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第六章·定积分的应用
.. . 高等数学课程 . 2020 年 2 月 12 日 . 暨南大学数学系 吕荐瑞. .
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平面图形的面积
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第一节
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空间立体的体积
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第二节
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平面曲线的弧长
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第三节
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12 3 . .
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平面图形的面积
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第一节
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直角坐标下的面积
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A
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极坐标下的面积
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B
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12 3 . .
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直角坐标下的面积
由曲线 y = ƒ (), 轴，直线 = 以及直线 = b 所围成的曲边梯形的面积为 A= ∫ b |ƒ ()| d 由曲线 = ƒ (y), y 轴，直线 y = 以及直线 y = b 所围成的曲边梯形的面积为 A = ∫ b |ƒ (y)| dy ..
12 3 . .
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直角坐标下的面积
由曲线 y = ƒ (), 轴，直线 = 以及直线 = b 所围成的曲边梯形的面积为 A= ∫ b |ƒ ()| d 由曲线 = ƒ (y), y 轴，直线 y = 以及直线 y = b 所围成的曲边梯形的面积为 A = ∫ b |ƒ (y)| dy ..
12 3 . .
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直角坐标下的面积
例 1 求由直线 y = + 1, 轴， = −2 和 = 2 所围成的图形的面积． 练习 1 求由曲线 y = 1 − 2 与 轴所围成的图形的 面积． ..
12 3 . .
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直角坐标下的面积
例 1 求由直线 y = + 1, 轴， = −2 和 = 2 所围成的图形的面积． 练习 1 求由曲线 y = 1 − 2 与 轴所围成的图形的 面积． ..
12 3 . .
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直角坐标下的面积
由曲线 y = ƒ (), y = g()，直线 = 以及直线 = b 所围成的图形的面积为 A= ∫ b |ƒ () − g()| d 由曲线 = ƒ (y), = g(y)，直线 y = 以及直线 y = b 所围成的图形的面积为 A = ∫ b |ƒ (y) − g(y)| dy ..
12 3 . .
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直角坐标下的面积
由曲线 y = ƒ (), y = g()，直线 = 以及直线 = b 所围成的图形的面积为 A= ∫ b |ƒ () − g()| d 由曲线 = ƒ (y), = g(y)，直线 y = 以及直线 y = b 所围成的图形的面积为 A = ∫ b |ƒ (y) − g(y)| dy ..
12 3 . .
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直角坐标下的面积
例 2 求由抛物线 y2 = 和直线 = 4 所围成的图形 的面积． 练习 2 求由抛物线 y2 = 和 y2 = 2 − 所围成的 图形的面积． ..
12 3 . .
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直角坐标下的面积
例 2 求由抛物线 y2 = 和直线 = 4 所围成的图形 的面积． 练习 2 求由抛物线 y2 = 和 y2 = 2 − 所围成的 图形的面积． ..
12 3 . .
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计算面积的步骤
1 画出曲线草图 2 确定积分区间 ⇐= 从曲线交点得到 3 确定被积函数 ⇐= 从曲线方程得到 4 计算积分结果 ..
12 3 . .
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计算面积的步骤
1 画出曲线草图 2 确定积分区间 ⇐= 从曲线交点得到 3 确定被积函数 ⇐= 从曲线方程得到 4 计算积分结果 ..
12 3 . .
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计算面积的步骤
1 画出曲线草图 2 确定积分区间 ⇐= 从曲线交点得到 3 确定被积函数 ⇐= 从曲线方程得到 4 计算积分结果 ..
12 3 . .
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计算面积的步骤
1 画出曲线草图 2 确定积分区间 ⇐= 从曲线交点得到 3 确定被积函数 ⇐= 从曲线方程得到 4 计算积分结果 ..
12 3 . .
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计算面积的步骤
1 画出曲线草图 2 确定积分区间 ⇐= 从曲线交点得到 3 确定被积函数 ⇐= 从曲线方程得到 4 计算积分结果 ..
12 3 . .
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计算面积的步骤
1 画出曲线草图 2 确定积分区间 ⇐= 从曲线交点得到 3 确定被积函数 ⇐= 从曲线方程得到 4 计算积分结果 ..
12 3 . .
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计算面积的步骤
1 画出曲线草图 2 确定积分区间 ⇐= 从曲线交点得到 3 确定被积函数 ⇐= 从曲线方程得到 4 计算积分结果 ..
12 3 . .
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直角坐标下的面积
例 3 求椭圆 2 2 + y2 b2 = 1 的面积． ..
12 3 . .
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平面图形的面积
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第一节
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直角坐标下的面积
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A
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极坐标下的面积
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B
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直角坐标与极坐标
直角坐标 (,y) 和极坐标 (ρ,θ) 的关系为 .. . y . ρ . θ ( = ρ cos θ y = ρ sin θ 例子 圆心在原点，半径为 的圆 它的直角坐标方程为 2+ y2 = 2 它的极坐标方程为 ρ = ..
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直角坐标与极坐标
直角坐标 (,y) 和极坐标 (ρ,θ) 的关系为 .. . y . ρ . θ ( = ρ cos θ y = ρ sin θ 例子 圆心在原点，半径为 的圆 它的直角坐标方程为 2+ y2 = 2 它的极坐标方程为 ρ = ..
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直角坐标与极坐标
直角坐标 (,y) 和极坐标 (ρ,θ) 的关系为 .. . y . ρ . θ ( = ρ cos θ y = ρ sin θ 例子 圆心在原点，半径为 的圆 它的直角坐标方程为 2+ y2 = 2 它的极坐标方程为 ρ = ..
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直角坐标与极坐标
直角坐标 (,y) 和极坐标 (ρ,θ) 的关系为 .. . y . ρ . θ ( = ρ cos θ y = ρ sin θ 例子 圆心在原点，半径为 的圆 它的直角坐标方程为 2+ y2 = 2 它的极坐标方程为 ρ = ..
12 3 . .
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直角坐标与极坐标
直角坐标 (,y) 和极坐标 (ρ,θ) 的关系为 .. . y . ρ . θ ( = ρ cos θ y = ρ sin θ 例子 圆心在原点，半径为 的圆 它的直角坐标方程为 2+ y2 = 2 它的极坐标方程为 ρ = ..
12 3 . .
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极坐标曲线
几种常见的极坐标曲线（参考课本附录Ⅲ） ρ = 2 cos θ· · · ·圆 ρ2= 2cos 2θ· · · ·双纽线 ρ = cos 3θ· · · ·三叶玫瑰线 ρ = cos 2θ· · · ·四叶玫瑰线 ..
12 3 . .
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极坐标曲线
几种常见的极坐标曲线（参考课本附录Ⅲ） ρ = 2 cos θ· · · ·圆 ρ2= 2cos 2θ· · · ·双纽线 ρ = cos 3θ· · · ·三叶玫瑰线 ρ = cos 2θ· · · ·四叶玫瑰线 ..
12 3 . .
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极坐标曲线
几种常见的极坐标曲线（参考课本附录Ⅲ） ρ = 2 cos θ· · · ·圆 ρ2= 2cos 2θ· · · ·双纽线 ρ = cos 3θ· · · ·三叶玫瑰线 ρ = cos 2θ· · · ·四叶玫瑰线 ..
12 3 . .
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极坐标曲线
几种常见的极坐标曲线（参考课本附录Ⅲ） ρ = 2 cos θ· · · ·圆 ρ2= 2cos 2θ· · · ·双纽线 ρ = cos 3θ· · · ·三叶玫瑰线 ρ = cos 2θ· · · ·四叶玫瑰线 ..
12 3 . .
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极坐标下的面积
由曲线 ρ = ρ(θ) 及射线 θ = α，θ = β 所围成 的曲边扇形的面积 为 A = ∫ β α 1 2 ρ(θ)2dθ . . θ = α . θ = β . . O . dA = 12ρ2dθ . dθ . ρ ..
12 3 . .
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极坐标下的面积
由曲线 ρ = ρ(θ) 及射线 θ = α，θ = β 所围成 的曲边扇形的面积 为 A = ∫ β α 1 2 ρ(θ)2dθ . . θ = α . θ = β . . O . dA = 12ρ2dθ . dθ . ρ ..
12 3 . .
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极坐标下的面积
由曲线 ρ = ρ(θ) 及射线 θ = α，θ = β 所围成 的曲边扇形的面积 为 A = ∫ β α 1 2 ρ(θ)2dθ . . θ = α . θ = β . . O . dA = 12ρ2dθ . dθ . ρ ..
12 3 . .
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极坐标下的面积
由曲线 ρ = ρ(θ) 及射线 θ = α，θ = β 所围成 的曲边扇形的面积 为 A = ∫ β α 1 2 ρ(θ)2dθ . . θ = α . θ = β . . O . dA = 12ρ2dθ . dθ . ρ ..
12 3 . .
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极坐标下的面积
由曲线 ρ = ρ(θ) 及射线 θ = α，θ = β 所围成 的曲边扇形的面积为 A = ∫ β α 1 2 ρ(θ)2dθ . . θ = α . θ = β . . O . dA = 12ρ2dθ . dθ . ρ ..
12 3 . .
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极坐标下的面积
例 4 计算阿基米德螺线 ρ = θ（ > 0）上对应于 θ 从 0 到 2π 的一段弧与极轴所围成的图形的面积． ..
12 3 . .
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极坐标下的面积
例 5 计算心形线 ρ = (1 + cos θ)（ > 0）所围成 的图形的面积． .. ρ = (1 + cos θ) . . O . 2 思考 求双纽线 ρ2 = 2cos 2θ 所围成图形的面积． ..
12 3 . .
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极坐标下的面积
例 5 计算心形线 ρ = (1 + cos θ)（ > 0）所围成 的图形的面积． .. ρ = (1 + cos θ) . . O . 2 思考 求双纽线 ρ2 = 2cos 2θ 所围成图形的面积． ..
12 3 . .
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复习与提高：平面图形的面积
复习 1 (1) 求由曲线 y = −2+ + 2 与 轴所围 成的图形的面积． (2) 求由 y = 3 和 y = p3 所围成的图形的面积． ..
12 3 . .
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复习与提高：平面图形的面积
复习 1 (1) 求由曲线 y = −2+ + 2 与 轴所围 成的图形的面积． (2) 求由 y = 3 和 y = p3 所围成的图形的面积． ..
12 3 . .
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平面图形的面积
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第一节
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空间立体的体积
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第二节
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平面曲线的弧长
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第三节
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123 . .
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空间立体的体积
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第二节
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旋转体的体积
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A
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一般立体的体积
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B
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123 . .
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旋转体的体积
由曲线 y = ƒ ()，直线 = , = b 及 轴所围成 的平面图形，绕 轴旋转而成的旋转体的体积是 V = ∫ b πy2d= π ∫ b [ƒ ()]2d .由曲线 y = ƒ ()，直线 = , = b 及 y = c 所围 成的平面图形，绕 y = c 旋转而成的旋转体的体积是 V = ∫ b π(y − c)2d= π ∫ b [ƒ () − c]2d ..
123 . .
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旋转体的体积
由曲线 y = ƒ ()，直线 = , = b 及 轴所围成 的平面图形，绕 轴旋转而成的旋转体的体积是 V = ∫ b πy2d = π ∫ b [ƒ ()]2d .由曲线 y = ƒ ()，直线 = , = b 及 y = c 所围 成的平面图形，绕 y = c 旋转而成的旋转体的体积是 V = ∫ b π(y − c)2d= π ∫ b [ƒ () − c]2d ..
123 . .
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旋转体的体积
由曲线 y = ƒ ()，直线 = , = b 及 轴所围成 的平面图形，绕 轴旋转而成的旋转体的体积是 V = ∫ b πy2d= π ∫ b [ƒ ()]2d .由曲线 y = ƒ ()，直线 = , = b 及 y = c 所围 成的平面图形，绕 y = c 旋转而成的旋转体的体积是 V = ∫ b π(y − c)2d= π ∫ b [ƒ () − c]2d ..
123 . .
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旋转体的体积
由曲线 y = ƒ ()，直线 = , = b 及 轴所围成 的平面图形，绕 轴旋转而成的旋转体的体积是 V = ∫ b πy2d= π ∫ b [ƒ ()]2d .由曲线 y = ƒ ()，直线 = , = b 及 y = c 所围 成的平面图形，绕 y = c 旋转而成的旋转体的体积是 V = ∫ b π(y − c)2d= π ∫ b [ƒ () − c]2d ..
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旋转体的体积
由曲线 y = ƒ ()，直线 = , = b 及 轴所围成 的平面图形，绕 轴旋转而成的旋转体的体积是 V = ∫ b πy2d= π ∫ b [ƒ ()]2d .由曲线 y = ƒ ()，直线 = , = b 及 y = c 所围 成的平面图形，绕 y = c 旋转而成的旋转体的体积是 V = ∫ b π(y − c)2d = π ∫ b [ƒ () − c]2d ..
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旋转体的体积
由曲线 y = ƒ ()，直线 = , = b 及 轴所围成 的平面图形，绕 轴旋转而成的旋转体的体积是 V = ∫ b πy2d= π ∫ b [ƒ ()]2d .由曲线 y = ƒ ()，直线 = , = b 及 y = c 所围 成的平面图形，绕 y = c 旋转而成的旋转体的体积是 V = ∫ b π(y − c)2d= π ∫ b [ƒ () − c]2d ..
123 . .
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旋转体的体积
由曲线 = ƒ (y)，直线 y = , y = b 及 y 轴所围成 的平面图形，绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积是 Vy = ∫ b π2dy = π ∫ b [ƒ (y)]2dy .由曲线 = ƒ (y)，直线 y = , y = b 及 = c 所围 成的平面图形，绕 = c 旋转而成的旋转体的体积是 Vy = ∫ b π( − c)2dy = π ∫ b [ƒ (y) − c]2dy ..
123 . .
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旋转体的体积
由曲线 = ƒ (y)，直线 y = , y = b 及 y 轴所围成 的平面图形，绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积是 Vy = ∫ b π2dy = π ∫ b [ƒ (y)]2dy .由曲线 = ƒ (y)，直线 y = , y = b 及 = c 所围 成的平面图形，绕 = c 旋转而成的旋转体的体积是 Vy = ∫ b π( − c)2dy = π ∫ b [ƒ (y) − c]2dy ..
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旋转体的体积
由曲线 = ƒ (y)，直线 y = , y = b 及 y 轴所围成 的平面图形，绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积是 Vy = ∫ b π2dy = π ∫ b [ƒ (y)]2dy .由曲线 = ƒ (y)，直线 y = , y = b 及 = c 所围 成的平面图形，绕 = c 旋转而成的旋转体的体积是 Vy = ∫ b π( − c)2dy = π ∫ b [ƒ (y) − c]2dy ..
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旋转体的体积
由曲线 = ƒ (y)，直线 y = , y = b 及 y 轴所围成 的平面图形，绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积是 Vy = ∫ b π2dy = π ∫ b [ƒ (y)]2dy .由曲线 = ƒ (y)，直线 y = , y = b 及 = c 所围 成的平面图形，绕 = c 旋转而成的旋转体的体积是 Vy = ∫ b π( − c)2dy = π ∫ b [ƒ (y) − c]2dy ..
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旋转体的体积
由曲线 = ƒ (y)，直线 y = , y = b 及 y 轴所围成 的平面图形，绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积是 Vy = ∫ b π2dy = π ∫ b [ƒ (y)]2dy .由曲线 = ƒ (y)，直线 y = , y = b 及 = c 所围 成的平面图形，绕 = c 旋转而成的旋转体的体积是 Vy = ∫ b π( − c)2dy = π ∫ b [ƒ (y) − c]2dy ..
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旋转体的体积
由曲线 = ƒ (y)，直线 y = , y = b 及 y 轴所围成 的平面图形，绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积是 Vy = ∫ b π2dy = π ∫ b [ƒ (y)]2dy .由曲线 = ƒ (y)，直线 y = , y = b 及 = c 所围 成的平面图形，绕 = c 旋转而成的旋转体的体积是 Vy = ∫ b π( − c)2dy = π ∫ b [ƒ (y) − c]2dy ..
123 . .
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旋转体的体积
例 1 求椭圆 2 2 + y2 b2 = 1 绕 轴旋转所得的旋转体 的体积． 例 2 求由 y = ， = , 及 轴所围成的平面图形， 分别绕 轴和绕 y 轴旋转所得的旋转体的体积． ..
123 . .
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旋转体的体积
例 1 求椭圆 2 2 + y2 b2 = 1 绕 轴旋转所得的旋转体 的体积． 例 2 求由 y = ， = , 及 轴所围成的平面图形， 分别绕 轴和绕 y 轴旋转所得的旋转体的体积． ..
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空间立体的体积
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第二节
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旋转体的体积
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A
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一般立体的体积
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B
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一般立体的体积
设立体在过点 = 、 = b 且垂直于 轴的两个平 面之间，过点 且垂直于 轴的截面面积为 A()， 则该立体的体积为 V = ∫ b A() d ..
123 . .
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一般立体的体积
例 3 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，且 与底面的交角为 α，计算这平面截圆柱体所得立体的 体积． .. . y . O. α . α ..
123 . .
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一般立体的体积
例 3 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，且 与底面的交角为 α，计算这平面截圆柱体所得立体的 体积． .. . y . O. α . α ..
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一般立体的体积
例 3 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，且 与底面的交角为 α，计算这平面截圆柱体所得立体的 体积． .. . y . O. α . α ..
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复习与提高：旋转体的体积
复习 1 求由曲线 y = −2+ 1 与 轴所围成的平面 图形，绕 轴旋转而成的旋转体的体积． ..
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平面图形的面积
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第一节
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空间立体的体积
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第二节
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平面曲线的弧长
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第三节
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1 23 . .
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平面曲线的弧长
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第三节
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直角坐标下的弧长
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A
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极坐标下的弧长
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B
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直角坐标下的弧长
设曲线弧由参数方程 ( = φ(t) y = ψ(t) （α ¶ t ¶ β）给出， 则它的长度为 s = ∫ β α p φ′2(t) + ψ′2(t) dt 例 1 求摆线 ( = (t − sin t) y = (1 − cos t) 对应 0 ¶ t ¶ 2π 的一拱的长度． ..
1 23 . .
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直角坐标下的弧长
设曲线弧由参数方程 ( = φ(t) y = ψ(t) （α ¶ t ¶ β）给出， 则它的长度为 s = ∫ β α p φ′2(t) + ψ′2(t) dt 例 1 求摆线 ( = (t − sin t) y= (1 − cos t) 对应 0 ¶ t ¶ 2π 的一拱的长度． ..
1 23 . .
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直角坐标下的弧长
设曲线弧由直角坐标方程 y = ƒ ()（ ¶ ¶ b）给 出，则它的长度为 s = ∫ b p 1+ y′2d 例 2 计算曲线 y = 233/ 2 上相应于 ¶ ¶ b 的一 段弧的长度． ..
1 23 . .
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直角坐标下的弧长
设曲线弧由直角坐标方程 y = ƒ ()（ ¶ ¶ b）给 出，则它的长度为 s = ∫ b p 1+ y′2d 例 2 计算曲线 y = 233/ 2 上相应于 ¶ ¶ b 的一 段弧的长度． ..
1 23 . .
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平面曲线的弧长
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第三节
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直角坐标下的弧长
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A
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极坐标下的弧长
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B
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极坐标下的弧长
设曲线弧由极坐标方程 ρ = ρ(θ)（α ¶ θ ¶ β）给出， 则它的长度为 s = ∫ β α p ρ2(θ) + ρ′2(θ) dθ 例 3 计算阿基米德螺线 ρ = θ（ > 0）相应于 0 ¶θ ¶ 2π 的一段弧长． ..
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