第四單元 等差數列與等比數列 4-1

第四單元 等差數列與等比數列 4-1 等差數列

把錢存在銀行裡，銀行會依據你存入的本金定期給付一定比例的利息，如果本金 是 P，月利率是 r，每個月就給付利息

I = Pr

P+ ，I P+2I，P+3I，…， P nI+ 形成一個等差數列。

例題 1

將 100 萬元存入銀行，設月利率為 0.15% ，利息逐月計算，不併入本金，則一年後，

本利和共有多少錢？

解

每月利息I=1000000 0.15% 1500× = （元）

12 個月後，本利和為

1000000 1500 12 1018000+ × = （元）

立即演練

將 100 萬元存入銀行，設年利率為

2%

在例 3 及其後的立即演練中，利息逐期計算，不併入本金的計息方式，稱為單利 計息。

習題 4-1

1. 設一等差數列，第 9 項為 100，公差為 12，求首項。

2. 設一等差數列，第 7 項為 15，第 15 項為 7，求第 100 項。

3. 設一等差數列的第n 項為

a

a = 7 ，求 a_n 的最小值。

4. 設一等差數列，前 10 項的和是 125，前 20 項的和是 300，求前 30 項的和。

5. 設一等差數列，第 15 項為

− 8

4-2 等比數列

給一數列

3 ， 6 ， 12 ， 24 ， 48 ， 96 ， 192 ， 384 ， 768

其中任意相鄰兩項，後項比前項的比值都相等，都是 2 ，我們稱它為等比數列，公比 為 2 。一個等比數列，假設第 1項為a ，第 2 項為₁ a ，第₂ 3 項為a ，…，第₃ n 項為a ，n

若公比為 r ，則

2 1

a r a = ， ³

2

a r

a = ，…，

1 n n

a r a ₋ = 故

2 1

a =a r，a₃ =a r₂ =a r₁ ²，…，a_n =a_n−1r=a r₁ ⁿ⁻¹ 得到第 n 項a 與首項_n a 的關係為 ₁

1 1

n

an =a r ⁻ 例題 1

設一等比數列，首項為 10，公比為 3

− ，求第 4 項與第 7 項。 2 解

令第 n 項為a ，公比為 r，則_n a₁=10， 3 r= − ，且 2

3 3

4 1

3 27 135 10( ) 10( )

2 8 4

a =a r = − = − = −

6 6

7 1

3 729 3645 10( ) 10

2 64 32 a =a r = − = ⋅ =

立即演練

設一等比數列，首項為 13− ，公比為 2，試求第 6 項與第 10 項。

例題 2

設一等比數列，第 5 項是 12，第 8 項是 24 2− ，求此數列的第 13 項。

解

設首項是 a，公比為 r，則

4

7

12 24 2 a r

a r

⎧ =

⎪⎨

⎪⎩ = −

""

""

1 2

2 1，得

3 2 2

r = − ，r= − 2""3

3

1

( 2)4 12

a − = ， 4a=12，a= 3 故第 13 項為3(− 2)¹² = ⋅3 2⁶=192。

立即演練

設一等比數列，首項為 8− ，第 3 項為 18− ，求此數列的第 7 項及第 8 項。

前面說過單利計息，即利息雖逐月計算，但不併入本金，維持本金每期固定的計 息方式，這種計息方式不為存款人喜愛。比較合理的方式是利息逐期計算，且將利息 併入本金，作為下一期的本金。假設本金是 P，期利率是 r，則一期後的本利和為

(1 ) P+Pr=P +r 兩期後的本利和為

(1 )(1 ) (1 )2

P +r + =r P +r

一般而言，1 期，2 期，…，n 期後的本利和，依序為 (1 )

P +r ，P(1+r)²， (1P +r)ⁿ 形成一個等比數列。這種計息方式稱為複利計息。

例題 3

將 100 萬元存入銀行，設月利息為 0.15%，按月複利計息，則 1年後本利和共有多少錢？

（1.0015¹²≒1.018149） 解

12 個月後，本利和為

12 12

1000000 (1 0.0015)× + =1000000 1.0015× 1000000 1.018149×

≒ （1.0015 的值可用計算機求得） 1018149¹² = 故一年後之本利和為1018149 元

立即演練

將 100 萬元存入銀行，設年利率 2% ，按年複利計息，則 5 年後本利和共有多少錢？

（1.02⁵≒1.104081）

一個等比數列，設首項為 a，公比為 r，則前 n 項依序為 a，ar， a r ，…，² a rⁿ⁻¹

這 n 個數的總和令為S ，則 _n

2

Sn = +a ar+ar +，…，+a rⁿ⁻¹"1 當r= 時，1 a r=a r² ="=a rⁿ⁻¹=a，故S_n=n a 當r≠ 時，1 rS_n =a r+a r²+"+a rⁿ⁻¹+a rⁿ""2 考慮

1 2 −

n

n n

S −rS = −a ar (1−r S) _n=a(1−rⁿ)

(1 ) 1

n n

a r

S r

= −

−

即首項為 a，公比為 r 的等比數列，前 n 項之和為 (1 ) 1

n n

a r

S r

= −

− ，亦可表為 ( 1)

1

n n

S a r r

= −

−

例題 4

設一等比數列，首項為10 ，公比為 1

− ，求此等比數列前 8 項的和。 2 解

前 8 項的和，

8

8

1 1 10(1 )

10[1 ( 2) ] 256 20 255 425

1 3 3 256 64

1 ( )

2 2

S

−

= − − = = × =

− −

立即演練

設一等比數列，首項為 24− ，公比為4

3，求此等比數列前 6 項的和。

例題 5

每年年初存入銀行 1 萬元，持續 10 年，設年利率 2% ，按年複利計息，則 10 年後之

本利和為何？（1.02¹⁰≒1.2190） 解

第 1 次，第 24 次，…，第 10 次之存款，所生之本利和依序為 10000 1.02× 10，10000 1.02× ⁹，…，10000 1.02×

其總和為

2 10

10000 1.02 10000 1.02× + × +"+10000 1.02× =10000 1.02 (1.02¹⁰ 1) 1.02 1

× × −

− 510000 (1.2190 1) 111690× − =

≒　

故 10 年後之本利和為 111690 元

立即演練

每年年初存入銀行 5 萬元，連續 3 年，設年利率為 4% ,逐年複利計算，則 3 年後的本 利和共多少錢？（元以下四捨五入）

例題 6

作邊長為 1 的正方形，取各邊中點為頂點又連成一正方形，再取 各邊中點連成正方形，如此繼續操作，共得 5 個正方形，如圖

4 1 −

(1) 最內層正方形的邊長。

(2) 這 5 個正方形的周長總和。

解

(1) 正方形由外而內之邊長成一等比數列，首項為 1，公比為 2

2 故最內層（第 5 層）

之邊長為 2 4 1 1 ( )

2 4

⋅ =

(2) 周長亦成等比數列，首項為 4，公比為 2

2 故 5 個正方形之周長總和為

5 2

2 8(1 ) 4[1 ( ) ]

8 2 8

2 7 3 2

2 2 2 2 2

1 2

−

− −

= = = +

− −

−

立即演練

作邊長為 1 的正三角形，取各邊中點為頂點又連成正三角形，

再取中點連成正三角形，如此繼續操作，共得 4 個正三角形，

如圖 4 2− 所示，求：

(1) 最內層正三角形的邊長。

(2) 這 4 個正三角形的面積總和。

習題 4-2

− ，求第 5 項。 2 2. 設一等比數列，第 7 項為 1

− ，第 18 項為 2，求第 29 項。 4 3. 設一等比數列，首項是 1，公比是 2− ，求前 10 項的和。

4. 設一等比數列，首項是 5，第 n 項是 80，前 n 項的和是 155，求 n。

5. 有一矩形紙板，長 a 寬 b，剪掉以寬為邊的正方形，

如右圖所示。已知所剩之矩形與原矩形之長寬比相 同，即a b

b=a b

− 。 (1) 求 a

b。

(2) 將剩餘之矩形再剪掉以寬為邊的正方形，依此

方式繼續操作，一共剪掉 4 個正方形，求最後所剩矩形之面積與原矩形面積的 比值。