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高中數學科差異化評量—100學年度高二下第1次定期考

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Academic year: 2021

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(1)

高 中 數 學 科 差 異 化 評 量 — 100 學 年 度 高 二 下 第 1 次 定 期 考

1.1.1 空間中兩直線、兩平面、及直線與平面的位置關係 基礎級試題 1.1.1 空間中兩直線、兩平面、及直線與平面的位置關係 精熟級試題 1. 下列關於空間的敘述,請選出正確的選項。 (1) 通過已知平面外一點,恰有一平面與此平面垂直 (2) 通過已知直線上一點,恰有一平面與此直線垂直 (3) 通過已知直線外一點,恰有一平面與此直線平行 (4) 空間中兩相異直線若不相交,則一定平行 (5) 空間中任意兩相異直線一定有公垂線。 參考答案: (2)(5) 出處:道明中學 2. 下圖是一個四角錐,BCD是邊長為6 的正三角形,且 5 ABACAD , 從頂點A 對底面BCD作垂線AH 交底面於H 點。 (1) 求高AH的長。 (2) 設側面ACD與底面BCD所夾 的二面角為 ﹐求cos 的值。 參考答案: (1) 13 (2) 4 3 出處:聖心高中 1. 在空間中,請選出正確的選項。 (1) 垂直於同一直線的兩相異直線必平行 (2) 兩歪斜線在一平面上之正射影為相交兩直線 (3) 相異兩平面 ,E F 交於一線L,若平面GL,則 ,E F 均垂直於G (4) 過已知直線外一點,有無限多個平面與此直線平行 (5) 若L 與1 L 是歪斜線,2 L 與1 L 也是歪斜線,則3 L 與2 L 亦為歪斜線 3 參考答案:(3)(4) 出處:臺中一中 2. 設OA垂直平面E於點A﹐直線LE上,AB 垂直 L 於點BCL上一點。若OA6 3﹐AB6﹐且 30 BOC   ﹐則 (1) BC長度為 (2) 若OAB所在平面為E 與1OAC所 在平面為E ,且 E2 1與E2的夾角為 ,則sin  參考答案:(1) 4 3 (2) 2 7 7 出處:中興高中

(2)

3. 如圖,給定邊長均為 4 的正四角錐,其中 ABCD 為正方形,其餘 四個三角形均為正三角形。設底面ABCD 與側面 ABE 所夾的二面 角為 ,則cos _______ 參考答案: 3 3 出處:南山高中 4. 下圖是一個長方體, EFGH 是一個正方形, 且 AF 6,AG , 7 求正方形EFGH 的面積。 參考答案: 13 3. 二歪斜線在同一平面上之正射影可能為下列哪些選項? (1) 一直線 (2) 二相交直線 (3) 二平行直線 (4) 直線及線外一點 (5) 一點 參考答案: (2)(3)(4) 出處:鳯新高中 4. 如圖,直線AB 分別與兩歪斜線L1L2垂直於A B, 兩點,直線L 與3 1 L 平行,且L 通過點3 B ,和L2的一夾角 為30. 若 AB4, 且 L1上 一 點P 滿足 6 AP , 則P 到L2的最短距離為________ 參考答案:5 出處:聖心高中 5. 請依下列步驟求正立方體中任兩頂點連線,所有連線中成歪斜線 之對數。 (1) 考慮任一不共面四點所成的四面體,其稜線中恰有幾對歪斜 線? (2) 正立方體共有八個頂點,任取四個一組再扣除共面者,即為 不共面四點,試求正立方體所有頂點中不共面四點共幾組? (3) 由以上兩小題可知正立方體任兩頂點連線,所有連線中成歪 斜線者有幾對? 參考答案:(1) 3 (2) 58 (3) 174 出處:馬祖高中

L

3

L

1

L

2

A

B

P

30°

(3)

5. 若一長方體的長、寬、高分別為 10 單位、8 單位、4 單位,則其任 意兩頂點間最長的距離為_______單位。 參考答案: 6 5 出處:88 年社會組 6. 如圖, ABCD A B C D ' ' ' ' 為立方體的八個頂點。試問下列哪些線 段會與線段 A B 共平面? ' (1) BC' (2) AC (3) 'D B (4) DD (5) ' CD' 參考答案:(1)(5) 出處:89 年自然組 6. 如圖,已知ABCD是邊長為4 的正四面體,則: (1) 若M 為CD的中點,P 為AB的中點,則PM ________ (2) 已知將正四面體各邊中點用線段連接,可得四個小正四面體與 一個正八面體,如圖所示。若正八面體MNOPQR 中,相鄰兩平面 PON 與 ONM 的夾角為 ,則 cos ________ 。

參考答案:(1) 2 2 (2) 1 3

 出處:新店高中

7. 一矩形紙板 ABCD 沿AC,將ACD上折至ACD'之位置,如圖所 示, 由 'D 作 ABC 平面之垂線,已知AB2, 1 BC  。則 (1) BD'之長為 (2) 若平面 ACD'與平面 ABC 的二面角為 , 則cos 的值為_________. 參考答案:(1) 3 (2) 1 4 出處:建國中學

(4)

7. 有一鋼架結構, 其底面為邊長 2 單位的正八邊形, 上面為邊長 2 單位的正方形, 側面有四個正方形及四個正三角形(如下圖一)。從 此鋼架上方作正射影, 可得(如下圖二) 所示的圖形。則此鋼架的高 度為________單位。 參考答案: 2 出處:91 年數乙 8. 如圖所示,四面體 ABCD 的稜長OA4, OB OC 5, 5 ABAC , BC6。 (1) 若側面 OAB 與側面 OAC 的夾 角為 ( 為銳角),則 cos =_________。 (2) 自頂點 O 作底面 ABC 的垂線, 得垂足H,則OH=_______。 參考答案:(1) 1 7 (2) 2 3 出處:北一女中 9. 有一四面體 OABC, 它的一個底面 ABC是邊長為 4 的正三角 形,且知 OA OB OC a   ,如果直線OA與直線BC間的公垂線 段長(亦即此兩直線間的距離)是 3 ,則 a______ 參考答案:8 3 出處:92 年指考數甲 10. 設 , , ,A B C D 為空間中四個相異點, 且直線 CD 垂直平面 ABC。已 知 10, sin 4 5 AB BC CD   ABC  ,且ABC為銳角,則 AD ______ 參考答案:6 5 出處:102 年指考數甲

(5)

1.2.1 空間坐標系:點坐標、距離公式 基礎級試題 1.2.1 空間坐標系:點坐標、距離公式 精熟級試題 1. 坐標空間中給定兩點 (5,0,12), ( 5,0,12)A B, 且令 P 為 xy 平 面上滿足PA PB 13的點。請問下列哪一個選項中的點可能為 P ? (1) (5, 0, 0) (2) (5, 5, 0) (3) (0, 12, 0) (4) (0, 0, 0) (5) (0, 0, 24) 參考答案:4 出處:103 年學測 2. 長方體ABCD EFGH 中,AB2,AE 1, 3, 2, 1 ADAPFQ ,則 PQ _______ 參考答案: 6 3. 在坐標空間中, O 為原點, P 點在第一卦限,若 P 在 xy 平面 上的投影點坐標為 (5,3,0),且 OP 43,則 P 點坐標為_______ 參考答案:(5,3,3) 出處:中山女高 1. 在坐標空間中,x, y, z 坐標都是整數, 且與原點距離為 17 的點, 一共有______個。 參考答案:48 出處:88年自然組 2. 如圖,有一邊長為 1 的正立方體,今 把 A 點放在坐標空間的原點,將 B 點放置於正 z 軸上,則 C 點的z坐標 為 。 參考答案: 3 3 出處:88年自然組 3. 坐標空間中有一長度為17 的線段 AB , 若 AB 在 xy 平面、 yz 平面上正射影的長度分別為11、12 2 , 則 AB 在 zx 平面 上正射影的長度為下列哪個選項? (1) 11 (2) 12 (3) 13 (4) 14 (5) 15 參考答案:3 出處:99課綱指考數甲參考試卷

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1.2.2 空間向量的加減法、係數乘法,線性組合 基礎級試題 1.2.2 空間向量的加減法、係數乘法,線性組合 精熟級試題 1. 設A(5,2,4)與 B(2,  1,7)為空間中兩點﹐今在直線 AB 上找點 P﹐使 PAPB 1:2﹐則 P 之坐標為_________(有兩解)﹒ 參考答案:(4,1,5) 或 (8,5,1) 出處:慈大附中 2. 在空間中, 下列哪些點可以與 (1, 2,3), (2,5,3), (2,6, 4)A B C 三點構 成一平行四邊形? (1) (−1,−5,−2) (2) (1, 1, 2) (3) (1, 3, 4) (4) (3, 7, 6) (5) (3, 9, 4) 參考答案:235 出處:87 年學測 3. 假 設⇀a ,b ,c 是 空 間 中 三 個 向 量 ,r 是 一 個 實 數 。 已 知a (1,1,0)  ,⇀b (0,1,1) 且⇀a ,b ,c 滿 足 a +b +rc =⇀0 , 那 麼 r 不 可 能 等 於 下 列 哪 一 個 數 值 ? (1)  2 (2) 0 (3) 1 (4)  ( 圓 周 率 ) (5) 10100 參考答案:2 出處:95 年指考數乙 4. 坐標空間中,給定三點A( 1,6,0), (3, 1, 2), (4, 4,5) B   C 。若D 為空 間中的一點且滿足 3DA 4⇀ DB 2⇀ DC⇀⇀0 ,則 D 點坐標為 _______。 參考答案:( 7,30,18) 出處:97 年學測 1. 如圖所示,ABCD-EFGH 為邊長等於 1 之正立方體。若 P 點在立 方體之內部且滿足 ⇀AP=3 4 ⇀ AB 1 2  ⇀AD 2 3  ⇀AE,則 P 點到直線 AB 的距離為___________ 參考答案: 5 6 出處:94 年學測 2. 在坐標空間中, 一正立方體的八個頂點分別為(0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1),(1, 0, 1), (1, 1, 1) 與(0, 1, 1) 。若A,B 分別為 此正立方體兩稜邊的中點, 則向量 ⇀AB 可能為下列哪些選項? (1) (1,0,0) (2) ( ,0,0)1 2 (3) 1 ( ,0,1) 2 (4) 1 1 (0, , ) 2 2   參考答案:1,4 出處:98 年指考數甲

(7)

1.3.1 內積與餘弦的關聯、正射影與高、柯西不等式、兩向量垂直的 判定 基礎級試題 1.3.1 內積與餘弦的關聯、正射影與高、柯西不等式、兩向量垂直的 判定 精熟級試題 1. 給定坐標空間中三點A(1 , 2 , 3), B(2 , 4 , 5), C(3 , 4 , 3), 若AB 與 AC 之夾角為 θ,請選出正確的選項。

(1) ⇀AB.AC=6 (2) cos sin (3) BC 5 (4)  135 (5) ABC面積為3 參考答案:(1)(2)(3)(5) 出處:長榮女中 2. 如圖,長方體ABCD-EFGH 中, AB =3, AD =2, AE =1, 則 下列何值最大? (1) AB .CG (2) BD.HF (3) AC.EC (4) FB .EH (5) AF .HB 參考答案: (3) 出處:義民高中 3. 如圖,一個正立方體,其被一平面截出一個四邊形ABCD, 其中 B, D 為所在邊的中點,且EA AF: 5 :1; 試 求cos

DAB

= . 參考答案: 1 10 出處:南山高中 1. 如圖所示,A B C1 1 1ABC是三角柱, 90 BCA   ,點D、E 分別為 1 1 A B 、AC1 1 的中點,若BC CA CC  1,則 DB 與 ⇀ ⇀ EA 所成角的餘弦值為 參考答案: 30 10 出處:臺中一中 2. 如圖所示,已知直角三角形ABC 的三邊長分別為 3, 4, 5, 且 P 為 ABC  內部一點。若點P 至BC AC AB 三邊的距離分別為 x, y, z, , , 則x24y22z2的最小值為 .(化成最簡分數) 參考答案:96 17 出處:臺中一中

(8)

4. 坐標空間中給定三點A(1,1,1)﹐B(8,3,2)﹐C(3,5,  3)為。如果由點 B 作直線 AC 的垂線,與直線 AC 交於 D 點,那麼 AB 在 AC 上 的正射影為 AD ,如圖所示。則 ⇀ (1)正射影 AD = ⇀ (2) D 點的坐標為 參考答案:AD⇀

1, 2, 2

, D

2,3, 1

出處:泉僑高中 5. 若實數x y z 滿足 x, , 2  4y2  4z2  9﹐則 (1) x  4y  4z 的最大值 此時x_____,y_____,z_____ (2) x  4y  4z 的最小值 此時x_____,y_____,z_____ 參考答案:(1)最大值為 9,此時x1,y1,z  1 (2)最小值為 9,此時x 1,y 1,z 1 出處:泉僑高中 3. 學校有一棟正四面體的溫室如下圖所 示,小明建置一個空間坐標系,其坐標 為A (0,0,0)﹐B(3,3,0)﹐C(3,0,3)﹐ D(0,3,3)﹐溫室中有二鋼架DPPB﹐ 其中P 是ACD的重心, 則BPD為 度。 參考答案: 90 出處:金門高中   4. 邊長為 6 的正四面體 O-ABC﹐將 O 置於坐標空間的原點,B 置於 x 軸正向上(即 B 點之坐標為(6 , 0 , 0)),則O 對平面 ABC 之投影 點的x 坐標為 . 參考答案: 4 出處:中興高中 5. 設 a, b, x, y 為實數且a b x y 均不為 0,若, , ,

2 2

 

2 2

2 1 4 2 xy   ab   ax by  ,則 2 2 2 2 x y a b   =_________. 參考答案: 4 1 出處:義民高中 6. 若坐標平面上三點 A(a,4) , B(2b,1) , C(2c,7) 滿足 2 2 2 9 abc  ,則三角形 ABC 重心的 x 坐標之最大值為何? (1) 3 (2) 3 3 (3) 3 (4) 9 (5) 27 參考答案:(3) 出處:大考中心101 年數學研究用試卷(卷一)單選第 5 題

(9)

6. 下圖為一正立方體,若 M 在線段 AB上,BM 2AMN 為線段 BC 之中點,則cos MON __________ 參考答案: 4 10 15 出處:95 年學測 7. 如圖所示,正立方體ABCD EFGH- 的稜長等於2 (即AB2),K為 正方形ABCD的中心,MN分別為線段BF 、 EF 的中點。請選 出正確的選項? (1) ⇀KM 1 2  ⇀AB 1 2  ⇀AD 1 2  ⇀AE (2) (內積) ⇀KM.AB 1 (3) KM 3 (4) ΔKMN為一直角三角 (5) ΔKMN之面積為 10 2 參考答案:14 出處:98 年學測 7. 空間中,以 AB 為共同邊的兩正方形ABCD ABEF 其邊長為 4, 已,

知內積 AD.⇀ ⇀AF ,則 11 ⇀AC.AE________ 參考答案:27 出處:101 年指考數甲 8. 如圖 O-ABCD 為一金字塔,底是邊長為 1 之正方形,頂點 O 與 A、 B、C、D 之距離均為 2。試問下列哪些式子是正確的? (1) ⇀OA +OB +OC +OD =⇀0 (2) ⇀OA +OB ⇀OC⇀OD =⇀0 (3) ⇀OA ⇀OB +OC⇀OD =⇀0 (4) ⇀OA .OB =OC .OD (5) ⇀OA .OC 2 參考答案:(3)(4) 出處:93 年學測

(10)

8. 金字塔是由底面 ABCD 為正方形,四個側面

, , ,

OAB OBC OCD ODA 均為正三角形所構成,如下圖所示。

H 為金字塔頂點O在底面的投影 點,M 是BC 中點,則下列哪些向量 內積的值為 0 ? (1) ⇀AB .BC (2) AC .BD (3) ⇀OA .OC (4) ⇀OH .AM (5) OM.BC 參考答案:(1)(2)(3)(4)(5) 出處:101 年大考中心數學研究用試卷(卷二)多選第 6 題 1.4.1 外積與正弦的關聯、兩向量所張出的平行四邊形面積 基礎級試題 1.4.1 外積與正弦的關聯、兩向量所張出的平行四邊形面積 精熟級試題 1. 設 A(1,0,1),B(9,8,1),C(7,2,4)為坐標空間中相異三點。 (1) 若一向量

n 滿足

 

nAB

 

nAC,且|

n | 1﹐則 n

__________(有兩解)。 (2) ABC的面積為___________。 參考答案:(1) 1 (3, 3, 4) 34   (2) 4 34 1. (多選) 設

  

a, , b c 為空間中不平行的三個非零向量, 為

ab

的夾角,請選出正確的選項。(本題涵蓋 1.4.1 與 1.4.2) (1)

   

abba (2)

   

aba b sin (3) 若

   

acbc , 則

 

ab (4) 若

   

a c  b c , 則

 

ab (5) abc    abc    

     

參考答案:(2)(5) 出處:建國中學

(11)

2. 設 O(0,0,0)、A(1,0,0)、 B(0,2,0)、C(0,0,3)為坐標空間中四點。請 選出正確的選項。(本題涵蓋 1.4.2) (1) ⇀AB ⇀BC (2) |⇀OA⇀OB| 2 (3) (⇀OB⇀OC).⇀OA 6 (4) (⇀AB⇀BC)⇀AC (5)三向量⇀AB 、BC 與CA 所張之平行六面體的體積大於1 參考答案:234 出處:99 課綱學測數學參考試卷多選第 12 題 3. 下圖中,O(0,0,0), (1, 2, 2), (2, 2,1), ( , , )A BC x y z 是正立方體的四個 頂點,且 z0,則C點坐標為__________。 參考答案:( 2, 1, 2)  2. (多選) 若

  

a, , b c 為空間中的向量,請選出正確的選項。(本題 涵蓋1.4.1 與 1.4.2) (1)  ab    2 a3 b    

 

 

(2) a2 abab  

    

(3) a2 abab  

    

(4)

  

a, , b c 所張出的平行六面體體積為 a bc  

  

(5) cab   a bc    

     

參考答案: (1)(2)(5) 出處:北一女中 3. 考 慮 向 量⇀u ( , ,0)a b , ⇀v ( , ,1)c d ,其 中 a2b2 c2 d21。請 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) 向 量⇀vz軸 正 向 的 夾 角 恆 為 定 值( 與 cd 之 值 無 關 ) (2) ⇀u .v 的 最 大 值 為 2 (3) ⇀u 與v 夾 角 的 最 大 值 為135 (4) ad bc 的 值 可 能 為 5 4 (5) |⇀u ⇀v| 的 最 大 值 為 2 參 考 答 案 :135 出 處 : 102 年 指 考 數 甲

(12)

1.4.2 三向量所張出的平行六面體體積 基礎級試題 1.4.2 三向量所張出的平行六面體體積 精熟級試題 1. 坐標空間中給定四點 (4,0,1), (2,1, 2), (0,3, 4), ( 3,1,0)A BC D  , 則三向量 ⇀AB、AC、AD⇀ 所張成的平行六面體的體積為_______ 參考答案:64 出處:新竹高中 2. 坐標空間中﹐已知 a

b 的外積

 

ab (2,1, 2) ﹐

c  ( 1,4, )t ﹐ 若由

a

b

c 所張成的平行六面體之體積為 18﹐則實數 t 的值為____________(有兩個解) 參考答案:10 或8 出處:台中女中 1. 已知由三向量

a

a a a1, ,2 3

,

b

b b b1, ,2 3

,

c

c c c1, ,2 3

所張 出之平行六面體的體積為5, 則由三向量3

 

a2 b ,

 

b 2 c , 2

  

ca2 b 所張出之四面體的體積為 參考答案:5 3 出處:臺中一中

(13)

1.4.3 三階行列式的定義與性質 基礎級試題 1.4.3 三階行列式的定義與性質 精熟級試題 1. 下 列 各 選 項 中 , 哪 些 與 行 列 式 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a a a b b b c c c 相 等 ? (1) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a a a c c c b b b (2) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 a b c a b c a b c (3) 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 a a a b c b c b c c c c    (4) 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 a a a b c b c b c c c c    (5) 3 2 1 3 2 1 3 2 1 a a a b b b c c c 參 考 答 案 :23 出 處 :88 年 學 測 2. 關 於 行 列 式 的 性 質 , 下 列 哪 一 選 項 恆 成 立 ? (1) a b c a d g d e f b e h g h i c f i   (2) 0 1 0 a b a b d e g h g h  (3) 0 0 0 0 0 b d e f h  (4) 0 0 0 0 0 a c e g i  (5) a e b f a b e f c g d h c d g h       參 考 答 案 :3 出 處 : 99 年 指 考 數 乙 1. 若實數 a b c x y z, , , , , 滿足 a2b2c2 16x2y2z2 25 ,則 行列式 1 2 2 a b c x y z 的最大值為何? 參考答案: 60 出處:馬祖高中 2. 考 慮 所 有 由1、 2、 3、 4、 5、 6各 一 個 與 三 個 0所 排 成 形 如 0 0 0 a b c d e f           對 角 線 均 為 0的 三 階 方 陣 。 今 隨 機 選 取 這 樣 一 個 方 陣,試 問 其 行 列 式 值 0 0 0 a b c d e f 為 奇 數 的 機 率 為 下 列 哪 一 個 選 項 ? (1) 1 20 (2) 1 10 (3) 1 2 (4) 9 10 (5) 19 20 參 考 答 案 :2 出 處 :102 年 指 考 數 甲

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2.1.1 平面的法向量、兩平面的夾角、點到平面的距離 基礎級試題 2.1.1 平面的法向量、兩平面的夾角、點到平面的距離 精熟級試題 1. 平 面 E: x+ 2y+ 3z= 6 與 下 列 哪 一 個 平 面 不 相 交 ? (1) 2 x y3z 0 (2) 2xy3z 0 (3) 2xy3z 0 (4) 2xy3z 0 (5) 2xy3z 0 參 考 答 案 :4 出 處 : 金 門 高 中 2. 已 知 點 (2,3,1)A 到 平 面 E: 3x2y4z k 的 距 離 為 點 ( 2,3,1) B  到 平 面 E 之 距 離 的 3 倍 ﹐ 則 k的 值 為 ﹒ (有 兩 解 ) 參 考 答 案 : 5或  出 處 : 泉 僑 高 中 14 3. 如圖,長方體 ABCD-EFGH 中, AB =4, AD =2, AE =3, 則 (1) AG.BH=⇀ ________. (2) D 點到平面 ACH 的距離為________. 參 考 答 案 : (1) 3 ( 2) 61 61 12 出 處 : 義 民 高 中 1. 已知空間中二點A(1, 3, 4), (2, 2, 1) B  ,若 AB 與平面3x y z   5 交於P 點,則 AP _______ BP  參考答案:5 2 出處:長榮女中 2. 若平面 E 過點

2,1, 4 且在第一卦限與三坐標軸正向交於 A, B, C 三

點,O 為坐標空間的原點,則 (1) 2OA OB OC  的最小值為 , (2) 此時平面 E 的方程式為 . 參考答案: (1) 25 (2) 1 10 5 5   z y x 出處:鳯新高中 3. 在坐標空間中給定兩點 (2,0,0), (0,1,0)A B 及一平面 E ﹕x 1  y  2z  6  0。 (1) 若平面 E 過 A﹐B 二點,且與平面E 的銳角夾角為 601 ﹐ 則 E 的方程式為 (兩解); (2) 線段AB在平面E 的投影長為 . 1 參考答案: (1) x2y z  或52 x10y13z10 (2) 14 2 出處:中興高中 F D E H G A C B

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4. 在 空 間 中 , 連 接 點 (2,1,3)P 與 點 Q(4,5,5)的 線 段 PQ 之 垂 直 平 分 面 方 程 式 為 __________ 參 考 答 案 : x2y z 13 出 處 :88 年 學 測 5. 空 間 中 有 一 直 線 L 與 平 面 E x: 2y3z 垂 直 , 則 通 過 點9 (2, 3, 4) 且 與 直 線 L 垂 直 的 平 面 方 程 式 為 ____ 參 考 答 案 : x2y3z 8 出 處 :89 年 學 測 6. 兩 平 行 平 面 E x y z1:     與1 0 E x y z2:     之 間 的 距1 0 離 為 參 考 答 案 : 2 3 3 出 處 :90 年 自 然 組 7. 平 面 E 過 點 A(1,0,1)且 與 平 面 E1:x  y  z  5  0﹐ E2:x  2y  z  8 都 垂 直 ﹐ 則 E 的 方 程 式 為 參 考 答 案 : x2y3z 4 出 處 : 台 南 二 中 4. 如圖,正立方體 ABCD-EFGH 中,

0,0,0

P , Q

4, 4, 2

, R

2, 4, 4

依次分別為ABFE 面、BCGF 面、 ADHE 面的中心,則 (1) 平面 ABFE 的方程式為_______. (2) 平面 BCGF 的方程式為______. 參考答案:(1) x4y z 0 (2) x z 6 出處:北一女中 5. 在下圖的坐標空間中,O為原點, 點 A B C 分別位於 x 軸、y 軸、 z, , 軸上,且OA OB OC  , D 為 OC 中點,則O到平面ABCO 到平面ABD 的距離之比________ 參考答案: 2 :1 出處:86 年社會組   6. 在空間空間中,已知平面 E 通過 (3,0,0),(0, 4,0) 及正 z 軸上一點 (0,0, )a ,如果平面 E 與 xy 平面的夾角為45,則a_______ 參 考 答 案 :12 5 出 處 : 88 年 社 會 組

(16)

8. 若 實 數 , ,x y z 滿 足 2x6y3z  , 則7 0 2 2 2 (x5) (y1)  (z 3) 的 最 小 值 為 何 ? (1) 1 (2) 2 (3) 4 (4) 7 參 考 答 案 :(2) 出 處 : 嘉 義 女 中 9. 平 面 E 的 法 向 量 為

n (1,2, 1) ﹐ 下 列 哪 二 點 不 可 能 同 時 在 E 上 ﹖ (1) A(3 , 1 , 2)﹐ B(4 , 3 , 1) (2) C(4 , 2 , 1)﹐ D(5 , 4 , 0) (3) E(1 , 2 , 1)﹐ F(0 , 0 , 0) (4) G(1 , 1 , 1)﹐ H(3 , 5 , 1) (5) I(1 , 5 , 0)﹐ J(4 , 5 , 3) 參 考 答 案 :1234 出 處 : 中 山 女 中 10. 空 間 中 三 平 面 1: 2 2 5, 2: 2 3, 3: 4 10 E xy z  E xy cz  E ax by  z , 且 1 2 EEE 平 行2 E , 其 中 , ,3 a b c 為 常 數 , 則 (1) 序 組 ( , , ) _________a b c  (2) 兩 平 行 平 面 E 與2 E 的 距 離 為 3 參 考 答 案 :(1)( , , ) (2, 4, 2)a b c   (2) 2 3 7. 設O(0,0,0)為坐標空間中某長方體的一個頂點,且知 (2,2,1),(2, 1, 2),(3, 6,6)   為此長方體中與O相鄰的三頂點。若平面 : E x by cz d   將此長方體截成兩部分,其中包含頂點O的那一 部分是個正立方體,則序組( , , )b c d _________ 參 考 答 案 :( 2, 2,9) 出 處 : 97 年 學 測 8. 坐標空間中xy平面上有一正方形,其頂點為 (0,0,0) O ,A(8,0,0),B(8,8,0),C(0,8,0)。另一點Pxy平面的上方, 且與O, A, B, C 四點的距離皆等於 6。若x by cz d   為通過 A,B,P三點的平面,則序組( , , )b c d _______ 參考答案:(0, 2,8) 出處:98 年學測 9. 設 a , b 為 實 數 。 如 果 空 間 中 某 一 平 面 通 過 ( ,0,0)a ,(0, ,0)b ,(0,0,3),(1,2,3)這些點,則下列哪些選項是正確的? (1) a,b有可能都是正數 (2) a,b有可能是一個正數一個負數 (3) a,b有可能都是負數 (4) a,b有可能只有一個等於0 參考答案:2 出處:98年指考數甲

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10. 在坐標空間中,有一邊長為2、中心在原點O的正立方體,且各 稜邊都與三坐標平面平行或垂 直,如圖所示。已知 A(1, 1,0) 、 (0,1, 1) B  、C( 1,0,1) 這三點都是 某平面 E 和正立方體稜邊的交 點。試問下列哪些點也是平面E 和正立方體稜邊的交點? (1) 1 1, , 1 2 2       (2) ( 1,1,0) (3) (0, 1, 1)  (4) ( 2,1,1) 參考答案:2 出處:100 年指考數甲 11. 坐標空間中,若平面E : axbycz  1 滿足以下三條件: (1) 平面E與平面F : xyz  1 有一夾角為30 (2) 點A( , , )1 1 1 到平面E的距離等於3, (3) ab  c 0, 則abc 的值為 參考答案:1 3 出處:100年指考數甲 (1,-1,0) A

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