統計學: 三、機率（Probability）

(1)

三、機率（

_{Probability ）}

劉仁沛教授國立台灣大學農藝學研究所生物統計組國家衛生研究院生物統計與生統資訊組 jpliu@ntu.edu.tw

(2)

 機率概念 (Concept of Probability)

 樣品空間及事件 (Sample Space and Events)  機率運算法則 (Elementary Probability Rules)  條件機率及獨立 (Conditional Probability)

(3)

試驗

_(Experiment)

 一個收集不定結果 (Outcome) 之觀測值的過程，每一次試驗只有一個結果 _(Outcome) 例：擲硬幣一次  二個可能的結果：正面 (H) 或反面 (T)  但每次只有一結果出現  而且在擲硬幣前不知會觀測到哪一個結果  但可計算每一種結果出現的機率

(4)

機率

_{(Probability)}

1. 機率是介於 0 與 1 之間 2. 所有結果之機率和為 1 例擲公平硬幣 (fair coin) 一次出現正面的機率為 0.5 出現反面的機率為 0.5 均在 0 與 1 之間而且只有正、反面二種結果 →0.5+0.5 ＝ 1

(5)

樣品空間

_{(Sample Space)}

 樣品空間 (Sample Space) 試驗所有可能結果的集合例：擲硬幣一次｛ H,T ｝擲骰子一次｛ 1,2,3,4,5,6 ｝夫婦二個小孩的性別｛男男 , 女女 , 男女 , 女男｝＝ {BB, GG, BG, GB}

(6)

事件

_(Event)

事件為樣品空間的子集合例子：夫婦二個小孩至少一人為女孩｛ _{GG,BG,GB ｝} 擲骰子二次其結果大於 ₃ ｛ 4,5,6 ｝

(7)

事件機率

_{(Probability of an Event)}

 事件機率為事件中所有結果機率之和  若試驗中與一結果發生機率均相同若以 E 代表事件則以 P(E) 代表事件機率事件中結果之個數事件機率＝樣品空間內可能結果之總數

(8)

事件機率

_{(Probability of an Event)}

 例：夫婦二個小孩的性別樣品空間＝｛ BB,GG,BG,GB ｝可能結果之總數＝ 4 至少一人為女孩 E ＝｛ GG,BG,GB ｝事件中結果之個數＝ 3 P(E) ＝ 3/4 ＝ 0.75

(9)

機率運算法則

1. 事件 E 之補集合 Ec之機率為 P(Ec) ＝ 1 － P(E) P(E) ＋ P(Ec) ＝ 1 例：夫婦二個小孩的性別 E ：至少一人為女孩之補集＝｛ GG,BG,GB ｝ Ec：兩人均為男孩＝｛ BB ｝ P(Ec) ＝ 1/4 ＝ 1 － P(E) ＝ 1 － 3/4

(10)

機率運算法則

2. 加法法則 A 與 B 二事件之交集 (Intersection) ＝ A∩B 包括屬於 _{A 事件及 B 事件的結果} A 與 B 二事件之聯集 (Union) ＝ A B∪ 包括屬於 A 事件或 B 事件的結果

(11)

 Venn Diagram

(12)

 例： A ： 20 歲 B ：女性  P(A)=P(20 歲 )=35/50=0.7  P(B)=P( 女性 )=30/50=0.6  P(A∩B)=P(20 歲及女性 )=21/50=0.42  P(A B)∪ ＝ P(20 歲或女性 )=0.70+0.60-0.42=0.88 年齡性別 20 歲非 20 歲和男 14 6 20 女 21 9 30 和 35 15 50

(13)

互斥事件

_{(Mutually Exclusive Events)}

 互斥事件 (Mutually Exclusive Events)

若 A 事件與 B 事件均無相同的結果 A∩B ＝ ψ P(A∩B)=0

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互斥事件

_{(Mutually Exclusive Events)}

 例：隨機抽取一張撲克牌 A ：結果為 J B ：結果為 Q C ：結果為紅牌 ( 紅心或方塊 ) A∩B=ψ → P(A∩B)=0 P(A B)=P(A)+P(B)=∪ P(A C)=P(A)+P(C)-P(A∩C)∪ 4 4 8 2 52  52  52  13 4 26 2 28 7     

(15)

條件機率

_{(Conditional Probability)}

 條件機率 A ： 20 歲 B ：女性學生為 20 歲中女性之機率 P(B|A)=21/35=0.6 年齡性別 _{20 歲} 非 20 歲和男 14 6 20 女 21 9 30 和 35 15 50

(16)

條件機率

_{(Conditional Probability)}

 A, B 兩事件 A 事件下 B 事件發生之條件機率

₍

₎

_0.42

( | )

0.60 ( )

0.70 P A

B

P B A

P A





(17)

條件機率

_{(Conditional Probability)}

 乘法法則 P(A∩B)=P(B|A) P(A)‧ =P(A|B) P(B)‧  _{獨立事件：兩個互不影響的事件} P(B|A)=P(B) P(A∩B)=P(B|A) P(A)‧ =P(B) P(A)‧ =P(A|B) P(B)‧ =P(A) P(B)‧

(18)

條件機率

_{(Conditional Probability)}

 例：擲硬幣二次第二次第一次 H T 和 H 1 1 2 T 1 1 2 2 2 4

(19)

A ：第一次為正面 B ：第二次為正面 P(A)=P( 第一次為正面 )=2/4=1/2 P(B)=P( 第二次為正面 )=2/4=1/2 P(B|A)=P( 第二次為正面｜第一次為正面 ) 第二次為正面或反面與第一次無關 P(A∩B)=1/4=(1/2)(1/2)=P(A) P(B)‧ ( ) 1/ 4 1 ( ) ( ) 2 / 4 2 P A B P B P A     

(20)

總結

_(Summary)

機率機率概念樣品空間與事件 0 P(E) 1≦ ≦ 加法法則 P(A B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)∪ 互斥事件 _=P(A∩B)=0 條件機率 P(A|B)=P(A∩B)/P(B) 獨立事件： P(A|B)=P(A) ； P(B|A)=P(B) ；