國 立 台 灣 師 範 大 學
一 百 學 年 度高 三 科 學 班 數 學 第 一 次 期 中 考 試 題
P. 0 1附 屬 高 級 中 學
第 一 學 期 範圍：第一章~第五章 2011/10/06一、單選題
(每題 4 分，共計 20 分)
( ) 1. 若 a，b Î Z 且 a2 = 4b + 1，則下列何者為真？(A) 4 | (a2 - 1)且 4 | b (B) a，b 均為偶數 (C) a，b 均為奇數 (D) a 為奇數，b 為偶數 (E) a 為偶數，b 為奇數。
( ) 2. 設 i = -1，w =12 (- 1 + 3i)，z1 = i，zn + 1 = w zn+ i，n Î N，則 z24 =
(A) w (B) i (C) w + i (D) 0 (E) -w。
( ) 3. 已知 a 為整數，且 x4 + 4x3 + ax2 - 8x + 6 = 0 有兩個根的和為 0，則 a 的值為
(A) 5 (B) - 5 (C) 3 (D) -3 (E) -6。 ( ) 4. 設 a = 226, b = 316，且已知 log
10 a = 7.8260，log10 b = 7.6336，試問下列何者正確﹖
(A) a 為 7 位數 (B) b 為 8 位數 (C) ab 為 14 位數 (D) ab 為 15 位數 (E) ab 為 49 位數。 ( ) 5. 已知點 P(sinθ secθ, tanθ cosθ)在第四象限內，則 θ 的終邊可能在
(A) 第一象限內 (B) 第二象限內 (C) 第三象限內 (D) 第四象限內 (E) x 軸上。
二、多重選擇題 (每題 6 分，共計 30 分)
※注意：至少有一個選項是正確的，全對得 6 分，只錯 1 個選項得 4 分，只錯 2 個選項得 2 分，其餘不給分 ！！ ( ) 1. 下列敘述何者不正確？
(A) 2i > i (B) 5 + 2i > 4 + 2i (C) i2 < 0 (D) | 5i | > 0 (5) | 3 - 4i | > | 2 + i |
( ) 2. 下列無窮數列，何者收斂？ (A) < 3 1 2 2 + + + n n n > (B) < 1 3 5 2 2 + + -n n n > (C) < 1000 3 999 2 -+ n n > (D) < ( 100 101 )n > (E) < ( -1)n > ( ) 3. 設 f (x) = x3 - 3x2 - 4x + 12，g (x) = x3 - 2x2 - 9x + 18，a Î R，則
(A) f (-2) g(-2) = 0 且 f (-2) + g(-2) ¹ 0 (B)若 f (a) g(a) = 0，f (a) + g(a) ¹ 0，則 a = -2 或-3 (C)若 f (a) g(a) ¹ 0，f (a) + g(a) = 0，則 a = -25 (D)若 f (a) g(a) = 0，f (a) + g(a) = 0，則 a = 2 或 3 (E)若 f (a) g(a) ¹ 0，f (a) + g(a) ¹ 0，則 a ¹ ± 2, ± 3,
-2 5 。 ( )4. 下列各敘述，何者正確﹖ (A) a > 0，x, y
Î
R，若 a x = a y，則 x = y (B) a > b > 0，且 a ¹ 1，b ¹ 1，x,y Î R，若 a x = b y，則 x < y (C) a > x > y > 1，則 loga x > loga y (D) 0 < a < x < y < 1，則 logx a < logy a(E) a > 0，a
¹
1，x1 > x2 > 0，則 loga 2 2 1 x x + > 2 log loga x1+ a x2 。 ( ) 5. ABC 中，若 a + c = 2b，3a + b = 2c，下列何者正確？(A) a : b : c = -3 : -5 : -7 (B) sinA : sinB : sinC = 3 : 5：7 (C) 7ÐC = 60° (D) sinA =
14 3 3 (E) cosB = 14 11 。
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一 百 學 年 度高 三 科 學 班 數 學 第 一 次 期 中 考 試 題
P. 0 2附 屬 高 級 中 學
第 一 學 期 範圍：第一章~第五章 2011/10/06三、填充題
(每格 5 分，共計 50 分) (全對才給分)
1. 設 a = 41-12 5 ，b 為 a 的純小數部分，則 4 a + b 1 之值為 (A) 。 2. 設直線 L 的斜率為 -5 6 ，且與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為 15，試求直線 L 的方程式為 (B) 。 3. 設方程式 x2 + (m - 1)x + m2 = 0 的二根a，b 滿足 0 < a < 1 < b，則實數 m 的範圍為 (C) 。 4. 設 a，b Î N，c Î Z，若 x5- ax4+ x3- 2bx2+ x + 2 有一次因式 x - c，則 a + b + c = (D) 。 5. 設 f (x) = x3+ kx2 +x + m（k, l, m 為常數），若 f (x)滿足下列二條件： f (x)除以 x2 + x + 1 的餘式為 5x - 3， f (x)除以 x -1 的餘式為- 4，求數組 ( k, l, m) = (E) 。 6. 設- 2 x 8，若函數 f (x) = 2x - 2 2 4 + x 的最大值為 M，最小值為 m，則(M，m) = (F) 。7. 有一等比數列 < an > 之第 2 項為 9，第 5 項為 243，若 logb a1 + logb a2 +……+ logb a10 = - 55，求 b 之值= (G) 。
8. 如右圖，ABC 中，若 cosB = 5 4 ，cosC = 5 1 ，BC邊上之高AH ，中線AM ，若MH = 5，求AB= (H) 。
9. x 的方程式 x2 - (tanq + cotq ) x + 1 = 0 有一根為 3 + 10，求 sin4q + cos4q = (I) 。
10. 在一直線上置有木樁 100 支，每支相隔 5 公尺。在第 30 支的地方有一人，想要木樁逐一搬運集中某處，問至搬完，至少應走 (J) 公尺。
