第 3 章矩陣

(1)

第 3 章矩陣 41

3-1 一次聯立方程式與矩陣

1. 已知矩陣 



 





2 4 3

4 3

1 經過列運算﹐得 



 





b a 1 0

0

1 ﹐求a﹐b的值﹒

利用矩陣的列運算﹐得 1 3 4

3 4 2

 

 

 

1 3 4 0 5 10

 

     1 3 4 0 1 2

 

  

  1 0 2 0 1 2

  

  

 ﹐

故a  ﹐2 b ﹒ 2

2. 已知有一個x﹐ y ﹐ z 的三元一次聯立方程式的增廣矩陣﹐經矩陣的列運

算得

1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2

 

 

 

﹐求此聯立方程式的解﹒

因為題目中的矩陣表示聯立方程式

2 3 4 2 3 2

x y z

y z

z

  

  

 



﹐

所以聯立方程式的解為x ﹐0 y  ﹐1 z ﹒ 2

3. 利用矩陣的列運算﹐可將矩陣

1 1 0 5 0 1 1 7 1 0 1 8

 

 

 

化為

1 0 0 0 1 0 0 0 1

a b c

 

 

 

﹐求a﹐b﹐

c的值﹒

利用矩陣的列運算﹐得 1 1 0 5

0 1 1 7 1 0 1 8

 

 

 

1 1 0 5 0 1 1 7 0 1 1 3

 

 

  

  

 

1 0 1 2 0 1 1 7 0 0 2 10

 

 

 

  

 

 

1 0 1 2 0 1 1 7 0 0 1 5

 

 

 

  

 

 

1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 5

 

 

  

 

 

﹐

第 3 章矩陣

1

2

 1

  1

 ³

 

1 5

 

  

 3

 

 ¹

  ^{ } ¹

1

(2)

第 3 章矩陣 42

 ¹

 

1 3

 

  

 2

 

6

故a ﹐3 b ﹐2 c ﹒ 5

4. 利用矩陣的列運算﹐解聯立方程式

2 10 2 3 3 1

4 13

x y z

  

   

   



﹒

1 2 1 10 2 3 3 1 1 1 4 13

  

 

  

 

1 2 1 10 0 1 5 19 0 3 5 3

  

 

   

  

 

1 2 1 10 0 1 5 19 0 3 5 3

  

 

  

  

 

1 0 9 28 0 1 5 19 0 0 10 60

  

 

  

  

 

1 0 9 28 0 1 5 19 0 0 1 6

  

 

  

  

 

1 0 0 26 0 1 0 11 0 0 1 6

 

 

  

  

 

﹐

故x26﹐y  ﹐11 z  ﹒ 6

2 5

2 7

7 8 31 x y z

x y z

  

   

   



﹒

利用矩陣的列運算﹐得 2 1 1 5 1 2 1 7 1 2 1 7 2 1 1 5 7 8 1 31 7 8 1 31

    

   

   

   

1 2 1 7

0 3 3 9

0 6 6 18

 

 

    

    

 

1 2 1 7 0 1 1 3 0 6 6 18

 

 

  

    

 

1 0 1 1 0 1 1 3 0 0 0 0

  

 

  

 

 

即原聯立方程式與聯立方程式 1

3 x z y z

  

  

 同解﹒

若令 z t ﹐則原聯立方程式的解為 1

3

x t

y t

z t

  

  

 



（ t 為任意實數）﹒

 ²

    ⁷

 ²

  ^{ } ¹

1 10

 

  

 2

 

3

5 ^{ } ⁹

(3)

第 3 章矩陣 43

2 3

3 2 1 7 4 5 4

x y z

  

   

   



﹒

利用矩陣的列運算﹐得 1 2 1 3

3 1 2 1 7 4 5 4

  

  

 

  

 

1 2 1 3

0 5 1 8

0 10 2 17

  

 

   

   

 

1 2 1 3 0 5 1 8 0 0 0 1

  

 

   

  

 

﹐

由矩陣的第三列得知﹐原聯立方程式無解﹒

7. 已知k為實數﹐且聯立方程式























k z y x

z y x

2 3

1 2

1 3 2

有解﹐求k的值﹒

將聯立方程式的增廣矩陣作列運算﹕

1 2 3 1 1 2 1 1 3 2 1 k

 

 

  

 

  

 

1 2 3 1

0 4 4 2

0 8 8 k 3

 

 

 

  

  

 

1 2 3 1

0 4 4 2

0 0 0 k 1

 

 

 

  

  

 

由矩陣的第三列推得﹐若聯立方程式有解﹐則k  ﹐解得1 0 k  ﹒ 1

8. 已知x1﹐ y  ﹐1 z 為聯立方程式2

6 0

2 2 1 0

2 3 1 0

ax by cz ax by cz ax by cz

   

    

    



的一組解﹐

求a﹐b﹐c的值﹒

因為x ﹐1 y  ﹐1 z 為原聯立方程式的一組解﹐所以 2 2 6 0

2 4 1 0

2 6 1 0

a b c

   

    

    







 由  得 a6c 7 0 

由  得 4 a2c 2 0 

再由 解得a ﹐1 c  ﹒代入  得1 b ﹒ 5 故a ﹐1 b ﹐5 c  ﹒ 1

 

¹

  ^{ }

 

³

 ³

    ⁷

 ²

 

 ²

 

第 3 章 矩 陣

3-1 一次聯立方程式與矩陣

第 3 章 矩 陣

 

 

第 3 章矩陣

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