2-2-2排列組合-排列與組合

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(1)2-2 排列與組合【目標】首先能理解『排列』的意涵，並能應用『乘法原理』處理『從 n 個不同元素的集合取出 k 個( 1 ≤ k ≤ n )來排列的總排列數』，進而能推算『不盡相異物』的排列數，以及可重複的排列問題。再者，能了解『組合』的意涵，並能處理不可重複與可重複的組合問題，以及不定方程式 x1 + x2 + L + xn = m 的非負整數解的問題。【定義】 1. 階乘： n! 讀作 n 的階乘，其意義為 n!= n × (n − 1) × (n − 2) × L × 2 × 1 。 2. 排列數(完全相異物的直線排列)：從 n 個相異物中，取出 k 個排成一列( 1 ≤ k ≤ n )，稱為 n 中取 k 的排列，其方 n! = n × (n − 1) × L × (n − k + 1) 。法數為 Pkn = (n − k )! 註：要從 n 個元素的集合 {a1 , a2 , L, an } 中取出 k 個( 1 ≤ k ≤ n )排成一列，由乘法原理可知其方法數為從 n 開始 k 個連續遞減整數的乘積 n × (n − 1) × L × [n − (k − 1)] ，而當 1 ≤ k < n 時， n − k ≥ 1 ，故 n × (n − 1) × L × [n − (k − 1)] =. n! n × (n − 1) × L × (n − k + 1) × (n − k )L × 2 × 1 = 。 (n − k ) ! (n − k ) × L × 2 × 1. 當 k = n 時，表示將集合 {a1 , a2 , L, an } 的 n 個元素全部取出排成一列，其方法數為 n × (n − 1) × L × 2 × 1 = n !。為了方便，我們規定 0 ! = 1 (即想成取 n 個或 0 個物品的方法數為1種，也就是全取或不取的那一種方法)，則 n!=. n! n! = 。故從 n 個相異物中取出 k 個排成一列，1 ≤ k ≤ n 時的方法數 0 ! ( n − n) !. 恆為. 3.. n! ，此數記為 Pkn 。 (n − k ) !. (1) 想法一：想成將位置固定，把物品放置到位置上。 (2) 想法二：想成將物品固定，將位置編號給物品。不完全相異物的直線排列數（排列有先後順序之分，但相同物之間則不分順序）：設有 n 個物件，全部取出排成一列。若物件完全相異，則排列數為 n! ；若不盡相異，且可分成 m 類，每類的個數依序為 n1 , n2 ,L, nm，n1 + n2 + L + nm = n，直排數 n! ，即。則排列數為 n1!n2!L nm ! 重複數註：想成原來的方法當中，每幾種變成一種的意思。. 8.

(2) 4.. 環狀排列：. n! = (n − 1)! 。 n (2) 由 n 個相異物品中取出 m 個排成一個圓圈，只考慮相鄰關係，稱環狀排 Pmn 直排數 n × (n − 1) × L × (n − m + 1) = 列，其排列數為，即環排數 = 。旋轉數 m m. (1) 由 n 個相異物品圍成圓圈的排列數為. 5.. 項圈排列：. Pmn 種。 2m. 由 n 個相異物品中取出 m 個串成一條項鍊，其排列數為直排數。旋轉數 × 翻轉數正 k 邊形桌之排列數：註：即項排數 =. 6.. 由 n 個人中取出 m 個人坐入正 k 邊形桌，其方法數有. Pmn k. 長方形桌之排列數：由 n 個人中取出 m 個人坐入長方形桌，其方法數有. 7.. 8.. Pmn 。 2. 重複排列：從 n 個相異物中，每次選取一個，得重複選取，選取 k 次並排成一列，稱為 n 中取 k 的重複排列，其方法數為 n k 。註：從 n 個元素的集合 A = {a1 , a2 , L, an } 中，每次選取一個元素，得重複選取，並依次排成一列，則選取 k 次的方法數﹐由乘法原理可知共有 | Ak | = | A |k = n k 。 (1) 想法一：將 m 個不同物件分給 n 個人(每個人所得不限)有 n m 種分法。 (2) 想法二：從 n 類不同物件 ( 每類物件至少 m 個 ) 中取 m 個排列 ( 可重複選)，總排列數為 n m 。註：在判別題目時，想成一對多的概念，即 1多的類型。組合數：由 n 個相異物中，取出 k 個為一組 (0 ≤ k ≤ n) ，稱為 n 中取 k 的組合，其方法 n! 。數為 Ckn = (n − k )!k! 註： (1) 設 n 個元素的集合 S = {a1 , a2 , L, an } ，我們將 S 中含 k 個元素之部分集個. 數. 記. 為. Ckn. ，. 合. 的. Ckn =. Pkn n! , k = 0, 1, 2, L, n 。 = k ! (n − k ) ! k !. 可. 知. Ckn ⋅ k ! = Pkn. 。. 故. (2) 可以想成 Pmn = C mn × m! ，也就是將排列想成先選出來之後再排列。 (3) 由 Cnn− k =. n! n! = = Ckn ，可得 Cnn−k = Ckn ，其意義為 [n − (n − k )]!(n − k ) ! (n − k ) ! k !. 從 n 個相異物中﹐取出 k 個作一組時，不取的 n − k 個也成一組，所以 n 中取 k 的組合數 Ckn 與 n 中取 n − k 的組合數 Cnn− k 相同。. 9.

(3) 9.. 重複組合數：從 n 種相異物中，選取 k 次，可重複且不論次序，稱為 n 中取 k 的重複組合，其方法數為 Ckn + k −1 。註：一般情形，若有 n 種口味的冰淇淋，要從其中選取 k 球(口味可重複)，則可以 k 個冰淇淋， n − 1 個隔板排成一列，每一個排列法代表一個選擇法，故總共的選擇數有. (k + n − 1) ! ( n − 1 + k ) ! = = Ckn −1+ k = Ckn + k −1 。 k !(n − 1) ! k !(n − 1) !. 10. 非負整數解： (1) m 個相同的東西分給 n 個人，任意分的方法數為 C nn−+1m −1 = C mn + m −1 。 (2) 方程式 x1 + x2 + L + xn = m 的非負整數解有 H mn = Cnn−+1m −1 組。 11. 正整數解： (1) m 個相同的東西分給 n 個人，每人至少一件的方法數為 Cnm−−11 ，其中 m ≥ n。 (2) 方程式 x1 + x2 + L + xn = m 的正整數解有 Cnm−−11 組。 12. 重複組合數： (1) 從 n 類相異物中，可重複(每類至少 m 個)且不論次序，稱為 n 中取 m 的重複組合，方法數為 H mn 種，其中 H mn = C mn+ m−1 。 (2) m 個相同的東西分給 n 個人，任意分的方法數為 C nn−+1m −1 。. 10.

(4) 【問題】 1. 含 n 個元素的集合有多少個部分集合？解答：設集合 A = {a1 , a2 , L, an } ，要作成 A 的一個部分集合，可以就 A 中的每個元素選擇「取」､「不取」，由 a1 , a2 , L, an 依序選擇，這是 2 中取 n 的重複排列，故有 2n 個方法，即 n 個元素的集合有 2n 個部分集合。 2. 集合 S = {1, 2, 3, 4, 5} 中含 3 個元素的部分集合有幾個呢？解答：我們知道從 S 中取出 3 個元素排成一列的方法數為 P35 ，另一方面設 S 中含 3 個元素的部分集合有 x 個，而每個部分集合中的 3 個元素全部取出排成一列的方法數為 3! ，由乘法原理知 x ⋅ 3! = P35 ， 5! P35 (5 − 3) ! 5! 5! = = = = 10 。故x= 3! 3! (5 − 3) !3! 2 !3!. 即 5 個元素的集合 {1, 2, 3, 4, 5} 中含 3 個元素的部分集合有. 3.. 4.. 5.. P35 = 10 個。 3!. 方程式 x + y + z + u = 10 之解，滿足下列條件者各有多少組？ (1)正整數解。 (2)非負偶數解。 (3)非負整數且 x ≥ 2 ， y ≥ 3 。解答： (1)原式化為 ( x'+1) + ( y '+1) + ( z '+1) + (u '+1) = 10 ，其中 x' , y ' , z ' , u ' 為非負整數解即可，此時 x'+ y '+ z '+u ' = 6 ，其解有 C 64+ 6−1 = C 69 = C 39 = 84 組。 (2)原式化為 2 x'+2 y '+2 z '+2u ' = 10 ，其中 x' , y ' , z ' , u ' 為非負整數解即可，此時 x'+ y '+ z '+u ' = 5 ，其解有 C 54+ 5−1 = C 58 = C 38 = 56 組解。 (3)原式化為 ( x'+2) + ( y '+3) + z + u = 10 ，其中 x' , y ' , z , u 為非負整數解即可，此時 x'+ y '+ z + u = 5 ，其解有 C 54+5−1 = C 58 = C 38 = 56 組解。試求以下各題各有幾組解？ (1)試求 x + y + z ≤ 10 的非負整數解共有幾組？ (2)若要求 x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3 時，則有幾組解？ (3)若要求 x, y 都為偶數時，則有幾組解？ (4)若要求 x, y 都為奇數時，則有幾組解？ (5)若要求 x, y, z 都為偶數時，則有幾組解？將正整數 2m 分拆成 n 個分部，且各分部量都是正偶數的有序分拆有幾個？解答： C nm−−11 。. 11.

(5) 6.. 將 9 本不同的書籍，就下列之情形去分，有幾種分法？ (1)分給甲 4 本，乙 3 本，丙 2 本 (2)等分給甲乙丙三人 (3)分給 3 人，其中二人各得 2 本，另一人 5 本 (4)分成 4，3，2 三堆 (5)分成 2，2，5 三堆 (6)等分成三堆。 7. 將 5 支筆分給 8 個人，依下列情形，方法各有幾種？ (1)筆不同，每人所得的筆無限制數量。(可能沒拿到) (2)筆不同，每人至多得一支。 (3)筆相同，每人至多一支。 (4)筆相同，每人所得的筆無限制數量。(可能沒拿到) (5)筆相同，每人至多一支。 (6)筆不同，每人至多得一支。 8. 6 個相同的玩具分給四個兒童， (1)若每人均可兼得，有多少種不同的給法。 (2)若每人至少得一件，有多少種不同的給法。 (3)若為相異的玩具，每人均可兼得，有多少種不同的給法。 (4)若為相異的玩具且每人至少得一件，有多少種不同的給法。 9. 5 種不同的酒，注入 3 個空杯子，酒不可混合，不得有空杯子，求下列各注入法有幾種？ (1)杯子不同，且各杯的酒亦不同◦ (2)杯子不同，且各杯的酒可相同◦ (3)杯子相同，且各杯的酒亦不同◦ (4)杯子相同，且各杯的酒可相同◦ 10. (1)試求滿足條件 1 ≤ x < y < z < u ≤ 20 的整數解個數？ (2)試求滿足條件 1 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ u ≤ 20 的整數解個數？ (3)試求滿足條件 1 ≤ x, y, z , u ≤ 20 的整數解個數？ (4)試求滿足條件 1 ≤ x < y ≤ z < u ≤ 20 的整數解個數？ (5)試求滿足條件 1 ≤ x ≤ y < z ≤ u ≤ 20 的整數解個數？ (6)試求滿足條件 1 ≤ x < y ≤ z ≤ u ≤ 20 的整數解個數？ 11. 把編號 1 ~ 7 的 7 個球放入甲､乙､丙三個籃子裡，每個籃子至少放一個球，有多少種方法？解答：令 U 表 7 個球任意放入 3 個籃子的所有方法所成集合，又 A, B, C 依序表甲､乙､丙籃子中沒有球的方法，則所求為 | A′ ∩ B′ ∩ C ′ | ，由笛摩根定律知 A′ ∩ B′ ∩ C ′ = ( A ∪ B ∪ C )′ ，又由取捨原理知 | A∪ B ∪C | =| A| + | B | + |C | −| A∩ B | −| B ∩C | − |C ∩ A| + | A∩ B ∩C | = C13 (3 − 1)7 − C23 (3 − 2)7 + C33 (3 − 3)7 = 3 × 27 − 3 × 1 + 0 = 381 。. 故 | A′ ∩ B′ ∩ C ′ | = | ( A ∪ B ∪ C )′ | = | U | − | A ∪ B ∪ C | = 37 − 381 = 2187 − 381 = 1806 。. 12.

(6) 【討論】 1. 分組組合：將 n 個人分成 k 組方法數之討論，又有指定數字與不指定數字兩種情形。註： (1) 連續的 C 相乘表示為有序的，也就是有指定給誰的含意。 (2) C 本身為表示無序的。 (3) P 可以表成為一連串的 C 相乘。 2. 分堆組合：將 n 個人分成 k 堆方法數之討論。也就是看分組組合後，再除以重複數。例如：利用組合及乘法原理討論下列方法數。將 8 個相異物品分給 4 個人，不同個數及分法，其方法數如下表：類別分組且不指定數字，分組且依序指定數字分堆個數給甲乙丙丁四人給甲乙丙丁四人不指定，只分堆 4! C 28 C 26 C 24 C 22 8 6 4 2 8 6 4 2 C C C C × C2 C2 C2 C2 (2,2,2,2) 2 2 2 2 4! 4! 8 3 2 1 4! C5 C1 C1 C1 8 3 2 1 C 58 C13C12 C11 (5,1,1,1) C 5 C1 C1 C1 × 1!×3! 3! 8 5 3 1 4! C3 C 2 C 2 C1 8 5 3 1 C 38 C 25 C 23 C11 (3,2,2,1) C 3 C 2 C 2 C1 × 1!×2!×1! 2! 8 5 2 1 4! C 3 C 3 C1 C1 8 5 2 1 C 38 C35 C12 C11 (3,3,1,1) C 3 C 3 C1 C1 × 2!×2! 2!×2!. 13.

(7) 3.. 4.. 重複組合(任意選取)： (想法一) 由 n 類相異物品中(每類至少有 m 個)，取出 m 個為一組，每類可重複選取，方法數有 H mn = C mn+ m−1 = C nn−+1m−1 種。 (想法二) 方程式的非負整數解(有序分拆)：第 k 類物品取出 x k 個，每一類可以任取(即 0 ≤ x k ≤ m, k = 1,2,L , n )，則滿足 n 元一次方程式 x1 + x2 + L + xn = m 之非負整數解( x1 , x 2 , L , x n ≥ 0 )個數，有 H mn = C mn+ m−1 = C nn−+1m−1 種。 (想法三) 分球問題： m 個相同的球分給 n 個人，任意分，因為分給 n 個人需要 n − 1 個隔板，故先加入 n − 1 個球，則現在有 m + n − 1 個球，此時將隔板放置於球上，共有 m + n − 1 個位置可以選取，要選取 n − 1 個位置來放置隔板，以便將球分成 n 個區域(隔版間可以 0 個)，有 C mn+m−1 種方法。 Ο Ο Ο ○| ○| Ο Ο 重複組合(每類至少一個)： (想法一) 由 n 類相異物品中(每類至少有 m 個)，取出 m 個為一組，每類可重複選取且每類至少各取出 1 個，方法數有 H mn − n = C nm−−11 種。 (想法二) 方程式的正整數解(有序分拆)：第 k 類物品取出 x k 個，每一類至少取一個(即 1 ≤ x k ≤ m, k = 1,2,L , n )，則滿足 n 元一次方程式 x1 + x2 + L + xn = m 之正整數解( x1 , x 2 , L , x n ≥ 1 )個數，有 H mn − n = C nm−−11 種。註：可以先丟給每人一個，就轉換成為非負整數解的問題。 (想法三) 分球問題： m 個相同的球分給 n 個人，每人至少一個，因為分給 n 個人需要 n − 1 個隔板，此時共有 m − 1 個空格可以放置隔版，要選取 n − 1 個位置，以便將球分成 n 個區域(隔版間至少 1 個)，有 C nm−−11 種方法。 Ο △ Ο △ Ο △ Ο △ Ο. 14.

(8) 【定義】 1. 旋轉數：假設底面不變時，幾種視為同一種之意；底面不變時，原本直排時當不同的，現在卻當相同之情形。 2. 翻轉數：假設底面變化時，幾種視為同一種之意；底面翻了以後，原本直排時當不同的，現在卻當相同之情形。註：可以歸類到旋轉的情形就不能歸類到翻轉的情形，否則會重複計算。【討論】 1. 平面塗色問題：需分類討論某些區塊是否同色，再依序討論相鄰區塊塗色法，再把各類情形相加，且相鄰較多區域的先塗。 2. 立體塗色問題：直排數立體塗色方法數 = 。旋轉數 × 翻轉數 P6 (1) 塗直四角錐方法數有 5 種。(旋轉數 4 ，翻轉數 1 ) 4 ×1 6 P (2) 塗角錐台方法數有 5 種。(旋轉數 4 ，翻轉數 1 ) 4 ×1 6 P (3) 塗圓柱方法數有 3 種。(旋轉數 1 ，翻轉數 2 ) 1× 2 P6 (4) 塗長方體方法數有 6 種。(旋轉數 4 ，翻轉數 2 ) 4× 2 P6 (5) 塗正四面體方法數有 4 種。(旋轉數 3 ，翻轉數 4 ) 3× 4 P66 種。(旋轉數 4 ，翻轉數 6 ) (6) 塗正立方體方法數有 4×6. 15.

(9) 【類型】排列組合的問題有幾種重要的類型： 1. 數字排列問題：數字和問題、倍數問題。 2. 數列排序問題：大於、小於、大於等於、小於等於。 3. 函數對應問題：函數對應、一對一函數、映成函數、一對一且映成函數、遞增函數。 4. 整數解問題：非負整數解、正整數解、有限制範圍的整數解。 5. 子集合問題：二項式定理的應用。 6. 道路問題：走捷徑、不回頭、有陷阱、每條道路恰走一次、每個頂點恰走一次。 7. 幾何問題：交點數、平面分割數、直線數、三角形個數、正方形數、矩形數。 8. 塗色問題。 9. 一筆劃問題。【總結】 1. 基本上排列組合的問題，依照物品及箱子的相同或相異性，可以分成以下幾類重要型態，現在先假設有 m 件物品， n 個箱子：類型條件方法數 n 相異排成一列 Pmn 排列 n 相異物，取出 m 個，重複排列 nm 可重複取，排成一列 n ≥ m 且每箱至多放一件物品 C mn 組合 H mn = C mn + m −1 重複組合(非負整數解) m 相同分給 n 人，可重複分重複組合(正整數解). m 相同分給 n 人，可重複分，每人至少一件物品. 16. H mn − n = C mm−−n1 = C nm−−11.

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