雞與蛋在演化上的循環數列
許耕福
國立成功大學工程科學系 t司垣· ... ‘--宣、目。言 「到底先有雞?還是先有蛋?J 2008 年加拿大一位古生物學者澤勒尼攻基(Darla
Zelenitsky) 宣稱，他對t 千七百萬年前的恐龍蛋化石進行研究，發現恐龍先建造類似鳥 窩的巢穴，並產下類似鳥蛋的蛋，之後恐龍再進化成鳥類(雞本屬鳥類的一種)。因此推 論「先有蛋，後有雞J '雞是由這些產下類似雞蛋的肉食性恐龍進化而成。(參考資料。 另根據 2010 年英國《太陽報〉報導，英國雪菲爾大學(Sheffield
universities) 以及 華威大學(Warwick
universities) 的科學家研究發現，蛋殼的組成中真有一種僅存於母 雞卵巢中的蛋白質(ovocledidin-17
,
OC-17)
，因為蛋殼的重要作用是為小雞提供安全的 生存空間，因此他們斬釘截鐵表示，絕對是「先有雞，後有蛋」。 在邏輯上「先有雞?先有蛋?J 是一個循環論證，由於各人對此命題的根本意義解 讀不一，加上追朔年代遙遠，不易取得直接證據，所以這個話題即使眾說紛耘或爭論不 休，至今都難以得到定論。不過，若能給出一個明確命題，想當然「先有雞」或「先有 蛋」必恰有其一成立。因此筆者藉由練習程式語吉的機會，自創「雞生蛋，蛋生雞J (或 「蛋生雞，雞生蛋J) 的簡單數列(以下以「生存數列」稱之)，試圖以數學觀點，描述 所有可能雞種「生生不息」的關像。貳、生存數列
首先任選一個二位以上的正整數N' 並以 L(N)表示由高位值部所形成之數， R(的表 示由低位值部所形成之數，且以D(川、 D(L(的)、 D(R(的)分別表示 N 、 L(N) 、 R(N) 的位 數。當我們準備對N 進行運算以得到下一個數時，先要將N 依其位數拆成 L(N)與 R(N) 兩個數，但必須符合以下要求: 若 D(N) 為偶數，則 D(L(N»=
D(R(N»
;
若 D(N) 為奇數，則 D(L(N»=
D(別的)+1 例如，當 N=1234 時，則 L(N)=12 '
R(N)
=34 '
D(N)
=4 '
D(L(N»
=2 '
D(R(N»
=2 ;
當 N=12345 時，則 L(N)=123 '
R(N)
=45 '
D(N)
=5 '
D(L(N»
=3 '
D(R(N»
=2 。 至於生存數列 (an) 之首項選定及其任意相鄰兩項間的運算規則如下:-
34-雞與蛋在演化上的循環數列
(I) 首項。l 必須是一個二位數以上的偶數 (2) 當 n 為奇數，若 L(a
n
) 為奇數，則。肘1 =a,,+1
若 L(a
n
) 為偶數，則。 ，，+1
=(L(an)+I)xIOD(R(an»+R(an)+1
(3)
當 n 為偶數，則吼叫= L(a
n
)+
R(an)
x
10D(IL(a
n
川(引
)1)
+1
L(a
,,)-R(an)1
2
例 1 :若 a，=32 '
3+3
由規則(2)得。2
= 32+ 1= 33
'由規則 (3)得。3 =τ-='x10+13-31
= 30 '
3+1
由規則(2)得內 =30+1=31 '由規則(3)得 G5=7xlO+|3一 11
= 22 '
所以這個生存數列 (a" >為 32 '固， 30 ， 31 ， 22 ，因，
30 '
例 2: 若。1= 呵，5+7
由規則(2)得。2 = 56+ 1= 57 '由規則 (3)得 a3 = 立一 xlo+15 一 71 =62 '
7+3
由規則(2)得內 =(6+I)xIO+2+1=73 '由規則(3)得門=三:...:.x 10 + 17 - 31 = 54 '
所以這個生存數列 (an>為呵，
57 ' 62 ' 73 ' 54 ' 55 ' 50 ' 51 ' 34 ' 35
'固，刃，固，
53 '
例 3: 若。1= 132 '
13+3
._,
由規則 (2) 得。2=132+1=1 刃，由規則 (3) 得。3 -一~
J X10
2
+ 113 - 31 = 810
2
81+1 勻由規則 (2)得內 =810+1
=811
'由規則(3)得。5 =一~x102 +1
81
一 II
=4180 '
2
所以這個生存數列(汽油 l 泣， I 刃，因，
811 ' 4180
'的 1 ， 6140 ， 6141 ， 5120 ，
5121
,
3630
,
3731
,
346
,
357
,
2128
,
2129
,
258
,
259
,
1716
,
1717
,
170
,
171
916
,
917
,
4984
,
4985
,
6736
,
6737
,
5230
,
5231
,
4222
,
4323
,
3320
,
3321
,
2712
,
2713
,
2014
,
2015
,
186
,
197
,
1312
,
1313
,
130
,
131
,
712
,
713
,
3768
,
3769
,
5332
,
5333
,
4320
,
4321
,
3222
,
3323
,
2810
,
2911
,
2018
,
2119
,
203' 213
,
1218
,
1319 ' 166 ' 177 ' 12 I 0 ' 13 I 1 ' 122 '
1 刃，因，
811 '
由以上的運算規定以及所舉數列之相鄰兩項間的運算關條可以確定: 動 3S-科學教育月刊 第 390 期 中華民國 105 年 7 月
當 n 為奇數，且 a" 為偶數時( !'!p:數列的奇數項為偶數) ，因為由規則 (2) :若
L(a，，) 為奇數，貝I)
L(a,,+, )=L(a,,)
; 若 L(a，，) 為偶數，貝I) L(吭I+I)=L(a，， )+1 ' 所以可且在知數列的偶數頃。，，+1 之 L(a"+l) 為奇數，又因為 R(a，，+I)=R(a，， )+1 ' 所以 R(a"+l ) 為奇
數，
!'!pa，，+1 為奇數，因此 1 L(如 )-R( 如 )1 為偶數，並得 R(a叫)為偶數，所以 G叫為
偶數，故任一生存數列必為下列形式:偶數，奇數，偶數，奇數，偶數，奇數， 偽數，奇數， 如果我們將首項的偶數當成雞，第二項的奇數當成蛋，則第三項是雞，第四項是蛋， 第五項是難，第六項是蛋，...
...這個數列就是雞、蛋、雞、蛋、雞、蛋、...r 雞生蛋， 蛋生雞」的生存數列。 如果我們將首項的偶數當成蛋，第二項的奇數當成雞，則第三項是蛋，第四項是雞， 第五項是蛋，第六項是雞，...
...這個數列就是蛋、雞、蛋、雞、蛋、雞、...r 蛋生雞， 雞生蛋」的生存數列。 且由例 l 與例 2 中，讀者可以了解到數列中某些二位數(偶數或奇數都有可能)，在 不斷添項情況下，一定會出現重複，再由例3 中，也可以發現，當出現三位數或四位數 的奇數時，其下一個數只可能成為四位數以下的偶數，但因為從偶數產生奇數時，其位 數不變，因此即使不斷添項，重複出現同一個數必是遲早的事。 進一步來說，當n 為奇數，且 D(a，， )=2k(k ε N)時，則 D(aIl+1
)= 泣，再得L(a"+I)
+
R(a,,+J)
I rI' _ \. n / _ \.ID(
n+l2 2刊 )=k' D<l L(a肝1)-R(a"+I)i) 三 k ' 所以 D(a"+2) 三 2k;
當 n 為奇數，且 D(a，， )=2k+1 (k ε N) 時，則 D(a，，+I)=2k+ I
'再得L(a"+I)
+
R(a
Il+1)
I .,. / rIO/ '\ID(
+l2 +l) 三 k+
I ' D(I L(a"+I) - R(a,,+I)
i)三 k+l ' 所以 D(a"+2) 三 2k+2 。也就是說，若一個生存數列的首項為2k 位數，則其任一項的位數不可能大於2k ; 若一 個生存數列的首項為 2k+l 位數，則其任一項的位數不可能大於2k+2 ' 所以對於任何一 個持續增項的生存數列，在有限產出結果的情況下，終將出現相同的數，也就是會出現 循環數列。而且可以很明顯了解，若我們另以其循環部分中的任一偶數當成新數列的首 工頁，則得出的生存數列必是一個完全循環數列。 以下即是在前述所舉三個生存數列中，取其循環部分的其中一個偶數作為新數列的 首項，所得出的三個完全循環生存數列:
(a) 固，刃，
30
'訓，因，
33 '
(b) 區，日，園，刃，
(c) 巨蜀， 6141 ， 5120
,
5121
,
3630
,
3731
,
346
,
357' 2128
,
2129
,
258
,
259
,
-
36-雞與蛋在演化土的循環數列
