103上學期評量-高中高級卷解答

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1. 設此多邊形為 P1P2...Pn,且 PiPi+1 上的切點為 Xi。令 xi = PiXi = PiXi−1,且設 PjPj+1 為所有邊長中最長的一個。那麼由 PjPj+1 的最大 性知 PjPj+1 + Pj−1Pj > Pj+1Pj+2 且 PjPj+1 + Pj+1Pj+2 > Pj−1Pj。又 Pj−1Pj + Pj+1Pj+2 = xj−1 + xj + xj+1 + xj+2 > xj + xj+1 = PjPj+1,故 Pj−1Pj, PjPj+1, Pj+1Pj+2 三線段可形成一個三角形,得證。 2. 用反證法。若在所有警察走的距離總和最小時沒有人不需要走動,將 所有警察分成兩類:順時鐘走和逆時鐘走。由於警察的個數為奇數,不妨 設順時鐘走的人較多 (設有 x ≥ 13 個),那麼讓所有警察的目的地往逆時鐘 方向移動一格的話,警察所走的距離和會減少 x− (25 − x) = 2x − 25。又 x≥ 13,所以如此一來警察所走的距離和便減少了,和最小性矛盾。得證。 3. 首先,令一開始黑板上寫的數為 -99,-98,...,0 即知 k 的最大值不小於 99。接著證明:99 是最大的了。若不然,存在 100 個數 x1, x2, ..., x100 使 得 100 ∏ j=1 (xj+ i) = 100 ∏ j=1 xj ∀0 ≤ i ≤ 100 設多項式 f 滿足 f (x) = 100 ∏ j=1 (x + xj) 100 ∏ j=1 xj 易知 f 的次數為 100,然而 x = 0, 1, ..., 100 都是 f 的根,矛盾。因此 k 的 最大值為 99。 1

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4. 先證 AB, AC, BA, BC 四點共圓。由圓冪定理知 CA′× CBC = CG× CC′ = CB′ × CAC,又 CA′ = CB′,所以 CBC = CAC。因此 ̸ ACBCBA = ̸ ACBCC +̸ A′BCBA = 90◦− 12̸ C +̸ A′C′B = 90◦− 21̸ C + 90◦ 12̸ B = 180◦− 1 2(180◦−̸ A) = 90◦+ 1 2̸ A ≠ ACABBA。因此 AB, AC, BA, BC 四點 共圓。同理 AB, AC, CA, CB,CA, CB, BA, BC 四點共圓。由戴維斯定理即 知 AB, AC, BA, BC, CA, CB 六點共圓,得證。 5. 以下透過建立一一對應關係證明兩者寫出的單字個數是一樣的。對 所有 Pete 寫的單字,將字母 T 換成 T T ,字母 O 換成 OO,字母 W 換成 T O,字母 N 換成 OT 。易知如此換成的單字必在 Basil 寫的單字中,且易 證對任意 Basil 寫的單字,都存在唯一一個 Pete 寫的單字對應到他。故得 證。 2

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6. 使用同一法。設原本的三角形為 XY Z,其中 ̸ X = x◦,其餘同理。 若 XY 邊上的折點為 Z′,其餘同理,且固定 XZ′ : Y Z′ 的值,那麼 Y X′ : ZX′,ZY′ : XY′ 的值隨之固定。因此只要證明當 XZ′ : Y Z′ = Y X′ : ZX′ = ZY′ : XY′ 且角 ̸ XZ′Y = ̸ Y X′Z = 179◦,̸ Z′Y X′ = (y − 1)◦ 時其餘角度會如題目所要求的。由這些條件易知 ∆XZ′Y ∆Y X′Z,所以 ̸ XY Z ≠ XY Z′+̸ ZY X′+̸ ZY X′ ≠ XY Z′+ (y− 1)◦+̸ Y XZ′ = y◦又 XY : Y Z = (XZ′+ Z′Y ) : (Y X′+ XZ),所以 ∆XY Z 和其一開始的狀 態相似。由邊長比例易知 ∆XZ′Y ∆Y X′Z ∆ZY′X,再和前面一樣的角度 關係知 ̸ Z′XY′ = (x− 1)◦,̸ Y′ZX′ = (z− 1)◦,̸ XY′Z = 179◦,由同一法 得證。 7. 我們直接處理一般情況:令 f (a, b) 為一開始匯率為 g = a, p = b 時 最後保證可以得到最多的白銀和黃金總值與一開始總值的比值。這裡總值 的意思是 xg + yp,其中 x, y 分別是黃金公斤數和白銀公斤數。首先,易 證 f (1, n) = f (n, 1) = 1。對於所有 a, b > 1,設有 x 公斤黃金和 y 公斤白 銀,那麼將 a 減少 1 後總值變為 (a− 1)x + by,將 b 減少 1 後總值變為 ax + (b− 1)y。所以 f (a, b) = max(min((a− 1)x + by ax + by f (a− 1, b), ax + (b− 1)y ax + by f (a, b− 1))) 其中 max 是對所有可能的 (x, y) 取最大值。

設 A = (a−1)x+byax+by f (a− 1, b), B = ax+(bax+by−1)yf (a, b− 1),那麼 a f (a− 1, b)A + b f (a, b− 1)B = a + b− 1 因此 f (a, b) = max(min(A, B)) = aa + b− 1 f (a−1,b) + b f (a,b−1) 對 a + b 歸納易知 f (a, b) = a+b−1 ab 特別地,f (1000, 1000) = 1999 1000000,又一開 始的總值為 2000,因此最後保證可以拿到的總值最大為 1999 1000000×2000 < 4。 然而 2 公斤的黃金和白銀總值 4,故不能保證最後還有 2 公斤的黃金和白 銀。 3

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