新物理下的希格斯雙光子衰變之數值分析

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(1)國立臺灣師範大學物理研究所碩士論文. Diphoton Decay of Higgs in New Physics 新物理下的希格斯雙光子衰變之數值分析. 研究生: 伍先至指導教授: 陳傳仁 2016 年 7 月.

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(3) 摘要. 近一個世紀高能領域裡許多重大突破，且在近幾年內 LHC 實驗又證實希格斯粒子 H 的存在。本篇前段將會簡述粒子物理與希格斯粒子的背景知識，再補充一些實驗物理的介紹，最後重點討論希格斯粒子衰變至雙光子的過程，並且討論不同的新粒子在此過程中的貢獻與影響，再將 LHC 的實驗數據套入，找出新粒子被允許存在的質量和耦合強度的範圍。我們將分別分析的新粒子為自旋為 0 或 1 的玻色子，以及自旋為 1/2 的費米子，且探討其相關修正的具體定量結果。關鍵字: 希格斯粒子、新物理、雙光子衰變、粒子物理 Higgs、New physics、Diphoton decay、Particle physics. i.

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(5) 致謝. 本論文得以順利完成，首要感謝指導老師陳傳仁教授這幾年來細心的教導與督促，讓資質駑鈍的我也能順利完成學業。二來要感謝本校的施華強教授，施教授在教學上的熱忱真的讓學生受益良多。最後也要感謝同在陳老師名下的同仁們，在工作期間給予許多資源與協助，讓我在接觸新事物時，縮短了許多磨合期。. ii.

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(7) Contents 摘要. i. 致謝. ii. 1 Introduction 概論. 1. 2 Background Materials 背景知識. 5. 2.1. Standard Model 標準模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2.2. Kinematics 運動學 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 2.3. Symmetries 對稱性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.4. Quantum Mechanics 量子力學 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.5. Perturbation Theory 微擾理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 2.6. Decay Widths and Cross Sections . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 2.7. Eexperiment 實驗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. 3 Higgs particle 希格斯粒子. 23. 3.1. Spontaneous Symmetry Breaking . . . . . . . . . . . . . . . . 24. 3.2. Goldstone Mechanism 戈德斯通機制 . . . . . . . . . . . . . . 24. 3.3. Higgs Mechanism 希格斯機制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. 3.4. Higgs Production 希格斯生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. 3.5. Higgs Decay 希格斯衰變 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. iii.

(8) 4 Higgs Decays involving New Particles. 41. 4.1. Higgs decay to diphoton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41. 4.2. New W boson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44. 4.3. New Scalar Boson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46. 4.4. New Lepton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49. 5 Conclusion 結論. 53. Reference 參考文獻. 55. iv.

(9) Chapter 1 Introduction 概論基本粒子的物理研究廣義來說至少可以追溯至古希臘時期的元素說 (classical elements)，當時的研究或許稱不上是科學，還更接近是哲學的層次，但至少開始試著以邏輯的思維解釋眼前所見的事物。隨著科技的進步，人類對觀察上的理解也越來越精進，新現象的發現也促使著新思維的誕生，如此科學發展越來越龐大、複雜，且發展出許多分支。隨著不同時代人的努力，基本粒子的神秘面紗，也漸漸地向世人展現出全貌。由於本篇重點在討論希格斯粒子的衰變，再加上粒子物理的背景知識龐大且複雜，所以本文在敘述背景知識時會顯得簡略且片段。首先，粒子物理的演進從 20 世紀來說起 ([1])，由於當時電磁理論、統計力學與理論力學的發展以相對成熟，人們對科學方法的應用也達到一定的高度，然而看似完美的年代卻有兩朵烏雲壟罩著物理界 ([2])，其一是邁克生-莫雷實驗 (Michelson-Morley experiment) 的零結果，無法對乙太 (ether) 的存在給出肯定的答案，另一朵烏雲1 則是黑體輻射的理論與實驗的不吻合，後人稱紫外災難 (ultraviolet catastrophe)。然而兩朵烏雲的背後分別是兩顆獨立的太陽，前者是相對論，後者是量子力學。同時 19 世紀末，X 射線與電子 1. 本文第二朵烏雲指的是黑體輻射，但此處有爭議，以開爾文 (Kelvin) 在 1901 年的文. 章中 [3]，並未提到黑體輻射。. 1.

(10) 的發現，也促使人們對原子的結構有一定層度的瞭解，一切的一切，如同上帝刻意般的將線索同時集結在這 20 世紀。量子理論的發展，藉著最初普朗克 (Planck) 為了解決黑體輻射所誕生的想法，誘使波耳 (Bohr) 建立氫原子模型，再藉著德布羅意 (de Broglie) 的物質波，薛丁格 (Schrödinger) 的波動力學也隨之而生。與此同時，海森堡 (Heisenberg) 也建構出與前者樣貌全然不同的矩陣力學，其中的測不準原理 (uncertainty principle) 卻又漂亮的的對應波粒的二象性，隨後包立 (Pauli) 也在光譜的研究中提出不相容原理 (exclusion principle)，此使統計力學也被帶向量子的新層級。另外，自旋現象的發現，包立也成功地將自旋量子數引進自量子力學中。同一時代，愛因斯坦 (Einstein) 提出的相對論也在發光發熱，如此將相對論與量子力學結合也只是必然而已，克萊因-戈爾登方程式 (KleinGordon equation) 與狄拉克方程式 (Dirac equation) 先後被提出，其中前者在現今可用在自旋為 0 的純量粒子，後者用在自旋為 1/2 的費米子，而且令人感到興奮的是狄拉克方程式預言了反粒子的存在，並且自然地得出自旋的自由度。然而量子力學在微擾的計算也不斷在進步，以狄拉克方程式為基礎的量子電動力學獲得非常好的成功，這便是量子場論的範疇，然而初步的成功並無法順利地延續，許多物理量的計算卻得到發散的結果。一個困境的出現，將成就出偉人的貢獻，費曼 (Feynman)、施溫格 (Schwinger) 與朝永振一郎 (Tomonaga) 漂亮的解決了問題，而他們的方法被稱為重整化 (Renormalization)，其中費曼的路徑積分也給了量子力學新的詮釋，而費曼圖 (feynman diagram) 的方法也漂亮的簡化了微擾理論的計算。由於高能場論的發展多元並且複雜，原子核的研究衍伸出弱作用與強作. 2.

(11) 用的研究，其中包立與費米 (Fermi) 分別在弱作用的研究中做出貢獻，包立大膽的假設微中子的存在，而費米也對 β 衰變的研究給出定量分析，另外湯川秀樹 (Yukawa) 則是在強作用中提出介子的理論。實驗方面，雲霧室 (Cloud chamber) 的改良，以致氣泡室 (Bubble chamber)、火花室 (Spark chamber) 的誕生，甚至到後來的粒子加速器，實驗儀器的進步，也讓各種強子與輕子陸陸續續現身，雖然實驗數據的增加完善了粒子動力學的發展，但過多的粒子卻也讓人無法相信這些新粒子皆是基本粒子，時下的物理界需要新的見解引入，夸克模型 (Quark Model) 便在此時由蓋爾曼 (Gell-Mann) 所提出，而後也促使量子色動力學的發展。另外還有宇稱不守恆的提出，也讓李政道和楊振寧以及負責實驗驗證的吳健雄女士在物理界留下不可抹滅的一頁。最後，標準模型 (Standard Model) 的建立，有著許多人的貢獻，除了上述提到的以外，還有楊-米爾斯理論 (Yang–Mills theory)，及希格斯機制 (Higgs mechanism)，和整合電磁作用與弱作用的格拉肖-溫伯格-薩拉姆模型 (Glashow-Weinberg-Salam Model)，當然還有許許多多的貢獻沒有提到，像是描述左右手的外爾方程式 (Weyl equation) 和丁肇中的 J/ψ 介子等。可是標準模型卻並非完美，像是如何加入暗物質等問題，還需要更進一步的修正，這部份我們稱為超越標準模型 (Beyond Standard Model)，最後本篇末段嘗試在希格斯的衰變過程中加入非標準模型粒子，並分析它們存在的條件。. 3.

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(13) Chapter 2 Background Materials 背景知識 2.1. Standard Model 標準模型. 在粒子物理學裏，標準模型是一套描述強力、弱力及電磁力這三種基本力及組成所有物質的基本粒子的理論。它隷屬量子場論的範疇，並與量子力學及狹義相對論相容。到目前為止，幾乎所有對以上三種力的實驗的結果都合乎這套理論的預測。標準模型共 61 種基本粒子，其中夸克有 6 種，有反粒子，且有 3 種色荷，共 36 種；輕子也是 6 種，也有反粒子，無色荷，共 12 種；強作用的膠子 (gluon) 因為是屬於 SU(3)，共有 8 種；弱作用的則是屬於 SU(2)，共有 3 種，分別是 W + 、W − 、Z；最後加上電磁作用的光子和賦予粒子質量的希格斯粒子，由於光子和希格斯粒子都是純中性粒子1 ，故各只有 1 種。基本粒子的性質如下頁 Tab. 2.1、Tab. 2.2和 Tab. 2.3所示。. 1. 純中性粒子的反粒子就是自己，原子核中的中子由夸克組成，有反粒子，所以中子並. 非純中性粒子。. 5.

(14) Table 2.1: Lepton 輕子 spin=1/2. 左手. 右手. Q. T3. YW 2. Q. T3. YW. νe , ν µ , ν τ. 0. 1/2. −1. 0. 0. 0. e, µ, τ. −1. −1/2. −1. −1. 0. −2. Table 2.2: Quark 夸克 spin=1/2. 左手. 右手. Q. T3. YW. Q. T3. YW. u, c, t. 2/3. 1/2. 1/3. 2/3. 0. 4/3. d, s, b. −1/3. −1/2. 1/3. −1/3. 0. −2/3. Table 2.3: Gauge and Scalar Boson 規範或純量玻色子 Boson. Spin. Q. T3. YW. EM. γ. 1. 0. 0. 0. U(1). Weak. W +, W −, Z. 1. 1, −1, 0. 1, −1, 0. 0. SU(2). Strong. g. 1. 0. 0. 0. SU(3). Higgs. H. 0. 0. −1/2. 1. 2. Q 為電荷 (charge)。T3 指的是弱同位旋 (weak isospin) 的第 3 個分量。YW 指的是弱. 超荷 (weak hypercharge)，與超荷 Y (hypercharge) 不同，其中超荷是由同位旋 (isospin) 定義，而同位旋由質子與中子來定義。弱同位旋通常符號用 I 或 T 表示，第 3 個分量為 I3 、Iz 或 T3 、Tz 。並且弱同位旋與弱超荷滿足 Q = T3 + YW /2。. 6.

(15) 2.2. Kinematics 運動學. Unit 單位在粒子物理的世界中，由於範疇是屬於高能物理領域，常用單位為自然單位制 (natural unit system)，簡稱 N.U.。 ~=c=1 由 E 2 = p2 c2 + m2 c4 關係式，並且使用自然單位，明顯可以看出能量、動量與質量因次相等。再利用測不準原理 ∆x ∆p = ~/2 與 ∆E ∆t = ~/2，可以看出時間與長度因次也相等，並與質量、能量、動量互為倒數。另外，在加速器實驗裡，需要計算散射過程的截面，常用的單位為面積單位-靶恩（barn,b） 1 cm2 = 1024 b = 1027 mb =1030 µb = 1033 nb = 1036 pb = 1039 fb 並且常用的亮度 (luminosity) 單位為 1 cm−2 s−1 =10−33 nb−1 s−1. Lorentz Transformations 勞侖茲變換由於在高能量的系統下，粒子都被加速到接近光速，所以粒子的運動除了要考慮量子化的效應，也要考量相對性的影響，所以坐標系的轉換必須遵守勞侖茲變換。 x′ + vt′ x= √ , 1 − (v/c)2. y = y′,. z = z′,. t′ + (v/c2 ) x′ t= √ 1 − (v/c)2. 由於相對論考慮的是 3 維空間 (x, y, z) 與 1 維時間 (ct) ，通稱為 4 維時空 (3+1)，且相對論的基礎前提是 4 維時空間隔不變，即 2. ds2 = c2 dt −dx2 − dy 2 − dz 2 7.

(16) 在這裡選用閔考斯基時空 (Minkowski space) ( ) xµ = x0 , x1 , x2 , x3 = (ct, x, y, z) 且閔考斯基度規 (Minkowski metric) 為  1 0   0 −1 gµυ =   0 0  0 0. 2.3.  0. 0.   0 0   −1 0   0 −1. Symmetries 對稱性. 一套物理系統在不同的座標下，其物理應該維持不變，以平移對稱性為例， ⟨ψ(x)|ψ(x)⟩ = ⟨ψ(x + a)|ψ(x + a)⟩ = ⟨U (a)ψ(x)|U (a)ψ(x)⟩ ⟨ ⟩ = ψ(x)|U † (a)U (a)|ψ(x) 若上式相等，便可得 U † U = 1 ，這便是么正矩陣 (unitary matrix) 的定義。根據諾特定理 (Noether’s theorem)，可以知道一個對稱性能對應至一個守恆律 Table 2.4: 對稱性-守恆律轉動對稱空間平移對稱時間平移對稱空間反演對稱電磁規範對稱. ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔. 8. 角動量守恆動量守恆能量守恆宇稱守恆電荷守恆.

(17) 2.4. Quantum Mechanics 量子力學. 由於粒子物理是一個探討微觀過程的物理，故量子力學便是其重要的基礎。. Schrodinger Equation 薛丁格方程式薛丁格方程式是描述物理系統的量子態怎樣隨時間演化的偏微分方程式，由奧地利物理學家埃爾溫·薛丁格 (Erwin Schrödinger) 在 1926 年提出。 ~2 2 ∂ − ∇ Ψ(⃗r, t) + V (⃗r)Ψ(⃗r, t) = i~ Ψ(⃗r, t) (2.1) 2m ∂t 可以注意到薛丁格方程式是時間 1 階和空間 2 階的偏微分方程，其波函數並不能描述自旋態。由於薛丁格方程式經過勞倫茲轉換後整個式子全然不一樣， i. 1 2 ∂ Ψ (x) = − ∇ Ψ (x) ∂t 2m. → /. i. ∂ ′ ′ 1 ′2 ′ ′ Ψ (x ) = − ∇ Ψ (x ) ′ ∂t 2m. 所以我們需要另一個能描述物理系統的量子態怎樣隨時間演化的偏微分方程式，並能需要在勞倫茲轉換下形式不變。. Pauli Equation 包立方程式或稱薛丁格-包立方程式 (Schrödinger–Pauli equation)，由於薛丁格方程式的解並未能表示自旋 (spin)，故沃爾夫岡·包立 (Wolfgang Pauli) 於 1927 年所建構。 − → 2 ∂ − → ˆ |Ψ⟩ = { 1 [→ H σ (− p − q A )] + qϕ} |Ψ⟩ = i~ |Ψ⟩ 2m ∂t 其中波函數 |Ψ⟩ 和哈密頓算子 (Hamiltonian operator) 分別為   |Ψ+ ⟩ → − 2 → → ˆ = 1 [− , H |Ψ⟩ =  σ (− p − q A )] + qϕ 2m |Ψ− ⟩ 9. (2.2).

(18) − → ⃗ 且→ σ 為包立矩陣3 , − p = −i~∇。將 eq. (2.2) 的形式用包立矩陣的關係式4 整理一下， → − 2 − → ∂ → − ˆ |Ψ⟩ = { 1 [(− H p − q A ) − q~→ σ · B ] + qϕ} |Ψ⟩ = i~ |Ψ⟩ 2m ∂t. (2.3). 可以看出，這是古典電動力學的哈密頓算子5 引入包立矩陣的形式。然而 − → → − − → → − 若磁向量勢 A = 0 ，則 B = ∇ × A = 0 ，包立矩陣的貢獻消失。   ( )  2 − → Ψ p ∂ Ψ+ + + qϕ   = i~   2m ∂t Ψ− Ψ− 可知僅當磁場存在時，粒子自旋才會對粒子的運動發揮影響，明顯的包立方程式只是薛丁格方程式的自旋延伸，並沒有考慮相對論性。可是引入矩陣的想法，給了後續的發展非常大的影響。. Klein-Gordon Equation 克莱恩-戈登方程式克莱恩-戈登方程式是相對論量子力學和量子場論中的基本方程式，它是薛丁格方程式的相對論形式，由瑞典理論物理學家奧斯卡·克莱恩 (Oskar Klein) 和德國人沃爾特·戈登 (Walter Gordon) 於二十世紀二三十年代分別獨立推導得出。考慮相對性的能量-動量方程式: E 2 = p⃗2 c2 +m2 c2 ∂ 其中 E → Eˆ = i~ ∂t. 然單位表示為. ,. → − → − p → pˆ = −i~ ∇，可得克莱恩-戈登方程式, 以自.   1 0 3   ; σz =   ; σy =  包立矩陣: σx =  0 −1 i 0 1 0 − → → − → − → − → − → − → → 4 − (→ σ · A )(− σ · B ) = A · B + i− σ · (A × B) 2 − → → 5 ˆ = 1 [− 帶電荷粒子在電磁場的哈密頓算子為 H p − q A (⃗r, t)] + qϕ(⃗r, t) . . 0. 1. . 0 −i. . 2m. 10.

(19) . − →2 ∂2 ϕ − ∇ ϕ + m2 ϕ = 0 2 ∂t. (2.4). 用達朗貝爾算子 (d’Alembert operator)6 表示為 (. ) 22 + m2 ϕ = 0. 由於基礎為狹義相對論，故能遵守勞倫茲不變 (Lorentz invariance)。然而，克莱恩-戈登方程式的能量本徵值 (eigenvalue) 明顯的能給出負值 √ → p 2 c 2 + m2 c 2 E=± − 同時，由這個負值能量所對應出的機率密度也是負值。這兩個問題使得克莱恩-戈登方程式在很長一段時間裡被認為是缺乏物理意義的。英國物理學家保羅·狄拉克 (Paul Dirac) 為了確保機率密度具有物理意義建立了狄拉克方程式 (Dirac Equation)，但這個方程式仍然沒有避免出現負能量。直到實驗發現了反粒子，物理學家們才逐漸意識到負能量的出現實際上意味著反粒子的存在。. Dirac Equation 狄拉克方程式由保羅·狄拉克於 1928 年建立，不帶矛盾地同時遵守了狹義相對論與量子力學兩者的原理，實則為薛丁格方程式的勞侖茲協變式 (Lorentz covariance)。這條方程式預言了反粒子的存在，隨後 1932 年由美國物理學家卡爾·安德森 (Carl Anderson) 發現了正電子 (positron) 而證實。狄拉克當初所提出來的形式 (original): [ ] ∂ βmc2 + c (⃗ α · p⃗) ψ = i~ ψ ∂t 6. d’Alembert operator:22 =. ∂2 c2 ∂t2. → −2 − ∇ , 不同的度規選取，符號會有不同. 11. (2.5).

(20) 由於上式要能解，⃗ α 和 β 必須是矩陣 (4×4)，那波函數 ψ(⃗x, t) 則也必須是行向量 (4×1)，   ψ (⃗x, t)   1   ψ2 (⃗x, t)  ψ (⃗x, t) =    ψ3 (⃗x, t)   ψ4 (⃗x, t) 其中 α ⃗ (α1 , α2 , α3 ) 和 β 可以用 ⃗γ 取代7    1 0 0 0 0       0 1 0 0 0 0 1    γ = , γ =   0 0 −1 0  0    0 0 0 −1 −1    0 0 0 −i 0       0 0 i 0 0 3 ,  γ2 =  γ =    0 i 0 0 −1    −i 0 0 0 0.  0. 0 1.   0 1 0 ,  −1 0 0  0 0 0  0 1 0   0 0 −1   0 0 0  1 0 0. 故狄拉克方程式可整理成 ) N. U. ( i~γ µ ∂µ ψ − mcψ = 0 −−−→ i∂/ − m ψ = 0. (2.6). / γ µ Aµ 。其中 A= 但是狄拉克方程式最終還是無法解釋負能量的問題，狄拉克為了解釋此情形，提出了空穴理論 (Hole Theory) 與狄拉克海 (Dirac Sea) 的想法，直到反粒子的發現，狄拉克方程式才獲得圓滿的驗證。由狄拉克方程式的解，可以看出波函數在考慮相對性後自旋與反粒子 (anti-particle) 的部分很自然地出現。 7. α1 = βγ 1 , α2 = βγ 2 , α3 = βγ 3 , β = γ 0. 12.

(21) 2.5. Perturbation Theory 微擾理論. 在量子世界的角度裡，粒子的散射 (碰撞)、衰變 (分裂) 或是躍遷 (激發)，這些過程都可以看做初狀態受到微小的擾動而產生的變化。如此，將微小的擾動視為位能，便是討論在不同的位能所發生的現象，然而這也卻是最為複雜的部份。由定性的角度來看，我們對核力 (強作用力和弱作用力) 的了解，遠不及電磁作用力8 。對於電磁力和弱力，從定量的角度，微擾理論是適用的。許多的微擾計算，如 S-矩陣理論 (S-matrix theory)、波恩近似 (Born Approximation) 等，甚至量子場論的計算也可以視為微擾的衍伸，只要能夠有效地對應實驗的數據，便能為我們所用。. Path Integral 路徑積分路徑積分表述是理論物理學家理察·費曼 (Richard Feynman) 在 1948 年發展出來。由於路徑積分的方法顯然地把時間和空間同等處理，它成為以後理論物理學發展的重要工具之一。簡單來說，路徑積分是利用古典力學中的作用量 (action)，應用在量子物理的描述。由於當時統計力學的發展，系綜 (ensemble) 的想法，與配分函數 (partition function) 的計算皆已成熟，而費曼也在此時建立了路徑積分。 ∫ ⟨qB , tB |qA ,tA ⟩ =. qB (tB ). Dq (t) eiS/~ = qA (tA ). ∑. eiS(C)/~. (2.7). All path C. ∫ 其中 q 為廣義坐標，t 為時間，S 為作用量9 ， Dq (t) 為費曼路徑積分，表示對全部的路徑 C 做積分，⟨qB , tB |qA ,tA ⟩ 為躍遷振幅 (transition amplitude)，象徵由 A 變成 B 這個過程的發生機率。 8 9. 由於在基本粒子的世界中，重力的微弱效應可完全忽略，故在此不考慮重力 ∫ 其定義為 S = d4 x L，其中 L 為拉氏密度 (Lagrangian density)，且為動能與位能. 的差值，常簡稱為拉格朗日量 (Lagrangian). 13.

(22) 路徑積分將古典物理和量子物理之間做了一個連繫。對巨觀尺度來說， ~ 是個很小的量，因此，對每條路線，S 都比 ~ 大很多 (S ≫ ~)，又將 eq. (2.7) 展開如下， eiS/~ = cos. S S + i sin ~ ~. 由於 S/~ 非常大，所以對該路線的臨近路徑而言，相位的變化非常巨大 (∆S/~ ≫ 2π)，而使得這些路徑的貢獻互相抵消。但有一條路徑的貢獻不會完全抵消 (建設性干涉)。那就是當這條路徑與其臨近路線的相位變化不大基本上相同的那條路徑 (∆S ≈ 0)，換句話說，也就是對相位的微分為 0 的那條路徑，或者說是作用量 S 的變分 (variation) 為 0 的路徑 (δS/δq (t) = 0)。明顯的，這便是古典物理粒子所選擇的路徑。換句話說，巨觀來看，我們只需要觀察特定路經，但微觀的角度，需要將所有的路經全部加總起來，如此量子現象便會與古典現象產生明顯差異。這也就是最小作用量原理與量子力學路徑積分之間的關係。路徑積分量子化 (Path Integral Quantization) 與正則量子化 (Canonical Quantization) 兩者是等價的，且且會獲得相同結果。經由路徑積分我們可以得到某過程發生的機率，現在只要知道量子系統的拉格朗日量10 並確保其遵守洛倫茲不變，便可以得到想要的結果。. Feynman Diagram and Rules 費曼圖與規則費曼圖 (Feynman diagram) 是美國物理學家理察·費曼（Richard Feynman）在處理量子場論時提出的一種圖象化的方法，描述粒子之間的交互作用，直觀地表示粒子散射、反應和轉化等過程。使用費曼圖可以方便地計算出一個反應過程的機率振幅。在古典的定義下，拉格朗日量應為正體 L，拉氏密度為草體 L，兩者關係為 ∫ L = d3 x L，但由於場論並無需定義正體 L，且在本文 L 用於描述亮度 (luminosity )， 10. 故通稱拉氏密度為拉格朗日量. 14.

(23) 考慮最低階量子電動力學 (QED) 的費曼規則: 外線 (External line) spin = 0 :. spin =. 1 : 2. spin = 1 :. (nothing)    入射粒子 : u       入射反粒子 : v¯    出射粒子 : u¯      出射反粒子 : v   入射粒子 : ϵµ  出射粒子 : ϵµ ∗. 內線 (Internal line) 或傳播子 (Propagator)11 spin = 0 :. spin =. 1 : 2. spin = 1 :. q2. i − m2 + iϵ. i(/q + m) i = 2 q − m2 + iϵ /q − m  −igµν    無質量 : q 2 + iϵ [   qµ qν ] −i  有質量 : g − µν q 2 − m2 + iϵ m2. 其中 ϵ 是無窮小的正實數。端點因子 (Vertex Factor) ige γ µ 其中ge = e 11. 可以由路徑積分量子化或正則量子化求得. 15.

(24) 然而，量子場論的計算在考慮更高階內線的處裡時 (圈圖)，卻有不少發散 (無限大) 問題，像這類高階項的處裡，引入重整化 (Renormalization) 來解決是一個有效的方法，這邊就不深入介紹，可以參考 [4]。. 2.6. Decay Widths and Cross Sections. 前面介紹量子世界的機率如何求得。為了把理論計算跟實驗相比較，需要知道機率與實驗數據的關係。從本節至這一章末，我們將使用 N.U.。. Decay Widths 衰變寬度12 衰變是指一顆粒子變成複數顆粒子的過程，衰變寬度便是衰變反應發生的機率，它的倒數稱作平均生命期 (mean lifetime) Γ≡. 1 τ. 並且另 N 為總粒子數，也有下列關係 dN = −ΓN dt 假若某粒子 A 會衰變成數個粒子所構成的末態 B，或是末態 C， A → B1 + B2 + · · · ,. A → C1 + C2 + · · ·. 衰變寬度分別為 ΓB 和 ΓC ，並定義新的物理量分支比 BR(Branching ratio) 為: BR ≡. Γi Γtot. 其中總寬度 Γtot = ΓB + ΓC , 12. 也可以叫 decay rate. 16. i = B or C or · · ·.

(25) 考慮 1 顆粒子衰變至 n 顆粒子， A → 1 + 2 + 3 + 4 + ··· + n 衰變寬度與機率振福關係為， S (2π)4 δ 4 dΓ = |M|2 2EA. ( p1 −. n ∑. ) pi. i=1. n ∏ i=1. 1 d3 p⃗i (2π)3 2E i. (2.8). 其中 pi 、⃗ pi 和 Ei 分別是 i 粒子的四動量 (4-momentum)、動量與能量，M 為機率振幅，S 是統計因子13 。. Cross Sections 散射截面散射指的是複數個粒子的碰撞過程14 ，這時末態可以是 1 個或複數個粒子。簡單來說，散射截面指的便是散射過程發生的機率。現在定 N 為單位時間內的粒子數，L 為亮度15 ，則散射截面有下列關係， dN = L dσ 且與躍遷率 w 關係如下 w = (vA + vB )σ 其中 v 為兩個散射粒子的初速考慮 2 顆粒子碰撞，產生出 n 顆粒子， A + B → 1 + 2 + ··· + n 散射截面與機率振福關係為， 1 S dσ = |M|2 (2π)4 δ 4 (vA + vB ) 2EA 2EB. ( p1 + p2 −. n ∑ i=1. ) pi. n ∏ i=1. 1 d3 p⃗i (2π)3 2E i (2.9). 13 14 15. 若 a → b + b + c + c + c，則 S = (1/2!)(1/3!) = 1/12 通常指兩個粒子的碰撞每單位面積、單位時間通過的粒子數. 17.

(26) 其中 pi 、⃗ pi 和 Ei 分別是 i 粒子的四動量、動量與能量，M 為機率振幅， S 是統計因子，v 是入射粒子的初速。由於碰撞與衰變最大的不同在於初態的不同，衰變只有 1 個，而碰撞卻能有複數個，這樣的不同也使的碰撞不像衰變只有質心坐標系能選擇，也可以看其方便使用實驗坐標系。. 2.7. Eexperiment 實驗. 由於高能物理的發展與實驗技術的精進有非常密切的關係，尤其是現今的大型強子對撞機 LHC(Large Hadron Collider)，每個零件、每個探測器，都有著複雜的物理機制運作著，本章大多參考 [5]，並簡單的介紹高能碰撞實驗中的物理。. 2.7.1. High-energy Collider. Energy 能量考慮兩個粒子對撞，質量分別為 m1 和 m2 ，動量分別為 p⃗1 和 p⃗1 ，其總能量的平方在質心坐標系 (c.m.) 下可以用曼德斯坦變量 (Mandelstam variables)16 表示: s = (p1 + p2 )2 = m21 + m22 + 2 (E1 E 2 − p⃗1 · p⃗2 )   (E1 + E2 )2 in the c.m. frame =  m2 + m2 + 2E1 m2 in the lab. frame 2 1 16. 在閔考斯基度規為 diag(1, −1, −1, −1) 下，曼德斯坦變量分別為 2. s = (p1 + p2 ) = (p3 + p4 ). 2. 2. 2. , t = (p1 − p3 ) = (p2 − p4 ). 18. 2. , u = (p1 − p4 ) = (p2 − p3 ). 2.

(27) 代入超相對論性極限 (Ultra-relativistic limit)17 ，   2E1 ≈ 2E2 in the c.m. frame p⃗1 + p⃗2 = 0, √ ECM = s ≈  √2E1 m2 in the fixed target frame p⃗2 = 0 明顯的，使用 p⃗1 + p⃗2 = 0 座標總能量比 p⃗2 = 0 座標更易於提升，故粒子對撞機皆採用對撞的系統，反之則是傳統散射實驗的系統。 Luminosity 亮度在加速器的實驗中，由於反應速率 (reaction rate) 和亮度 L 成正比， R (s) = σ (s) L. (2.10). 其中 R 是反應速率；s 是曼德斯坦變量，等於總能量的平方；σ 是總散射截面。所以很明顯地只要只要能提升亮度，反應速率就能提升，數據才足夠精確。由於加速器中，粒子束 (beam) 中的粒子是一群一群 (bunch) 的對撞，故亮度跟對撞頻率有關. L ∝ f n1 n2 /a 其中 f 是每群粒子對撞的頻率；n 是粒子數；a 是粒子束的幾何截面。 17. 2. |⃗ p| ≫ m2. 19.

(28) 2.7.2. e+ e− Collider 電子-正子對撞機. 優點: • 由於整個機制的總電荷為零，輕子數也為零，這樣的條件下，在電子、正子湮滅後，非常適合產生新粒子。 • 由於電子、正子互為反粒子，其各項性質大致都一樣，非常對稱，加速器坐標等同於質心坐標系，如此有利於提高質心總能量。 • 電子和正子，其性質我們都非常了解，所以相關的運動學非常容易建立。 • 由於電子-正子對撞機的產物非常乾淨，其背景雜訊很低，而且容易控制。 • 容易使電子束和正子束的偏振 (plarizations) 達到高程度的一致，如此能夠有效地觀測手徵性 (chiral coupling) 或其他反對稱的性質。18 缺點: ◦ 電子與正子在加速的過程中會產生制動輻射 (beamstrahlung effects)，使能量流失，其中喪失的能量與旋轉半徑和粒子質量 4 次方成反比，與粒子能量 4 次方成正比19 ，所以半徑越大，越容易增加系統能量，但能量越大卻也容易散失能量，明顯的會有能量上限。所以若系統能量要達到幾百個 GeV 的話，只能採用直線對撞。 ◦ 由於電子與正子在加速時會有輻射射出，使得粒子束不易集中，難以增加亮度。但若是不依靠儲存環 (storage ring)，也很難達到高亮度。 ◦ 由於電子、正子的系統 spin = 1，如此較不易產生 spin = 2 的粒子20 ， 18. 類似吳健雄博士在 1956 年測量的 β 衰變宇稱不守恆的實驗 ( )4 19 散失能量 ∆E，旋轉半徑 R，則 ∆E ∝ R1 mEe 20 但若初狀態軌道角動量 l ̸= 0，還是有機會產生 spin > 1 的粒子. 20.

(29) 且由於電子、正子的質量太輕，湯川耦合 (Yukawa interaction) 太小，不易產生 spin = 0 的粒子。. 2.7.3. Hadron Colliders 強子對撞機. 優點: • 質子與質子的系統，因為整體質量大於電子，故實驗可達的能量上限也高於電子與正子的系統。 • 由於質量越大，加速所造成的能量散失也越小，也較容易利用儲存環，來達到較高的亮度。 • 強子對撞是屬於夸克的系統，由於夸克能參與強作用與弱作用，故兩種作用的過程皆可以觀察到。缺點: ◦ 由於質子的構成，並不是單純的 u、u、d 三個夸克，而是由許許多多的部分子 (parton21 ) 所組成，且部分子分別由膠子 (gluon) 與夸克 (quark) 所組成，然而我們對強子中，膠子與夸克的分佈並未非常了解。 ◦ 在探討的過程 (channel) 裡，我們無法確定部分子的質心能量，也無法確定部分子的動量。. 21. 1969 年 R. 費曼提出部分子模型 (parton model)，認為強子是由許多帶電的點粒子構. 成，這些點粒子稱為部分子. 21.

(30)

(31) Chapter 3 Higgs particle 希格斯粒子希格斯玻色子是以英國物理學家彼得·希格斯 (Peter Ware Higgs) 命名，是在 1964 年提出希格斯機制 (Higgs mechanism) 的六位物理學者中的一位。由於歐洲核子研究組織（CERN）所領導的大強子對撞機 (LHC) 的貢獻，於 2013 年 3 月 14 日法國的 Moriond 會議1 正式宣布質量約 125 GeV 的新粒子為希格斯粒子，因此同年 10 月 08 日，法國物理學家弗朗索瓦·恩格勒 (François Englert) 與彼得·希格斯兩組人榮獲 2013 年諾貝爾物理學獎。在規範場論裏，為了滿足局域規範不變性 (local gauge invariance)，規範玻色子的質量必須為零，但是主導弱作用的的三個規範玻色子質量卻不為零，所以需要一套理論來解決此問題。如此需要引進希格斯場，由於希格斯場的真空期望值不等於零，會造成自發對稱性破缺 (spontaneous symmetry breaking，SSB )，因此規範玻色子會獲得質量，同時生成一種零質量玻色子，稱為戈德斯通玻色子 (Goldstone boson2 )。然而戈德斯通玻色子並不是有實質物理意義的粒子，可以通過選擇適當的規範，使戈德斯通玻色子的自由度被吸收，只存留帶質量希格斯玻色子與帶質量的規範向量場。 1 2. CERN 當時的文章標題為 New results indicate that new particle is a Higgs boson 或稱為南部-戈德斯通玻色子 (Nambu–Goldstone bosons ). 23.

(32) 3.1. Spontaneous Symmetry Breaking. 量子力學的真空與一般認知的真空不同。在量子力學裏，真空並不是全無一物的空間，虛粒子會持續地隨機生成或湮滅於空間的任意位置，這會造成奧妙的量子效應。將這些量子效應納入考量之後，空間的最低能量態，是在所有能量態之中，能量最低的能量態，又稱為基態或「真空態」。最低能量態的空間才是量子力學的真空。描述物理系統的方程式所具有的對稱性，這最低能量態可能不具有，這現象稱為自發對稱性破缺。. 3.2. Goldstone Mechanism 戈德斯通機制. 現在利用戈德斯通機制來介紹自發對稱破缺，考慮一複數純量場，其拉格朗日量為: ( ) L = (∂µ ϕ† )(∂ µ ϕ) − V ϕ, ϕ† [ ( )2 ] † = (∂µ ϕ† )(∂ µ ϕ) − m2 ϕ ϕ + λ ϕ† ϕ. (3.1). m 和 λ 在這裡只是位能 V 的參數其中拉格朗日量明顯具有整體規範對稱 (global gauge symmetry)，亦即 L 在下列變換下不變 ϕ → ϕ′ = eiγ ϕ γ 是與時空座標無關的實參數. 場的真空 (基態) 應該對應於位能的極小值， ∂V = m2 ϕ + 2λϕ(ϕ† ϕ) = 0 ∂ϕ† m2 ⇒ϕ=0 or |ϕ|2 = − 2λ 若 m2 > 0，則 |ϕ|2 < 0，故只有 ϕ = 0 為極小值，如 Fig. 3.1(a)。 24.

(33) 若 m2 < 0，則 |ϕ|2 > 0，故 ϕ = 0. or. ϕ=. √ −m2 /2λ = a 為極值，並且. 可以由 ∂ 2 V /∂ϕ ∂ϕ† = m2 + 2λ|ϕ|2 代入 ϕ = 0 或 ϕ = a 來得到 ϕ = a 為極小值，ϕ = 0 為極大值，如 Fig. 3.1(b)。其中 λ 一定為正，不然整個位能的圖形開口會朝下，使得整個位能無極小值。. (a) m2 > 0. (b) m2 < 0. Figure 3.1: 複數純量場 V (ϕ) 簡而言之，可以設定一位能 V，形狀為酒瓶型，且基態在 ϕ = a 的位置。由於 ϕ = a，在複數平面上為半徑等於 a 的圓。這意指可以滿足 |⟨0|ϕ|0⟩|2 = a2 條件的真空態 |0⟩ 有無窮多個，故在此情形真空態是簡併的。由於真空態擁有一不為零的期望值 a，而實驗僅能看到以這期望值為基礎的激發態 (實驗上觀察到的粒子都是以場的真空為基礎的激發)。現在我們將場 ϕ(x) 中的 a 分離出來，改寫成 ϕ(x) = a +. √1 2. [h(x) + iρ(x)]，其中. ⟨0|h|0⟩ = ⟨0|ρ|0⟩ = 0，且 h(x) 與 ρ(x) 為實數場。將新的場 ϕ(x) 代入 eq. (3.1)，得 ( ) λ( )2 1 1 L = (∂µ h)2 + (∂µ ρ)2 − λυ 2 h2 − λυh h2 + ρ2 − h2 + ρ2 + . . . (3.2) 2 2 4 √ 其中 υ = 2a，且上式省略常數項。. 25.

(34) 從這裡可以看出，h(x) 所表示的場，質量為. √ 2λυ，也就是我們的 Higgs. 粒子，然而同理，也可以看出 ρ(x) 所表示的質量為零 (ρ2 項係數等於 0)，其中 ρ(x) 為戈德斯通粒子。然而，這個新的拉格朗日量可以看出，h(x) 並沒有整體規範對稱3 。也就是說，在這個真空下，對稱性很自然的被破壞掉了，或者說被隱藏起來了，這就被稱為自發對稱破缺。整體而言，對稱性的自發破缺會產生無質量粒子，從物理來解釋，對稱性的破壞導致基態出現連續簡併，而簡併態之間的轉換並沒有能量的差異，所以相應的粒子不可能帶有質量。然而無質量的戈德斯通粒子理應容易在實驗上被製造出來 (加速器能量不需要很高)，可是卻沒有任何實驗有相關的證據顯示。所以如何解決這問題，便是希格斯機制的任務了。. 3.3. Higgs Mechanism 希格斯機制. 上一節討論整體規範對稱的戈德斯通機制，然而卻創造出無質量的粒子。由於現今已知的規範玻色子皆滿足局域規範對稱 (local gauge symmetry)，故這邊介紹局域規範對稱破缺。 3. 可以藉由 h −→ −h 的轉換，可以看出平方項明顯不變，但此處卻有 3 次方項，故對. 稱性消失了. 26.

(35) Abelian case U (1) Local gauge transform : ϕ → ϕ′ = eiγ ϕ 1 Aµ → Aµ ′ = Aµ − ∂µ γ g. (3.3). 其中γ = γ(x) ∈ 實函數同樣，討論複數純量場，其局域規範不變的拉格朗日量為， [ ] ( )2 1 L = (∂µ − igAµ ) ϕ† [(∂ µ + igAµ ) ϕ] − m2 ϕ† ϕ − λ ϕ† ϕ − Fµν F µν 4 ( ← ) ( ) ( ) → 2 = ∂µ ϕ† (∂ µ ϕ) − m2 ϕ† ϕ − λ ϕ† ϕ − ig ϕ† ∂µ ϕ Aµ 1 + g 2 ϕ† ϕAµ Aµ − Fµν F µν 4. (3.4). ← → 其中，Aµ 是 U(1) 規範場，Fµν = ∂µ Aν −∂ν Aµ ，A ∂µ B = A(∂µ B) − (∂ν A)B，並且討論與上節相同的真空，ϕ(x) = a +. √1 2. [h(x) + iρ(x)]，將它帶入上式. eq. (3.4)，且省略常數項為， 1 1 1 1 L = (∂µ h)2 + (∂µ ρ)2 − λυ 2 h2 − Fµν F µν + g 2 υ 2 Aµ Aµ 2 2 4 2 ( 2 ) ( ) ← → λ 2 − λυh h + ρ2 − h2 + ρ2 + gυ∂µ ρAµ + g(h ∂µ ϕ)Aµ 4 ( ) 1 + g 2 υhAµ Aµ + g 2 h2 + ρ2 Aµ Aµ + . . . 2. (3.5). 這裡的整理用到下列關係:  ← → ← → ← →   A ∂µ (B + C) = A ∂µ B + A ∂µ C      → ← → ← →   (A + B)← ∂µ C = A ∂µ C + B ∂µ C ← → ← →    A ∂µ B = −B ∂µ A      →  A← ∂ A=0 µ. 由 eq. (3.5) 可以發現，Aµ Aµ 項的係數並非為零，規範玻色子在這裡獲得了質量 gυ，這個結果可以很好的利用來解釋弱作用規範粒子為什麼擁有 27.

(36) 質量。一樣也可以注意到，h 有質量，ρ 沒有質量，特別的是 gυ(∂µ ρ)Aµ ，表明了場 ρ(x) 與 Aµ 的耦合，表示戈德斯通玻色子可以與 Aµ 互相轉換，這意味著他們可能是同種粒子，事實上這項可以藉由規範的選擇，使其為零。將真空的條件 ϕ(x) = a +. √1 2. [h(x) + iρ(x)]，代入 eq. 3.3，且當 γ 很小時: [. ] 1 ϕ = (1 − iγ) a + √ (h + iρ) 2 [ ] √ 1 = a + √ (h − γρ) + i(ρ + γh + 2γa) 2 1 ′ = a + √ (h + iρ′ ) 2 ′. 可以看出   h′ = h − γρ √  ρ′ = ρ + γh + 2γa √ 並且選擇規範 γ = −ρ/(h+ 2a)，使 ρ′ = 0，此選擇稱為么正規範 (unitary gauge)，於是，在么正規範中，拉格朗日量為 1 1 1 2 2 L = − Fµν F µν + g 2 υ 2 Aµ Aµ + (∂µ h′ ) − λυ 2 h′ 4 2 2 λ 4 1 3 2 − λυh′ − h′ + g 2 υh′ Aµ Aµ + g 2 h′ Aµ Aµ 4 2 可發現其中只存在規範粒子 Aµ ，希格斯場 h，已看不見戈德斯通粒子 ρ，可是 ρ 的消失，代表有自由度憑空消失了。由於規範粒子 Aµ 在無質量時，只有兩個自由度 (橫向偏振)，但 Aµ 在獲得質量時，縱向偏振有了物理意義，故整體自由度並未減少。如此，這個戈德斯通玻色子被「規範掉 (吃掉)」的過程，使的規範粒子因. 28.

(37) 而得到質量，而這個過程稱為希格斯機制 (Higgs mechanism)4 。另外，這裡所描述的是 U(1) 對稱破缺，其中獲得質量的規範粒子 Aµ 可以是光子，與超導的現象有所關連。. Non-Abelian case 考慮具有 2 維的複數向量場，   ϕ1 ϕ =  , 其中 ϕ1 = χ1 + iχ2 , ϕ1 = χ3 + iχ4 ϕ2 並且滿足 SU(2) 規範不變的拉格朗日量為 ( )2 1 i iµν F L = (Dµ ϕ)† (Dµ ϕ) − m2 ϕ† ϕ − λ ϕ† ϕ − Fµν 4. (3.6). SU (2) Local gauge transform : ϕ → ϕ′ = U ϕ k. U = eiθk T = eiθk τ. k /2. , k = 1, 2, 3. 其中 τ k 為包立矩陣，θk = θk (x)， [Ti , Tj ] = iϵijk Tk ， ϵijk = ϵijk Dµ = ∂µ + igAiµ T i i Fµν = ∂µ Aiν − ∂ν Aiµ − gϵijk Ajµ Akν. 然而，真空的選擇為 ⟨. ⟩ m2 0|ϕ† ϕ|0 = − = a2 2λ. ϕ† ϕ = χ1 2 + χ2 2 + χ3 2 + χ4 2 = a2 4. 也有以下稱法 Brout–Englert–Higgs mechanism、Englert–Brout–Higgs–Gural-. nik–Hagen–Kibble mechanism、Anderson–Higgs mechanism、Anderson–Higgs-Kibble mechanism、Higgs–Kibble mechanism、ABEGHHK’tH mechanism. 29.

(38) 這是一個 4 維空間中半徑為 a 的圓，真空是 4 維連續減併，若選定一真空 (圓上一點)，就失去轉動對稱性，出現自發對稱破缺。現在為了從出發點直接把戈德斯通粒子規範掉，可以選擇下述真空，   0 1  ϕ(x) = √  2 υ + h(x) 將上述 ϕ(x) 代入 eq. (3.6)， 1 i iµν 1 2 2 1 L = − Fµν F + g υ Aµ Aµ + (∂µ h)2 − λυ 2 h2 4 2 2 λ 1 1 − λυh3 − h4 + g 2 υhAµ Aµ + g 2 h2 Aµ Aµ + λυ 4 4 2 4. (3.7). 其中 Aµ = Aiµ T i ，且省略相加常數項。由於規範粒子 Aiµ 有 i = 1, 2, 3 三種，在這些粒子尚未有質量時，各只有兩個自由度，然而複純量場 ϕ 有 4 個分量 (χ1 , χ2 , χ3 , χ4 )，所以整個系統共有 3 × 2 + 4 = 10 個自由度。而這些規範粒子獲得質量 gυ 後，每個規範粒子會有 3 個自由度 (兩個橫向、一個縱向)，共吸收 3 個無質量的戈德斯通粒子，最後剩下的就是希格斯粒子，整體還是 3 × 3 + 1 = 10 個自由度， √ 其中希格斯粒子的質量為 2λυ。弱電作用的規範玻色子如何獲得質量，需考慮 SU(2)×U(1) 的希格斯機制，與上述舉的例子大同小異，可以參考 [4](Ch. 20.2 of [4] )。. 30.

(39) 3.4. Higgs Production 希格斯生成. 由於希格斯粒子產生的方法有許多種，在這裡介紹標準模型中發生機率最大的 4 個過程。 Gluon Fusion 膠子融合簡稱 ggH, g. quark H. g. quark. σ (gg → H) ∼ 15 pb. at. σ (gg → H) ∼ 50 pb. 7 T eV,. f or. at. MH = 125 GeV. 14 T eV at LHC. Vector Boson Fusion 向量玻色子融合或稱 weak-boson fusion，簡稱 VBF or qqH， f W ，Z. f. H f. W ，Z f. σ (qqH) ∼ 1.3 pb. at. 7 T eV,. σ (qqH) ∼ 4 pb at. f or. 31. MH = 125 GeV. 14 T eV at LHC.

(40) Higgs Strahlung5 希子輻射或稱 Higgs Bremsstrahlung6 ，基本上伴隨 (associated) W 或 Z 玻色子產生，簡稱 WH and ZH， f¯ W ，Z W ，Z H. f σ (W, ZH) ∼ 0.6 pb. at. 7 T eV,. σ (W, ZH) ∼ 1.5 pb f or. at. MH = 125 GeV. 14 T eV at LHC. Top Fusion 頂夸克融合末狀態會伴隨著頂夸克 (top quark) 與反頂夸克產生，簡稱 tt¯H， t g. t¯ H. t g t¯ σ (tt¯H) ∼ 88 f b. at. 7 T eV,. σ (tt¯H) ∼ 611 f b f or. 5 6. Strahlung 為德語，輻射的意思軔致輻射，又稱剎車輻射或制動輻射. 32. at. MH = 125 GeV. 14 T eV at LHC.

(41) 上述的 4 個生成 Higgs 的過程，分別在 LHC 的貢獻如 Fig. 3.2，這張圖是以 LHC 的環境並僅考慮標準模型所計算得到，很明顯的在 LHC 中， Higgs 的主要來源為 Gluon Fusion，其次為 Vector Boson Fusion，再來是 Higgs Strahlung 與 Top Fusion，其中每條線的寬度為理論誤差，主要來自質子中膠子與夸克的分布7 我們並不是很瞭解。. Figure 3.2: 在標準模型下，且模擬 LHC 的環境下，希格斯粒子生成的過程比較圖。Fig.42 of [7] . 3.5. Higgs Decay 希格斯衰變. 希格斯粒子質量為 125 GeV，則標準模型預測其平均壽命（mean lifetime）大約為 1.6×10−22 秒。由於希格斯粒子會與每一種「已知」帶質量基本粒子交互作用，故希格斯粒子有很多種不同的衰變過程 (decay channels)。 7. 這些部分子的分布在理論計算時，我們是利用部分子分佈函數 (parton distribution. function) 來處理，簡稱 PDF. 33.

(42) Vector Boson Decay 向量玻色子衰變 H →VV. (V = W ± , Z) W ，Z H W ，Z. MH ≥ 2MV : GF MH3 √ δV Γ (H → V V ) = 16π 2. ) ( 3 2 1 − τV + τV βV 4. (3.8). MV < MH < 2MV : ( ) MW 3g 4 MH Γ (H → W W ) = F (3.9) 512π 2 MH ) ( ) ( MZ g 4 MH 160 40 2 ∗ Γ (H → ZZ ) = F (3.10) 7 − sw + 3 9 MH 2048(1 − s2w ) π 3 √ 其中 δV = 1, 2 (V = Z, W )8 ，τV = 4MV2 /MH2 ，βV = 1 − τV ，sw 是溫伯 ∗. 格角 (Weinberg angle9 )， ( ) ( ) 47 2 13 ( ) 1 2 F (x) = − 1 − x x − + 2 − 3 1 − 6x2 + 4x2 ln (x) 2 2 x ( 2 ) 2 4 1 − 8x + 20x 3x − 1 −1 cos +3 √ 2x3 4x2 − 1. 8. 由於 H → W W 的過程中，W + 和 W − 是兩個不同的粒子，故比起 H → ZZ 的過. 程多一個交換的可能 9. 又稱弱混合角 (weak mixing angle)，sw 2 = sin2 θW = 1 −. 34. (. MW MZ. )2.

(43) Fermionic Decays 費米子衰變 H → f f¯. (f = quark、lepton) f H f¯ ( ) GF MH f √ Nc Mf 2 βf 3 Γ H → f f¯ = 4π 2. (3.11). (for f = l, q). 其中 Nc = 1, 3 Two Photon Decay10 雙光子衰變 H → γγ. γ W ± ，f H γ. GF α2 M H √ Γ (H → γγ) = 128 2π 3.

(44)

(45)

(46)

(47). 3

(48) ∑ f.

(49) 2

(50)

(51) 2 f Nc Qf A1/2 (τf ) + A1 (τW )

(52)

(53). 其中 Qf 為費米子的電荷，τi = 4Mi2 /MH2. (i = f, W )，. A1/2 (τf ) = 2τf [1 + (1 − τf ) f (τf )] A1 (τw ) = − [2 + 3τw + 3τw (2 − τw ) f (τw )]   2 1  τ ≥1 arcsin √ τ √ ( )2 f (τ ) =  1 1+ 1−τ  − ln √ − iπ τ <1 4 1− 1−τ 10. 也有寫作 diphoton decay. 35. (3.12).

(54) Two Gluon Decay 雙膠子衰變 H → gg. g q H g

(55)

(56) 2 3

(57) ∑

(58) 2 2 G F αs M H

(59) 3

(60) √ Γ (H → gg) = A1/2 (τq )

(61)

(62) 3

(63)

(64) 4 q 36 2π. (3.13). 上述的 4 種希格斯粒子衰變的過程，分別在 LHC 的貢獻如 Fig. 3.3，其中每條線的寬度為理論誤差，主要來自高階的近似，另外以 tt¯ 的過程為例，由於 top 的質量約 170 GeV，故要衰變到此過程且都為實粒子，希格斯粒子的質量需要大於 340 GeV，反之則有虛頂夸克的情況。. Figure 3.3: 在標準模型下，且模擬 LHC 的環境下，希格斯粒子衰變的過程比較圖。Fig.2 of [6]. 36.

(65) Fig. 3.4 描述希格斯粒子的總衰變寬度，將質量在 125 GeV 所對應的衰變寬度 4.03×10−3 GeV，藉由衰變寬度與平均生命期為倒數的關係，可以得到本節一開始提到的 1.6×10−22 秒。並且由圖中可以發現，希格斯粒子質量分別在約 160 GeV、180 GeV、340 GeV 處，皆有不平整處 (斜率增加處)，分別是 W + W − 、ZZ 和 tt¯ 三個過程所造成。. Figure 3.4: 在標準模型下，且模擬 LHC 的環境下，希格斯粒子的總衰變寬度。Fig.36 of [7] 希格斯粒子的尋找雖然在 LHC 的運行下順利被發現，但在之前亦有各種對撞機實驗的付出，才有如今的結果，Tab. 3.1 列出 LEP(Large Electron– Positron Collider)、Tevatron 和 LHC 在尋找希格斯粒子時所關注的過程。在 LEP 中，由於來源是正負電子，故生成的過程為希子輻射，且由於實驗總能量的限制，所以在衰變的過程自然是在總能量較低時衰變寬度最大的 b¯b。在 Tevatron 的實驗中，來源為正反質子，由於衰變寬度在 MH <135 GeV 時 b¯b 貢獻最多，反之在 MH >135 GeV 時 W + W − 貢獻最多，然而在生成的過程中，膠子融合的散射截面是最大的，可是此過程卻 37.

(66) 有很大 QCD 影響11 ，背景誤差較大，所以在 MH <135 GeV 時選用希子輻射，便可在末狀態產生輕子對，以利分析。最後在 LHC 中，由於來源為兩顆質子，且能量也足夠高，使得衰變寬度較小的過程皆達到足以分析的程度，故生成的部分便是選擇散射截面最大的膠子融合，如此便可分析所有的衰變過程，然而在這些過程中， H → γγ 與 H → ZZ → ll 的過程特別的受到重視，因為光子與輕子我們都非常的了解，既使衰變機率較低，可是訊號卻容易分析清楚，且當時發現希格斯粒子，其數據最主要就是來自 H → γγ 與 H → ZZ 的貢獻，相比之下，H → W + W − → 2l 2ν 的過程雖然末狀態也有輕子，可是微中子卻無法被偵測，故分析重建數據的方法與 H → γγ 和 H → ZZ 不同，無法在質量 125 GeV 處找到希格斯粒子明顯的證據。而 H → b¯b 的過程，雖然此過程的衰變機率很大，可是在質子-質子對撞機下，會產生許多部分子，會造成很多雜訊，故難以分析清楚。. 11. Quantum chromodynamics, 量子色動力學，由於分析強作用的動力學便是 QCD，故. 此處指的影響可以視為對部分子的不瞭解. 38.

(67) Table 3.1: 各實驗所關注的過程。參考 [8](p.504-510) 所整理的表. LEP (大型正負電子對撞機: Etot < 209 GeV) Tevatron (正反質子對撞機: Etot < 1 TeV ). Production. Decay. e+ e− → ZH. H → b¯b. MH < 135 GeV: MH > 135 GeV:. p¯ p → ZH. H → b¯b , Z → l¯l. p¯ p → WH. H → b¯b , W ± → l± ν¯. gg → H. H → W +W − H → W + W − → l+ ν l− ν H → ZZ → l+ l− l+ l−. LHC. gg → H. (大型強子對撞機、質子質子對撞機). H → b¯b H → τ +τ − H → γγ. 39.

(68)

(69) Chapter 4 Higgs Decays involving New Particles 雖然標準模型所描述的物理與實驗數據符合的程度還不錯，但仍然有著許多未解的問題，所以我們相信除了標準模型所描述的物理外，還有著新物理的存在。在這邊我們注重討論 H → γγ 的過程，嘗試在此過程中加入些非標準模型中的粒子，並探討其衰變寬度與實驗數據的差別，藉以推測新的粒子可能存在時所允許的質量與耦合常數。本章在分析新粒子的過程主要參考 [9]，並利用 HDECAY 的程序 ([10]) 來產生數據和軟體 Mathematica1 來作圖。. 4.1. Higgs decay to diphoton. 希格斯粒子衰變到雙光子的過程，由於希格斯粒子是電中性的，且光子屬於電磁作用力，所以此過程中至少一定要有一個迴圈 (loop)。在標準模型中，迴圈裡可允許的只有費米子 (不包括微中子) 與 W 玻色子。 1. Wolfram Research 為此程式的製作公司，http://www.wolfram.com/?source=nav. 41.

(70) γ. W±. γ. f. H. H γ. γ. (a). (b). Figure 4.1: 標準模型中 H → γγ 的過程 Fig. 4.1的衰變寬度為，

(71) GF α MH

(72) √ Γ(H → γγ) =

(73) 128 2π 3

(74) 2. 3

(75) ∑ f.

(76) 2

(77)

(78) 2 Nf Qf A1/2 (τf ) + A1 (τW )

(79)

(80). (4.1). 其中 α 為精細結構常數 (fine-structure constant)；GF 是費米常數 (Fermi constant)；Nf 2 是指色荷 (color) 的自由度 (Nq = 3 , Nl = 1)；Qf 為費米子帶的電荷；A 為費曼圖迴圈中不同粒子所帶的貢獻，且下標的數字指的是迴圈中的粒子所對應的自旋3 ， A1/2 (τf ) = 2τf [1 + (1 − τf )f (τf )] A1 (τW ) = − [2 + 3τW + 3τW (2 − τW )f (τW )] A0 (τs ) = −τs [1 − τs f (τs )]. f (τ ) ≡.           . 1 arcsin2 √ τ √ [ ]2 1+ 1−τ 1 √ − 4 ln − iπ 1− 1−τ. τi ≡ 4Mi 2 /MH 2 2 3. ,. τ ≥1. ,. τ <1. (i = f, W ). f = fermion 費米子，q = quark 夸克，l = lepton 輕子 1/2 指的是費米子，1 指的是 W 玻色子，0 是指純量玻色子，在標準模型的過程中，. 沒有 A0 的貢獻. 42.

(81) 並且，A1/2 、A1 、A0 在 MH = 125 GeV 的變化如 Fig 4.2。在標準模型下，由衰變寬度的公式可以看出，費米子貢獻的部分質量越大貢獻越大，而且 A1/2 明顯由頂夸克貢獻最多，所以有時計算上費米子的部分只考慮頂夸克的貢獻。. (a) 實數部分. (b) 虛數部分. Figure 4.2: A1/2 、A1 、A0 由 eq. (4.1) 我們能夠順利以標準模型來計算 H → γγ 的衰變寬度，如此便可以將得到的結果與實驗所測量的值相比較，如 Tab. 4.1，其中 µ 為實驗值與理論值的比值。可以注意到一個奇怪的部分，在 H → γγ 的數據中， ATLAS 與 CMS 整合後的數據不在 ATLAS 和 CMS 個別的數據之間，此結果可能是因為 ATLAS 與 CMS 所得到的希格斯粒子質量有些許不同，所以其數據的整合並非單純的取平均值。 43.

(82) Table 4.1:. ATLAS 與 CMS 的實驗數據 (Table 11 of [11])，其中. µ ≡ Γexp /ΓSM. Decay channel ATLAS+CMS . . 4.2. ATLAS CMS . µγγ. 1.16+0.20 −0.18. 1.15+0.27 −0.25. 1.12+0.25 −0.23. µZZ. 1.31+0.27 −0.24. 1.51+0.39 −0.34. 1.05+0.32 −0.27. µW W. 1.11+0.18 −0.17. 1.23+0.23 −0.21. 0.91+0.24 −0.21. µτ τ. 1.12+0.25 −0.23. 1.41+0.40 −0.35. 0.89+0.31 −0.28. µbb. 0.69+0.29 −0.27. 0.62+0.37 −0.36. 0.81+0.45 −0.42. New W boson. 在這裡我們考慮非標準模型的情況，在原本衰變到光子的過程中加入新 W 玻色子的貢獻，如下圖 γ. SM + W ′ H. γ 所以我們將 eq. (4.1) 改變，新增一項由新 W 玻色子貢獻的部分: A1 (τW ′ )， ΓW ′ (H → W ′ → γγ) =

(83) 2

(84)

(85) GF α2 MH 3

(86)

(87) ∑

(88) 2 √ Nf Qf A1/2 (τf ) + A1 (τW ) + XW ′ A1 (τW ′ )

(89)

(90) 3

(91) 128 2π

(92). (4.2). f. 其中新的 W 玻色子，與 Higgs 的耦合強度應與原來的 W 玻色子不同，所以在其貢獻部分多了一個係數來控制: XW ′ ，並且參考 [9] 的條件 (p.9 of [9])，來定義 CW ′ ， 1 OW ′ = CW ′ g 2 H † HWµ′+ W ′−µ 2 44.

(93) 讓 XW ′ 用 CW ′ 來表示如下， XW ′ = CW ′. MW 2 MW ′ 2. Figure 4.3: ΓW ′ /Γtot′ vs MW ′ ′ 由 Fig. 4.3 可以看出，當 CW ′ < 0 時，BR 有機會為 0，是因為 XW A′1 與. A1 異號，所以互相抵銷，反之，當 CW ′ > 0 時，為同號，會互相加成。而且 A1/2 的值比 A1 小的許多，所以 BR=0 時，MW ′ 會接近 MW 的值。然而標準模型的理論預測 (黑色線) 與實驗值誤差範圍 (黃色區間) 吻合程度很高，所以新 W 玻色子存在的可能也很小，其存在條件被實驗誤差所限制。定義 Rγγ ≡ ΓW ′ /ΓSM Rγγ.

(94) 2

(95)

(96)

(97) 2 A1 (τW ′ ) MW

(98)

(99) ∑ =

(100) 1 + CW ′

(101) 2 2

(102)

(103) MW ′ f Nf Qf A1/2 (τf ) + A1 (τW ). 45. (4.3).

(104) Figure 4.4: Contours plot of Rγγ on the CW ′ - MW ′ plane Fig. 4.4 的藍色區間為 LHC 的實驗值誤差範圍 (0.98 - 1.36)，取自 Tab. 4.1，也就是說只有藍色的範圍允許新 W 玻色子存在，且其耦合強度與質量皆有限制。 . 4.3. New Scalar Boson. 在這裡我們考慮過程中加入新純量玻色子的貢獻，如下圖 γ. SM + S ′ H. γ 其衰變寬度為: ΓS ′ (H → S ′ → γγ) =

(105) 2

(106)

(107) GF α2 MH 3

(108)

(109) ∑

(110) 2 √ Nf Qf A1/2 (τf ) + A1 (τW ) + XS ′ A0 (τS ′ )

(111)

(112) 3

(113) 128 2π

(114) f. 46. (4.4).

(115) 並且參考 [9] 所使用的條件 (p.11 of [9])，來定義 CS ′ ， OS ′ = CS ′ H † H|S ′ |. 2. 可以得到 XS ′ =. CS ′ v 2 2 MS 2. 其中 v ≈ 246 GeV，為希格斯真空期望值4 。. Figure 4.5: CS ′ < 0. Figure 4.6: CS ′ > 0 4. Higgs vacuum expectation value(VEV). 47.

(116) 由 Fig. 4.5 與 Fig. 4.6 可以注意到，CS ′ > 0 時，BR 有機會為 0，是因為 A0 與 A1 異號，反之，CS ′ < 0 時，為同號。然而標準模型的理論預測 (黑色線) 與實驗值誤差範圍 (黃色區間) 雖然吻合，但黃色部分值大多高於理論預測，所以新純量玻色子存在的可能 CS ′ < 0 會比 CS ′ > 0 來的高。定義 Rγγ ≡ ΓS ′ /ΓSM Rγγ.

(117)

(118) 2

(119)

(120) CS ′ v 2 A0 (τS ′ )

(121)

(122) ∑ =

(123) 1 +

(124) 2 2

(125)

(126) 2 MS ′ f Nf Qf A1/2 (τf ) + A1 (τW ). (4.5). Figure 4.7: Contours plot of Rγγ on the CS ′ - MS ′ plane 上圖 Fig. 4.7 的藍色區間為 LHC 的實驗值誤差範圍 (0.98 - 1.36)，取自 Tab. 4.1，也就是說只有藍色的範圍允許新純量玻色子存在。. 48.

(127) 4.4. New Lepton. 在這裡我們考慮過程中加入新輕子的貢獻，如下圖 γ. SM + L′ H. γ. 其衰變寬度為: ΓL′ (H → L′ → γγ) =

(128)

(129) 2

(130) 3

(131) ∑ 2 GF α MH

(132)

(133) 2 2 √ Nf Qf A1/2 (τf ) + A1 (τW ) + XL′ NL′ QL′ A1/2 (τL′ )

(134)

(135) 3

(136) 128 2π

(137). (4.6). f. 其中我們假設新輕子的電荷為 1，故 QL′ 2 = 1，且因為輕子無色荷，所以 NL′ = 1。並且參考 [9] 所使用的條件 (p.16 of [9])，來定義 CL′ ， O L′ =. CL′ † ¯′ ′ H Hf f Λ. 可以得到 XL′ = CL′. v2 ΛML′. 其中 v ≈ 246 GeV，Λ = 500 GeV 5 。. 5. Λ 為人為決定的常數，與能量尺度的選擇有關. 49.

(138) Figure 4.8: CL′ < 0. Figure 4.9: CL′ > 0 由上圖 Fig. 4.8 與 Fig. 4.9 可知，當 CL′ > 0 時，BR 有機會為 0，是因為 A1/2 與 A1 異號，反之，當 CL′ < 0 時，為同號。然而可以發現，與加入新純量粒子的圖類似，所以新輕子存在的可能 CS ′ < 0 會比 CS ′ > 0 來的高。定義 Rγγ ≡ ΓL′ /ΓSM

(139)

(140) 2

(141)

(142) 2 ′ A (τ ) v L 1/2

(143)

(144) ∑ Rγγ =

(145) 1 + CL′

(146) 2 ′

(147)

(148) ΛML f Nf Qf A1/2 (τf ) + A1 (τW ). 50. (4.7).

(149) Figure 4.10: Contours plot of Rγγ on the CL′ - ML′ plane 上圖 Fig. 4.10 中的淡藍色區間為 LHC 的實驗值誤差範圍 (0.98 - 1.36)，取自 Tab. 4.1，也就是說只有此範圍允許新輕子存在。. 51.

(150)

(151) Chapter 5 Conclusion 結論在上述的工作中，我們分析了新粒子若存在時，希格斯粒子衰變至雙光子的衰變寬度會有何種變化，並利用 LHC 的實驗數據將新粒子的性質做了簡單的分析。. 我們主要討論新粒子自旋分別為 0、1/2、1 的情形，並且加入幾個條件來簡化討論對象，在自旋為 0 的新純量粒子令其電荷為 1；在自旋為 1/2 的新費米子不考慮色荷的影響，且也令其電荷為 1，如此新費米子就簡化成類似輕子的情形。在一般情況下，我們討論的新粒子質量落在 GeV 的能級，如此考慮這些新粒子與希格斯粒子的耦合大小和真空期望值，可以預期在更高的能量尺度下，新粒子的存在。. 在新粒子自旋為 0 的情形，若耦合強度參數 CS ′ 為正，則與標準模型的 W 玻色子有破壞性干涉，且因為 W 玻色子的貢獻很大，所以新粒子的質量也要很大才能使衰變寬度落在實驗範圍裡。反之，CS ′ 為負，就能使新粒子的貢獻與 SM 的 W 粒子有建設性干涉，故落在實驗數據下的允許質量也會小的許多。. 53.

(152) 在自旋為 1/2 的情形，其結果與純量粒子類同，也是當 CL′ 為負時，新粒子才會與 SM 的 W 玻色子有建設性影響，允許的質量也較小，反之， CL′ 為正，為破壞性影響，允許質量也較大。. 在自旋為 1 的狀況下，與前兩個情形相反，因為新粒子與 SM 的 W 玻色子自旋都一樣，故 CW ′ 為正時是建設性影響，允許質量也較小，CW ′ 為負時是破壞性影響，允許質量也較大。. 最後，這些工作可以套用在很多的模型上，像是新的 W 玻色子可以用在額為維度的理論 (Universal Extra Dimensions) 和 Little Higgs theories；新的純量粒子可以對應到超對稱理論1 的 Slepton 粒子；而新輕子可以對應到超對稱理論的 Chargino 粒子。換句話說，若其他模型預言了一個新粒子，我們便可以利用本篇的分析，約束新粒子的性質。. 1. Supersymmetry，簡稱 SUSY. 54.

(153) Reference 參考文獻 [1] 物理學史. (2016, June 8). In Wikipedia, the free encyclopedia. Retrieved July 5, 2016, from https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%89%A9%E7% 90%86%E5%AD%A6%E5%8F%B2 [2] 郭西川（2005）. 從天邊那一朵雲談起. 物理雙月刊，27 （5），661-665 [3] Kelvin, Lord(1901), ”I.Nineteenth century clouds over the dynamical theory of heat and light ”,Philosophical Magazine Series 6, 2: 7, 1 —40, DOI: 10.1080/14786440109462664 [4] M. E. Peskin and D. V. Schroeder(1995), An Introduction to quantum field theory (842 p),Reading, USA: Addison-Wesley [5] T. Han, Collider phenomenology: Basic knowledge and techniquesm, arXiv:hep-ph/0508097 [6] LHC Higgs Cross Section Working Group, S. Dittmaier, C. Mariotti, G. Passarino, R. Tanaka, S. Alekhin, J. Alwall, E. A. Bagnaschi, A. Banfi, J. Blumlein, S. Bolognesi, N. Chanon, T. Cheng, L. Cieri, A. M. CooperSarkar, M. Cutajar, S. Dawson, G. Davies, N. De Filippis, G. Degrassi, A. Denner, D. D’Enterria, S. Diglio, B. Di Micco, R. Di Nardo, R. K. Ellis, A. Farilla, S. Farrington, M. Felcini, G. Ferrera, M. Flechl, D. de Florian, S. Forte, S. Ganjour, M. V. Garzelli, S. Gascon-Shotkin, S. 55.

(154) Glazov, S. Goria, M. Grazzini, J. -Ph. Guillet, C. Hackstein, K. Hamilton, R. Harlander, M. Hauru, S. Heinemeyer, S. Hoche, J. Huston, C. Jackson, P. Jimenez-Delgado, M. D. Jorgensen, M. Kado, S. Kallweit, A. Kardos, N. Kauer, H. Kim, M. Kovac, M. Kramer, F. Krauss, C. -M. Kuo, S. Lehti, Q. Li, N. Lorenzo, F. Maltoni, B. Mellado, S. O. Moch, A. Muck, M. Muhlleitner, P. Nadolsky, P. Nason, C. Neu, A. Nikitenko, C. Oleari, J. Olsen, S. Palmer, S. Paganis, C. G. Papadopoulos, T . C. Petersen, F. Petriello, F. Petrucci, G. Piacquadio, E. Pilon, C. T. Potter, J. Price, I. Puljak, W. Quayle, V. Radescu, D. Rebuzzi, L. Reina, J. Rojo, D. Rosco, G. P. Salam, A. Sapronov, J. Schaarschmidt, M. Schonherr, M. Schumacher, F. Siegert, P. Slavich, M. Spira, I. W. Stewart, W. J. Stirling, F. Stockli, C. Sturm, F. J. Tackmann, R. S. Thorne, D. Tommasini, P. Torrielli, F. Tramontano, Z. Trocsanyi, M. Ubiali, S. Uccirati, M. Vazquez Acosta, T. Vickey, A. Vicini, W. J. Waalewijn, D. Wackeroth, M. Warsinsky, M. Weber, M. Wiesemann, G. Weiglein, J. Yu and G. Zanderighi. Handbook of LHC Higgs Cross Sections: 2. Differential Distributions, 2012; arXiv:1201.3084[hep-ph] . DOI: 10.5170/ CERN-2012-002 [7] LHC Higgs Cross Section Working Group, S. Dittmaier, C. Mariotti, G. Passarino, R. Tanaka, J. Baglio, P. Bolzoni, R. Boughezal, O. Brein, C. Collins-Tooth, S. Dawson, S. Dean, A. Denner, S. Farrington, M. Felcini, M. Flechl, D. de Florian, S. Forte, M. Grazzini, C. Hackstein, T. Hahn, R. Harlander, T. Hartonen, S. Heinemeyer, J. Huston, A. Kalinowski, M. Krämer, F. Krauss, J. S. Lee, S. Lehti, F. Maltoni, K. Mazumdar, S. -O. Moch, A. Mück, M. Mühlleitner, P. Nason, C. Neu, C. Oleari, J. Olsen, S. Palmer, F. Petriello, G. Piacquadio, A. Pilaftsis, C. T. Potter, I. Puljak, J. Qian, D. Rebuzzi, L. Reina, H. Rzehak, M. Schumacher, 56.

(155) P. Slavich, M. Spira, F. Stöckli, R. S. Thorne, M. Vazquez Acosta, T. Vickey, A. Vicini, D. Wackeroth, M. Warsinsky, M. Weber, G. Weiglein, C. Weydert, J. Yu, M. Zaro and T. Zirke, Handbook of LHC Higgs Cross Sections: 1. Inclusive Observables, 2011; arXiv:1101.0593[hep-ph] . DOI: 10.5170/CERN-2011-002 [8] J. Beringer et al. [Particle Data Group Collaboration], Review of Particle Physics (RPP), Phys. Rev. D 86, 010001 (2012). DOI:10.1103/ PhysRevD.86.010001 [9] Marcela Carena, Ian Low and Carlos E. M. Wagner. Implications of a Modified Higgs to Diphoton Decay Width, 2012; arXiv:1206.1082[hep-ph] . DOI: 10.1007/JHEP08(2012)060. [10] A. Djouadi, J. Kalinowski, M. Spira, HDECAY: a Program for Higgs Boson Decays in the Standard Model and its Supersymmetric Extension, 1997; arXiv:hep-ph/9704448[hep-ph] . DOI: 10.1016/S00104655(97)00123-9 [11] G. Aad et al. [ATLAS and CMS Collaborations], Measurements of the Higgs boson production and decay rates and constraints on its couplings from a combined ATLAS and CMS analysis of the LHC pp collision data √ at s = 7 and 8 TeV, ATLAS-CONF-2015-044,CMS-PAS-HIG-15-002 .. 57.

(156)