + b ) = a + 3 a b + 3 ab + b

5 5 4 3 2 2 3 4 5

( a − b ) = a − 5 a b + 10 a b − 10 a b + 5 ab − b

【Solution】

6 2 2 6 5 3 3 5

1 1

[ 3 3 ] [ 5 10 10 5 ]

8 32

i x i x i x i x i x i x ix ix i x i x

e e e e e e e e e e

i

− − − − −

= + + + + − + − + −

(98 台大工程科學 10%)

舉一個例子，說明 Fourier 級數在解常 微分方程式(ODE)之應用

輸入(刺激)，可能為一週期函數，先變成 Fourier 級數的形式，再進行 ODE 的運算

輸入(刺激)，可能為一週期函 數，先變成 Fourier 級數的 形式，再進行 ODE 的運算

Nature frequency (自然頻率)：

1 5

( z) 5 ( / )

2 2

n

k H rad s

ω m

π π

= = =

週 期 函 數 ， 先 變 成 Fourier 級數的形式，

再進行 ODE 的運算

求 particular solution (特解) 代入(4)式求出An與Bn 偶函數

0,

( ) ( )

h

h p

y y y

y → as t→ ∞

= 暫態解 + 穩態解

強制振動頻率=系統自然頻率

，則會發生共振現象 振幅

運動的主導項

阻尼

n=5 時有最大振幅(尤其是 c=0 時...)，因 D 有最小值

C 振幅

ω

^(rad/s)

0,

If c→ 振幅→ ∞

5

若阻尼 c 變小，振盪將更激烈...

三角系統

廣義 Fourier 級數 0

sinnx cosmx dx (n m or n m)

π

−π = = ≠

∫

P 479

Sturm-Liouville 標準式，

滿足(1)(2)式的λ稱為特徵 值，y x( )稱為特徵函數 Sturm-Liouville 問題

(邊界值問題)

接 P500

1 2

1 2

1 2

1 2

2

2

( )

0 0

( ) ( )

0 0

( ) cos sin

(0) 0

( ) sin 0

0, 1, 2

( )

λ=0 ( )

( )

( ) sin , 1, 2,

, 3,

3, ..

...

0

( 1

. 0

vx vx

ox

y x c e c e c c y

y x c c x e c c y

y x A vx B vx

y A

y B vx

v

v y

B v

v

y x vx v

相異實根

重根

共 邊界條件得 故

同理

邊界條件得

邊界條件得

=

= 故

但 使 若 則

軛根

= 必 π

λ

λ

λ

= + −

= =

≡

= +

= =

≡

= +

=

=

= ± ± ±

= ≡

=

=

= −

=

須為實數) 要建立討論之能力！

p q r 0

y y y

p p

′ +λ

′′+ ′+ =

(py′ ′ + +) (q λr y) =0

1 2

1 2

0 0 0

0

( ) ( )

( ) ( )

k y k y

l y π l y π

+ ′ =

 + ′ =



齊次邊界值問題：

特徵值與特徵函數：

【補充例題】

(重根)

(1)

(2)

1 2

1 2

[ ( )] [ ( ) ( )] 0 0

( ) ( ) 0 at ( ) ( ) 0 at py x q x r x y

p q r

y y y

p p

k y x k y x x a

l y x l y x x b

λ

λ

′ ′ + + =

′ +

′′ ′

→ + + =

+ ′ = =

+ ′ = =

Sturm-Liouville Problem

權函數

範數

歸一正交(的函數) , , ,

p q r p′在 a≤ ≤x b區 間中是實數且為連續，則 Eigenvalues (λ) 必為實數

cos( ) cos( ) 2 sin sin

α β α β

α β

+ − −

= −

1 cos 2 2

− mx

=

m( )

m

y x

y =

- 1.

2.

3.

S L Sturm Liouville problem S L

S L S L

−

−

−

− 問題：

問題 問題 問題 注意三種問題

規則化

成立的 週期性

奇異

邊界條件

(

_{n m n m}

)

^b

y y y

a

p ′ y ′

= −

[ p

_{n m}

p

_{n m}

] d y y y y

dx

′ − ′

=

：規則性 S-L 問題

1 1

2 2

0 0

( ) ( )

( ) ( )

n m

n m

y a y a y y

y b y b y y

α β

α β

+ ′ = →

 

+ ′ = →



與 分別代入 與 分別代入

3 0

( ) ≡ 有五種可能性！

想看看...

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

n m m n

n n m

m n

m

m n

py y py py y p

y py y

py y y y

′ ′− ′ ′

= ′ ′ +

− ′

− ′ ′

′ ′

′

：週期性 S-L 問題

：奇異 S-L 問題

：奇異 S-L 問題

：奇異 S-L 問題

√

√

√

√

√

詳見上頁補充資料

特別注意！

此頁五種 Cases 的邊界條件與上頁的五種 Cases 對應上有所不 同。如 Case 1 (本頁)=Case 4 (上頁)

Case 4 (上頁)

Case 5 (上頁) Case 1 (上頁) Case 3 (上頁) Case 2 (上頁) 看上頁的推導較清楚！

Sturm-Liouville 標準式

( ) 0

py ^′′ + p y ^{′ ′} + + q λω y = 可展開成

兩者係數比較

0 1 2 3

a a a a

p ⁼ p ^{′ =} q ⁼ ω

0 2 3

[ ] ( ) 0

d a y a a y

dx i ′ + + λ i = 即

用以求出 p q , , ω ，再形成 S-L 標準式

[ ( ) p x y i ′ ′ + ] ( ( ) q x + λ ω i ( )) x y = 0

求出

p q , , ω

，再形成 S-L 標準式

[ ( ) p x y i ′ ′ + ] ( ( ) q x + λ ω i ( )) x y = 0

1 2

c 與 不可 c 同時為0

建立討論能力很重要！

1

(2) Euler-Cauchy equation 求解

2

2

1,2 2

1,2

1 2

1 2

2 2 1 2 1

1 2

1 2

1 1

(3 1) 0

2 1 1

1 1

1 0, 1 , 0, 1

(1) 0 0

( ) 0 ( ) ( )

0, 0

1

( )

Set m m m

m m

m

m y c x c x

y c c

y e c

y x

e c e

c c

β β

β β

λ λ λ

λ λ β β β

λ

− + −

− +

−

− −

⇒ + − + =

⇒ + + = −

⇒ = − ± −

− > − = > = − ±

= +

= ⇒ + =

= ⇒

=

=

+

=

−

相異實根

當 令

當 _1,2

1 2

1 2

2

2

1,2 1

1 1

1 2

1

2 2

2 2

( )

0, 1

( ln )

(1) 0 0

( ) 0 0

1 0, 1 , 0, 1

cos sin

(1) 0 0

( ) 0 0 sin 2 2 , 1, 2, 3...,

( ln ) ( ln )

( )

m y c c x x

y c

y e c

m i

y c x c x

y c

y e c e n n c

x x

β β

λ λ β β β

β β π

−

− −

−

= = −

= +

= ⇒ =

= ⇒ =

− < − = − > = − ±

= +

= ⇒ =

= ⇒ = ⇒ = =

重根

共軛根

當 令

可為任意數

2 2

2

1

1 1 , 1, 2, 3...

4

( ) sin( ln )

n n 2

n n

y x c x n x

λ β π

− π

= + = + =

= 特徵值

特徵函數

1 2

c 與 不可 c 同時為0

1 2

2

2

1 2

1 2

1 2

( ln )

[ cos( ln

(71 ) 0

(

) sin

1) 0

,

)]

( ln

m

m m

m

Euler Cauchy Equation x y axy by

Set m a m b

m m

y x

y c x c x

y c c x x

y

m

A x x

i

x^α

β

B

β

α β

−

′′ + ′ + =

⇒

+ − + =

⇒

→

→

→

=

=

=

+

=

±

+

= +

下頁所需求解技巧：

相異根 重根 共軛根

頁

1. Fourier 級數在非週期函數之應用 2. L→ ∞時，Fourier 級數→Fourier 積分

週期函數

非週期函數 偶函數

沒有 L

振幅譜(a_n所形成的譜線(n=1, 2, 3...))

L→ ∞， f x( )為非週期函數(Fourier 級數→Fourier 積分) 24

= 23

= 22

=

振幅的個數/半波

半波有 7( 2即 ^{4 1−} −1)個振幅 當L 增加，振幅愈來愈密集，但其值變小

sin

2 2 2

( 0), ,

n n

n n

n n

if wn

w w

a L w L w

L soif a

= L

↑

≈ ≈

→ ↓

n=0

0, ,

n n

a a b 代入

,

L d

L ω π ω

→ ∞ ∆ = → 1. Fourier Fourier

2.

3 0

)

. (

0

n

n L

w

L

L d L

n

π

π

π

ω ω

→ ∞

∆ → →

→ ∞

=

，造成

積分非 級數；

為任意值，

而不是 的整數倍，

即 。

= ，使無窮

級數變

可以為非整

成

數

的積分

0(

因L→ ∞

)

, ( )

L→ ∞ 導致f x 為非週期函數 絕對可積分

有 L 下標，代表週期函數

∥

ω π

∆

As L→∞, ∆ω^{抽到外面且變成 d}ω As L→∞^,

1 n

∞

=

∑

^變成

∫

₀^{∞ dω}

重要公式！

非週期函數(因L→ ∞)

(公式要背清楚)

非週期函數

1 x 1

→ − < <

1, 1

x x

→ > < −

(98 成大水利 20% ； 95 中興化工 15%)

0

( ) ( )cos

( ) ( )sin

'

( ) 1 ( )cos ( ) sin

A w f x wxd x

B w f x w

O Neil editio

xd x

f x A w wxdw B w

n

w xdw

π

∞

−∞

∞

−∞

∞

=

=

= +

∫

∫

∫

0

cos sin

2 ( )

t d f x

ωω ω ω π

→

∫

∞ =

( ) 1 ( ) 1

2 ( ) 0 f x f x f x

=

=

= (1 ) 1

(1 ) 0 1 0 1

(1) ( )

2 2

f f f

−

+

=

=

= + = 取平均值

不連續因子

0

0

2 1 sin (0) 1

sin 2

f d

d π ω ω ω

π ω ω

ω

∞

∞

= = ×

=

∫

∫

故 正弦積分

(8*) (8) u→ ∞

式為 式的極限值

∞以 取代，可得a 到近似的結果

被積函數sinω ω

0

sin

u ω ωd

∫

ω

0

sin d 2 ω ω π ω

∞ =

∫

(96 中央電機 10%, show the details of your work)

f(x)為非週期函數

偶函數

奇函數

( ) 0 [ ( )cos ( )sin ]

1 1

( ) ( )cos ( ) ( )sin

f x A x B x d

A f v vdv

Fourie

B f v vdv

r

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω

π π

∞

∞ ∞

−∞ −∞

= +

= =

∫

∫ ∫

積分

；

f(x)為奇或偶函數時，Fourier 積分的簡化....

半幅展開 吉布斯現象

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5

%90%89%E5%B8%83%E6%96%

AF%E7%8E%B0%E8%B1%A1

θ θ

×

×

× c

偶 偶=

os =偶函數 s

偶 奇 奇=

in

偶 偶 奇=奇

=奇函數

拉氏積分

部份積分

2 2

0

0 ( k )

k ω

∞

= − − +

( ) 0 ( ) cos f x =

∫

^∞A

ω ω ω

xd

除

部份積分

2 2

0

0 ( )

k ω

ω

∞

= − − +

( ) 0 ( )sin f x =

∫

^∞B

ω ω ω

xd

除 同理可得

(96 中山材料 10%, find Fourier integral)

0 0

0 0

( ) 2 ( ) cos , ( ) ( ) cos

( ) 2 ( ) sin , ( ) ( ) si :

n

f x A w wxdw A w f x wxd x

f x B w wxdw

other editio

B w f x wxd x n

π π

∞ ∞

∞ ∞

= =

= =

∫ ∫

∫ ∫

1. Laplace transform:

( ) [ ( )] 0 ^st ( ) F s =^￡ f t =

∫

^{∞ −}e f t dt 2. Fourier transform

11.7 節(10)(11)式

0

2 2 ( )cos 2 ˆ ( )

( ) f v vdv _c

A ω f ω

ω

π

π π

=

∫

∞ =

( ) ˆ ( )

( ) ^C _C

f x 的Fourier餘弦轉換：f x ^ℑ → f ω

1

ˆ ( ) (

ˆ_c( ) _C ^C )

f ω 的反Fourier餘弦轉換：f ω →^ℑ− f x v= x

重要公式！

同理可得

(

( ) ) ^S ˆ_S( )

f x 的Fourier正弦轉換：f x ^ℑ → f ω 重要公式！

0

0

0

2

2

2 2

( ) ( )sin (

( )si

) ( )s

n n

ˆ )

i

S(

f x B xd

B f v v

f v vdv dv

f

ω ω ω

ω ω

π π π

π ω ω

∞

∞

= ∞

=

=

=

∫

∫

∫

v=x

【補充】

【 Solution 】 (1)

(2)

0 0

2

2 2

ˆ ( ) ( ) cos cos

2 1

1

∞ ∞ −

= =

= +

∫ ∫

^x

f

C

w f x wxd x e wxd x

w

π π

π

0 0

0 2

2

0 0 0

2 2

0 0 0 2

2 0 2

0 2

2

2 2

0 0

2 2

2 ˆ 2

( ) ( )cos cos

2 1

1 cos

( ) ( )

2 1

( )

1

( 1 )

1 4

2 1 1

2 1 2 1

1 cos 1

2 1

1

( ) 1

cos

1

1 2

( 1

1

C

x

f x f w wxdw wxdw

w wxdw

f x d x f x dx dw

e d

f x

x wx

dw dw

w w dw

w

wxdw

So

d x

w

x

w w

w

π

π π

π π

π

π π π

∞ ∞

∞

∞ ∞ ∞

∞ −

∞

∞

∞

∞

∞

∞

+

=

= =

= +

=

=

+

= = =

+

=

+

+

+

+

+

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

∫

∫

∫

)

2

dx ₌ π 4

∫

ˆ ( ) 1 ( )

ˆ ( )_S f_S ^S f x

f ω 的反Fourier正弦轉換： ω →^ℑ− 重要公式！

由部份積分與循環積分(見補充資料)

0

0

ˆ ( ) 2 ( ) cos

ˆ ( ) 2 ( ) sin

∞

∞

=

=

∫

∫

C

S

f w f x wxd x

f w f x wxd x

π

π