第三章 一元一次方程

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3.1 ͞඀

在小學裡，我們學過方程的初步知識。這一章將在複習小學 所學內容的基礎上，進一步學習方程的知識。 看下面的式子：

1 + 2 = 3、a + b = b + a、S = ab、4 + x = 7。

像這樣表示相等關係的式子，叫作等式。等式中，等號左右 兩邊的式子，分別是等式的左邊與右邊。 關於等式，有下面的性質：等式的兩邊都加上、或都減去、 或都乘以、或都除以(除數不能為零)同一個數，所得到的仍是等 式。 我們來研究上面的最後一個等式 4 + x = 7， 這裡，字母 x 表示未知數。我們來看一看，x 應該取什麼值時， 等式成立(圖 3-1)。 x =？ ↓ 4 + x = 7 圖 3-1 含有未知數的等式叫做方程(亦有課本稱為方程式)。 4 + x = 7 是方程，下面等式 5 2− x = 、1 y2 + =2 4y− 、1 x−2y = 6 中的 x、y 都表示未知數，它們也都是方程。 【ּ 1】 根據下列條件列出方程： (1) 某數乘以 2 再減去 3，得 5； (2) 某數加上 2 再乘以 3，得 12。

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ྋ !! (1) 設某數是 x，那麼，「x 乘以 2 再減去 3，得 5」就 可以表示成方程

2x− = ； 3 5 (2) 設某數是 x，那麼，「某數加上 2 再乘以 3，得 12」 就是 (x+ × =2) 3 12， 即 3(x+2) 12= 。

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根據下列條件列出方程： 1. 某數減去 5，得 4； 2. 某數的 3 倍與 2 之和等於 8。 我們知道，使方程左右兩邊的值相等之未知數的值，叫做方 程的解。例如在方程 4 + x = 7 裡，當未知數 x 的值是 3 時，方程 左右兩邊的值相等，因此 x = 3 時，方程左右兩邊的值相等，所 以 x = 3 是方程 4 + x = 7 的解。只含有一個未知數的方程之解， 也叫做根。例如，也可說 x = 3 是方程 4 + x = 7 的根。 求方程的解之過程，叫做解方程。 【ּ 2】 驗算下列各數是不是方程 2x− = 的解： 3 5 (1) 6x = ； (2) x = 。 4

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ྋ !! (1) 把x = 代入方程， 6 左邊 2 6 3 9= × − = ，右邊 5= 。 ∵ 左邊≠ 右邊， ∴ x = 不是方程 26 x− = 的解。 3 5 (2) 把x = 代入方程， 4 左邊 2 4 3 5= × − = ，右邊 5= 。 ∵ 左邊= 右邊， ∴ x = 是方程 24 x− = 的解。 3 5 說明： 「≠ 」是表示不相等的符號，讀作「不等於」。

ቚ ௫!

1. 驗算下列各數是不是方程6(x+ =3) 30的解： (1) x = ； (2) 5 x = 。 2 2. 驗算下列各數是不是方程 3x− =1 2x+ 的解： 1 (1) x = ； (2) 4 x = 。 2

3.2 Тྋ͞඀

看下面的兩個方程： 1 4 (1) 2 5 (2) x x + = + = ， 。 可以知道，方程(1)的解是 x = 3，方程(2)的解也是 x = 3，就 是說，方程(1)與(2)的解相同。 如果兩個方程的解相同，那麼這兩個方程叫做同解方程。從 上面知道，方程(1)與(2)是同解方程。 方程(2)可以寫成 (x+ + = + ， 1) 1 4 1 就是說，在方程(1)的兩邊都加上 1，就得到與它同解的方程(2)。 一般地，我們有 方程同解原理 1：方程的兩邊都加上(或都減去)同一個數或 同一個整式，所得方程與原方程是同解方程。 再看下面的兩個方程： 1 3 (3) 2 2 6 (4) x x + = + = ， 。 可以知道，方程(3)的解是 x = 2，方程(4)的解也是 x = 2，就 是說，方程(3)與(4)的解相同，因此它們是同解方程。 方程(4)的兩邊是由方程(3)的兩邊都乘以 2 而就得到的。 一般地，我們還有

方程同解原理 2：方程的兩邊都乘以(或都除以)不等於零的 同一個數，所得方程與原方程是同解方程。

ቚ ௫!

(口答) 根據方程同解原理 1 與 2，說明下面各題裡的兩個方程 是同解方程。 (1) 6x− = ， 61 1 x = ； (2) 2 3x+ = − ， 32 4 x = − ； 6 (3) 15x = 25， 3x = ； 5 (4) 2 7 3 x = ， 2x = 21。

3.3 ˘̮˘Ѩ͞඀ᄃι۞ྋڱ

看下面的方程： 4+ = 、3x 7 x+ = −5 7 2x、 2 1 6 3 y− _{= + 。} y 這些方程，只含有一個未知數，並且未知數的次數是一次。這樣 的方程，叫做一元一次方程。 現在，我們運用方程同解原理來解一元一次方程。 【ּ 1】 解方程x− = 。 7 5

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ྋ !! 根據方程同解原理 1，在上面方程的兩邊都加上 7，得 7 7 5 7 x− + = + ； 合併同類項，得 12 x = 。 為了驗算解方程時的計算有沒有錯誤，可以把求得的解 代替原方程中的未知數，檢查方程左右兩邊的值是不是 相等。 把x =12代入原方程， 左邊 12 7 5= − = ，右邊 5= ，左邊 = 右邊， 所以x =12是原方程的解。 【ּ 2】 解方程 7x =6x− 。 4

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ྋ !! 根據方程同解原理 1，在上面方程的兩邊都減去 6x ，得 7x−6x = 6x− −4 6x； 合併同類項，得 x = − 。 4 驗算： 把x = − 代入原方程， 4 左邊 7 ( 4)= × − = − ， 28 右邊 6 ( 4) 4= × − − = − ， 28 左邊= 右邊， 所以x = − 是原方程的解。 4 在例 1、例 2 中，我們根據方程同解原理 1，分別做了下面 的變形(圖 3-2)： 從變形前後的兩個方程可以看出，這種變形，相當於把方程中的 某一項改變符號後，從方程的一邊移到另一邊。我們把這種變形 叫做移項。必須牢記移項要變號。 在解方程時，我們常常利用移項，把方程中含有未知數的項 移到等號的一邊，把不含未知數的項移到等號的另一邊。像例 1、 2 中的兩個方程可以這樣來解： (1) 7x− = 5 把 7− 從方程的左邊移到右邊，得 5 7 x = + 合併同類項，得x =12。 (2) 7x = 6x− 4 把 6x 從方程的右邊移到左邊，得 7x−6x = − 4 合併同類項，得 x = − 。 4 例 1 例 2 x − 7 = 5 7x = 6x − 4 x = 5 7+ 7x −6x = − 4 圖 3-2

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1. 根據方程同解原理 1 解下列方程，並寫出驗算： (1) x+ = ； 6 7 (2) 4x =3x− 。 2 2. 下面的移項對不對？如果不對，錯在哪裡？應當怎樣改正？ (1) 從 7+ =x 13，得到x =13 7+ ； (2) 從 5x = 4x+ ，得到 58 x−4x = 。 8 3. 用移項解下列方程，並寫出驗算： (1) x+12 =34； (2) x−15 =74； (3) 3x = 2x+ ； 5 (4) 7x− =3 6x。 【ּ 3】 解下列方程：(1) −5x = 70； (2) 3 8 1 5 x− = 。

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ྋ !! (1) −5x = 70。 根據方程同解原理 2，在上面方程的兩邊都除以 5− ，得 5 70 5 5 x − ₌ − − ， 即 14 x = − 。 驗算： 左邊= − × −5 ( 14) =70，右邊 70= ， 左邊= 右邊， 所以x = − 是原方程的解。 14 (2) 3 8 1 5 x− = 。 移項，得 3 1 8 5 x = + 。 合併同類項，得 3 9 5x = 。

方程的兩邊都除以3 5 (即乘以 5 3)，得 3 5 5 9 5x i 3 = i 。 3 即 15 x = 。 驗算： 左邊 3 15 8 1 5 = × − = ，右邊 1= ，左邊= 右邊， 所以x =15是原方程的解。 在例 3 中，我們見到的方程 5− x = 70以及3 9 5 x = ，都是形如 ax = b (這裡 a、b 都是已知數，且a ≠ )的方程，這樣的方程叫做0 最簡方程。利用方程同解原理 2，在方程的兩邊都除以未知數的 係數，就得出這類方程的解是 b x a = 。

ቚ ௫!

解下列方程，並寫出驗算： (1) 15x = 45； (2) 2− x =30； (3) 18− x = − ； 3 (4) 3.5x = ； (5) 97 x = ； (6) 32 8x0 = ； (7) 3 5x = ； (8) 6x =16 2− x； (9) 2 4 12 5 x− = ； (10) 4 3 13 7 y − = ； (11) 13 3 2 t = + ； (12) 1 1 2 2 = +3 x。 【ּ 4】 解方程 5x+ =2 7x− 。 8

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ྋ !! 移項，得 2 8+ = 7x−5x。 合併同類項，得 10 =2x。

即 2x =10。 兩邊都除以 2，得 5 x = 。 (自己用口算驗算。) 【ּ 5】 解方程 2(x− −2) 3(4x− =1) 9(1− 。 x)

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ྋ !! 去括號，得 2x− −4 12x+ = −3 9 9x。 移項，得 2x−12x+9x = + − 。 9 4 3 合併同類項，得 10 x − = 。 兩邊都除以 1− ，得 10 x = − 。 (自己驗算，最好也用口算。)

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解下列方程，並用口算驗算： (1) 2x+ =5 25 8− x。 (2) 7 5 2 x x − = + 。 (3) 5(x+2) = 2(2x+ 。 (4) 3(27) y+ =1) 2(1+ y) 3(+ y+ 。3) 【ּ 6】 解方程5 1 7 6 3 y− _{= 。} 解這個方程，可以先根據方程同解原理 2，在方程兩邊都乘 以各分母的最小公倍數(本題中 6 與 3 的最小公倍數是 6)，把方 程裡各分母都去掉。

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ྋ !! 去分母，得 5 1 7 6 6 6 3 y− _{× = × ，}

即 5y− =1 14。 移項，得 5y =14 1+ 。 合併同類項，得 5y =15。 兩邊都除以 5，得 3 y = 。 【ּ 7】 解方程 2 1 10 1 2 1 1 3 6 4 x− ₋ x+ ₌ x+ _{− 。} 本題中各分母 3、6、4 的最小公倍數是 12。

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ྋ !! 去分母，得 4(2x − −1) 2(10x + =1) 3(2x + − 。 1) 12 去括號，得 8x− −4 20x− =2 6x+ −3 12。 移項，得 8x−20x−6x = − + + 。 3 12 4 2 合併同類項，得 18x 3 − = − 。 兩邊都除以 18− ，得 1 6 x = 。

ቚ ௫!

解下列方程： (1) 7 5 3 4 8 x− _{= 。 (2)} 3 4 2 3 x x − ₌ − 。 (3) 2 1 5 1 1 6 8 x− ₋ x+ _{= 。} (4) 2(3 7) 2 1.5 7 x+ = − x。 (5) 30 70 54 (200 ) 200 100 x+100 −x = ×100 。

解一元一次方程的一般步驟是： 1. 去分母； 2. 去括號； 3. 移項； 4. 合併同類項，化成最簡方程 ax = b (a ≠ 0 )的形式； 5. 方程兩邊都除以未知數的係數，得出方程的解x = b a 。 解方程時，上面的步驟也可能用不到。要根據方程的形式靈 活安排解題步驟。熟練後，解方程的步驟(包括驗算)可以簡化。 【ּ 8】 解方程 1.7 2 1 0.7 0.3 x ₋ − x _{= 。} 這個方程的分母含有小數，可以先把分母化成整數再解。

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ྋ !! 原方程可以化成 10 17 20 1 7 3 x ₋ − x _{= 。} 去分母，得 30x−7(17 20 )− x = 21。 去括號、移項與合併同類項，得 170x =140。 兩邊都除以 170，得 14 17 x = 。 【ּ 9】 在梯形面積公式 1( ) 2 S = a b h+ 中，已知 S = 120、b = 18、 h = 8，求 a。

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ྋ !! 把 S = 120、b = 18、h = 8 代入公式中，得 1 120 ( 18) 8 2 a = i + i 。

解這個方程： 30 18 12 a a = + = ， 。

ቚ ௫!

1. 解方程： (1) 2.4 4 3 2.5 5 y y − − = ； (2) 2 1 3 0.2 0.5 x− ₋ x+ _{= 。} 2. 在梯形面積公式 1( ) 2 S = a b h+ 中， (1) S = 30、a = 6、h = 4，求 b； (2) S = 60、a = 8、b = 12，求 h。

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1. 用等號「=」或不等號「≠ 」填空： (1) 5 3 ____12 5+ − ； (2) 8 ( 4) ____ 8 ( 4)+ − − + ； (3) 1 5 ( 2) ____ 12+ × − − ； (4) 2 (3 4) ____ 2 3 4× + × + 。 2. 根據下列條件列出方程： (1) 某數減去 1 再乘以 2，得 4； (2) 某數乘以 3 再減去 4，得 6； (3) 某數與 6 的和之 3 倍等於 21； (4) 某數的1 2 與這個數的 1 3之和等於 5。 3. 驗算下列各題括號裡的數是不是它們前面方程的解： (1) 3x = + ， x 3 ( x = 、2 3 2 x = )； (2) y =10 4− y， ( y = 、1 y = 、2 y = )； 3 (3) (x−2)(x− = ， 3) 0 ( x = 、0 x = 、2 x = )； 3 (4) (x x+ =1) 12， ( x = 、3 x = 、4 x = − )。 4

4. 根據方程同解原理 1 說明下列各題裡的兩個方程是同解方程： (1) 2x− = 、 21 3 x = ； (2) 44 x = + 、 31 x x = 。 1 5. 根據方程同解原理 2 說明下列各題裡的兩個方程是同解方程： (1) 1 4 3 x+ _{= 、} 1 12 x+ = ； (2) 3( 4) 3 4 x− = x 、 x− =4 4x。 6. 根據方程同解原理 1 解下列方程，並寫出驗算： (1) x+15 = 24； (2) 3x = +4 2x； (3) 2x− = ； 7 x (4) 5y + =8 4y； (5) 1.8x = 0.8x−1.2； (6) 7 1 3 4 z− =2 4 z。 7. 用移項解下列方程，並寫出驗算： (1) 2x+ = − ； (2) 3 x 1 8x− =2 7x− ； 2 (3) 3x− +4 2x = 4x− ； (4) 103 y + =7 12y− −5 3y ； (5) 2.4x−9.8 1.4= x− ； (6) 9 11 2 2 5 9 z+ =7 9 z− 。 7 8. 用移項解下列方程，並寫出驗算： (1) 3x =12； (2) 6− y = ； 6 (3) − = ； x 0 (4) 8 2x = ； (5) 3 5 4 x = ； (6) 7 1 12 x − = − 。 9. 用解下列方程，並用口算驗算： (1) 9x = 6x− ； 6 (2) 8z = 4z+ ； 1 (3) 7x− = − ； (4) 6 5x 3 45 100x =100 。 10. 解下列方程： (1) 1 2 x x + = ； (2) 4 3 y y = − ；

(3) 1 5 2 x = − ； (4) 0.48x− = −6 0.02x； (5) 2x：3 = 6：5； (6) 8：3 = 4x：7。 11. 用方程表示下列數量關係，並求出未知數 x 的值： (1) x 與 42 的和等於 18； (2) x 的1 9等於 2 3 ； (3) x 的 4 倍減去 10 等於 30； (4) x 的 5 倍等於 x 的 2 倍與 24 的和。 12. 下列方程的解法對不對？如果不對，錯在哪裡？應當怎樣改 正？ (1) 解方程 5 2x = 。

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ྋ ： 5 2x = ， ∴ x =10。 (2) 解方程 2x− = − + ； 1 x 5

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ྋ ： 2x− = − ， x 5 1 ∴ x = 。 4 (3) 解方程6 1 5 y y = + ；

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ྋ ： 6y =5y + ， 1 6y −5y = ， 1 ∴ y = 。 1 解方程（第 13～18 題）： 13. (1) 2x+ = −3 11 6x； (2) 5 4 3 x− _{= ；} (3) 2x− =1 5x− ； (4) 7 1 3 8 2 x − _{= 。}

14. (1) 3(y+4) 12= ； (2) 3 1 7 4 x− = ； (3) 1 1 1 2 z − = − ； (4) 5( 1) 1 2 x − + = 。 15. (1) 5(x+ − =8) 5 6(2x− ； 7) (2) 2(3y − +4) 7(4− y) = 4y ； (3) 4x−3(20−x)= 6x−7(9− ； x) (4) 4(2y+ =3) 8(1− y) 5(− y− 。 2) 16. (1) 3x−4(2x+ =5) 7(x− +5) 4(2x+ ； 1) (2) 17(2 3 ) 5(12− y − − y) =8(1 7 )− y ； (3) 7(2x− −1) 3(4x− −1) 5(3x+ + = ； 2) 1 0 (4) 5(z− −4) 7(7− − =z) 9 12 3(9− − 。 z) 17. (1) 5 3 3 5 2 3 x x − ₌ − ； (2) 1 2 2 2 5 y y y − − = − + ； (3) 2 2 3 1 4 6 x+ ₋ x− _{= ； (4)} 2 3 2 5 3 0 5 10 3 z− ₋ z+ ₋ z− _{+ = 。} 18. (1) 21 3 2 3 2 4 8 x+ − x = − ； (2) 5 1 9 1 1 6 8 3 y + ₌ y + ₋ − y ； (3) 2( 3) 3 2( 7) 5 2 3 x x x + _{= −} − ； (4) 9 2 ( 1) 2 11 3 2 x x x x − ₋ + _{= − −} − 。 19. 下列方程的解法對不對？如果不對，錯在哪裡？應當怎樣改 正？ (1) 解方程 2 1 2 1 3 3 x− ₌ x+ _{− 。}

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ྋ ： 2x− = + − ， 1 x 2 1 ∴ x = 。 2

(2) 解方程 1 2 4 3 6 2 x− ₋ x+ ₌ −x ；

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ྋ ： 2x− − + =2 x 2 12 3− x ， 4x =12， ∴ x = 。 3 20. 根據下列條件列出方程，然後求出某數： (1) 某數的 5 倍加上 3，等於這個數的 7 倍減去 5； (2) 某數的 3 倍減去 9，等於這個數的1 3加上 6。 21. 根據下列條件列出方程，然後求出某數： (1) 某數的 8 倍比這個數的 5 倍大 12； (2) 某數的1 2 加上 4，比這個數的 3 倍少 21。 22. (1) k 等於什麼數時，代數式3 5 7 k + 的值是 2？ (2) x 等於什麼數時，代數式 8 3 x− 與 1 5 4 x+ 的值相等？ 解下列方程（第 23～25 題）： 23. (1) 17 21 ( 16) 100 x =100 x− ； (2) 65 ( 1) 37 ( 1) 0.1 100 y− =100 y+ + ； (3) 3( 1) 1( 1) 2( 1) 1( 1) 3 2 x+ − x− = x− − x+ ； (4) 3( 1) 2(3 2) 1 3( 1) 4 z− − 5 z+ =10− 2 z − 。 24. (1) 3 6 2 1 1 2 2 3 3 4 x− ₊ −x ₌ ⎛ ₊ + x⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠；

(2) 1 1 3 1 2 2 4 2 3 4 x x ⎛ ₋ ⎞₋ ⎛ ₋ ⎞₌ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ； (3) 1 1( 1) 2( 1) 2 x 2 x 3 x ⎡ _{− − ⎤ = −} ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ； (4) 3 2 1 2 2 2 3 4 x x ⎡ ⎛ _{− ⎞ − − =}⎤ ⎜ ⎟ ⎢ _{⎝ ⎠} ⎥ ⎣ ⎦ 。 25. (1) 4 3 1.6 0.2 0.5 x+ ₋ x− _{= −} ； (2) 4 6 6.5 0.02 2 7.5 0.01 0.02 x x − _{− =} − ₋ 。 26. (1) 在公式S = 2πr r( + 中，已知h) S =942、π =3.14、 10 r = ，求 h； (2) 在公式l =l₀(1+at)中，已知l =80.096、l₀ =80、 0.000012 a = ，求 t。 27. (1) 在公式 1000 nD v = π 中，已知v =120、D =100、π =3.142， 求 n (得數保留整數)； (2) 在公式d = 2a+1.57(b c+ 中，已知) d =5200、a = 628、 500 b = ，求 c (得數保留整數)。 28. 如圖，求左圈與右圈裡的「？」： (第 28 題) 4 9 ？ 11 ？ 17 2 3 × +

29. 根據公式v = + ，寫下表中的空白處： v₀ at v v 0 a t 0 2 8 48 3 14 15 5 4 76 13 7

3.4 ˘̮˘Ѩ͞඀۞ᑕϡ

在小學裡，我們用算數方法與列方程的方法解過一些應用 題。下面進一步介紹怎樣列一元一次方程解應用題。 【ּ 1】 一種小麥磨成麵粉後，重量會減少 15%。為得到 4250 kg 的麵粉，需要多少小麥？ 分析： 小麥的 kg 數，減去磨成麵粉後減少的 kg 數，就等於要 得到的麵粉之 kg 數。如果設所需要的小麥為 x kg，那 麼根據重量減少 15%，就可以表示出磨成麵粉後減少的 kg 數，從而可以按照上述相等關係列出方程。

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ྋ !! 設需要 x kg 小麥，那麼磨成麵粉後重量減少 15 100 x kg， 根據題意，得 15 4250 100 x− x = 。 解這個方程： 85 4250 100 5000 x x = = ඍĈ需要 5000 kg 小麥。

上面的例子說明了列出一元一次方程解應用題的方法：先用 字母(如 x)表示題中的未知數；再列出需要的代數式(如例 1 中的 15 100 x )；然後根據題中包括已知數與未知數的相等關係列出方 程；解這個方程，求出未知數的值，寫出答案(包括單位名稱)。 【ּ 2】 如圖 3-3，要鍛造直徑為 60 mm、高為 20 mm 的圓柱型 零件毛坯需要截取直徑為 40 mm 的圓鋼多長(圖中 40

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表示直徑的長為 40 mm)？ 分析： 把圓鋼鍛造成零件毛坯，雖然長度與底面直徑發生了變 化，但鍛造前後的體積是相等的。也就是有等式 圓鋼體積 = 零件毛坯體積。 如果設應截取的圓鋼長為 x mm，那麼就可以表示出圓 鋼的體積與零件毛坯的體積，從而可以按照上述相等關 係列出方程。

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ྋ !! 設應截取直徑為 40 mm 的圓鋼長為 x mm，那麼圓鋼的 體積是 2 40 2 x π ⎛_⎜ ⎞_⎟ ⎝ ⎠ i i mm3 ，直徑為 60 mm、高為 20 mm 的圓柱型零件毛坯的體積是 2 60 20 2 π ⎛_⎜ ⎞_⎟ ⎝ ⎠ i i mm3，根據 題意，得 2 2 40 60 20 2 x 2 π ⎛_⎜ ⎞_⎟ =π ⎛_⎜ ⎞_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ i i i i 60 φ 20 40 φ x 圖 3-3

解這個方程： 400 18000 45 x x = = ඍĈ應截取的圓鋼長為 45 mm。 實際截料時，要適當留出加工餘量，也就是應當比 45 mm 稍 長一些。

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列出一元一次方程解下列應用題： 1. 買 4 本練習本與 3 枝鉛筆一共用了 68 元。已知鉛筆每支的價 格是 8 元，練習本每本的價格是多少？ 2. 某農場稻米平均畝產量達到 1088 kg，比去年平均畝產量的 4 倍還多 64 kg。求這個農場在去年的稻米畝產量。 3. 把黃豆發成豆芽後，重量可以增加 7.5 倍。要得到 3400 kg 這 樣的豆芽，需要多少 kg 的黃豆？ 4. 要鍛造一個直徑為 10 cm，高為 8 cm 的圓柱形毛坯，應截取 直徑為 8 cm 的圓鋼多長？ 5. 用直徑為 200 mm 的圓鋼鍛造成長、寬、高分別為 300 mm、 300 mm、80 mm 的長方體底板，應截取圓鋼多長(精確到 1 mm 對於本節練習與習題，計算時可取π 的近似值為 3.14)？ 【ּ 3】 甲、乙兩站相距 360 km。一列慢車從甲站開出，每小時 走 48 km；一列快車從乙站開出，每小時走 72 km。 (1) 兩列火車同時開出，相向而行，經過多少小時相 遇？ (2) 快車先開 25 分鐘，兩車相向而行，快車開了幾小 時與慢車相遇？

分析： (1) 由於兩車同時從甲、乙兩站開出，相向而行，當它 們相遇時，它們所走的路程之和等於兩站之間的路程。 如果設兩車開了 x 小時相遇，就可以分別表示出兩車所 走的路程，從而可以按照上述相等關係列出方程。 (2) 因為當快車從乙站開了 25 分鐘到達丙地(圖 3-4)時 慢車從甲地相向開出，所以當它們相遇時，快車先走的 路程，加上快車從丙地算起所走的路程，再加上慢車所 走的路程，等於甲、乙兩站之間的路程。如果設慢車開 了 x 小時相遇，那麼上面三段路程都可以表示出來，從 而可以按照上述相等關係列出方程。

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ྋ !! (1) 設兩車開了 x 小時相遇，那麼慢車走了 48x km，快 車走了 72x km，根據題意，得 72x+48x =360。 解這個方程： 120 360 3 x x = = ඍĈ兩車開了 3 小時相遇。 (2) 設慢車開了 x 小時相遇，那麼快車先走的路程是 25 72 60 × km，快車從兩地算起所走的路程是 72x km，慢 車走了 48x km，根據題意，得 25 72 72 48 360 60 x x × + + = 。 解這個方程： 圖 3-4 甲 乙 丙 360 48x _72x 72 5 12 ×

30 120 360 120 330 3 2 4 25 3 1 2 3 60 4 6 x x x + = = = + = ඍĈ快車開了 3 小時 10 分與慢車相遇。 【ּ 4】 某公司在甲地工作的職員有 27 人，在乙地工作的職員 有 19 人。現另調 20 人去支援，使在甲地工作的職員人 數為在乙地工作的職員人數之 2 倍。請問應調往甲、乙 兩地各多少人？ 分析： 這個問題裡的相等關係可以表示為 調人後甲地人數 = 調人後乙地人數的 2 倍。 因為共調了 20 人支援，所以如果設應調往甲地 x 人， 就可以表示出應調往乙地的人數，從而可以按照上面的 相等關係列出方程。另外的想法：甲地、乙地與支援的 總人數為 27+19+20=66 人，分為 2：1 即調派後人數。

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ྋ !! 設應調往甲地 x 人，那麼應調往乙地 (20− 人。於是在 x) 調人支援後，甲地的人數是 27 x+ 人，而乙地的人數是 19 (20+ − 人。根據題意，得 x) 27+ =x 2[19 (20+ −x)]。 解這個方程： 27 2(39 ) 27 78 2 3 51 17 x x x x x x + = − + = − = = 並且， 20− =x 20 17− = 。 3 ඍĈ應調往甲地 17 人，調往乙地 3 人。

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列出一元一次方程式解下列應用題： 1. 挖一條長 1210 m 的水渠，由甲、乙兩個工程隊從兩頭同時施 工。甲隊每天挖 130 m，乙隊每天挖 90 m，挖好這條水渠需 要幾天？ 2. 甲、乙兩站間的路程為 284 km。一列慢車從甲站開往乙站， 每小時走 48 km；慢車走了 1 小時後，另有一列快車從乙站開 往甲站，每小時走 70 km。快車開了幾小時後與慢車相遇？ 3. 有兩個工程隊，第一隊有 32 人，第二隊有 28 人，現因任務 需要，要求第一隊人數是第二隊人數的 2 倍。需從第二隊抽 調多少人支援第一隊？ 4. 兩水池共貯水 40 T，甲池注進水 4 T，乙池放出水 8 T，甲池 水的 T 數就與乙池水的 T 數相等。兩個水池原各有水多少 T？ 5. 把面積是 16 公畝的一片地分成兩部分，使它們的面積的比等 於 3：5，每一部分的面積是多少(提示：面積的比為 3：5，表 示分別佔總面積的 3 份與 5 份，於是可設其中一份為 x 公畝)？

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列出一元一次方程式解下列應用題： 1. 某人買了 6 kg 蘋果，付出 200 元，找回 32 元。每 kg 蘋果的 價格是多少？ 2. 用 76 cm 長的鐵絲做一個長方形的教具，要使寬是 16 cm，長 應當是多少 cm？ 3. 某廠去年十月份生產汽車 205 台，這比前年十月份的產量之 2 倍還多 15 台。這個廠前年十月份的生產汽車多少台？

4. 一個大箱子裝有一種貨物 36 kg。把大箱子裡的貨物分置在 4 個同樣大小的小箱子裡，裝滿後還剩餘 2 kg 的貨物。每個小 箱子裝有貨物多少 kg？ 5. 某鋼鐵廠要用含鐵量 58.5%的礦石煉出 3000 T 鐵，需用這種 礦石多少 T (精確到 10 T)？ 6. 酒精加水稀釋後，得到的一種酒精溶液的體積是原來酒精的 體積之 4.5 倍。要得到這樣的酒精溶夜 900 mL，需要酒精多 少 mL？ 7. 某種乾飼料加水發酵後，重量可以增加 150%。為了得到 360 kg 發酵飼料，需要多少 kg 乾飼料？ 8. 地球上水面的面積約等於陸地面積的213 29 倍，地球的表面積 約等於 5.1 億平方公里，求地球上水面與陸地的面積各是多少 (精確到 0.1 億平方公里)。 9. 某鋼鐵廠要鍛造長、寬、高分別為 260 mm、150 mm、130 mm 的長方形毛坯，原料是截面積為 130 × 130 mm2的方鋼。需要 截這種方鋼多長(不算加工餘量。下同)？ 10. 某機械廠要用直徑為 120 mm 的圓鋼鍛造直徑為 300 mm，厚 為 32 mm 的圓盤。應截取多長的圓鋼？ 11. 某農機廠用直徑為 90 mm 的圓鋼鍛造一種毛坯，它是一個底 面積為 131 × 131 mm2、高為 81 mm 的長方體。求應截取圓鋼 的長度(精確到 1 mm)。 12. 用直徑為 4 cm 的圓鋼，鍛造一個重 0.62 kg 的零件毛坯。如 果這種鋼每 cm3重 7.8 g，應截取圓鋼多長(精確到 0.1 cm)？ 13. 甲、乙兩人騎自行車，同時從相距 65 km 的兩地相向而行， 經過 2 小時相遇。已知甲比乙每小時多走 2.5 km，求乙每小 時走多少 km。

14. 甲、乙兩架飛機同時從相距 750 km 的兩個機場相向飛行，飛 了半小時相遇。如果甲飛機的速度是乙飛機的速度之11 2 倍， 求這兩架飛機的速度。 15. 甲槽有水 34 L，乙槽有水 18 L。現兩槽同時排水，都是平均 每分鐘排出 2 L。多少分鐘後，甲槽的水是乙槽的水之 3 倍？ 16. 某農莊有水田 108 畝，旱地 54 畝。現計畫把一部份旱地改為 水田，使旱地只佔水田的 20%。改為水田的旱地應是多少畝？ 17. 甲倉存量 30 T，乙倉存量 40 T。要再往甲倉與乙倉共運去糧 食 80 T，使甲倉糧食數量為乙倉糧食數量的 1.5 倍。應往甲倉 與乙倉分別運去糧食多少 T？ 18. 配某種飲料，其中巧克力粉、糖與水的重量之比是 1：2：14。 要配置這種飲料 2550 kg，各種原料分別需要多少 kg？ 19. 一種混泥土由水、水泥、黃沙、碎石攪拌而成。這四種原料 的重量之比是 0.7：1：2：4.7。攪拌這種混泥土 2100 kg，各 種原料分別需要多少 kg？ 【ּ 5】 一隊學生進行童子軍野營訓練。他們以 5 km/小時(即每 小時 5 km)的速度行進，走了 18 分鐘的時候，學校要將 一緊急通知傳給隊長。通訊員從學校出發，騎自行車以 14 km/小時的速度按原路追上去。通訊員用多少時間可 以追上學生隊伍？ 分析： 在這個問題裡，當通訊員追上學生隊伍時，通訊員與學 生所走的路程是相同的。 在通訊員追趕前的 18 分鐘內，學生隊伍走的路程是可 以求出的。如果設通訊員追上學生隊伍需要 x 小時，那 麼由於他們的速度都是已知的，在這段時間裡走的路程

都可以表示出來，從而可以按照上面的相等關係列出方 程。

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ྋ !! 設通訊員用 x 小時可追上，那麼通訊員走了 14x km；學 生隊伍在被追趕前的 18 分鐘內先走了5 3 10 × km，在以 後的 x 小時內又走了 5x km。根據題意，得 3 14 5 5 10 x = × + x 。 解這個方程： 3 9 2 1 6 x x = = ඍĈ通訊員用1 6小時(即 10 分鐘)可以追上學生隊伍。 【ּ 6】 一件工作，甲單獨做 20 小時完成，乙單獨做 12 小時完 成。現在先由甲單獨做 4 小時，剩下的部分由甲、乙合 做。剩下的部分需要幾小時完成？ 分析： 我們把全部工作量看成 1。由於甲、乙分別做完全部工 作的時間是已知的，他們每小時完成的工作量也是已知 的。如果設剩下的部分需要 x 小時完成，那麼甲先在 4 小時內完成的工作量，合做時甲、乙分別完成的工作量 都可以表示出來。根據「這三部分的工作量之和等於全 部工作量」(圖 3-6)，就可以列出方程。 圖 3-5 14x 5x 3 5 10 ×

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ྋ !! 設甲、乙兩人合做剩下的部分需要 x 小時完成，那麼當 把全部的工作量看成是 1 時，甲先在 4 小時內完成的工 作量是 4 20 ，合做時甲、乙完成的工作量分別是 20 x 與 12 x 。根據題意，得 4 1 20 20 12 x x + + = 。 解這個方程： 12 3 5 60 8 48 6 x x x x + + = = = ඍĈ甲、乙兩人合做剩下的部分需要 6 小時完成。

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1. 甲、乙兩人練習短跑，甲每秒鐘跑 7 m，乙每秒鐘跑 6.5 m。 如果甲讓乙先跑 1 秒鐘，甲經過幾秒可以追上乙？ 2. 甲、乙兩人從同地出發去某地。甲步行，每小時走 5 km，先 走 1.5 小時；乙騎自行車。乙走了 50 分鐘，兩人同時到達目 的地。乙每小時走多少 km？ 3. 某地下管道由甲工程隊單獨鋪設需 12 天，由乙工程隊單獨鋪 設需 18 天。如果由這兩個工程隊從兩端同時相向施工，要多 少天可以鋪好？ 圖 3-6 全部工作量 1 甲先單獨完成 的工作量 4 20 20 x 12 x 合做時甲完成 的工作量 合做時乙完成 的工作量

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4. 某工作甲單獨做 3 小時完成，乙單獨做 5 小時完成。兩人合 做這項工作的 4 5 ，需要幾小時完成？ 5. 某公司分三期完成一項工程。第一期用了全部工程時間的 40%，第二期用了全部工程時間的 36%，第三期工程用了 120 天。完成全部工程共用了多少天？ 【ּ 7】 要用調配 0.15%的糖水。現有含糖 16%的糖漿 30 kg， 配置時需要加水多少 kg？ 分析： 糖漿加水後，重量與濃度都發生了變化，但糖漿中所含 糖的重量沒有變化(圖 3-7)，也就是有等式 加水前糖重量 = 加水後糖重量。 由於重量與濃度都是已知的，加水前含糖的重量就可以 求得。另外，因為加水後的濃度已知，所以如果設需要 加水 x kg，那麼可以表示出加水後糖水的重量與糖水中 含糖的重量，從而可以按照上面的相等關係列出方程。

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ྋ !! 設需要加水 x kg，那麼加水後糖水重量是 30 + x kg，糖 水中含糖重量是 (30+ ×x) 0.15% kg；加水前糖漿中含糖 重量是 30 16%× kg。根據題意，得 加水 x kg 後 16% 糖漿 30 kg 0.15% 糖水 (30 + x) kg 示意含糖量 圖 3-7

0.15 16 (30 ) 30 100 100 x + × = × 。 解這個方程： 0.15(30 ) 30 16 30 3200 3170 x x x + = × + = = ඍĈ需要加水 3170 kg。 【ּ 8】 一個兩位數，十位上的數比個位上的數小 1，十位上的 數與個位上的數之和是這個兩位數的 1 5 ，求這個兩位 數。 分析： 因為已知十位上的數比個位上的數小 1，所以如果設十 位上的數為 x，就可以寫出個位上的數，從而可以寫出 「兩個數位的數之和」與這個兩位數。根據「兩個數位 上的數之和等於這個兩位數的1 5」，就可以列出方程。

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ྋ !! 設十位上的數為 x，那麼個位上的數是 x + 1，它們的和 是 x + (x + 1)，這個兩位數是 10x + (x + 1) 。根據題意， 得 1 ( 1) [10 ( 1)] 5 x+ + =x x+ +x 。 解這個方程： 1 2 1 (11 1) 5 10 5 11 1 4 1 5 x x x x x x + = + + = + = + = ඍĈ所求的兩位數為 45。

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1. 直接寫出： (1) 含糖 6%的糖水 10 kg，其中含糖多少 kg？ (2) 含糖 10%的糖水 x kg，其中含糖多少 kg？ 列出一元一次方程解下列問題： 2. 有含糖 15%的糖水 20 kg，要使糖水含糖 10%，需加水多少 kg？ 3. 有含糖 15%的糖水 20 kg，要使糖水含糖 20%，需加糖多少 kg？ 4. 一個兩位數，個位上的數是十位上的數之 2 倍，如果把十位 上的數與個位上的數對調，那麼所得到的兩位數比原兩位數 大 36，求原兩位數。 5. 長方形的周長為 16 m，長比寬多 2 m，求它的面積。

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列出一元一次方程解下列問題： 1. 一班學生去校外參加健行，用每小時 4 km 的速度步行前往。 走了半小時的時候，學校有緊急通知要傳給隊長，通訊員騎 自行車以每小時 14 km 的速度按原路追上去。通訊員要多少 分鐘才能追上學生隊伍？ 2. 甲、乙兩站相距 243 km。一列慢車由甲站開出，每小時行駛 52 km；同時，一列快車由乙站開出，每小時行駛 70 km；兩 車同向而行，快車在慢車的後面。經過多少小時快車可以追 上慢車？

3. 兩輛卡車為某農場運送補給品。第一輛以每小時 30 km 的速 度由倉庫開往農場，第二輛晚開 12 分鐘，以每小時 40 km 的 速度由倉庫開往農場。結果兩車同時到達。求倉庫到農場的 路程。 4. 一個蓄水池裝有甲、乙、丙三個進水管。單獨開放甲管，45 分鐘可以注滿全池；單獨開放乙管，60 分鐘可以注滿全池； 單獨開放丙管，90 分鐘可以注滿全池。如果三管一起開放， 幾分鐘可以注滿全池？ 5. 一台機器的檢修工作，甲小組單獨做 7.5 小時完成，乙小組單 獨做 5 小時完成。兩個小組合做 1 小時，再由乙小組單獨做 完，共需幾小時做完？ 6. 某廠要配置濃度為 10%的鹽水溶液 2940 kg，需要濃度為 98% 的鹽水溶液多少 kg？ 7. 要把濃度為 95%的酒精溶液 600 g 稀釋成消毒用的濃度為 75% 的酒精溶液，需加蒸餾水多少 g？ 8. 有含鹽 8%的鹽水 40 kg，要配成含鹽 20%的鹽水，需要加鹽 多少 kg？ 9. 某農場要噴灑 100 ppm (ppm 是濃度單位，表示百萬分之一， 即 1 ppm 表示 1₆ 10 )的殺蟲溶液，在放 50 kg 的水桶中，應加入 20%的殺蟲粉劑多少 kg (精確到 1 g)？ 10. 在 90 g 食鹽中，要加入多少 g 水，才能配製成濃度為 15%的 鹽水？ 11. 一桶油連桶共重 8 kg，油用去一半後，連桶還重 4.5 kg。原有 油多少 kg？ 12. 三個連續整數的和是 18，求它們的積。

13. 一條輪船在兩個碼頭間航行，順水航行需要 4 小時，逆水航 行需要 5 小時，水流的速度是每小時 2 km。求輪船在靜水中 航行的速度。 14. 一架飛機在兩個城市之間飛行，風速為每小時 24 km，順風飛 行需要25 6 小時，逆風飛行需要 3 小時。求兩個城市之距離。 15. 一個三位數，三個數碼的和是 17，百位數碼比十位數碼大 7， 個位數碼是十位數碼的 3 倍。求這個三位數。 16. 一個三角形三條邊的長之比是 2：4：5，最長的一條邊比最短 的一條邊長 6 cm，求這個三角形的周長。

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一、本章主要內容是方程及其同解原理，一元一次方程的解 法及其應用。 二、含有未知數的等式叫做方程。如果兩個方程的解相同， 這兩個方程叫做同解方程。本章介紹的方程之同解原理是： 1. 方程的兩邊都加上(或都減去)同一個數或同一個整式， 所得方程與原方程是同解方程； 2. 方程的兩邊都乘以(或都除以)不等於零的同一個數，所 得方程與原方程是同解方程； 這兩條方程同解的原理，是解方程的根據。 三、含有一個未知數，並且未知數的次數是一次的方程叫做 一元一次方程。解一元一次方程，就是根據方程同解的兩條原 理，通過去分母、去括號、移項、合併同類項等步驟，把原方程 化成最簡方程 ax b= (a ≠ )的形式，再在方程的兩邊都除以未知0 數的係數 a，從而得出方程的解x b a = 。

四、列一元方程解應用題，首先要弄清題意，用字母(例如 x)表示問題裡的一個未知數；列出所需要的代數式；然後根據反 映這一應用題的包括已知數與未知數的相等關係，列出方程；通 過解方程，求出未知數的值；並且根據這一應用題的實際意義， 檢查求得的值是不是合理；最後寫出答案。

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1. 用小學裡學過的方法解下列方程： (1) 120+ =x 150； (2) 30− =x 16； (3) 0.5x =15.5； (4) 2 7 3 8 x÷ = 。 2. 什麼樣的兩個方程叫做同解方程？舉例說明。 3. 方程的兩個同解原理是什麼？舉例說明。 4. 下列各題的解法對不對？如果不對，錯在哪裡？ (1) 2 1 4 1 2 4 0 6 0 0 x x x x x x + = + + = = = (2) 6 2 6 2 6 2 12 x x x x x x = + − = − = = (3) _{1 3 1} 1 2 2 1 3 1 1 2 3 3 2 x x x x x x + ₌ − ₋ + = − − = = (3) _{2 1 1} 2 3 6 4 2 1 12 3 9 3 x x x x x x + ₋ + ₌ + − + = = =

解下列方程(第 5～8 題)： 5. (1) 4 8 3 11 3 − x = − 2 x； (2) 0.5x−0.7 =6.5 1.3− x； (3) 1(3 6) 2 3 6 x− = 5 x− ； (4) 1 2 (1 2 ) (3 1) 3 − x = 7 x+ 。 6. (1) 3(8x− −1) 2(5x+ =1) 6 (2x x+ +3) 5(5x− ； 2) (2) 3(x− −7) 2[9 4(2− −x)]=22； (3) 4 5 3 2 5 3 2 x x x x + _{− + =} + ₋ − ； (4) 1( 1) 1( 2) 3 1( 3) 2 y+ + 3 y+ = − 4 y + 。 *7. (1) 3 4 1 1 8 3 1 4 3 2 x 4 2 x ⎡ ⎛ _{− ⎞ − = +}⎤ ⎜ ⎟ ⎢ _{⎝ ⎠} ⎥ ⎣ ⎦ ； (2) 1 1( 9) 1( 9) 3 3 9 x− ⎡_⎢x− x− ⎤_⎥ = x− ⎣ ⎦ ； (3) 3{2x− −1 [3(2x− +1) 3]}= ； 5 (4) 4(x− −2) [5(1 2 ) 4(5− x − x−1)]= 。 0 *8. (1) 4 1.5 5 0.8 1.2 0.5 0.2 0.1 x− ₋ x− ₌ − x ； (2) 7 5 5 6 4 3 2 2 3 6 x x x + − ₊ = − 。 9. x 是什麼數時，單項式3a b2 2x+1與1 2 3 1 4 x a b − 是同類項？ 列出一元一次方程解下列應用題(第 10～23 題)： 10. 兩數的和為 25，其中一個數比另一個數的 2 倍大 4，求這兩 個數。

11. 三個連續奇數的和為 69，求這三個數。 12. 下圖(圖中的長度單位為 mm)表示某種零件的鍛坯。如果選用 直徑為 70 mm 的圓鋼鍛造，求應截取圓鋼的長度(精確到 1 mm)。 13. (我國古代問題)3好馬每天走 240 km，劣馬每天走 150 km。劣 馬先走 12 天，好馬幾天可以追上劣馬？ 14. 圓形運動場的跑道一圈長 400 m。甲練習騎自行車，平均每分 鐘騎 490 m；乙練習跑步，平均每分鐘跑 250 m。兩人從同一 處同時同向出發，經過多少分鐘兩人首次相遇？ 15. 要加工 200 個零件。甲先單獨加工了 5 小時，然後又與乙一 起加工了 4 小時，完成了任務。已知甲每小時比乙多加工 2 個零件，求甲、乙每小時各加工多少個零件。 16. 用 50 ppm 的「好年冬」溶液噴霧，可以防治稻瘟病。現將 2% 的「好年冬」乳油稀釋成 50 ppm 的溶液，應加水多少倍？ 17. 一架敵機來侵犯，我機立即起飛迎擊。在兩機相距 50 km 時， 敵機扭轉機頭，以每分鐘 15 km 的速度逃跑，我機以每分鐘 22 km 的速度追擊。當我機追至距敵機 1 km 時，與敵機展開 了激戰，只用了半分鐘就擊落了敵機。敵機從逃跑到被我殲 滅時只有幾分鐘？ 3 這道題選自元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》(1299 年)。原題是：良馬日行二 百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之。 答曰：二十日。 60 φ 40 φ 290 410 (第 12 題)

18. 有一架小飛機，最多只能在空中連續飛行 4 小時。飛出時的 速度是每小時 950 km，返回時的速度是每小時 850 km，這架 飛機最遠飛出多少 km 就應返回(答案只保留整數部分)？ 19. 一位農夫耕一片地，第一天耕了這片地的1 3，第二天耕了剩下 的一片地之 1 2 ，這時還剩下 38 公頃沒有耕。這片地一共有多 少頃？ *20. 兩個長方形的長與寬之比都是 2：1，大長方形的寬比小長方 形的寬多 3 mm，大長方形的周長是小長方形的周長之 2 倍， 求兩個長方形的面積。 *21. (我國古代問題)4用繩量井深：把繩三折來量，井外餘繩 4 m； 把繩四折來量井外餘繩 1 m。求井深與繩長各是多少。 *22. 一塊金與銀的合金重 250 g，放在水中稱減輕了 16 g。已知 金在水中稱重量減輕 1 19，銀在水中稱重量減輕 1 10，求這塊合 金中金、銀各佔多少 g。 *23. 一次考試出了 25 道選擇題。答對一題給 4 分，不答或答錯 一題扣 1 分。如果一個學生得 90 分，他答對了多少題？如果 得 60 分呢？ 4 這道題選自明朝程大位所著的《算法統宗》(1592 年)卷七。原題是：假如井 不知深，先將繩三折入井，繩長四尺，後將繩四折入井，亦長一尺。問井深 與繩長各若干。答曰：井深八尺，繩長三丈六尺。