高二上第二次學藝競試數學3A題庫(40)

(1)

1091 高二數學 3A 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P1

109 高二學競 2 數 A 題庫

一、單選題：(60 小題，每題 1 分，共 60 分) 1. （）如圖，OABCDE 為坐標平面上一正六邊形，其中 O 為原點，A 點坐標為(2 , 0)，則向量 DE的坐標表示法為 (A)(1, 3) (B)( 1,  3) (C)( 3,1) (D)( 3, 1) (E)( 1, 3) 解答 B 解析作_EF __OA於F。因為O (0 , 0)、A (2 , 0)，且∠AOE = 120°， 所以在△OEF 中，OEOA2、OF1、EF 3。推得E( 1, 3) 。又因為_OD_₂_EF，所以_OD__{2 3}。推得D(0,2 3)。故_DE_{ }_{( 1, 3)}__{(0,2 3)}_{  }_{( 1,} ₃₎

2. （）圖為y2logx、ylogx、y logx與y 2logx的圖形，選出ylogx的圖形。

(A)A (B)B (C)C (D)D

解答 B

解析因為當x1時，

2logxlogx  0 logx 2logx_，

(2)

1091 高二數學 3A 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P2 3. （）若 a = tan1，b = tan2，c = tan3，則 a，b，c 的大小關係為何？(A)a > b > c (B)c > b > a

(C)a > c > b (D)c > a > b (E)b > a > c

解答 C

解析 1 弳 ≈ 57°，2 弳 ≈ 114°，3 弳 ≈ 171°

⇒ tan1 > 0，tan2 ≈ tan114° = − tan66°，tan3 ≈ tan171° = − tan9°，因為 – tan9° > − tan66°，所以 0 > tan3 > tan2，

故tan1 > tan3 > tan2，即 a > c > b

4. （）若 y = 5sinx − 12cosx − 3，則下列何者正確？ (A) − 20 ≤ y ≤ 8 (B) − 16 ≤ y ≤ 10 (C) 17  3 y 173 (D) − 10 ≤ y ≤ 10 (E) 20 y 20 解答 B 解析因為 2 2 2 2 5 ( 12) 5sin 12cos 5 ( 12)     x x   ，所以 − 13 − 3 ≤ 5sinx − 12cosx − 3 ≤ 13 − 3，即 − 16 ≤ y ≤ 10

5. （）f (x) = 5cosθ − 4sinθ 有最大值時，θ 為 (A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角解答 D 解析 cosθ > 0，sinθ < 0 有最大值，所以 θ 為第四象限角 6. （）半徑 4，圓心角 θ = 72°，求 θ 所對的扇形面積是 (A)2 5  (B)4 5  (C)8 5  (D)16 5  (E)32 5  解答 D 解析 72 2 5     ，所以所求面積 1 2 2 16 4 2 5 5       7. （）關於兩函數y2x與 1 2 x y      圖形的敘述，下列哪一個選項正確？ (A)兩圖形不相交 (B)兩圖形對稱於 x 軸 (C)兩圖形均在 x 軸上方(D)_y2x_{的圖形恆在} 1 2 x y      的圖形上方解答 C 解析兩圖形如下圖所示，觀察可得僅有「兩圖形均在 x 軸上方」正確。

(3)

1091 高二數學 3A 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P3 8. （）設asin 2，選出正確的選項。 (A) 3 2 2 a 2     (B) 2 1 2 a 2     (C) 2 3 2  a 2 (D) 3 1 2  a 解答 D 解析因為 3.14，所以 2 2 2 3  _{ }  。觀察ysinx的圖形，發現當 2 2 x 3     時， sin y x為遞減函數，因此可得 3 sin 2 1 2   9. （）下列選項中有一個是 y = log0.6x 的圖形，選出正確的選項？ (A) (B) (C) (D) 解答 D 解析因為 0.6 log 1 log log log 0.6 log 0.6 x y x _ _ x   ，其中 1 1 0 log0.6 log6 1 t    ，所以ytlogx（t < 0）的圖形為嚴格遞減、以 y 軸為漸近線、恆在 y 軸右方、凹口向 上、必過(1, 0) 10. （）設 a > 1，若 y = f (x) = a − x與y = g(x) = logax 的圖形皆在圖中， 則下列的圖形中，何者為y = f ( − x)與 y = − g(x)的圖形？ (A)BA (B)CA (C)DA (D)CE (E)DE

解答 B

解析 (I)因為a1，所以_y _{f x}( )_ax_的圖形為

D，

而y f(x)與y f x( )的圖形對稱於y_軸，

故y f(x)的圖形為C。

(II)因為a1， log 1 log

log log x y x a a    _ _   ，其中 1 0 log a  ，所以yg x( )log_ax的圖形為B。而y g x( )與yg x( )的圖形對稱於x軸，故y g x( )的圖形為A A x y B C D E O

(4)

1091 高二數學 3A 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P4 11. （）求sin 3 cos3 sin cos       (A)0 (B)1 (C) − 1 (D)2 (E) − 2 解答 D 解析 3 3 2 2

sin 3 cos3 3sin 4sin 4cos 3cos

(3 4sin ) (4cos 3)

sin cos sin cos

      _ _              = 6 − 4(sin2_{θ + cos}2_{θ) = 6 − 4 = 2} 12. （）下列哪一個數最小？ (A)0.9 − 3.6 (B)0.9 − 2.6 (C)0.9 − 1.6 (D)0.9 3 (E)0.9 5 解答 C 解析指數中以− 1.6 為最大，所以 0.9 − 1.6為最小 13. （）下列哪一個三角比值最大？ (A)sin 6  (B)cos 5 

(C)sin1 (D)cos1 (E)sin2

解答 E

解析 1 弳 ≈ 57°，所以sin sin 30

6

 _ _

，cos cos36 sin 54 5

 _ _{ } _

，sin1 ≈ sin57°， cos1 ≈ cos57° = sin33°，sin2 ≈ sin114° = sin66°，

故sin2 最大 14. （）對任意實數 x 而言， ( 2 2) 3 27x 的最小值為何？ (A)3 (B)3 3 (C)9 (D)27 (E)81 3 解答 C 解析因為底數 27 > 1，又 2 2 2 3 3 x   ，所以 ( 2 2) 2 2 3 2 3 3 3 27x 27 (3 ) 3 9

15. （）下列各式何者的週期為 π？ (A)y = sinx + cosx (B)y = sinx − cosx (C)y = sinxcosx (D)y = 3sinx − 4sin3x (E)y = 4cos3x − 3cosx

解答 C

解析 (A)╳：週期為 2π (B)╳：週期為 2π (C)○： sin cos 1sin 2

2

y x x x，週期為π

(D)╳：y = 3sinx − 4sin3x = sin3x，週期為2

3



(E)╳：y = 4cos3x − 3cosx = cos3x，週期為2

3  16. （）若 n 為正整數，且函數 ( ) 2sin( ) 5 nx f x   的週期不大於1，則 n 的最小值為 (A)29 (B)30 (C)31 (D)32 (E)33 解答 D 解析週期 2 10 1 5 n n      ⇒ n ≥ 10π， 又n∈ℕ ⇒ n ≥ 32

(5)

1091 高二數學 3A 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P5 17. （）審計工作者會使用班佛法則來查帳。班佛法則是：「銀行存款的最高位數字是a 者的比

例約為log(1 1) a

 」。根據班佛法則，銀行存款的最高位數字是4，5，6 或 7 者的比例約有

（log2 ≈ 0.3010） (A)20% (B)30% (C)40% (D)50% (E)60%

解答 B

解析銀行存款的最高位數字是 4，5，6 或 7 者的比例約有

1 1 1 1

log(1 ) log(1 ) log(1 ) log(1 )

4 5 6 7

      

5 6 7 8

log log log log

4 5 6 7

    log(5 6 7 8) log 2 0.3010 30% 4 5 6 7

      

18. （）若函數 y = f (x) = 3cos2x + 2sinxcosx + sin2x，則下列何者正確？ (A)y = f (x)的振幅為 2 (B)y = f (x)的週期為 2π (C)y = f (x)的圖形對稱於 y 軸 (D)y = f (x)的圖形恆在 x 軸的上 方 (E)y = f (x)的圖形通過原點

解答 D

解析 3cos2 2sin cos sin2 3 1 cos 2 sin 2 1 cos 2

2 2

x x

y x x x x    x 

2 cos 2 sin 2 2 2 sin(2 ) 2 2 0 4   x x  x    ， (A)╳：振幅為 ₂ (B)╳：週期為 π (C)╳：不對稱於 y 軸 (D)○ (E)╳：令 x = 0，y ≠ 0 19. （）若₂_OC_₅_OA_₃_OB且AB8，則BC的長為 (A)4 (B)8 5 (C) 8 3 (D)10 (E)20 解答 E 解析將₂_OC_₅_OA_₃_OB變形為₂_OC_₂_OB_₅_OA_₅_OB，即2_OC OB _5_OA OB _    ，由向量的拆解，可得₂_BC_₅_BA。因此，2 5 5 5 5 8 20 2 2 2 BC  BA  BC  BABC AB   20.（）如圖所示，兩直線OA與OB交於O點，已知向量 2 4 5 5 OP OA OB，選出終點P所在區域的選項。 (A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ (E)Ⅴ 解答 B 解析如圖，利用向量加法與2 5, 4 0 5  且 2 4 1 5 5 ，即可判斷P點會落在區域Ⅱ

(6)

1091 高二數學 3A 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P6 21. （）鐘面上時針的長度為 1，分針的長度為 2，求由 4 點 15 分到 5 點整，這段時間內長針 和短針所掃過的面積比為 (A)48：1 (B)3：16 (C)16：3 (D)59：30 解答 A 解析分針走 45 分 45 6 270 3 2        ， 2 2 1 1 1 1 1 3 2 3 2 2 2 A  r      ，時針走 1 45 6 12 8      ， 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 8 16 A   r      ，所以 1 2 3 48 1 16 A：A  ：  ：

22. （）設正實數b滿足



log100 log



b



log100 log b7。試選出正確的選項。 (A)1 b 10 (B) 10 b 10 (C)10 b 10 10 (D)10 10 b 100 (E)100 b 100 10

解答 D

解析因為log1002_，

所以2logb 2 logb73logb5 log 5 3 b   ，解得_b₁₀53。又因為₁₀32 ₁₀53₁₀2，所以10 10 b 100 23. （）將函數 y = sinx 的圖形水平伸縮為1 2倍，再向左平移 6  個單位，所得新圖形的函數為何？ (A) sin(2 ) 6 y x (B) sin(2 ) 6 y x (C) sin(2 ) 3 y x (D) sin(1 ) 2 3 y x (E) sin(1 ) 2 6 y x 解答 C 解析 y = sinx水平伸縮為倍12 y = sin2x 6  向左平移單位 sin[2( )] sin(2 ) 6 3 y x  x ，所以所得新圖形的函數為 sin(2 ) 3 y x 24. （）已知 a = sin5，選出正確的選項： (A) 1 1 2 a     (B) 1 0 2 a    (C)0 1 2 a   (D)1 2 2 a 2 (E) 2 1 2  a 解答 A

(7)

1091 高二數學 3A 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P7 解析因為 π ≈ 3.14，3 4.71 2   ，11 5.76 6   ，如圖所示：所以由圖可知 1 1 2 a     25. （）坐標平面上滿足10x100y 1000的所有點



x y,



所形成的圖形為下列哪個選項？ (A)一個點 (B)一直線 (C)兩直線 (D)一個二次多項式的函數圖形解答 B 解析利用指數律，由10x100y 1000_可得 2 3 10x10 y 10 ，化簡得10x2y 103，即x2y3_{，此為直線方程式} 26. （）將正弦函數 y = sinx 的圖形向右平移 1 單位，再上下伸縮為 2 倍而得出的是下列哪個函 數的圖形？ (A)y = 2sin(x − 1) (B)y = 2sin(x + 1) (C)y = − 2sin(x − 1)

(D)y = − 2sin(x + 1) (E)y = 1 + 2sinx

解答 A

解析 y = sinx向右平移單位1 _{y = sin(x − 1)}上下伸縮為倍2 1 _sin( ₁₎

2y x ，所以所求函數為y = 2sin(x − 1) 27. （）滿足不等式 1

 

10 2001 101 x   的整數x 共有多少個？（log20.3010_{）(A)9 個 (B)10 個} (C)11 個 (D)12 個 (E)13 個解答 C 解析由 1

 

10 2001 101 x

  可得log 1 log

 

10 log 2001 101 x   ，利用對數的性質可得log 1 log 2001 101 2 x   。因為log 1 log 1 2 101 100  且

log2001 log2000 log2 log1000 3.3_，

所以 2 3.3 2 x    ，即  4 x 6.6。因為x 為整數， 所以x   4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6，共11 個

(8)

1091 高二數學 3A 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P8 28. （）設 ABCD 為一平行四邊形，則下列何者正確？ (A)_AB__AD__BD (B)_{AC DA}_ __AB (C)₍_{AC BA} ₎_DB_CD (D)_{AC CB}_ __BA (E)_{AB BC DC}_ _ __AD 解答 B 解析 (A)_{AB AD}_ __{AB BC}_ __AC (B)_{AC DA}_ __{AC CB}_ __AB (C)₍_{AC BA}_ ₎__DB_₍_{AC CD}_ ₎__DB__{AD DB}_ __AB__DC_{ }_CD (D)_{AC CB}_ _ _AB_{ }_BA (E)_{AB BC DC}_ _ __{AB AD AB}_ _ _₂_{AB AD}_ __AD 29. （）若 n 為滿足不等式 n4 < 106 < (n + 1)4的正整數，則n 的可能值為 (A)29 (B)30 (C)31 (D)32 (E)33 解答 C 解析 ₄ ₆





4 6₄ 10 1 10 1 n   n  n  n ，又 6 3 4 2 10 10  1000，且 ₉₆₁₃₁， ₁₀₂₄₃₂，故 ₁₀₀₀_31. ，即n31

30. （）下列數值何者最接近 3？ (A) 3 cos39 sin39 (B) 3sin39 cos39 (C) 3 cos59 sin59 (D) 3sin 79 cos79 (E) 3 cos79 sin 79 解答 C

解析 (A) 3 cos39 sin 39 2( 3cos39 1sin 39 ) 2sin(39 60 ) 2sin 99

2 2

            

(B) 3 sin 39 cos39 2( 3sin 39 1cos39 ) 2sin(39 30 ) 2sin 69

2 2

            

(C) 3 cos59 sin 59 2( 3cos59 1sin 59 ) 2sin(59 60 ) 2sin119

2 2

            

(D) 3 sin 79 cos 79 2( 3sin 79 1cos 79 ) 2sin(79 30 ) 2sin109

2 2

            

(E) 3 cos 79 sin 79 2( 3cos 79 1sin 79 ) 2sin(79 60 ) 2sin139

2 2              31. （）關於函數

 

1 2 x f x       ，下列哪一個選項正確？ (A)

 

1 2 x f x       的圖形和

 

1 2 x g x       的圖形對稱於y_{軸 (B)}

 

1 2 x f x       的圖形和

 

2 x h x   的圖形對稱於y_{軸 (C)}

 

1 2 x f x       的圖形和_{k x}

 

2x_{的圖形對稱於}_y_{軸 (D)}





 

1000 999 f  f 解答 C

(9)

1091 高二數學 3A 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P9 解析 (A) ( ) 1 2 x f x       的圖形和

 

1 2 x g x       的圖形對稱於x 軸 (B) 1 ( ) 2 x f x       的圖形和

 

2 x h x   的圖形相同 (C) ( ) 1 2 x f x       的圖形和

 

2 x k x  的圖形對稱於y 軸 (D)因為 1 ( ) 2 x f x       是嚴格遞減函數，又1000 999 ，所以f



1000



 f

 

999

32. （）設 a、b 為正實數，已知log7a11、log7b13，問：log7



ab



之值最接近下列哪個選

項？ (A)12 (B)13 (C)14 (D)23 (E)24 解答 B 解析因為log7a11，所以 11 7 a 。因為log₇b13，所以 13 7 b 。







11 13





11



2



7 7 7

log ab log 7 7 log 7 1 7 11

7 7 log 7 log 50 11 2 13      二、多選題：(40 小題，每題 1 分，共 40 分) 1. （）關於函數f x

 

sinx，試問下列哪些選項正確？ (A) 1 f x

 

1 (B)f x

 

在x 時有最小值 (C)f x

 

的週期為2 (D) f x

 

的圖形對稱於原點解答 ACD 解析 (A)○： f x

 

的最大值為1，最小值為1，所以 1 f x

 

1 (B)╳：當x 時，f

 

 sin 0（不為最小值） (C)○ (D)○ 2. （）下列哪些選項可以表示函數 y = loga x 與 y = a − x的圖形？ (A) (B) (C) (D) (E) 解答 AC

解析 log log 1 log

log log a x y x x a a     _ _   ， 1 ( ) x x y a a    。情況1：當a1時，log 0 1 0 log a a    ，且0 1 1 a   ，即 1 log log y x a   _ _   圖形為嚴格遞增、以y軸為漸近線、恆在y軸右方、凹口向下、必過 (1, 0)， y x O 1 1 y x O 1 1 y x O 1 1 y x O 1 1 y x O 1 1

(10)

1091 高二數學 3A 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P10 1 ( )x y a  圖形為嚴格遞減、以x軸為漸近線、恆在x軸上方、凹口向上、必過(0 , 1)。情況2：當0 a 1時，log 0 1 0 log a a    ，且1 1 a  ，即 1 log log y x a   _ _   圖形為嚴格遞減、以y 軸為漸近線、恆在y_{軸右方、凹口向上、必過}(1, 0)_， 1 ( )x y a  圖形為嚴格遞增、以x軸為漸近線、恆在x軸上方、凹口向上、必過(0 , 1)

3. （）下列哪些式子是正確的？ (A)log7( − 3)2_{= 2log7( − 3) (B)log77 = 1 (C)log813 = 4} (D)log6(3 + 4) = log63 + log64 (E)log ₆ 7log67

解答 BE 解析 (A)真數必須為正數 (B) 7 log 7 log 7 1 log 7   (C) 81 log 3 log 3 1 log 3 log81 4log 3 4    (D)左式 6 log(3 4) log 7 log (3 4) log 6 log 6      ，右式 6 6

log 3 log 4 log 3 log 4 log 3 log 4

log 6 log 6 log 6

      log12 log 6  左式右式 (E)左式 1 2 1 2 1 log7 log 7 log7 ₂ log7

1 log6 log 6 _log6 log6 2     右式 4. （）坐標平面上，在函數圖形y2x上，標示A、B、C、D四個點，其x坐標分別為1、 0、1、2。請選出正確的選項 (A)點B落在直線AC下方 (B)在直線AB、直線BC、直線CD中，以直線CD的斜率最大 (C)A、B、C、D四個點，以點B最靠近x軸 (D)直線y2x與 2x y 的圖形有兩個交點 (E)點A與點C對稱於y軸解答 ABD 解析依題意，得 1,1 2 A_ _  ，B

 

0,1 ，C

 

1,2 ，D

 

2,4 (A) 因為 2x y 的圖形凹口向上，所以B在_AC下方 (B)由圖得知_CD的斜率最大 (C)由圖得知點A最靠近x軸 (D)兩圖形恰交於C、D兩點 (E)因為A、C兩點不等高，所以不對稱於y_軸

(11)

1091 高二數學 3A 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P11 5. （）指數函數_y_ax_、_y_bx_、_y_cx_與_y₂x_{的圖形如圖所示，且}_y_cx_與_y₂x_{的圖形對稱} 於y_{軸。選出所有正確的選項。} (A)a2 (B)1 a 2 (C) 1 2 b (D)bc 解答 BD 解析由圖可知：c b   1 a 2，又因為 x yc 與y2x的圖形對稱於y軸，所以 1 2 c

6. （）關於兩對數函數f x

 

logx、g x

 

 logx，選出正確的選項。 (A) f x

 

的圖形在x軸的上方 (B)f x

 

的圖形恆通過點

 

1,0 (C)g x

 

的圖形恆通過點



0, 1



(D)因為

3 2，所以 f

   

3  f 2 (E)f x

 

的圖形與g x

 

的圖形對稱於y軸

解答 BD

解析 (A)╳： f x

 

logx的圖形都在y_{軸右方 (B)○：因為}_f

 

₁ __log1_₀_，所以 _{f x}

 

_的圖形

恆通過點

 

1,0

(C)╳：因為g

 

0  log 0無意義，所以g x

 

的圖形不會過點



0, 1



(D)○：因為 f x

 

logx為嚴格遞增函數，又 ₃ ₂，所以 f

   

3  f 2

(E)╳： f x

 

與g x

 

的圖形對稱於x 軸

7. （）下列何者為真？ (A)log2( − 5)2_{= 2log2( − 5) (B)log2(3 × 5) = (log23)(log25)}

(C) 2 1

2

log 8 log 8 0_(D)log253_{= (log25)}3_{(E)log49 = log23}

解答 CE

解析 (A)真數必須為正數 (B) 2

log(3 5) log 3 log5 log 3 log5 log (3 5)

log 2 log 2 log 2 log 2

 

    

2 2 2 2

log 3 log 5 (log 3)(log 5)

   (C)因為 3 82 且8 2( 1) ( 3) (2 )1 3 ( )1 3 2          ，所以log 82 3且 1 2 log 8 3_，因此 2 1 2 log 8 log 8    3 ( 3) 0 (D)左式 3 3 2

log5 3log5 log5

log 5 3

log 2 log 2 log 2

     _{ } _  ，右式 3 log5 log 2        ，左式右式 (E)左式

log 9 2log 3 log 3 log 4 2log 2 log 2

(12)

1091 高二數學 3A 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P12 8. （）正六邊形 ABCDEF，下列何者為真？ (A)₍_{AB BC} ₎₍_{CD DE} ₎_AE (B)_AC__AF __CF (C)₍_{AC CE} ₎_CB_CD (D) (AD CF )DCAF (E)ADAB BD BD BA 解答 ACDE 解析 (A)○：₍_{AB BC} ₎₍_{CD DE} ₎_{AC CE} _AE (B)╳：_AC__AF__{AC CD}_ __AD (C)○：₍_{AC CE} ₎_CB_{AE CB}  _{AE EF} _AF_CD (D)○：₍_{AD CF}_ ₎__DC_₍_{AD DC}_ ₎__CF __{AC CF}_ __AF (E)○：_{AB BD}_ __AD，_{BD BA}_ __BD_{ }₍ _AB₎__{AB BD}_ __AD

9. （）設 log2.345 = a，log2.346 = b，選出正確的選項： (A)log 0.2345 10

a



(B)log2345 = 1000a (C)log0.02346 = b − 2 (D)log234.6 = b + 2

解答 CD

解析 (A)log 0.2345 log2.345 log 2.345 1 1

10 a

    

(B)log2345 = log(2.345 × 1000) = log2.345 + 3 = a + 3 (C)

2.346

log 0.02346 log log 2.346 2 2

100 b

    

(D)log234.6 = log(2.346 × 100) = log2.346 + 2 = b + 2

10. （）下列哪些三角函數的週期為 ？ (A)ysin 2x (B) sin1 2 y x (C) 1sin 2 y x (D) 1sin 2 2 y  x 解答 AD 解析利用圖形伸縮的概念，可得 (A)函數ysin 2x的週期為2 2  (B)函數 sin1 2 y x的週期為 2 4 1 2  _ _ (C)函數 1sin 2 y x的週期為2 (D)函數 1sin 2 2 y  x的週期為2 2 

(13)

1091 高二數學 3A 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P13 11. （）試求下列何者正確？ (A)cos63°cos18° + sin63°sin18° = 2 2 (B)cos179°cos61° − sin179°sin61° = 1 2  (C)sin20°cos40° + cos20°sin40° = 3 2 (D)sin23°cos68° − sin68°cos23° = 2 2  (E)sin12°cos78° + cos12°sin78° = 1 解答 ABCDE

解析 (A)cos63°cos18° + sin63°sin18° = cos(63° − 18°) = cos45° = 2

2

(B)cos179°cos61° − sin179°sin61° = cos(179° + 61°) = cos240° = cos(180° + 60°) = − cos60°

= 1

2



(C)sin20°cos40° + cos20°sin40° = sin(20° + 40°) = sin60° = 3

2

(D)sin23°cos68° − sin68°cos23° = sin23°cos68° − cos23°sin68° = sin(23° − 68°) = sin( − 45°)

= − sin45° = 2

2



(E)sin12°cos78° + cos12°sin78° = sin(12° + 78°) = sin90° = 1

12. （）選出所有正確的選項。 (A)函數ysinx_{的圖形對稱於原點 (B)函數}ysinx與 sin

y  x的圖形，對稱於y 軸 (C)函數y sinx 的週期是2 (D) 1 sinx1 解答 ABD

解析 (A)○ (B)○：ysinx與y sinx的圖形，同時對稱於x 軸及 y 軸 (C)╳：函數

sin

y x 的週期是π (D)○ 13. （）若

4 2

 _ 

  ，則下列哪些選項恆成立？ (A)sinθ < cosθ (B)tanθ < sinθ (C)cosθ < tanθ (D)cos2θ < sin2θ (E)tan 1tan

2 2  _ _ 解答 CDE 解析 (A)當 4 2  _{ }_  時 ⇒ sinθ > cosθ (B)當 4 2  _{ }_ 

時 ⇒ tanθ > 1，0 < sinθ < 1 ⇒ tanθ > sinθ (C)當

4 2

 _{ }_ 

時 ⇒ tanθ > 1，0 < cosθ < 1 ⇒ cosθ < tanθ (D) 2 2

 _ _{ }_

⇒ sin2θ > 0，cos2θ < 0 ⇒ cos2θ < sin2θ (E)

2 2 tan 2 tan 1 tan 2    _  ，又 8 2 4      ⇒0 tan 1 2    ⇒ 2 0 1 tan 1 2     ，所以tan 2 tan 2   _⇒tan 1tan 2 2  _ _

(14)

1091 高二數學 3A 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P14 14. （）如圖所示，兩射線_OA與_OB交於O 點，若以 O 為始點，則下列選項中哪些向量的終點 會落在陰影區域內？ (A)_OA_₂_OB (B)3 1 4OA3OB (C) 3 1 4OA3OB (D) 3 1 4OA5OB (E) 3 1 4OA5OB 解答 AB 解析 (A)由平行四邊形法則（如圖）知，終點會落在陰影區內 (B)因為3 1 4OA4OB的終點落在AB上，所以當 3 4OAt OB的終點落在陰影區內時， 1 4 t (C)同(B)的解析 (D)同(B)的解析 (E)同(B)的解析 15. （）設 0 < a < 1，關於函數 f(x) = ax，選出正確的選項： (A)f(2) > 1 (B)f(x)的圖形在 x 軸 的上方 (C)若 f(x) = f(2)，則 x = 2 (D)f(x)的圖形凹口向上 (E)若 α < β，則 ( ) ( ) ( ) 2 2 f f f       解答 BCDE 解析函數 f(x) = ax的圖形如下圖所示： (A)╳：由圖可知：f(2) < f(0) = 1 (B)○：f(x)的圖形在 x 軸的上方 (C)○：因為 f(x)的 圖形和x 軸上方的水平線均恰有一個交點，所以當 f(x) = f(2)時，x = 2 (D)○：f(x)的圖 形凹口向上 (E)○：因為 f(x)的圖形凹口向上，所以當 α < β 時，點( , ( ) ( )) 2 2 f f      比點( , ( )) 2 f 2     的位置要高，因此 ( ) ( ) ( ) 2 2 f f f      

(15)

1091 高二數學 3A 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P15 16. （）下圖為函數 y = logax，y = logbx，y = logcx 的圖形。選出正確的選項：

(A)a > 1 (B)b > 1 (C)c > 1 (D)a > b (E)b > c

解答 ABE 解析如圖。 log log log a x y x a   ， log log log b x y x b   ， log log log c x y x c   _，當y1時，分別與三個圖形交於( , 1)a 、( , 1)b 、( , 1)c _，由圖形可知，三個交點由左到右分別為( , 1)c 、( , 1)a 、( , 1)b ，其中點(1, 1)介於( , 1)c 與( , 1)a 之間，故c  1 a b 17. （）下圖是 Γ：y = asinbx 的部分圖形，其中 a > 0，b > 0，則下列哪些敘述正確？ (A)a = 3 (B)b = 3 (C)Γ 的圖形可經由 y = sinx 的圖形先垂直方向伸縮為 3 倍，再水平方向伸縮為1 6倍而得 (D)Γ 的圖形可經由 y = sinx 的圖形先垂直方向伸縮為 3 倍，再水平方向伸縮為1 3倍而得 (E)Γ 的圖形可經由 y = sinx 的圖形先水平方向伸縮為1 6倍，再垂直方向伸縮為3 倍而得 x y O 2 3 1 -2 -1 -3 3 － 6 －

(16)

1091 高二數學 3A 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P16 解答 ACE 解析 (A)○：振幅為 y = sinx 的 3 倍，所以 a = 3（因為 a > 0） (B)╳：x 的係數為 b（b > 0）⇒週期為2 3 b    ，所以b = 6 (C)○：y = sinx3 垂直方向伸縮為倍 y = 3sinx 1 6 水平方向伸縮為倍 y =

3sin6x (D)╳：因為 b = 6，所以不真 (E)○：y = sinx 1

6 水平方向伸縮為倍 y = sin6x3 垂直方向伸縮為倍 y = 3sin6x 18. （）已知

 

a b, 是對數函數ylogx圖形上一點，問：下列哪些選項中的點也會在ylogx的圖形上？ (A)

 

1,0 (B)



10 ,a b1



(C) 1,1 b a  _      (D)





2 ,2 a b 解答 ABD

解析 (A)因為log10_{，所以(1,0)在}ylogx_{的圖形上 (B)因為}log10alog10 log a 1 b，所

以



10 ,a b1



在ylogx_{的圖形上 (C)因為}log1 loga b 1 b

a       ，所以 1 ,1 b a  _     不在 log y x的圖形上 (D)因為 2

loga 2loga 2loga2b，所以



a2,2b



在ylogx的圖形上

19. （）設 G 為△ABC 的重心，則 (A) 1 1 3 3 AG AB AC (B) 1 1 3 3 AG AB BC (C) 2 1 3 3 AG AB BC (D) 1 1 3 3 AG BC CA (E) 2 1 3 3 AG BC CA 解答 AC 解析 (A)△ABC 中， 1 1 2 2 AM  AB AC， 2 2 1( 1 ) 1 1 3 3 2 2 3 3 AG AM  AB AC  AB AC (B)由(A)， 1 1 1 1( ) 2 1 3 3 3 3 3 3 AG AB AC AB AB BC  AB BC (C)同(B)的解析 (D)由(B)， 2 1 2 1 2 2 1 1 2 ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 AG AB BC AC CB  BC  CA BC BC  BC CA (E)同(D)的解析 20. （）如下圖，下列何者為真？

(A)a > 1 (B)b > 1 (C)c > 1 (D)a > b (E)c > d

(17)

1091 高二數學 3A 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P17 解析如圖。 log log log a x y x a   ， log log log b x y x b   ， log log log c x y x c   ， log log log d x y x d   ，當y1時，分別與四個圖形交於( , 1)a 、( , 1)b 、( , 1)c 、( , 1)d _{，由圖形可知，} 四個交點由左到右分別為( , 1)c 、( , 1)d 、( , 1)a 、( , 1)b ，其中點(1, 1)介於( , 1)d 與( , 1)a 之間，故c < d < 1 < a < b 21. （）如圖，A在x軸上，OA OB 2、AOB120，選出正確的選項。 (A)_OA__(2,0) (B)_OB_{ }₍ _3,1) (C)_|_OA_|_₂ (D)_OA__OB (E)AB2 3 解答 ACE 解析 (A)因為A點在x軸上，且OA2，所以OA

 

2,0

(B)因為AOB120，B點的坐標為



2cos120 ,2sin120   





1, 3



，所以OB 



1, 3



(C)_|_OA_|_OA₂ (D)因為_OA與_OB的方向不同，所以_OA__OB (E)利用餘弦定理，得 2 22 22 2 2 2 cos120 4 4 2 2 2 1 12 2 AB              _ _   ，因此，AB 122 3 22. （）如圖，正六邊形ABCDEF中，選出正確的選項。

(18)

1091 高二數學 3A 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P18 (A)_AB BC  _{ } CD DE _AE     (B)ACAF2BC (C) AC CE CB CD  _ _ _     (D) AD CF AF (E)AD BE 2AB 解答 ABCE 解析設O點為正六邊形ABCDEF的中心。 (A)○：_AB BC _{ }  CD DE _AC CE  AE     (B)○：_AC__AF__{AC CD}_ __AD_₂_BC (C)○：_AC CE _CBAE EF  AFCD   (D)╳：AD CF 2AO2OF2_AO OF _2AF   (E)○：_{AD BE}_ _₂_AO_₂_BO_₂_AB 23. （）以下關於函數 y = sin(2x − π)的敘述哪些正確？ (A)圖形對稱於原點 (B)圖形對稱於直 線 4 x (C)函數週期為 2π (D)函數值 y 的範圍為 − 1 ≤ y ≤ 1 (E)圖形可由函數 y = sin2x 的圖形向右平移 π 單位而得 解答 ABD

解析 (A)若點(a,b)在函數 y = sin(2x − π)的圖形上 ⇒ b = sin(2a − π)，x = − a 代入 ⇒ sin( − 2a −

π) = − sin(2a + π) = − sin(2a − π) = − b，所以圖形對稱於原點 (B)設 f (x) = sin(2x − π) ⇒

− 1 ≤ f (x) ≤ 1，又 ( ) sin(2 ) sin( ) 1 4 4 2 f          ，故 4 x 為y = f (x)圖形的對稱軸 (C)週期 2 2   

(D) − 1 ≤ y ≤ 1 (E)函數 y = sin2x 的圖形向右平移 π 單位，得函數 y = sin[2(x − π)] = sin(2x − 2π)的圖形，此非函數 y = sin(2x − π)的圖形

24. （）關於 f (x) = 3sinx − 4cosx 的圖形，下列敘述何者正確？ (A)y = f (x)的圖形可由 y = sinx 的圖形利用伸縮與平移得來 (B)y = f (x)的圖形對稱於 y 軸 (C)若 f (x) = 0，則tan 4 3 x (D)方程式 f (x) = 6 有實數解 (E)存在實數 a 使 a + f (a) = 0

解答 ACE

解析 ( ) 5( sin3 4cos ) 5(cos sin sin cos ) 5sin( )

5 5 f x  x x   x  x  x ，其中sin 4 5  ，cos 3 5   ， (A)y = f (x)的圖形可由 y = sinx 的圖形伸縮與平移而得

(B)y 軸，即 x = 0 ⇒ sin(x − α) = sin( − α) = − sinα 4

5

  非極值，所以y = f (x)的圖形不會

對稱於y 軸 (C)f (x) = 0 ⇒ 3sinx = 4cosx ⇒tan 4 3 x

(D)因為 − 5 ≤ f (x) = 5sin(x − α) ≤ 5，所以 f (x) = 6 沒有實數解 (E)取 − 5 ≤ − a ≤ 5，則 f (a) = − a 必有實數解