數字系列完成測驗試題認知成分分析之研究

數字系列完成測驗試題認知成分

分析之研究

林世華

國立台灣師範大學 教育心理與輔導學系

葉嘉惠

台北市 石牌圈中 本研究之目的在結合認知成分分析與心理計量分析的觀點來了解影響數字系列完成 作業試題難度的試閣成分，以及分析在數字系列完成測驗中所測量之心理構念是否因為 數列規則破獲與否而有所不同。研究題材乃探用青年智力測驗中的數學潮驗 446 名高二 學生預試資料;在分析方法方面，同時採用多元逐步迴歸方法以及總性對數潛在特質模 式來了解試題成分對於試題難度的影響。本研究之主要發現如下: f→攝製數字系列完成 瀾驗時，加入不規則數列不會造成試題反應維度的改變。仁}影響數字系列完成測驗試題 難度的試題成分為「是否為移動數列」、「週期長度」與「字串間是否有假造相同的數 字」等三顯;此三類試題成分對於試題難度皆具有正向的預測力。日試題成分之間的女 互作用也是試題難度變異的來頓之一。個利用多元逐步迴歸方法以及線性對數潛在特質 模式進行試圖成分分析所得結果頗為一致。 關鍵柯:數字!列完成測驗、認知成分分析 結論 十九世紀以來心理學家對於智力的研究方法已有重大的改變，按 Stemberg

( 1978 )

的分類，智力的研究約可分成傳統心理計量分析取向與認知成分分析取向兩種，傳統心 理計量分析取向主要是延續差異心理學的觀點，藉由比較不同群體在標準化測驗上的差 異表現來區別何謂高低智力;認知成分分析取向則係經由分析受試者在標準化測驗上的 認知歷程來了解人類智力的本質。與之相對應的是不同的智力觀，其中心理計量分析取 向多同意智力是由不同的因素所組成，而認知成分分析取向則認為智力是表現於個體處 理認知作業時所涉及的認知歷程。 認知心理學者對於智力的研究為傳統心理計量研究帶來相當的衝擊，而其挑戰多集 中於傳統智力測驗分數的意義以及測驗編製的方法。傳統智力測驗的編製多以古典測驗 理論為基礎，以測驗總分代表人類的智力，如此的方式固然能用以區辨不同個體的表現

140

教育，已、理學報

'卻忽略了個體在智力測驗上的認知歷程。此外，傳統智力測驗的編製方法常被批評為 黑箱作業，測驗的編製並非事前依據特定的理論模式，而是藉由事後的統計分析方法來 證實測驗的效度。

面對認知心理學者如此的挑戰，心理計量學者也有下列的回應。首先，項目反應理 論(

Item Response Theory

)的發展使得測驗分數的解釋從古典測驗理論(

Classic Test

The。可

)中測驗相依 (test dependent) 的意義轉變成為測驗獨立 (test independent) 的意義。其

次，試題作答理論後期發展出的諸多模式也使得認知測驗的編製與認知變項的結合成為 可能。然而這樣的回應無異於顯示心理計量學者對於認知心理學者的挑戰束手無策:測 驗分數的解釋雖能擺脫測驗相依的意義，但卻仍無法藉由測驗的分數了解受試者在測驗 情境中所發生的所有認知歷程。此外，試題作答理論後期陸續發展的模式雖然使得測驗 編製與認知變項的結合成為可能，但認知變項的處理從來不是心理計量學者的專長。 不過J心理計量學與認知J心理學兩者多年來對於智力測驗的研究卻也為整合兩者理論 與方法提供了發展的基礎。認知心理學強調解題歷程，視題目為其所包含的認知成分所 組成，因此測量的基本單位不是題目，而是各個題目所涉及的認知成分，並且測量的單 位若越詳盡明確，則各個試題所能提供的訊息量也將越豐富。而試題作答理論在一九七

0年代初期所發展出來的線性對數潛在特質模式(Linear

Logistic Latent Trait Model

,

LLTM) 除了依循試題作答理論以個別試題為基本分析單位的傳統外，並且嘗試將試題 依其解題步驟或是成分作線性分解，如此在估計試題的難度時，能夠同時考膚、試題所涉 及的試題成分或解題步驟，而且個別試題難度的解釋以及整體測驗試題難度的變異來源 皆能事前加以掌握。 然而認知心理學對於智力測驗的研究也存在著下列的問題。認知成分分析多是直接 採用現有的智力測驗或認知作業為分析題材，再據之建立認知模式與考驗模式的適合度 。如此的研究結果固然能提供智力測驗實質的心理學意義，但是認知成分的界定向來被 批評流於主觀與含糊不清。此外，由於認知成分取向多直接採用現成的智力測驗或認知 作業為分析題材，以某一特定的測驗為主體所建構的認知模式是否能概化至其他測驗， 也是其招人質疑之處。認知成分分析的限制也促使近年來 LLTM 分析的主體從單純的認 知成分，漸而包含可觀察、可測驗的試題成分。 基於前述動機，研究者欲結合認知成分分析取向以及心理計量分析取向，以系列完 成作業為題材，探討影響數字系列試題難度的試題成分;此外並探究藉以偵測規則系列 的心理能力是否與偵測不規則系列的心理能力為同一維度。具體言之，本研究所欲探討 之問題為1.偵測規則數列與不規則數列所涉及的心理構念是否相同? 2.影響數字系列

完成作業試題難度的試題成分為何? :3.數字系列完成作業試題成分與試題難度的關係式

為何?

文獻探討

系列完成作業是心理計量學者用以驗證普通因素 (g)智力的測驗，並且也是認知心理 學家參與智力研究採用的認知作業。認知心理學雖然係自一九七0年代之後才興起智力

測驗的研究，不過 Simon 與 Kotovsky 卻早在一九六三年便針對 Thurstone 基本心理能力

測驗 (PMAT) 中的文字系列完成測驗進行認知成分分析。該篇研究指出，受試者在解 決文字系列完成作業時，主要是藉由辨識各文字之間是否存有相同( Identi秒，例如“甜甜"

)、下一個 (Next ·例如“abcd" )、上一個( Backward' 例如“gfed" )三種關係來辨識

系列的規則。而受試者解題時其內在訊息處理歷程可分成「關係偵測」、「發現週期長

度」、「完成組型描述」、「探測答案」等四個階段(

Simon

&

Kotovs旬，

1963 ; Kotovsky

&

Simon

,

1973) 。其後 LeFevre 與 Bisanz

( 1986

)利用受試者在規則數列(例如“ 12345

6789

10") 、無效數列(例如“ 1

2 3 4 5 6 7 7 9

10") 與不規則數列(例如“ 123451178

9

10") 三者間的差異表現澄清了在 Simon 與 Kotovsky 所提出的認知模式「關係偵測」 階段尚可再細分為「記憶數列的再認」、「計算」、以及「檢視」等三個認知歷程。 長期以來，心理計量分析取向對於系列完成作業的研究多著重關聯J心理學與差異d心理 學的觀點 (Sternberg，

1981

,

p

.3)

·易言之，其著眼點多在於分析不同群體在標準化系列

完成作業上表現的差異。然而近年來心理計量分析取向對於系列完成作業的研究也逐漸

朝向了解不同試題內容對於受試者差異表現的影響，此類的研究尤以 Holzman，

Pellegrino

,

與 Glaser

( 1983

)以及 Butterfield，

Nielsen

,

Tang凹，與 Richardson (1985) 的研究為代表

:

Holzman 等人(

1983

)的研究主要是藉由自編數字系列完成測驗來驗證 Simon 與 Kotovsky 所提出的認知模式，以及探討影響數字系列完成作業試題難度的因素為何。而

Butterfield 等人( 1985) 的研究更是結合了先前 Simon 與 Kotovsl可以及 Holzman 等人的 研究結果，驗證「表徵文字系列的知識層級」、「計算次數 J 以及「關係複雜度」等三

個變項是否足以預測系列完成作業的難度。

認知成分分析取向以及心理計量分析取向對於系列完成作業的研究似乎已臻完美，

然而再深究各篇研究之後可發現尚有不足之處。首先， Simon 與 Kotovsky 所提出之認知

模式雖然已成為後續研究的準則，然而 LeFevre 與 Bisanz 的研究也指出 Simon 與 Kotovsky

的解題模式尚可再細分出其他的認知成分，這顯示該模式可能尚有其他未界定清楚的成 分待進一步澄清。而 LeFevre 與 Bisanz 雖然藉由受試者在規則數列、無效數列以及不規 則數列三者的表現說明了 Simon 與 Kotovsky 的解題模式的不足，但這樣的試題設計卻也 是種大膽的嚐試。傳統因素分析研究雖顯示系列完成作業可用以驗證普通因素(g)智力， 但傳統系列完成作業多為規則系列，一旦將其規則破壞成為無效系列或不規則系列之後 ，藉以偵測無效系列與不規則系列的心理能力是否仍與偵測規則系列的心理能力為同一

142

教育，心理學報

維度，仍待進寸步驗證。

Holzman 等人對於數字系列完成作業的研究乃建基於 Simon 與 Kotovsky 所提出的認

知模式，不過該篇研究也顯示一個可能混淆的問題: Holzman 等人的研究顯示數字系列 的數值大小以及運算種類會影響受試者解題表現，如此用以區辯不同受試的解題表現者 究竟是普通因素智力亦或是過往數學學習成就'是其可能混淆之處。而 Butterfield 等人 的研究結果雖然顯示「表徵文字系列的知識層級」、「計算次數」以及「關係複雜度」 等三個變項足以預測系列完成作業的難度，但這三者之間可能存在的線性相依現象卻是 該篇研究未曾處理的問題。 從上述討論可知，目前對於系列完成作業的研究尚有待改進之處，尤其是各篇研究 中所處理的研究變項對於試題難度的影響也須由統整的觀點來驗證。近來 LLTM 的發展 已有部分研究者改以可觀察的試題成分為分析主體，因此藉由此模式來了解影響系列完 成作業試題難度的試題成分應為可行。

研究方法

一、研究樣本

本研究樣本資料係取自青年智力測驗中的數學測驗預試樣本;該樣本取自大台北地 區十所高中二年級學生，有效樣本共計 446 名(郭生玉、林世華、蘇宜芬、宋德忠，民

87

)。

二、研究工具:數學測驗

←)編製依攘

本測驗係參考 Butterfield 等人( 1985) 、 Holzman 等人(

1983)

·以及 LeFevre 與 Bisanz

(1

986

)的研究設計而成，用以了解個體發現數字系列問所隱藏的關係、並據此解題的 推理能力。本測驗共計 50 題，以二元計分方式計分，滿分為 50 分。試題以選擇的方式 呈現，其中 38 題要求受試者從給定的數列推論其間可能隱藏的關係'並且利用這個關係 ，從選項中選擇正確的數字，使所發現的關係得以繼續發展;另外 12 題乃經刻意破壞之 不規則數列，無法形成某一特定的規則，因此受試者須判斷其為「無法形成規則」才能 得分。本測驗編製步驟詳述如下。 口編製步廳

1 決意寧串數曰:根據 Simon 與 Kotovsky(

Simon

&

Kotovsl旬. 1963~

Kotosky

&

Simon

,

1973) •

Butterfield 等人( 1985) 以及 Holzman 等人(

1983

)的研究設計可知，數字系

列作業與文字系列作業是由更小的單位一字串一所組成，而本測驗題目則皆由單一字串

以及兩個字串兩類題型組成，當數列是由單一字串所組成時，其週期 (period) 即由該字 串決定;當數列是由兩個字串所組成時，其週期即由兩個字串共同決定。 2 決定字串隱含之間保: Holzman 等人(

1983

)的研究指出，數字系列中所涉及之 運算種類以及數值大小對於受試者答題表現具有相當的影響。為避免受試者數學先備能 力影響其答題表現，本測驗編製時乃參考 Butterfield 等人( 1985) 對文字系列的研究， 限定各字串數字隱含之關係由 N (+1) 、 I (相同)、 B

(-1

)三者組成。本測驗題目可 簡單分類為單一字串數列以及與兩個字串數列，在單一字串數列中其隱含的數字關係設 定由電腦隨機抽選 3 個至 5 個 N 、 I 、 B 關係組成，例如 :NBN 、 NlBB 、 N lBBI 。在兩個 字串數列中，為考慮版面限制，以及避免受試者因試題週期過長而無法在三個循環內尋 找出其隱含的關係，因此決定分別採用 2 個與 3 個 N 、卜 B 關係組成，例如規則 NIN211N2B2 即由兩個字串所組成，其中字串 l 所隱含的關係為 NI ，字串 2 所隱含的關係為 NNBo 3.決定數Jl1規則:自先前步驟可知無論是單一字串數列或是兩個字串數列其隱含關 係皆是由 3 個至 5 個 N 、 I 、 B 所組成。在抽取出 3 個至 5 個 N 、 I 、 B 關係後，即由電腦 將這些關係加以隨機排列組成各種不同的字串，至此各個數列的規則也皆已確定。 4.決定各字串之起始數字:本測驗題目經由先前的步，驟已大致成形，再給予各個規 則一個適當的起始數字便可產生無數具有相同規則的數列。為避免數值大小影響受試者 解題表現，本測驗設定由電腦隨機抽取 18 至 42 之間的數字作為試題的起始數字，因而 全體試題之數值大小皆介於 10 與 50 之間。 5.矗生配對題:為提供試題分析另一參考指標，測驗編製時每一規則皆給予兩個不 同的起始數值，因此在原始題目中每個規則都有兩題配對題以供參考比較。 6 擱除不含章說麗與決踅擅自之相懿位置:綜合 Butterfield 等人(

1985)

,

Holzman

等人(

1983)

,

Simon 與 Kotovsky

(Simon

&

Kotovs旬，

1963

,

Kotovsky

&

Simon

,

1973)

以及 LeFevre 與 Bisanz

( 1986

)等研究者對於系列完成作業的探討可知，解決有關記憶 數列(例如:

3435 36 37 38 39

...、 404041414242...) 以及非移動，性數列 (22232422 2324... 、 35

3433 3435 3433 34 ...

)問題時僅需以視覺判斷，或是與長期記憶中的記憶 數列對照即可作答。由於本測驗各試題隱含之規則與起始數字皆是由電腦隨機產生，初 步產生之試題包含部分記憶數列以及非移動數列等較不合宣試題，因此測驗設計者以人 工判斷之方式篩檢適當的題目，至此共產生 50 道題目。此外，由於在解決兩個字串系列 作業相較於單一字串系列作業需要更多工作記憶量，為使受試者能較快熟悉測驗題目， 測驗設計者設定前 24 題為單一字串數列，後 26 題為兩個字串數列。而為避免相同規則 試題過於鄰近而產生學習效應，不論單字串題或兩個字串題之試題位置皆由電腦隨機分 派。 7 直生不規則數列:由於本測驗以選擇的方式呈現，每題的選目有四個，若平均分

144

教育，心理學報 配選目出現的次數，每個選目出現的次數應為 12 至 13 次，而測驗設計者於編製之初已 設定每個題目的第四個選目固定為「無法形成規則 J 因此整體試題中應有 12 至 13 題 為不規則數列。為產生不規則數列，測驗設計者自先前知道試題中選取 12 道題以人工 的方式進行數列的破壞。所謂數列的破壞乃自正確數列中隨機選取 1 個數字，將其數值 大小以 r

+1

J 或 r

-1

J 的原則做小幅度的破壞(例如:正確數列的數字為 43 '則以 42 或是 44 取代以破壞試題規則)。經過破壞的 12 道試題中有 6 道題為單一字串數列，

6

道題為兩個字串數列。 8 決2t答案構所在位值與設計選自:為避免受試者因數列循環週期過少無法尋找出 其隱含的關係'試題設計者安排每一試題答案欄於該試題的第三個至第五個循環週期之 中。在挑選完答案欄所在位置後，隨即進行選目的設計。為使選目具有誘答性，每個錯 誤選目的數值皆配合正確答案所在位置，使其符合數字邏輯。 從上述數學測驗編製步驟可知，本測驗的試題成分除了字串個數、字串所隱含的關 係、以及規則破壞與否等三個試題成分為試題設計之初已先行確定外，其餘試題成分皆

由電腦隨機產生。研究者參考 Butterfield 等人( 1985) 、 Holzman 等人(1 983 )、 LeFevre 與 Bisanz( 1986).以及 Simon 與 Kotovsky(

Simon &

Kotovs旬，

1963

,

Kotovsky & Simon

,

1973

)等人對系列完成作業試題特性的研究，逐題分析數學測驗，共計得到八種試題成分: 「字串個數」、「週期長度」、「是否為規則數列」、「是否為移動數列」、「相同數 字是否鄰近」、「單一字串中是否有相同數字」、「單一字串中相同數字個數與該字串 週期長度是否相等」、「字串間是否有假造相同的數字」。這八種試題成分中 r 週期 長度」、「是否為移動數列」、「相同數字是否鄰近」、「單一字串中相同數字個數與 該字串週期長度是否相等」、「字串間是否有假造相同的數字」等五種成分對於數字系 列完成作業試題難度的影響已陸續在過去的研究被討論，本研究除了繼續討論這些試題 成分對於試題難度的影響外，並討論「字串個數」、「單一字串中是否有相同數字」與 「規則或不規則數列」等三種成分對於試題難度的影響。 本測驗之編製雖經由電腦隨機產生題目來減少人為主觀操弄的因素，但這樣的方式 卻也造成 10 個試題週期長度無法確定，以及全體試題中單一字串裡相同數字個數與該字 串週期長度皆不相等。由於本研究目的之一在了解試題成分對於試題難度的影響，因此 研究者僅針對數學測驗中的個週期長度確定的題目作分析，但因為此 40 題在「單一字 串中相同數字個數與該字串週期長度是否相等」一試題特徵上並不真變異性，因此本研 究將不分析此試題成分對於試題難度的影響。有關此 40 題試題成分之統計請見表一。

三、資料分析

(一准試題反應與模式適合度考驗方面:

1.為了解數學測驗之試題反應資料是否呈單一維度，以 TESTFACT(

Wilson

,

Wood

, &

Gibbons

,

1983) 電腦程式中完全訊，息 (full information) 因素分析方法分析測驗反應資料 之維度。 2 為了解數學測驗之試題反應資料是否符合 Rasch 模式，以 BILOG 3 電腦程式進行 適合度考驗。 (::)在試題難度成分分析方面: 1 為了解數學測驗試題成分對試題難度的預測迴歸公式，以 SPSS

for

Windows 電腦 套裝軟體進行多元逐步迴歸分析。 2 為了解數學測驗之試題反應資料在 LLTM 上的表現，以L1NLOG

(Embretson

,

1989

)電腦程式進行試題分析。 以上各項統計考驗中，除了適合度考驗以 α=.001 為顯著水準進行假設考驗外，其餘 各項統計分析皆以 α=.05 為顯著水準進行假設考驗。 表一 數學測驗正式分析試題之試題成分分析統計 字串個數(

S )

週期長度 (P)

S=I

S=2

P=3

P=4

P=5

P=6

24 題 16 題 8 題 16 題 8 題 8 題 是否為規則數列 是否為移動數列 是 否 是 否 31 題 9 題 34 題 6 題 數列相同數字是否鄰近 單一字串中是否有相同數字 是 否 是 否 24 題 16 題 36 題 4 題 單一字串中相同數字個數與該字串週期長 不同字串出現假造相同的數字 度是否相等 是 否

L_~~EJA

O 題 40 題

研究結果與討論

一、因素分析結果與討論 數學測驗完全訊息因素分析結果以及各個試題的因素負荷量如表 2 與 3 所示。有關 因素分析結果的解釋以及因素個數的決定至今尚未達成共識，

Zwick ( 1987

,

p.3 03) 表示

146

教育{，、理學報 在利用 TESTFACT 軟體進行完全訊息因素分析後，若過於依賴卡方檢定所提供的指標， 則容易發生因素個數過多的情形，故此因素個數的決定仍須依賴於傳統心理計量所使用 的指標，諸如因素負荷量、各因素所能提供的變異解釋量、特徵值的大小等來作為取決 的依據。 Reckcase

( 1979

)表示因素分析後，第一個因素的特徵值顯著大於第二個因素 的特徵值，且第一個因素所能解釋的變異量大於 20%時，則該資料大致呈單維度;

Lord

認為第一個特徵值比第二個特徵值大的很多，且第三個特徵值比其他的特徵值大的不多 時，測驗大致成為單維度(引自王實墉'民徊， p.38) 。從表二可知，不論是在投入單 一因素、兩個因素、或是五個因素時，因素 l 所能提供的解釋量皆達 27%以上，第一個 特徵值約為第二個特徵值與第三個特徵值的三倍以上，並且第二個特徵值與第三個特徵 值兩者間相距也不大，因此本資料符合 Reckcase

( 1979

)與 Lord 兩人所提之標準'易言 之，本測驗反應資料應可視為單一維度。 表二 數學測驗之完全訊息因素分析摘要表 (N=446

)

因素 前五大特徵值 個別因素所提供之變異百分比 整體 _卡方 個數 卡方值 改變值

11.95 4.00 2.50 0.94 0.67 27.12

8374.29...

2

12.08 4.20 2.58

1.00 0.79 27.02 8.98

8081.07".

293.22叫

3

12.13 4.26 2.73

1.08 0.83 28.24 8.36

7.17

7955 .3 7叫

125.70...

4

12.14 4.27 2.77

1.1

9 0.86 27.83 9.17

8.08

2.71

7756.25...

199.12...

5

12.17 4.30 2.79

1.22 0.94 29.05 10.69 7.39

3.07

2.49 7706.67...

49.58

p<.OOI

表三各個試題的因素負荷量顯示，除了第 14 題在本測驗上的因素負荷量較低外，其 餘試題因素負荷量皆在 .2 以上。再深入比較規則數列與不規則數列兩類試題因素負荷量 的差異時，可發現 9 題不規則數列與 31 題規則數列在因素負荷量的表現上，若排除第 14 題，則兩類試題並未有顯著的區別，並且 9 題不規則數列並未明顯形成另一因素。綜合 表二與表三的結果可得以下結果:不論是規則數列或是不規則數列，其所測量之心理構 念皆可視為相同維度;易言之，本測驗試題反應資料大致呈現單---維度，符合 IRT r 單 一維度」之基本假設，惟獨造成第 14 題因素負荷量偏低的原因仍待進一步的討論。 由表三可知第 14 題的因素負荷量明顯偏低 (.078) ，似乎意指第 14 題所測量之心 理構念與其他試題有所不同。研究者在檢視其配對題(即第 20 題)於數學測驗上因素負

荷量的表現時，發現該配對題在因素負荷量上的表現頗佳(

.600)

，而兩者之間唯一的 差別在於第 14 題屬於不規則數列，第 20 題屬於規則數列，因此有可能是規則的破壞造 成第 14 題在因素負荷量上的表現不佳。再回頭檢視整體試題時，研究者發現在第 14 題 之前有 4 題不規則數列(第 4 、 5 、 12 、 13 題) ，這四題出現了下述雷同的表現:第 4 題 與第 5 題為連續兩題不規則數列題，而第 12 題與第 13 題也是連續兩題不規則數列題， 其共同的表現是第 5 題的因素負荷量比第 4 題低，而第 13 題的因素負荷量比第 12 題低 ;易言之，在連續性的不規則數列出現時，越是後面的題目因素負荷量越有可能偏低。 而第 14 題正好是續接著第 12 題與第 13 題，在連續三題為不規則數列時，最後一題 om 第 14 題)的因素負荷量表現正好最低。 表三 數學測驗之試題完全訊息因素負荷量一覽表 題號(配對題) 因素負荷量 題號(配對題) 因素負荷量

1

(7)

0

.4

21

21(19)

0

.4

38

2 ( 18)

0

.3

24

22 ( 10)

@0.572

3 (8)

0.537

23 (6)

0

.3

90

4 (24)

@ 0

.3

57

24 (4)

0.701

5 ( 15 )

@0.264

25 (49)

0.561

6 (23)

0

.4

95

26 (50)

0

.4

46

7 (1 )

0

.4

48

28

(3

6)

0.659

8

(3)

0

.4

93

29 (45)

@0

.4

16

9 (1

7)

0.753

31(41)

0.615

10 (22)

0.693

32 (42)

0.678

11 (13)

0.248

33 (4

7)

0.619

12 ( 16)

@ 0

.4

53

35

(3

8)

@0.729

13 (11)

@0

.3

90

36 (28)

0.621

14 (20)

@0.078

38

(3

5)

0.710

15 (5)

0

.4

73

41

(3

1)

0.630

16 (12)

0

.4

25

42

(3

2)

0.777

17 (9)

0.747

45 (29)

0.674

18 (2)

0

.4

86

47

(3

3)

@0.277

19 (21)

0

.4

82

49 (25)

0.574

20 ( 14)

0.600

50 (26)

0.667

註:@表示不規則數列

148

教育{，、理學報 表四 數學測驗之 Rasch 模式試題校準 (N=446

)

題號 b參數

_x

2_{值 自由度} 題號 _b

_參數

x

2_{值 自由度} (配對題) (配對題)

1

(7)

-2.143

3.8

6

21 (19)

-1.845

6.0

6

2 ( 18)

-\.721

20.1

7

22 ( 10)

-3

.4

37

3.0

2

3 (8)

-2.187

3.1

6

23 (6)

-\.977

9.5

6

4 (24)

-3.091

5.7

3

24 (4)

-3.276

7.8

2

5 ( 15)

-2.164

10.2

6

25 (49)

-1.590

8.3

5

6 (23)

-2.143

17.9

6

26 (50)

0.656

14.0

7

7 ( 1 )

-2.232

6.6

5

28

(3

6)

-\.145

25

.4'"

6

8

(3)

-\.938

9.0

6

29 (45)

-2.165

2.0

6

9 ( 17)

-3.843

5

.3

31(41)

-0.268

2 \.6

8

10 (22)

-3.557

6.5

32 (42)

-2.121

15.7

4

11 (13)

-0.183

32.2'"

8

33 (4

7)

-\.364

23.9'"

6

12 ( 16)

-2

.4

82

8.0

6

35

(3

8)

-2

.4

83

18

.4'"

3

13 (11 )

-2

.4

82

7

.3

6

36 (28)

-1.

185

22.1

6

14 (20)

-0

.4

39

60.0'"

8

38

(3

5)

-2

.3

77

24.7'"

3

15 (5)

-1.688

10.9

7

41

(3

1)

-0.247

26

.5'"

8

16 ( 12)

-1.1

45

14.5

7

42 (32)

-1.

791

45.6'"

4

17 (9)

-4.018

0.0

_。

45 (29)

-1.068

25.8'"

6

18 (2)

-1.574

8.1

7

47

(3

3)

-0

.4

28

26.1

8

19 (21 )

-1.900

14.5

6

49 (25)

-1.

845

27.5'"

4

20 ( 14)

-2

.4

29

3.5

5

50 (26)

-0.627

4

\.5 叫

6

平均數

-1.

849

標準差

1.042

總和

642.6'"

213

••• p<.OOI

造成上述情形的原因可能在於受試者作答時不敢確定是否有可能連續兩題都是「不 規則數列 J 因此在過到此類題目時便對於所謂的「正確答案」產生懷疑態度，這種懷 疑正確答案的心態尤其是在面對諸如第 12 、 13 、 14 題等連續三題不規則數列時更有可能 出現。因此，第 14 題因素負荷量的表現不佳，有可能是因為其為連續三題不規則數列中

的最後一題所造成，而並非單純因為其為不規則數列。 表五 數學測驗之二，參數模式試題校學 (N=446

)

題號 題號 (配對

a參數 B參數以值

自由度 (自己對

a參數 b參數 x

2_{值 自由度} 題) 題)

1

(7)

0.510 -2

.4

83

2

.3

5

21(19)

0

.4

64 -2.307

9.8

7

2 ( 18

Y

0

.4

18 -2.349

5.6

6

22 ( 10)

0.638 -3

.3

34

2.6

2

3 (8)

0.605 -2.224

6

.4

5

23 (6)

0

.4

29 -2.639

8

.5

5

4 (24)

0

.4

18

-4

.220

3

.4

3

24 (4)

0.819 -2.679

2.3

5 ( 15)

0.374 -3.243

3.7

6

25 (49)

0.702

-1.

470

9.9

6

6 (23)

0.553 -2.330

5

.4

5

26 (50)

0.730 0.552

10

.5

6

7 ( 1 )

0

.4

91 -2.665

8.2

6

28

(3

6)

1.060 -0.849

6.2

6

8

(3)

0.543 -2.142

4.5

5

29 (45)

0

.4

85 -2.611

6.0

6

9 (17)

1.055 -2.690

_。.5

31 (41)

1.096 -0.218

3.0

5

10 (22)

0.858 -2.815

2.0

32 (42)

1

.3

37

-1.

384

1.

0

2

11 (13)

0.281 -0

.4

00

5.3

9

33 (47)

1.1

45 -0.969

4.3

5

12 ( 16)

0

.4

76 -3.035

9.8

5

35

(3

8)

1.

208

-1.

671

3

.4

2

13 (11)

0

.4

22 -3.358

7

.3

5

36 (28)

1.093 -0.865

5.9

6

14 (20)

0.181 -1.327

8.1

9

38

(3

5)

1.

385

-1.

520

1.

3

2

15 (5)

0

.4

65 -2.111

9.3

7

41

(3

1)

1.1

71 -0.198

7.6

5

16 ( 12)

0

.4

89 -1.387

8.6

7

42

(3

2)

2.113

-1.

038

1.

4

2

17 (9)

1.1

35 -2.702

0.0

o

45 (29)

1.

349 -0.718

0.6

5

18 (2)

0

.4

67 -1.965

5.9

7

47

(3

3)

0.320 -0.771

12

8

19 (21)

0.517 -2.181

14.3

6

49 (25)

1

.2

07 -1.264

7.2

4

20 ( 14)

0.639 -2.368

6.8

5

50 (26)

1.

471 -0

.4

24

6

.4

4

平均數

0.778 -1.859

標準差

0

.4

19

1.045

總和

227

.4

192

在 LeFevre 與 Bisanz

( 1986

)的研究中，安排不規則數列的目的在於 f解數字系列 解題歷程中的「關係偵測」階段是否尚隱含著其他認知歷程。該篇研究雖然提供測驗設

150

教育，心理學報 計另一思考方向，但卻也同時引發另一問題:規則破壞與否是否會影響試題的維度? LeFevre 與 Bisanz

(

1986) 的研究顯然未回答這個問題，但從本研究資料分析結果可知: 偵測數列規則數列與不規則數列的心理能力是同一維度的，因此在編製數字系列完成測 驗時，加入不規則數列試題是可接受的，惟獨當不規則數列試題若發生連續出現時，有 可能出現因素負荷量下降的情形，此為測驗編製時需注意的問題。 二、潛在特質模式適合度分析結果與討論 表四與表五分別為數學測驗在 Rasch 模式以及二參數模式的試題校準。表四顯示本 測驗中第 11 、 14 、 28 、 33 、 35 、 38 、 41 、 42 、 45 、 49 、 50 等 11 個題目在 Rasch 模式上 的適合度未盡理想(卡方值達 .001 顯著水準) ，初步探討其原因時，發現這些題目皆適 配於二參數模式(卡方值未達 .001 顯著水準) ，亦即其鑑別度有所差異。 在深入探討此 11 題未適配題與另外 29 題適配題在的試題成分後，研究者發現這兩 者之間在試題組成成分上並未出現明顯的差異，因此造成未適配試題鑑別度差異應可排 除試題成分之因。再度檢視這 11 個題目與其配對題上的差異時，則發現這些配對題大多 適配於 Rasch 模式，由此看來以相同規則建造出的兩個試題分別適配於不同模式，頗能 確定這背後的原因並非試題成分所造成。

三、試題難度成分分析

←)多元逐步過歸分析結果與討論 表六與表七為數學測驗試題成分對試題難度的多元逐步過歸分析結果(以 F簡稱為

LR 分析，

Li

near Regression Analysis)

，其中預測變項為試題成分(參見表 10) ，效標

變項為 Rasch 模式之 b 參數。由於本測驗中每個試題在試題成分「單一字串中相同數字 個數與該字串週期長度是否相等」上的表現皆為不相等，不具有任何變異性，因此在 LR 分析時並不投入此試題成分。由表六可知「是否為移動數列 J (X4) 、「週期長度 J ( X5) 、「字串間是否有假造相同的數字 J (X6) 、「字串個數 J (X7) 等四類試題成 分與 b 參數具有顯著相關，但是在 LR 分析時只有「是否為移動數列 J (X4) 、「週期 長度 J (X5) 與「字串間是否有假造相同的數字 J (X6) 三類試題成分對於 b 參數真有 正向預測力:其多元相關係數為 .822 '並能提供 64.8%的變異解釋量，而其原始分數迴歸 方程式與標準化分數迴歸方程式分別為

y=

0.702X

4

+O.55IX

s

+0.821

X

6

-5ρ33...

... ... ... ...

...公式(

1 )

z

y

=

0.244Z

4

+O.546Z

s

+0.319Z

6

••••••••••••••.••••••••••••• 公式(

2 )

表六 數學測驗試題成分、試題單程度相關條數與標率化迴歸你數 (β) 一覽表

B

lPL

Xl

X2

X3

X4

X5

X6

β

Xl

-.093

-.068

X2

-.147

-.049

-.032

X3

.073

-.4

08"

-.020

.180

X4

.4

76'"

-.343'

-.109

-.140

.244'

X5

.713'"

-.180

-.094

-.196

‘

302'

.546'"

X6

.5

31'"

.4

08"

-.120

-.167

.210

.294'

.319"

X7

.4

73'"

-.167

-.073

-.4

08"

.343'

.4

80'"

.612.. •.

-.136

註

B_IPL :

Rasch 模式 b 參數 Xl :相同數字是否鄰近 X2: 是否為規則數列; X3: 單一 字串中是否有相同數字; X4: 是否為移動數列 X5: 週期長度 X6: 字串間是否有假 造相同的數字 X7: 字串個數;﹒ P<.05;

•• P<.O I

;叫 P<.OOI 表七 數學測驗多元逐步迴締分析變異數分析摘要表 (N=446

)

源一歸差

來一迴殘

-AU 司 J F3E 司 fro

g-51

-OO 句 J -呵，曲， 1

協

-mm

F

24.910'"

R

.822

昕一的

全體

42.334

39

註預測變項:是否為移動數列 (X4 )、週期長度( X6) 、字串間是否有假造相同的數字 (X7)

;

效標變項: Rasch 模式 b 參數...

p<.OOI

公式(

1

)與公式 (2) 顯示「是否為移動數列 J (X4) 、「週期長度 J (X5) 與「 字串間是否有假造相同的數字 J (X6) 三類試題成分對於 b 參數具有正向的影響力:當 試題具有三種試題成分之一時，其 b 參數估計值將上升;易言之，題目之難度將提高。 這樣的研究結果與過去的研究互有一致與不一致之處，以下將針對本研究所探討的七個 試題成分分析其與試題難度間的關係。 1 就試題成分「是否為移動數列」對於試題難度的影響而言

Simon 與 Kotovsky

(Simon

&

Kotovs旬，

1963 : Kotovsky

&

Simon

,

1973) 的研究中曾

152

教育，心理學報

的工作記憶需求量 (working

memory

demand) 為零，因此其最容易為受試者解決;

Butterfield 等人(1 985 )甚且認為在處理非移動系列時僅需以視覺判斷便可以作答。在本 研究結果中 r 是否為移動數列」一試題成分與試題難度的相關為.476

(p<.OOI)

，並 且對於試題難度具有預測力，其標準化迴歸係數為 .244

(p<.05)

，顯示當試題為移動數 列時，其難度較高;當試題為非移動數列時，其難度較低，如此的結果與 Simon 與 Kotovsky 、 Holzman 等人以及 Butterfield 等人的看法可說是一致。 2 就試題成分「週期長度」對於試題難度的影響而言 「週期長度」為系列完成作業中最顯而易見的試題成分，而部分研究者 (Simon

&

Kotovs旬，

1963 ; Kotovsky

&

Simon

,

1973 ; Holzman

el al.

,

1983) 認為兩者之間應具有正

相關的關係，但過去的研究並未全然支持此論點 (Simon

&

Kotovs旬，

1963; Kotovsky

&

Simon

,

1973; Holzman

et al.

,

1983; Butterfield

el al.

,

1985) 。本研究資料分析結果顯示「

週期長度」與試題難度的相關為 .713

(p<.OOI)

，這表示週期長度越長，則試題難度越

高;此外，本研究結果並顯示週期長度對於試題難度具有預測力，其標準化迴歸係數為

.610 。這樣的研究結果雖然與 Simon 與 Kotovsky 、 Holzman 等人，以及 Butterfield 等人

研究結果不符，但卻與 Simon 與 Kotovsl可以及 Holzman 等人的看法一致。

在比較本研究與 Simon 與 Kotovsky 、 Holzman 等人，以及 Butterfield 等人研究設計

上的差異後，研究者發現以往研究所分析的系列問題週期長度侷限於 2-4之間，而本研 究所分析之數學測驗的週期長度共計有 3 、 4 、 5 、 6 等四種。在解決系列問題時，規則週 期的察覺是需要足夠的循環次數才有可能。以數字系列完成作業為例，在版面的限制之

下，若一頁的寬度能出現 20 個數字，對於週期為 4 的題目而言，其可能出現的循環次數

將近為 5 次，但是對於週期為 6 的題目而言，其可能出現的循循次數卻只有 3 次，對於 具有相同規則的數列，循環次數越多，其關係越容易被偵測出乃是必然的現象，反之， 則受試者在有限的線索之下做出正確反應的機率也將更小。 此外，以 Rasch 模式 b 參數為依變項 r 週期長度」與「相同數字是否鄰近」為自 變項進行二因子變異數分析結果顯示「週期長度」與「相同數字是否鄰近」兩者間存在 交互作用 (F=15.026，

p<.OOI)

，這表示當試題週期越長，且相同的數字不鄰近時，其試 題難度將提高。 綜合上述討論可知 r 週期長度」對於試題難度的影響，除了其本身的特性使然外 ，該成分與「相同數字是否鄰近」也會對試題難度產生交互作用的影響。 3.就試題成分 r 字串間是否有假造相同的數字」對於試題難度的影響而言

試題成分「字串間是否有假造相同的數字」最先為 Simon 與 Kotovsky

(Simon

&

Kotovsl句，

1963; Kotovsky

&

Simon

,

1973) 所注意，在其研究中顯示關係 I 雖然比關係 B 與關係 N 容易為受試者所偵測出，但是當系列包含著假造相同的字母或數字時，關係 I

的存在反而會增加試題的難度。本研究分析結果顯示「字串間是否有假造相同的數字」 一試題成分與試題難度相關為 .531 (籽.001) ，並且對於試題難度具有正向預測力，其

標準化迴歸係數為.3 19

(p<.Ol

)。如此的研究結果不但與 Simon 與 Kotovsky

(Sìmon

&

Kotovs旬，

1963; Kotovsky

&

Sìmon

, 1973)所提之論點一致，並且也與 Butterfield 等人(

1985

)的研究結果相符。在 Butterfield 等人( 1985) 的研究也顯示，字串間若出現假造相同 的字母時，其試題難度將相度增加，並且此試題成分對於試題難度真有正向預測力。 研究者認為「字串間是否有假造相同的數字」之所以會促使試題難度增加是因為當 字串間存在假造相同的數字時，將使得整個系列以及個別字串的週期辨識更加困難。 Sìmon 與 Kotovsky 的研究中便曾提到，一旦受試者無法順利尋找出系列的週期，則答對該系列

的可能性幾近為零。以數列 SI “20 20 19 21 21 18 22 22 17...~"以及數列 S2“20 20 20 21 21 20

22 22 20 23 23

20...."為例，數列 SI 中相同的數字 20 、 21 、 22 在整個系列問重複出現， 而數列缸中相同數字 20 也重複出現在整個系列之間，但是數列 SI 中相同的數字 20 、 21 、 22 的功能卻是使得週期更容易辨識(鄰近法) ，而數列 S2 中假造相同的數字 20 卻是 使得數列的週期變得更模糊不易辨識。因此研究者認為「字串間是否有假造相同的數字 」一試題特徵之所以對於試題難度真有決定性的影響是主要是因為該試題特徵會影響到 週期的辨識。 4 就試題成分「字串個數」對於試題難度的影響而言 「字串個數」一試題成分首先為 Butterfield 等人( 1985) 所提出，不過 Butterfield 等 人提出此試題成分之目的在於解說試題規則的構成，而不在用以說明試題難度的來源。 本研究分析結果顯示，字串個數與試題難度兩者間具有正相關(

r= .4

73

,

p< .001

)易 言之，字串數越多，則試題難度越高。但在深入了解字串個數與試題難度的關係後，研 究者發現這兩者之間的關係尚牽涉到其他的因素。以本研究所分析的數學測驗而言，前 24 題為單一字串題，後 16 題為兩個字串題。就單字串題而言，其週期長度為 3 、 4 、 5

'

而兩個字串題的週期長度為 4 與 6 。從先前的討論可知，週期長度對於試題的難度具有 正相闕，並有相當的預測力，週期長度分配上的不等有可能是促使兩個字串題較單字串 困難的原因。 此外，本測驗中另外一個具有預測力的試題成分「字串間是否有假造相同的數字」 也可能是促使兩個字串題較單字串題困難之原因。所謂「字串間是否有假造相同的數字 」是指在不同字串中出現相同的數字，因此其前提必須有兩個(或以上)的字串才有可 能出現假造相同的數字。本測驗的類別侷限於單字串數列與兩個字串數列，在單字串數 列中是不可能出現假造相同數字的情形，而兩個字串數列中出現假造相同數字的題目多 達 8 題，這兩者之間的差別也可能造成兩個字串數列較單字串數列困難。 除了上述因素外，數學測驗中兩個字串題皆為移動數列，而「是否為移動數列」除

154

教育，心理學報 了與難度具有正相關外，並能預測試題難度，有可能藉由如此間接的歷程，而使得「字 串個數」與試題難度兩者之間具有顯著的相關。綜合上述之推論可知，在本研究中「字 串個數」與試題難度具有正相關的可能因素是多重的，雖然 Bu的erfield 等人的研究並未 支持「字串個數」與試題難度兩者可能存在的關係，但是就本研究而言，這樣的結果應 屬合理。 5 就試題成分「相同數字是否鄰近」對於試題難度的影響而言 Holzman 等人(1 983 )的研究中曾提及，用以發現數列週期的方法有「鄰近法 J(

adjacent

approach) 與「非鄰近法 J

(nonadjacent

approach) 兩種，其中鄰近法較非鄰近法易於發 現週期，易言之，當相同的數字正好鄰近時，則週期長度較易於確認。 Butterfield 等人(

1985

)也主張，當相同的文字比鄰時，受試者易於將其視為同樣的區組，因此試題難度 將降低。這兩位學者的皆傾向認為相同數字鄰近時試題難度會下降，然而本研究分析結 果卻顯示在數學測驗中「相同數字是否鄰近」與試題難度的相關並不明顯(r=-.093 ，

p>

.05

研究者進一步利用 Rasch 模式 b 參數為依變項 r 相同數字是否鄰近」與「週期長

度」為自變項進行二因子變異數分析後，發現「相同數字是否鄰近」與「週期長度」兩

者之間具有交互作用 (F=6.675 ，

p<.OOI)

，因此「相同數字是否鄰近」對於難度的影響 須視「週期長度」而定(詳見表八)。此外 r 本目同數字是否鄰近」與「字串個數」兩 者之間亦具有交互作用 (F=10.338，

p<.OI)

，因此「相同數字是否鄰近」對於難度的影 響亦須視「字串個數」而定。 表八 「相同數字是否鄰近」試題與「不同過期長度」試題之難度平均數摘要表 試題成分 週期長度=3 週期長度=4週期長度=5 週期長度=6 .L:>口‘

相同數字不鄰近|

-2.l

I .

(N=2)

(N=6)

(N

=4)

(N

=4)

(N=16)

相同數字鄰近 A 1=1

-3.5

-1.

7

-1.

9

-1.

2

-1.

9

(N=6)

(N=10)

(N=4)

(N=4)

(N=24)

-3.2

(N=8)

-1.

8

(N=16)

-1.

7

(N=8)

-0.7

-1.

8

(N=8)

(N=40)

上述兩個二因子變異數分析結果顯示 r 相同數字是否鄰近」與試題難度的關係尚 須視「週期長度」以及「字串個數」兩試題成分的影響而定。若相同的數字是出現在同 一字串，則該字串的週期長度會因為這些相同數字的存在而更容易辨識(鄰近法) ，但 如果相同的數字是發生在不同字串，則不同字串中相同的數字(亦即「假造相同的關係 J )反而會提高試題難度。同樣以數列 SI “20

20 19 21 21 18 22 22

17...."以及數列 S2'‘2020

2021 21

20222220232320...."為例，數列 S) 中相同的數字是出現在同一字串，因此利 用鄰近法便能很快地先找出該字串的週期，更進而找出整個系列的週期;而數列 S2 中假 造相同的數字 20 卻是使得數列的週期變得更模糊不易辨識。也因此，單視「相同數字是 否鄰近」是難以決定試題難度的，因為該試題成分尚且會與「週期長度」以及「字串個 數」發生交互作用。 表九 「相同數字是否鄰近」試題與 r 不同字串個數」試題之難度平均數摘要表 試題成分 相同數字不鄰近 相同數字鄰近 A ):J 字串個數=1 字串個數=2 A 口

-1.

7

-1.

7

-1.

7

(N=8)

(N=8)

(N=16)

-2.5

-0.7

-1.

9

(N=16)

(N=8)

(N=24)

-2.2

-1.

3

-1.

8

(N=24)

(N=16)

(N

=4

0)

6 就試題成分「是否為規則數列」對於試題難度的影響而言

LeFevre 與 Bisanz

(

1986

)的研究中會比較規則數列、無效數列(

invalid number series

)與不規則數列 (anomalous

number

series) 三者之間反應時間的差異，其中所謂的無效

數列係將規則數列予以小幅度的破壞，不規則數列則是將規則數列予以大幅度的破壞。 該篇研究指出，就計數數列而言，無效數列反應時間較規則數列長，而規則數列反應時 間叉較不規則數列長。若就非計數數列而言，無效數列所需反應時間最長，規則數列次 之，不規則數列所需反應時間最短。由於本研究所分析之數學測驗中的不規則數列乃是 將規則數列予以 +1 或一 l 的小幅度破壞，因此按照 LeFevre 與 Bisanz

(

1986) 的分類應 屬於無效數列。 數學測驗的分析結果顯示「是否為規則數列」一試題特徵與試題難度之相關為-.147

( p>.05)

，這樣的數據雖未達統計上的顯著水準，但卻晴示著規則的破壞可能會促使 試題難度的降低。如此的研究結果似乎是與 LeFevre 與 Bisanz

(

1986

)的研究結果相違 背的，但是在深入比較兩個研究設計上的差異便能了解其中的原因。為避免受試者數學 先備能力平擾其在數學測驗上的表現，在本研究中使用的數列題材所涉及的關係侷限於 I 、 N 、 B 三者，在這樣的數字關係組合下，數學測驗中的字串全為「言己憶字串 J (即計數 字串)。一旦受試者能夠尋找出該數列所組成的字串，則運用「記憶字串的再認」、「 檢視」與「自我終止」策略便能很快判斷出試題的正確答案。以系列 S)“32

33 34 33 34 35

3435 3635 35

37...."魚例，一日學試者自E帶智主乃由凋間長瞎斗的單一聿串戶仔細成的數

156

教育Il，、理學報 列，則受試者只要依此規則順數便能很快地辨識出最後一個週其中有不規則的數字包含 在其中。 LeFevre 與 Bisanz

(

1986) 的研究雖然顯示這樣的認知歷程是出現在不規則數列(大 幅度規則破壞) ，但是在本研究中所使用多為記憶字串的情況之下，規則的破壞可能反 而促使受試者運用「記憶數列的再認」、「檢視」與「自我終止策略」等認知策略而使 得題目變簡單。因此，本研究結果雖然與 LeFevre 與 Bisanz

(

1986) 的研究結果不符， 但這兩者闊的差異在於試題的型態，而非概念上的差異使然。 7 就試題成分「單一字串中是否有相同數字」對於試題難度的影響而言 試題成分「單一字串中是否有相同數字」的類似概念對於試題難度的影響曾先後於

Simon 與 Kotovsky

(Simon

&

Kotovs旬，

1963; Kotovsky

&

Simon

,

1973)

'Holzman 等人

( 1983)

，御街rfield 等人( 1985) 的研究被討論。在 Simon 與 Kotovsky(

Simon

&

Kotovs旬，

1963; Kotovsky

&

Simon

,

1973) 的研究中曾提及受試者係藉由發現關係 I 的存在而發現週

期，並且關係 I 比關係 B 與關係 N 容易為人所覺察，不過在某些含有假造相同字母的系 列中，關係 I 的存在反而讓週期的觀察變得更困難; Holzman 等人( 1983) 主張在觀察 數列的週期時 r 鄰近法」比「非鄰近法」容易找出數列的週期，其中鄰近法乃利用系 列中重複的數字作為線索; Butterfield 等人( 1985) 的研究指出由相同字母所組成的非移 動系列最易為受試者覺察，不過若不同字串間出現假造相同的字母時，試題難度則相對 上升。 綜合上述研究結果可知 r 單一字串中是否有相同數字」可以說是一個複雜的概念 ，與其相關的概念至少尚包括「相同數字是否鄰近」以及「不同字串間是杏出現假造相 同的數字」。以往的研究多未直接探討「單一字串中是否有相同數字」對於試題難度的 影響，有可能真正影響試題難度者不在於「單一字串中是否有相同數字 J 而是在於單 一字串中相同的數字是呈現如何的組合型態。本研究結果顯示「單一字串中是否有相同 數字」與試題難度間的相關為 .073

(p>.05)

，似乎意味在數學測驗中，若該數列出現 相同的數字，則試題難度有提高的可能性。 研究者認為「單一字串中是否有相同數字」對於試題難度的影響需視單一字串中相 同的數字是呈現如何的組合型態。以系列 SI ‘ 101140111241121342....' 、系列 S2'IOI0

40111141121242....'

'以及系列 S3 ‘ 10

10 14 11 II 13 12 12

12....'等三個系列為例，這 三個系列中單一字串皆包含有相同的數字，但是在比較 SI 與 S2 時，就可以發覺缸中相 同的數字是鄰近的，所以可以馬上判斷出週期與規則 o 在比較 S2 與 S3 時，交可以發覺 S3 中最後 3 個相同的數字反而使得週期的辨識變得模糊，因為在 S3 中除了單 a字串有相 同的數字外，不同字串間更出現假造相同的數字，因此 S3 父較 S2 困難。再細究整個數學 測驗時，可發現雷同於 SI 、 S2 、 S3 這三類試題的組合普遍散佈在整個測驗。因此，在數

學測驗中「單一字串中是否有相同數字」對於試題難度的影響可能尚需視單一字串中相 同數字的組合型態才能決定，而無法單由該試題成分決定。 表十 數學測驗試題成分 (η) 與多元逐步迴歸預湖費項 (X) 一覽表 題號 ηl η2 η3 η4 η5 η6 η? 題號 ηI η2 η3 η4 η5 η6 η7 (自己對

(X (X (X (X (X (X (X

(X (X (X (X (X (X (X

題)

1)

2)

4) 5) 6)

7)

(配對題)

1)

2) 3) 4)

5)

6)

7)

1

(7)

。

4

_。

21 (19)

_。

5

_。

2 ( 18)

_o

_。

5

o

22 ( 10)

3

o

3 (8)

_。

_o

3

_。

23 (6)

O

4

_。

4 (24)

_。

₃

O

24 (4)

O

_。

3

o

5 ( 15)

O

5

O

25 (49)

_。

O O

6

o

2

6 (23)

_o

₄

_o

26 (50)

O

6

2

7

(l )

_o

₄

_o

28

(3

6)

_o

4

2

8

(3)

。

。

3

_。

29 (45)

4.

₂

9 (1

7)

_O

_o

₃

。

31 (41)

。

6

2

10 (22)

_。

3

o

32 (42)

O O

4

_。

2

11 (13)

O

o

5

_。

33 (47)

O O

6

_。

2

12 (16)

O

4

o

35 (38)

_。

O

4

_。

2

13 (11)

O

5

O

36 (28)

_o

4

2

14 (20)

4

o

38

(3

5)

O

o o

4

O

2

15 (5)

_o

_o

₅

_o

41

(3

1)

_o

₆

₂

16 ( 12 )

_。

O

4

_。

42

(3

2)

_o

_。

₄

_o

₂

17 (9)

O

_。

3

_。

45 (29)

_。

4

2

18 (2)

_。

O

5

O

47

(3

3)

O

6

_。

2

19 (21 )

O

5

O

49 (25)

O

_。

O

6

_。

2

20

(1

4)

O

4

O

50 (26)

O

6

2

註 _{刀 I}

_(Xl

_{)相同數字是否鄰近 TJ2 (X2) 是否為規則數列 TJ}

₃

_{(X3) 單一字串中是} 否有相同數字 TJ

4

(X4) 是否為移動數列 ;η 仆 X5) 週期長度 716 (X6) 字串間 是否有假造相同的數字; η7 (X7) 字串個數。 口 llTM 分析結果與討論

158

教育{J、理學報 本研究除了以迴歸分析的方式來了解數字系列中試題成分對於試題難度的影響外， 並且採用 LLTM 對於數字系列試題成分做線性分析，以了解不同試題成分對於試題難度 的影響力。根據 LLTM 的基本假設，要對試題難度作線性分解，必須先對試題成分有一 明確的界定。有關數學測驗之試題成分請見表十。 表十一與表十二皆為數學測驗在 LLTM 的分析結果;從表 11 可知數學測驗中各個 試題成分對於試題難度的加權值，其中「單F一字串中是否有相同數字 J (η3 )、「是否 為移動數列 J (η4) 、「週期長度 J C- η 5 ) 、「字串間是否有假造相同的數字 J (η6 )等四個試題成分對於難度的影響方向是正向的，當試題具有這些成分時，其難度將上 升 r 相同數字是否鄰近 J (η1) 、「是否為規則數列 J (η2) 與「字串個數 J (η7 )等三種試題成分則是對難度的影響是負向的，當試題具有這些成分時，其難度將下降 。利用這些加權值，可得到題目難度 (σ) 與試題成分 (η) 關係式為: σ =-.28688x ηl 一 .036756x η2

+

.73496x η3

+

.63617xη4

+

.55714xη 5

+

.98217xη6 -.17868xη7-3.4200...

...

....公式(3) 利用上述公式(3) ，即可計算出表十二中 LLTM 正規化試題難度參數 (σ) ，由 於該表中的兩種參數皆已正規化，因此可以直接比較兩者之數值;從該表可知利用 LLTM 所估算出的試題難度參數 (σ) 與 Rasch 模式正規化試題難度參數 (b) 兩者之間的相關 達 .845 (p<.OOI) 。此外，在 Rasch 模式正規化試題難度參數 (b) 與 LLTM 試題難度參 數 (σ) 兩者差異比較所得之卡方值為 756.00

(df=33)

，顯示利用 LLTM 與利用 Rasch 模式所得之難度參數兩者問是具有顯著差異的。 在此值得注意的是表十二中 Rasch 模式正規化試題難度參數 (b) 值與先前表四所報 導之 Rasch 模式試題校準 b 參數二者之差別。這兩者皆為數學測驗之難度指標，而表十 二所報導之值乃經正規化所得之參數，表四所報導之值則未經正規化，因此兩者意指相 同的試題難度，其差異在於兩者建基於不同的量尺上，而非本質上的差異 o 此外，表十二有關數學測驗之 LLTM 分析結果亦顯示，在數學測驗中各個試題成分 對於試題難度的影響方向並不一致，而 LLTM 模式並未適當匹配 Rasch 模式 (

X

2:: 756.00

,

df=33

)。然而兩模式所推估之難度指數具有高度正相關(r=.845 )。由於 LLTM 與本研 究所使用的另一分析方法 LR 分析皆在了解試題成分對試題難度的影響，因此比較這兩 者之異同將能更清楚地看出在數字測驗中各試題成分對於試題難度影響的相對重要性。 由表十三數學測驗在 LLTM 與 LR 分析中試題成分加權值一覽表可看出一個趨勢: 不論是在 LLTM 或是 LR 分析中 r 單一字串中是否有相同數字」、「是否為移動數列 」、 「週期長度」、「字串間是否有假造相同的數字」等四種試題成分都能使試題難度

表十一 數學測驗在 LLTM 試題成分加權值一覽表 表十二數學君的驗 LLTM 正規化試題難度參數 (σ) 與 Rasch 模式正規化試題難度參數 (b) 之比較

(N=446 )

題號

_LLTM

Rasch模式 題號

LLTM

Rasch模式 (配對題)難度參數 (σ) 難度參數 (b) (配對題)難度參數 (σ) 難度參數 (b)

1

(7)

-0.28538

-0

.3

1609

21 (19)

0.27176

-0.00754

2 ( 18)

0.55864

0.12115

22 ( 10)

國0.87927

-1.

60744

3 (8)

-0

.5

5563

-0

.3

6145

23 (6)

-0.28538

-0.12496

4 (24)

-1.

51544

-1.

26715

24 (4)

-1.

47869

-1

.4

4943

5

(1

5)

-0

.4

0117

-0

.3

3862

25 (49)

0.20214

0.25901

6 (23)

-0.28538

阱。.31609

26 (50)

1.63238

2

.4

7812

7 (1 )

-0.28538

-0

.4

0802

28

(3

6)

0.51811

0.72585

8

(3)

-0.55563

-0.10488

29 (45)

0

.4

8136

-0.33862

9 (1

7)

-1

.4

7869

-2.01136

31(41)

1.63238

1.64034

10 (22)

-0.84251

-1.

72673

32 (42)

-0.17717

-0.29384

11 (13)

0.55864

1.72823

33 (47)

0.93710

0

.4

9625

12 (16)

-0.03525

-0.66234

35

(3

8)

-0.94889

-0.66234

13

(1

1)

0.52189

-0.66234

36 (28)

0

.5

1811

0.68432

14 (20)

-0.32213

1

.4

6203

38

(3

5)

-0.91214

-0.55586

15

(5)

-0.36441

0.15647

41

(3

1)

1.63238

1.66237

16

(1

2)

0.00150

0.72585

42

(3

2)

-0.17717

0.04862

17 (9)

-1.

47869

-2.11528

45 (29)

0.51811

0.80706

18 (2)

0.55864

0.27563

47

(3

3)

0.90034

1.

47331

19 (21)

0.27176

-0.06536

49 (25)

0.20214

-0.00754

20 ( 14)

-0.28538

-0.60822

50 (26)

1.63238

1.26688

R

(σ'的=

.845 :

X

2=

756.00 (d

f=

33)

160

教育，心理學報

上升，而「相同數字是否鄰近」、「是否為規則數列」、「字串個數」等三種試題成分

則是使試題難度下降，因此這兩種分析方法所得之結果頗為一致。在 Green 與 Smith(

1987

)以 The

Knox Cube 810ck

Test 為題材的研究中，也曾比較利用 LR 與 LLTM 兩種方式對

試題難度作分解，研究結果也支持利用這兩種方式所得之結果雷同。研究者為更進一步 確認這兩種分析方法之間的關係'利用公式 (2) 與公式(3)分別求出數學測驗原始分 數的試題難度預測值 (Y) (參見表十四)以及 LLTM 正規化試題難度參數 (σ) 兩者 間之相關係數，分析結果顯示r=.947

(p<.OI)

·可見這兩種分析方式所得結果確實具有 一致性。 表十三 數學站tJ 融在 LLTM 與 LR 分析中試題成分加權值一覽表 η ， (XI)η2

(X2)

1/

3 (X3)η4 (X4)η5 (X5)η6 (X6)η7

(X7)

常數

LLTM -.28688

-.036756 .73496

.63617

.5

5714

.98217

-.17868

-3

.4

200

LR(β)

-.068

-.032

.180

.244'

.5

46'"

.319'"

-.136

註7J， (X I)相同數字是否鄰近 ;η2 (X2) 是否為規則數列;刀 3 (X3) 單一字串中是否 有相同數字 ;

7J

4

(X4) 是否為移動數列 ;

7J

5

(X5) 週期長度 ;η6 (X6) 字串間是否 有假造相同的數字; η7 (X7) 字串個數;﹒ p<.05

; ••• p<.OO

I 。 表十四 數學測鞍原告台分數試題難度預測值 (Y)- 覽表 題號 題號 題號 題號 (配對 '‘ _{(自己對 (自己對 (配對}

Y

Y

Y

Y

題) 題) 題) 題)

1

(7)

_-2.127

11 (13)

_-1.576

21(19)

_-,

_1.576

33 (4

7)

_-1.

₀₂₅

2 ( 18)

_-1.576

12 (16)

_-2.127

22 (10)

_-2.678

35 (38)

_-2.127

3 (8)

_-2.678

13 (11)

_-1.

₅₇₆

23 (6)

_-2.127

36 (28)

-1.

306

4 (24)

_-3.380

14 (20)

_-2.127

24 (4)

_-3

_.3

₈₀

₃₈

(3

5)

_-2.127

5 (15)

_-2.278

15 (5)

_-2.278

25 (49)

_-1.

₀₂₅

41

(3

1)

_-0.204

6 (23)

_-2.127

16

(1

2)

_-2.127

26 (50)

_-0.204

42

(3

2)

_-2.127

7 ( 1 )

_-2.127

17 (9)

_-3.380

28

(3

6)

_-1.

₃₀₆

45 (29)

_-1

_.3

₀₆

8

(3)

_-2.678

18 (2)

_-1.

₅₇₆

29 (45)

_-1.

₃₀₆

47

(3

3)

_-1.025

9 (1

7)

_-3

_.3

₈₀

19 (21)

_-1.576

31 (41)-

_-0

_.2

₀₄

49 (25)

-1.

025

10 (22)

_-2.678

20 (14)

_-2.127

32 (42)

_-2.127

50 (26)

_-0.204

結論與建議

根據本研究的結果，歸納結論與建議如次。

一、研究發現與結論

(一)在試題反應與模it適合度考驗方面 1 青年智力測驗中的數學測驗預試反應資料大致呈現單一維度。 2 青年智力測驗中的數學測驗預試反應資料大致符合 Rasch 模式。 口在試題難度成分分析方面: 1 青年智力測驗中的數學測驗預試反應資料在 LR 分析中顯示 r 是否為移動數列 」、「週期長度」、「字串間是否有假造相同的數字」以及「字串個數」等四種試題成 分與 Rasch 模式難度參數 (b) 具有顯著相關，其中「是否為移動數列」、「週期長度」 以及「字串間是否有假造相同的數字」三種試題成分對於 Rasch 模式難度參數 (b) 具有 正向預測力，易言之，這三種試題難度將促使試題難度提高。 2 青年智力測驗中的數學測驗預試試題反應資料以 LR 分析所得之試題難度原始分

數迴歸方程式與標準化分數迴歸方程式分別為

Y =

O.702X..+O.551X汁。.821 ~-5.033

Z y=

O.244Z

_x

..+O.546Z

_x5

+O.319Z的

上式中 X

₄

、 X

_s

與几分別為「是否為移動數列」、「週期長度」與「字串間是否有 假造相同的數字」等試題成分。利用上述公式所得之預測難度與實際難度值之間相關為

.822

·顯示預測難度能提供實際難度 64.8%的變異解釋量。 3 青年智力測驗中的數學測驗預試反應資料在 LLTM 與 Rasch 模式兩者間的表現有 顯著的差異 (

X

2

=756.00

,

d

f=

33)

，但兩者之間具有高度的正相關(r=.845 )。此外，利 用 LLTM 所得之試題成分對於試題難度之加權值顯示 r 數列中是否有相同數字」、「 是否為移動數列」、「週期長度」以及「字串間是否有假造相同的數字」等四種試題成 分對於試題難度有正向影響力，亦即這四種試題成分會促使試題難度上升;而「相同數 字是否鄰近」、「是否為規則數列」以及「字串個數」等試題成分對於試題難度有負向 的影響力，亦即這三種試題成分會促使試題下降。 4.青年智力測驗中的數學測驗預試試題反應資料以 LLTM 分析所得之試題成分對試 題難度的關係式為