2-1-3指數與對數-對數

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(1)第二冊 1-3 指數與對數-對數【概念】對數的引進：在整數算術一書中提及的兩個數列： … −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 … x1 x 2 … x1 + x 2 1 1 … 1 2 4 8 16 32 64 128 … y1 y 2 … y1 × y 2 4 2 現在若想要計算兩個很大的數 y1 與 y 2 的乘積 y1 × y 2 ，如果能得知 x1 與 x 2 的值(或是近似值)，根據指數律可以得知：若 y1 = 2 x1 , y 2 = 2 x2 ，則 y1 × y 2 = 2 x1 × 2 x2 = 2 x1 + x2 。例如：若 8 = 23 ,16 = 2 4 ，則 8 × 16 = 23 × 2 4 = 23 + 4 = 27 = 128 ，因此只要能得出上表就可得出 x1 + x 2 所對的值 y1 × y 2 。【問題】對於函數 y = 2 x 而言，給定 x ，要求得 y 時，一般而言較為容易，即為 y = 2 x 。但給定 y 時，要求 x 時，一般而言較不容易。例如給 x = 1 ，則 y = 2 x = 21 = 2 ；給 x = 2 ，則 y = 2 x = 22 = 4 。但是若給定 y = 3 ，則 3 = 2 x ，那麼 x 等於多少呢？ y. 4 3 1 O 1 x 2. y = 2x. x. 【定義】對數：如果 a > 0, a ≠ 1, b > 0 ，當 a x = b 時，我們用符號 log a b 來表示 x ，即 x = log a b 。我們稱 log a b 為以 a 為底數， b 的對數，其中 a 稱為底數， b 稱為真數。反過來說，如果 x = log a b ，那麼 a x = b 。即 a x = b ⇔ x = log a b 。註： 1. 通常以 10 為底數時，底數可以省略不寫。 2. 定義對數的目的為簡化計算(化乘除為加減)。 3. 注意對數的表示方法以及書寫位置。.

(2) 【問題】為什麼要滿足 a > 0, a ≠ 1, b > 0 的基本條件？解答：在定義指數 a x 時，就已經要求 a > 0 了，又 a x = b ，所以 b > 0 ，當 a = 1 時， 1 x = b ，此時 x 為任意解，故不是一對一，所以限制 a ≠ 1 。【性質】對數的基本性質：在以下各個性質中，底數皆表示不為 1 的正實數，真數皆表正實數，指數則表示任意實數。註：以下的各個證明，基本上都是先把對數依照定義化回指數，然後以指數律運算後，再換回對數。 1. (a) log a a x = x 。 (b) a log a b = b 。證明：設 x = log a b ⇔ a x = b c. c. x = log a a x a log a b = b 。 2. (a) log a 1 = 0 。 (b) log a a = 1 。證明： (a)因為 a 0 = 1 ，故 log a 1 = 0 。 (b)因為 a 1 = a ，故 log a a = 1 。 3. (a) log a xy = log a x + log a y 。(化乘除為加減)(或想成對數律) x (b) log a = log a x − log a y 。 y 證明： (a)設 log a x = s, log a y = t ，則 a s = x, a t = y ，即 log a xy = log a ( a s a t ) = log a a s +t = s + t = log a x + log a y 。 (b)設 log a x = s, log a y = t ，則 a s = x, a t = y ，. x as = log a t = log a a s −t = s − t = log a x − log a y 。 y a n 4. log a x = n log a x (其中 n 為實數)。證明：令 log a x = s ，即 log a. 則 x = a s , x n = (a s ) n = a sn ，所以 log a x n = log a a sn = sn = n log a x 。.

(3) 5. log a m x =. 1 log a x (其中 m 為非零實數)。 m. 證明：令 log a x = s ， s. 則 x = a s = (a m ) m ， s 1 所以 log a m x = = log a x 。 m m log b x ，其中 b > 0, b ≠ 1 (換底公式)。 6. log a x = log b a 證明：. ⎧x = b r ⎧log b x = r ⎪ ⎪ 令 ⎨log a x = s ，則 ⎨ x = a s ， ⎪log a = t ⎪a = b t ⎩ b ⎩ 又 x = b r = a s = (bt ) s = b st ，得 r = st ，即 s =. r ， t. log b x 。 log b a 1 7. log a b = ( b > 0, b ≠ 1 )。 log b a 證明： log b b 1 由換底公式知 log a b = 。 = log b a log b a. 故 log a x =. 8. a log b = b log a 。證明：因 log b log a = log a log b ，得 log a log b = log b log a ，故 a log b = b log a 。【推廣】 1. 從性質 4，5 可以得到： log a m b n =. n log a b 。 m. 2. 連鎖律： log a b ⋅ log b c ⋅ log c d = log a d 。 log a b log a c log a d log a d 證明： log a b ⋅ log b c ⋅ log c d = × × = = log a d 。 log a a log a b log a c log a a 【注意】 1. log a ( x + y ) ≠ (log a x) + (log a y ) 且 log a ( x − y ) ≠ log a x − log a y 。 log a x 。 2. log a ( x + y ) ≠ (log a x) × (log a y ) 且 log a ( x − y ) ≠ log a y x log a x 。 3. log a ( x × y ) ≠ (log a x) × (log a y ) 且 log a ≠ y log a y.

(4) 【問題】 1. 設 log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771 ，試求 log k , k = 1,2,L,10 之值。 (註： log 7 = 0.8451 ) 2. 證明 log 2 3 不是有理數。 (證明) 設 log 2 3 是有理數，則必為正有理數， n 另 log 2 3 = ，其中 m, n 是正整數， m n. 所以 2 m = 3 ，得 2 n = 3 m ，但 2 | 2 n ,2 /| 3 m ，得到矛盾，因此 log 2 3 不是有理數。【注意】解指數或對數方程式時，注意每一項的指數、底數、真數的基本條件。【問題】 1. 試寫出下列對數方程式的基本條件，並判別解是否相同。 (1) log x − 1 = 1 。 1 (2) log( x − 1) = 1 。 2 (3) log( x − 1) 2 = 1 。 (4) 2 log( x − 1) = 1 。.

(5)