第第第第1章章章章 數列與級數數列與級數數列與級數數列與級數

第 第

第 第 1 章 章 章 章 數列與級數 數列與級數 數列與級數 數列與級數

1-1 數 數 數 數 列 列 列 列

重點一重點一

重點一重點一 數列的定義數列的定義數列的定義數列的定義 例題

例題 例題 例題 1

(1) 試寫出數列〈3n－2〉的前五項。（3 分）

(2) 試寫出數列 2

4 3

 n

×

 

  的前五項。（3 分）

(3) 設數列〈an〉的一般項為 an＝ 3 2

n n

（ － ）

，試寫出此數列的前五項。（4 分）

解 解 解

解 (1) 將 n＝1，2，3，4，5 分別代入 an＝3n－2 得前五項為 1，4，7，10，13

(2) 將 n＝1，2，3，4，5 分別代入 an＝4× 2 3

 n

   得前五項為8

3，16 9 ，32

27，64

81，128 243 (3) 將 n＝1，2，3，4，5 分別代入 an＝ 3

2

n n

（ － ） 得前五項為－1，－1，0，2，5

例題 例題 例題 例題 2

試寫出下列數列的前五項，並求出其一般項 an： (1) 等差數列首項為 3，公差為－2。（5 分）

(2) 等比數列首項為 5，公比為 3。（5 分）

解 解 解

解 (1) a₁＝3

a

2＝a₁＋d＝3＋（－2）＝1

a

3＝a2＋d＝a1＋2d＝3＋2×（－2）＝－1

a

₄＝a₃＋d＝a₁＋3d＝3＋3×（－2）＝－3

a

5＝a4＋d＝a1＋4d＝3＋4×（－2）＝－5 M

a

n＝an^－1＋d＝a1＋（n－1）d＝3＋（n－1）×（－2）＝5－2n (2) a₁＝5

a

2＝a1

r＝5×3＝15

a

3＝a2

r＝a

1

r

²＝5×3²＝45

a

₄＝a₃

r＝a

₁

r

³＝5×3³＝135

a

5＝a4

r＝a

1

r

⁴＝5×3⁴＝405 M

a

_n＝a_n^－₁

r＝a

₁

r

^n－1＝5×3^n－1

例題例題 例題例題 3

(1) 設等差數列〈an〉的第 3 項為 27，第 7 項為－9，則此等差數列的第 15 項為 。

（4 分）

(2) 設一等比數列〈an〉，若 a2＋a4＝10，a3＋a5＝10

3 ，則首項 a1＝ ，公比 r＝ 。

（6 分）

解 解 解

解 (1) ¹

1

27 3 1

9 7 1

a d

a d





＝ ＋（ －）

－ ＝ ＋（ －）

1 1

2 27

6 9

a d a d





＋ ＝

＋ ＝－

解之得 a₁＝45，d＝－9

故 a15＝a1＋14d＝45＋14×（－9）＝－81 (2) ∵a2＋a4＝10

∴a₁

r＋a

₁

r

³＝10

a1

r（1＋r

²）＝10………

∵a₃＋a₅＝10 3

∴a₁

r

²＋a₁

r

⁴＝10 3

a1

r

²（1＋r²）＝10

3 ………



得 r＝1

3，代入得 a¹＝27 故首項 a1＝27，公比 r＝1

3

例題 例題 例題 例題 4

試寫出下列遞迴數列的前六項：

(1) a₁＝4 且 a_n＝2a_n^－₁＋3n，其中 n ≥ 2。（5 分）

(2) a1＝2，a₂＝3 且 a_n＝a_n－1＋a_n－2，其中 n

≥ 3。

（5 分）

解 解 解

解 (1) 由初始值與遞迴關係依序代入可以得到

a

1＝4

a

2＝2a1＋3×2＝2×4＋6＝14

a

₃＝2a₂＋3×3＝2×14＋9＝37

a

4＝2a3＋3×4＝2×37＋12＝86

a

₅＝2a₄＋3×5＝2×86＋15＝187

a

6＝2a₅＋3×6＝2×187＋18＝392 (2) 同上依序代入可以得到

a

₁＝2

a

2＝3

a

₃＝a₂＋a₁＝3＋2＝5

a

4＝a₃＋a₂＝5＋3＝8

a

₅＝a₄＋a₃＝8＋5＝13

a

6＝a₅＋a₄＝13＋8＝21

例題 例題 例題 例題 5

數列〈an〉的遞迴定義式為 ¹

1

1

2 2

n n

a

a a n n



 －

≥

＝

＝ ＋ ， 是正整數且 ^{，則一般項 an＝ 。（10 分）}

解 解 解

解 由定義式得出

a

1＝ 1

a

2－a1＝ 2

a

₃－a₂＝ 2 M

＋） a_n－a_n^－₁＝ 2

a

_n＝ 1＋2＋2＋……＋2＝1＋2（n－1）＝2n－1 即一般項 a_n＝2n－1

〈另解〉

∵a₁＝1，又 d＝a_n－a_n^－₁＝2

知此數列是首項為 1，公差為 2 的等差數列

故一般項 an＝a1＋（n－1）d＝1＋（n－1）×2＝2n－1

例題 例題 例題 例題 6

數列〈an〉的遞迴定義式為 ¹

1

3

2 2

n n

a

a a n n



 －

≥

＝

＝ ， 是正整數且 ^{，則一般項}

a

_n＝ 。（10 分）

解 解 解

解 由定義式得出

a

₁＝ 3

a

2＝ 2×a1

a

₃＝ 2×a2

M

×）

a

_n＝ 2×an^－1

a

_n＝ 3×2×2×……×2＝3×2^n－1 即一般項 a_n＝3×2^n－1

〈另解〉

∵a₁＝3，又 r＝

1 n n

a a

_－ ＝2

知此數列是首項為 3，公比為 2 的等比數列 故一般項 a_n＝a₁×r^n－1＝3×2^n－1

n－1 次

n－1 次

一個邊長為 n 的大正三角形內，共有 n²個單位小正三角形，如果每個單位正三角形的邊都是 一根火柴棒，並設此邊長為 n 的大正三角形共用了 a_n根火柴棒。

(1) 試求 a₁，a₂，a₃，a₄。（2 分）

(2) 設 n ≥ 2，求出 an與 a_n－1之間的關係。（2 分）

(3) 寫出數列〈an〉的遞迴式。（3 分）

(4) 試求 a_n。（3 分）

解 解 解

解 (1) a1＝3

a

₂＝3＋2×3＝3×（1＋2）＝9

a

3＝3＋2×3＋3×3＝3×（1＋2＋3）＝18

a

₄＝3＋2×3＋3×3＋4×3＝3×（1＋2＋3＋4）＝30 (2) 由題圖及 a1，a₂，a₃，a₄觀察可得

a

n＝an^－1＋3n，其中 n ≥ 2 (3) 數列〈a_n〉的遞迴式為 ¹

1

3

3 2

n n

a

a a n n



 －

≥

＝

＝ ＋ ， (4) 由(3)知

a

1＝ 3

a

₂＝ a1 ＋3×2

a

3＝ a2 ＋3×3

a

₄＝ a3 ＋3×4

M

＋） an＝ an^－1＋3×n

a

_n＝ 3×（1＋2＋3＋……＋n）＝3× 1 2

n n

（ ＋）

＝3

2

n（n＋1）

故 an＝3

2

n（n＋1）

例題 例題 例題 例題 8

一個邊長為 n 的大正方形中，共有 n²個單位正方形。如果每一個單位正方形的邊都恰有一根 火柴棒，而此大正方形共用了 a_n根火柴棒，如下圖，則：

(1) 試求 a1，a2，a3，a4。（2 分）

(2) 設 n ≥ 2，求出 an與 an^－1之間的關係。（2 分）

(3) 寫出數列〈a_n〉的遞迴式。（3 分）

(4) 試求 an。（3 分）

解解

解解 (1) a₁＝4

a

2＝12＝4＋4×2

a

₃＝24＝12＋4×3

a

4＝40＝24＋4×4

(2) 由題圖及 a1，a2，a3，a4可觀察得

a

_n＝a_n^－₁＋4n，其中 n ≥ 2

(3) 數列〈an〉的遞迴式為 ¹

1

4

4 2

n n

a

a a n n



 －

≥

＝

＝ ＋ ， (4) 由(3)知

a

1＝ 4

a

2＝ a₁＋4×2

a

₃＝ a2＋4×3

a

4＝ a₃＋4×4

M

＋） an＝ a_n－1＋4×n

a

n＝ 4×（1＋2＋3＋4＋……＋n）

＝ 4× 1 2

n n

（ ＋）

＝ 2n（n＋1）

故 an＝2n（n＋1）

例題 例題 例題 例題 9

數列〈an〉的遞迴式為 ¹

1

2

3 2 2

n n

a

a a n n



 －

≥

＝

＝ ＋ ， 是正整數且 ^， (1) 試推測這數列的第 n 項 an。（5 分）

(2) 用數學歸納法加以證明。（5 分）

解 解 解

解 (1) 首先觀察到

a

1 ＝2 ＝3¹－1

a

2 ＝3a1＋2＝3×2＋2 ＝3²－1

a

3 ＝3a2＋2＝3×（3²－1）＋2 ＝3³－1

a

4 ＝3a3＋2＝3×（3³－1）＋2 ＝3⁴－1 因而推斷第 n 項 an＝3ⁿ－1

(2) 用數學歸納法加以證明

當 n＝1 時，a1＝3¹－1＝2，等式成立

設 n＝k 時等式成立，即 ak＝3^k－1，

則 n＝k＋1 時

a_k^＋₁＝3a_k＋2＝3（3^k－1）＋2＝3^k＋1－1 ∴n＝k＋1 時，等式成立

故由數學歸納法知，對任意正整數 n，an＝3ⁿ－1 恆成立

例題例題 例題例題 10

設 n 為自然數，求證 4^2n＋1＋3^n＋2為 13 之倍數。（10 分）

證 證 證

證 (1) 當 n＝1 時，4^2＋1＋3^1＋2＝91＝13×7 為 13 之倍數

∴n＝1 時成立

(2) 設 n＝k 時命題成立，即 4^2k＋1＋3^k＋2為 13 的倍數 令 4^2k＋1＋3^k＋2＝13t（ t

∈

¢ ）

則 n＝k＋1 時

4^{2（k＋1）＋1}＋3^{（k＋1）＋2}＝16×4^2k＋1＋3×3^k＋2

＝3×4^2k＋1＋3×3^k＋2＋13×4^2k＋1

＝3（4^2k＋1＋3^k＋2）＋13×4^2k＋1

＝3×13t＋13×4^2k＋1

＝13（3t＋4^2k＋1）為 13 之倍數

∴n＝k＋1 時，亦成立

故由數學歸納法得知對於所有的自然數 n，4^2n＋1＋3^n＋2為 13 之倍數