一個使用遺傳演算法改良之投資組合保險模型之研究
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(2) 一個使用遺傳演算法改良之投資組合保險模型之研究. 指導教授：黃健峯 博士 國立高雄大學資訊工程所. 學生：蔡岳霖 國立高雄大學資訊工程所. 摘要 在投資研究的領域中，一個著名的可同時降低投資風險並取得超額報酬的方法為固定 比例投資組合保險策略(constant proportional portfolio insurance, CPPI)，在傳統論文大都採 用報酬率或是夏普比率(Sharpe ratio)檢驗相關方法的績效。在本篇論文中，我們提出一個應 用遺傳演算法(Genetic Algorithms, GA)改良既有之 CPPI 使其較既有方式更具有降低風險與 提升績效之投資策略模型，其成份包含：(1)運用多種技術指標協助模型判斷適當的進出場 時機；(2)利用 CPPI 作為資金配置方式；(3)採用多種績效指標用來進行回測或驗證模型的 優劣，包含複利報酬率、最大下跌幅度(maximum drawdown)、左尾偏動差(lower partial moment)、夏普比率、索丁諾比率(Sortino ratio)、克瑪比率(Calmar ratio)、歐米茄比率(Omega ratio)以及資訊比率(information ratio)。實驗結果顯示，利用克瑪比率經遺傳演算法所建立 的投資策略，在增加獲利與迴避風險狀況皆優於傳統之方式。我們期望本研究方法能夠推 進目前遺傳演算法在投資領域上的應用研究。. 關鍵字：固定比例投資組合保險策略、遺傳演算法、技術指標、績效指標. I.
(3) A Study of Improved Portfolio Insurance Models Using Genetic Algorithms Advisor: Dr. Chien-Feng Huang Institute of Computer Science and Information Engineering National University of Kaohsiung Student: Yue-Lin Cai Institute of Computer Science and Information Engineering National University of Kaohsiung ABSTRACT Constant proportional portfolio insurance (CPPI) is a well-known money management strategy in the research area of investment. Past effort along this line of research mainly employed various return ratios or the risk-adjusted Sharpe ratio to examine the performance of relevant models developed for CPPI. In this thesis an improved CPPI-based model is proposed. The main ingredients in the proposed model consist of three major components: (1) technical indicators are used to determine market timing; (2) the CPPI strategy is used for money management; and (3) The class of Genetic Algorithms is used for model selection and parameter optimization. In this study, multiple ratios are employed as distinct fitness functions to evolve the solutions and a comparative study of these methods is presented. I will show that the proposed method using Calmar ratio typically outperform the models using other ratios. It is thus expected that this proposed methodology can advance the current state of machine learning for computational finance and investment.. Keywords: Constant proportional portfolio insurance, genetic algorithms, technical indicators, performance indicators. II.
(4) 致謝 經歷了入學、求學、撰寫論文等階段，至今已完成碩士生涯，這一路走來雖然跌跌撞 撞，但因為有許多人的協助與鼓勵，讓我可以順利的完成這重要的里程碑。於此請容我先 行感謝我的指導老師黃健峯 教授，無論是在學術領域亦或是在業界的經驗都萬分的感謝 您的諄諄教誨和循循善誘，使對於一切懵懵懂懂的學生能夠有所成長。於此也很感謝張志 向 教授在財務領域上的指導與建議，讓我這個理工背景的學生對於財務這方面能有深入 的認識與體會。感謝洪宗貝 教授與蔡佳靜 教授在百忙之中能夠參與學生的口試，並給予 學生較為不足之處善加指導，各位老師的建議讓學生多有收穫，在此請容許我向各位老師 致上最高的敬意與謝意，謝謝各位教授。 同時我要對實驗室的學長、同學與學弟表達感謝之意。感謝祥睿、嘉澤、繼仁在我 遇到瓶頸的時候總是適時的伸出援手，協助我度過難關；謝謝良宇學長、宗男學長、賜 文的提供了許多寶貴建議和協助；因為立偉與振安協助，讓我能夠順利的完成口試；感 謝淑真助教的幫忙；感謝這兩年共同努力的同學們，有你們回憶是美好的。感謝我朋友 們在我失落時給我許多的安慰與鼓勵。最後我想特別感謝我的父母與姊姊，謝謝你們的 包容與關懷。感謝你們大家，讓我能夠順利的完成碩士學位。. 岳霖 謹誌 國立高雄大學 資訊工程所 中華民國一百零二年十月. III.
(5) 目錄 1. 導論 .......................................................................................1 1.1. 研究背景 ...................................................................................... 1. 1.2. 研究目的 ...................................................................................... 2. 1.3. 論文架構 ...................................................................................... 2. 1.4. 本研究貢獻 .................................................................................. 3. 2. 文獻探討 ...............................................................................4 2.1. 技術指標 ...................................................................................... 4. 2.2. 固定比率投資組合保險 .............................................................. 4. 2.3. 績效指標 ...................................................................................... 6. 2.4. 遺傳演算法於金融領域的相關研究 .......................................... 7. 3. 研究方法 ...............................................................................8 3.1. 技術指標 ...................................................................................... 8. 3.1.1. 移動平均線(MA) ........................................................................................................ 8. 3.1.2. 隨機指標(KD) ............................................................................................................ 9. 3.1.3. 指數平滑異同移動平均線(MACD) ........................................................................ 10. 3.1.4. 乖離率(bias) .............................................................................................................. 10. 3.1.5. 固定日期交易(fixed maturity date transaction) ....................................................... 11. 3.2. CPPI 定義之資金部位配置....................................................... 11 IV.
(6) 3.3. 績效指標 .................................................................................... 12. 3.3.1. 報酬率(return) ........................................................................................................... 12. 3.3.2. 最大下跌幅度(maximum drawdown) ...................................................................... 13. 3.3.3. 左尾偏動差(lower partial moment) .......................................................................... 13. 3.3.4. 風險值(value at risk) ................................................................................................. 14. 3.3.5. 夏普比率(Sharpe ratio) ............................................................................................. 15. 3.3.6. 索丁諾比率(Sortino ratio) ........................................................................................ 15. 3.3.7. 克瑪比率(Calmar ratio) ............................................................................................ 15. 3.3.8. 歐米茄比率(Omega ratio) ........................................................................................ 16. 3.3.9. 資訊比率(information ratio) ..................................................................................... 16. 3.4. 遺傳演算法 ................................................................................ 17. 3.4.1. 演化流程 ................................................................................................................... 17. 3.4.2. 編碼方式 ................................................................................................................... 18. 3.4.3. 交配與突變 ............................................................................................................... 20. 3.5 3.5.1. 3.6. 統計驗證 .................................................................................... 21 正確率(accuracy)和精準度(precision) ..................................................................... 21. 實驗流程 .................................................................................... 22. 4. 研究結果 .............................................................................24 4.1. 資料來源與研究期間 ................................................................ 24. 4.2. 驗證研究方式 ............................................................................ 24. 4.3. 研究結果比較 ............................................................................ 25. 4.3.1. 各適應性函數收斂圖比較 ....................................................................................... 25. 4.3.2. 各技術指標出現比例分析 ....................................................................................... 27. 4.3.3. 各適應性函數之累積報酬比較 ............................................................................... 29 V.
(7) 4.3.4. 各適應性函數之複利報酬率(RG)的實驗結果 ....................................................... 30. 4.3.5. 各適應性函數之 MDD 實驗結果............................................................................ 34. 4.3.6. 各適應性函數之𝐿𝑃𝑀1 實驗結果 ............................................................................. 39. 4.3.7. 各適應性函數之 box plot 的分析 ............................................................................ 43. 4.3.8. 正確率(accuracy)和精準度(precision)比較 ............................................................. 46. 4.3.9. 與傳統 CPPI 之投資策略進行比較 ........................................................................ 47. 4.3.10. 整合性比較 ........................................................................................................... 54. 5. 結論 .....................................................................................56 參考文獻 ..................................................................................57. VI.
(8) 表目錄 表 3.1. TP、FP、FN 和 TN 對應表 ............................................................................................. 22 表 4.1. Cross validation 間隔區間圖示 ......................................................................................... 25 表 4.2. 各適應性函數在累積報酬率圖中區域 A 與區域 B 之 MDD ....................................... 30 表 4.3. GA 中各適應性函數於訓練期之複利報酬率資料比較表 ............................................. 30 表 4.4. GA 中各適應性函數於測試期之複利報酬率資料比較表 ............................................. 32 表 4.5. 測試期於 39 個 CV 各適應系函數之複利報酬率(RG)勝場數比較表 ......................... 33 表 4.6. GA 中各適應性函數於訓練期之 MDD 資料比較表 ...................................................... 35 表 4.7. GA 中各適應性函數於測試期之 MDD 資料比較表 ...................................................... 36 表 4.8. 測試期於 39 個 CV 中各適應系函數之 MDD 勝場數比較表 ...................................... 39 表 4.9. GA 中各適應性函數於訓練期之𝐿𝑃𝑀1 資料比較表 ....................................................... 39 表 4.10. GA 中各適應性函數於測試期之𝐿𝑃𝑀1 資料比較表 ..................................................... 41 表 4.11. 測試期於 39 個 CV 中之各適應系函數之𝐿𝑃𝑀1 勝場數比較表 .................................. 42 表 4.12. 各不同指標 accuracy 與 precision 比較表 .................................................................... 46 表 4.13. 傳統與改良式 CPPI 之複利報酬率(GA)之勝率表 ...................................................... 49 表 4.14. 傳統與改良式 CPPI 之 MDD 之勝率表 ....................................................................... 50 表 4.15. 傳統與改良式 CPPI 之𝐿𝑃𝑀1 之勝率表 ......................................................................... 51 表 4.16. 傳統與改良式 CPPI 在不同趨勢下的複利報酬率(RG)與 MDD 之範例一 ............... 53 表 4.17. 傳統與改良式 CPPI 在不同趨勢下的複利報酬率(RG)與 MDD 之範例二 ............... 54. VII.
(9) 圖目錄 圖 3.1. 遺傳演算法演化步驟 ....................................................................................................... 18 圖 3.2. 染色體編碼 ....................................................................................................................... 19 圖 3.3. 遺傳演算法之交配示意圖 ............................................................................................... 20 圖 3.4. 遺傳演算法之突變示意圖 ............................................................................................... 21 圖 3.5. 實驗流程圖 ....................................................................................................................... 23 圖 4.1. 各績效指標收斂圖 ........................................................................................................... 26 圖 4.2. 各績效指標之技術指標出現比率分布圖 ....................................................................... 28 圖 4.3. GA 中各適應性函數於測試期之累積報酬率圖 ............................................................. 29 圖 4.4. 各適應性函數與 benchmark 的複利報酬率於測試期之勝率圖 ................................... 34 圖 4.5. 各適應性函數與 benchmark 的 MDD 於測試期之勝率圖 ............................................ 38 圖 4.6. 各適應性函數與 benchmark 的𝐿𝑃𝑀1 勝率圖.................................................................. 43 圖 4.7. 各適應性函數於測試期之複利報酬率(RG)的 box plots ............................................... 44 圖 4.8. 各適應性函數於測試期之 MDD 的 box plots ................................................................ 45 圖 4.9. 各適應性函數於測試期之𝐿𝑃𝑀1 的 box plots ................................................................. 45 圖 4.10. 傳統與改良式 CPPI 之複利報酬率(GA)比較圖 .......................................................... 48 圖 4.11. 傳統與改良式 CPPI 之 MDD 比較圖 ........................................................................... 49 圖 4.12. 傳統與改良式 CPPI 之𝐿𝑃𝑀1 比較圖 ............................................................................. 51 圖 4.13 台股股價上漲、下跌以及盤整區間之股價範例圖一 .................................................. 52 圖 4.14. 台股股價上漲、下跌以及盤整區間之股價範例圖二 ................................................. 53. VIII.
(10) 1. 導論 1.1 研究背景 在經濟趨緩的年代，一般人為獲得優渥的生活甚至達到財務自由的境界，通常會從事 副業、投資房地產、公司、股票等，但投資房產或公司一開始所需金額過高，所以對於多 數人而言會選擇投資股票以保住並增加資產，然而台灣股票市場中股價的變化可能相當劇 烈，如 1990 年 2 月起，八個月內台股從 12682 點跌到 2485 點才止住，跌幅高達 80.4%； 2000 年的網路泡沫化使台灣股價從 10393 點跌至 3411 點，跌期約 20 個月；2008 年金融 海嘯讓台股在 13 個月內從 9859 點跌了 59%，股價來到 3955 點之後在七個月內反漲到 7084 點，因而如何能夠在這種劇烈之股價變化中降低投資風險並獲取報酬，一直以來皆是財務 研究及實務的重點。傳統上為了避免風險通常會採用固定比例投資組合保險策略(constant proportional portfolio insurance, CPPI)，但因傳統型之 CPPI 為了能夠有效降低風險，大幅度 犧牲了獲利，所以如何能夠獲取超額報酬與降低風險便是許多人討論的重點。 基於上述所言本研究企圖建立一能夠有效獲利且能夠降低風險的投資策略，其成份包 含 ：技術指標 (technical indicators) 、 固定比例投資組合保險 策略(CPPI) 以及績效 指 標 (performance indicators)。技術指標是指股票交易過程中所產生的相關數據資料如股價、交 易量、成交金額等在經過特定公式計算過後所產生的數值，並觀察與運用這些數值來判斷 何時買進與賣出。固定比例投資組合保險乃一資金配置策略，所謂資金配置策略乃指將預 計進行投資之全部資金，依照特定方式進行資金分配，並在某一段時間後進行重新調整， 如資金分配方式為 40%投入股票市場其餘部分則保留為現金，每一個月進行調整，則如果 全部投入金額為 1000 元，則投入股票市場有 400 元，600 元則以現金保留，若在一個月後 因投資股票有獲益而使總金額變為 2000 元則再次進行資金分配使得投入市場之資金變為 800 元，其餘則仍以現金保留。績效指標為用以評論一交易策略的成效，在本研究中有兩 -1-.
(11) 種功能：其一為利用績效指標進行回測，藉以求出最佳投資組合策略；其二為用以評斷此 投資組合策略實際運用時其成效之優劣。. 1.2 研究目的 在投資研究的領域一個著名的可同時降低投資風險並取得超額報酬的方法為固定比 例投資組合保險策略(constant proportional portfolio insurance) [7]。關於此方法過去研究大都 皆採用投資報酬率或夏普比率(Sharpe ratio)以檢驗相關方法的績效，在本研究中我們的目 標在於使用其他的績效指標以檢視於 CPPI 中如何能更進一步降低投資風險並提升報酬率， 以改良先前的 CPPI 的相關方法。我們將使用遺傳演算法結合不同績效指標所設計之適應 性函數(用以回測系統優劣之指標，後續章節會進行詳細說明)以建構最佳的 CPPI 模型，並 對這些模型進行統計驗證以測試其效能及計算相對應的投資報酬率與資產所遭遇之最大 風險，以幫助投資人能了解如何藉由 CPPI 以在更有效的風險控制下取得較佳報酬。. 1.3 論文架構 本文章節安排如下:第 1 章前言，主要講解研究的背景，目的及貢獻；第 2 章為文獻探 討，回顧過去相關研究文獻並討論與本研究有何關連；第 3 章之資料與研究方法將詳述本 研究所使用方法，包含遺傳演算法，技術指標、部位配置、績效指標等；第 4 章呈現研究 結果，並分析與討論其相關意義；最後第 5 章為結論，總結本次研究成果，並提出未來可 深入研究之方向。. -2-.
(12) 1.4 本研究貢獻 在本研究中我們探討的目標在於使用數種特定的績效指標以檢視於 CPPI 中如何能更進 一步降低投資風險並提升報酬率，以改良先前之 CPPI 的相關方法。主要方式為使用遺傳 演算法(Genetic Algorithm, GA)及適合的績效指標作為適應性函數，除利用複利報酬率進行 比較外，同時採用最大下跌幅度(maximum drawdown, MDD) [1]和左尾偏動差(lower partial moment, LPM)作為策略之風險指標，藉由同時探討報酬率與風險以更全面地評估不同投資 策略之優劣。在過去 CPPI 策略之相關研究中，於財務之領域中傳統型之 CPPI 通常採取的 方式為固定時間進出場之策略，其用以之衡量策略之成效的績效指標大多為複利報酬率[8]； 在較為後期時有部分學者將 CPPI 導入至人工智慧領域並加以研究，而在人工智慧領域中 所討論的 CPPI，所採取衡量策略優劣之成效的績效指標大多為複利報酬率或夏普比率 (Sharpe ratio) [10]，本研究中另外採用克瑪比率(Calmar ratio)、 歐米茄比率(Omega ratio)、 資訊比率(information ratio)以及索丁諾比率(Sortino ratio)等數種績效指標進行比較，運用遺 傳演算法結合多種技術指標判斷進出場時機與上述數種績效指標所設計之適應性函數以 建構出最佳的 CPPI 模型，並對這些模型進行統計驗證以測試其效能及計算相對應的投資 報酬率與資產所遭遇之最大風險，以幫助投資人能了解如何藉由 CPPI 以在更有效的風險 控制下取得較佳報酬。我們的結果證實以 Calmar ratio 做為適應性函數所建構而成之投資 模型比起由其他績效指標所建立之投資模型亦或是傳統型之 CPPI 策略更具有降低投資風 險並提升報酬率之成效。. -3-.
(13) 2. 文獻探討 在本研究中我們所建構之投資策略將由三種成份所構成：技術指標、CPPI 定義之資金 部位配置以及利用績效指標評斷整個投資策略之優劣。底下我們將針對上述各項進行探討。. 2.1 技術指標 股票市場中經常會發生若一件事件後另一事件會接續發生，而恰巧能夠藉由技術指標 反應這種傾向，技術指標通常利用股票市場中因交易所產生的相關歷史數值，如開盤價、 收盤價、成交量等，透過公式將這些數值做計算以決定進場與出場的時機點。廣為使用之 著名技術指標包括：Granville [17]所發明之移動平均線(moving average, MA)；Wong et al. [37]所採用之乖離率(bias ratio)；Appel [2]所利用之指數平滑異同移動平均線(moving average convergence and divergence, MACD)；Lane [24]所運用的隨機指標(stochastic oscillator, KD) 等。. 2.2 固定比率投資組合保險 投資組合策略乃指將資金運用特定方式進行分配，並利用此分配方式增加報酬率與降 低風險，如將資金均分成二等份，一份投入股票而另一份保留為現金。不同策略擁有不同 的風險，例如將大部分資金投入高風險之投資標的，稱之為高風險投資策略，反之亦然， 在 本 研 究 中採用之投資 策略 為 以降低風險為主要考量之 投資組合保險策略 (portfolio insurance)，其投資理念為藉由犧牲部分上漲時之利益，以降低在下跌時所受損失之策略。 常使用的方式有固定比例投資組合保險策略(constant proportional portfolio insurance)、時間 -4-.
(14) 不變性投資組合保險策略(time invariant portfolio protection)、買入持有(buy and hold, BH)等。 固定比例投資組合保險策略(CPPI)是 Black 和 Perold [7]所提出之投資組合保險策略。 其投資方式是將可投入金額分為二大部份，其一為追求高報酬與高風險並齊之投資標的， 例如股票、期貨、選擇權等，稱之為風險性資產(risky asset)；剩餘部分則採用非風險性資 產(risk-free asset)，例如債劵、現金等。利用最低要保額度(floor)與風險乘數(multiplier)動態 調整風險性資產與非風險性資產之比率，當股價持續上漲時，此策略會調整將提高投入風 險性資產比率；當股價下跌時，則將部分金額由風險性資產轉移到非風險性資產。Black and Jones [6]認為在波動市場上因 CPPI 採用動態調整投入市場金額，依比率將部分金額放入低 風險性資產可降低因下跌所受損害，比起將全部金額投入市場更具有保本效果。Balder et al. [33]證實在離散型即進出場時間不固定之 CPPI 策略能夠有效保護資產。Hamidi et al. [18] 認為 CPPI 除了可以提高報酬外，對於風險更具有控管效果，故採用 1998-2008 年期間法國 股市(CAC)成份股中 40 支股票資料與 dynamic autoregressive quantile model of the value at risk (DARQ-VaR)比較後而證明 CPPI 的確能夠有效降低風險。Pézier [31]利用 S&P500 與 Apple 股價做為資料用來比較基礎投資保險(option base portfolio insurance, OBPI)和 CPPI， 其結果證實 CPPI 保本結果優於 OBPI。Dichtl 和 Drobetz [13]利用蒙特卡羅模擬方法模擬 CPPI 策略和簡單的基準策略，其結果證明 CPPI 的確適合運用在喜好展望理論(prospect theory)之投資者。Prigent [32]則利用 power options 的權證相關資料比較 OBPI 與 CPPI，其 亦證實 CPPI 有優異之保本效果。Bertrand 與 Prigent [5]則證明透過槓桿之 exchange-traded funds (ETF) 的 確 能 夠 有 效 利 用 CPPI 作 為 一 投 資 組 合 策 略 以 進行 投 資 。 Khuman 和 Constantinou [23]則證明 CPPI 確實為一有效之投資組合策略，其採用 GARCH 與數種績效 -5-.
(15) 指標證明 CPPI 的確優於買入持有策略。. 2.3 績效指標 在採用特定之技術指標與投資系統進行一段時間的投資後，需要檢視此策略是否能符 合投資人預期，一般常用獲利程度(報酬率)與風險幅度來檢測投資系統，以下我們針對本 研究所採用的績效指標加以討論：最大下跌幅度(maximum drawdown)是由 Acar 和 James [1] 、Magdon-Ismail et al. [27]以及 Chekhlov et al. [9]所使用，其定義為在投資過程中資產 所出現的最大連續虧損。左尾偏動差(lower partial moment)是由 Bawa [3]與 Fishburn [14]所 提出之理論架構，其藉由與目標報酬率(target return)與資產報酬率相互比較以求出損失風 險。Linsmeier [26]提出風險值模型(value at risk, VaR)其主要定義為在某一信賴水準下，未 來投資資金依照此信賴水準可能蒙受之最大損失。Sharpe [35]所提出的夏普比率(Sharpe ratio)，其定義為將報酬率減去無風險(risk free)，例如債券後，每承擔一單位風險，可獲取 多少超額報酬。Sortino 和 Meer [36]提出索丁諾比率(Sortino ratio)為計算投資組合在每一單 位風險下之超額報酬。此點與 Sharpe ratio 相似，但兩者在風險定義有所差異。Sharpe ratio 所定義之風險為年化標準差，會同時考慮正向與負向的標準差，而 Sortino ratio 僅考慮負 向標準差，此含有投資組合之正向標準差為投資人所期望的正報酬，故僅列入負向標準差 當作風險考量。Calmar ratio 為 Young [38]所提出之將年化報酬率除以最大下跌幅度(MDD) 以定義出在最大風險下所獲得之報酬。因同時考慮損失以及獲利，故高獲利、低風險之投 資組合在此績效指標中會表現較佳。歐米茄比率(Omega Ratio)則是利用報酬率、無風險利 率與左尾偏動差計算所求得，是由 Shadwick 和 Keating [34]所提出，但為了實驗上的方便 與一致性故採用 Kaplan 和 Knowles [22]所定義之 Omega ratio 公式。資訊比率(information ratio)是由 Goodwin [16]所提出，主要是用以測量與基準值即大盤之差異。與 Sharpe ratio 不 同的是 Sharpe ratio 所比較的為無風險利率，而 information ratio 所比較的為大盤本身的報 酬率。 -6-.
(16) 2.4 遺傳演算法於金融領域的相關研究 1975 年 Holland [19]提出遺傳演算法(Genetic Algorithm)，其主要概念源自於物種物競天 擇的演進規律：自然界中物種經交配與突變進而不斷演化，以適者生存、不適者淘汰的演 化方式，藉由演化之結果使得越優秀的物種越容易存活。目前遺傳演算法已運用在各種不 同領域上，在金融投資方面亦有相當數量的相關研究。例如 Becker et al. [4]在選股模型中 比較傳統模型與利用遺傳演算法改良之模型，其改良模型是以遺傳演算法建構出線性及非 線性之選股模型，研究證明其線性模型能較精確分析出在於選股時不同指標的效果。Chen 和 Lin [11]提出一種新的投資組合保險策略稱之為 partitioned portfolio insurance (PPI)與 relational genetic algorithm (RGA)，將整個將傳統的投資組合保險策略同時跟分割成多個相 似或獨立的子投資組合，其結果證實此法的確能夠有效降低風險與提高利潤。Orito [29]將 各投資組合中不同風險權重(weight of proper risk)之貢獻率(contribution rate)視為適應性函 數進行遺傳演算法演化，藉以求出最佳投資組合。Huang et al. [20]證實比起傳統的迴歸分 析，遺傳演算法所建構之選股模型擁有較為優秀的預測能力。Zhou et al. [39]提出一種利用 遺傳演算法選擇具有高投資價值之績優股，利用投資組合所創造之報酬進行回測，證明 GA 可以幫助投資者選擇最有用有價值的股票投資組合。Maringer 與 Tikesh [28]以 Sortino ratio 做為 genetic programming 的適應性函數，同時利用遺傳演算法演化 GARCH (1,1)所生成之 數據集以尋找進出場點，其結果證實在此架構下使用 Sortino ratio 為演化標的能有不錯的 績效。在本研究中我們則將直接以台灣加權股價指數為測試數據，並比較採用 Sortino ratio 及 Calmar ratio 等績效指標之 GA 演化的結果。如稍後結果將顯示，以 Calmar ratio 為演化 標的所建構的投資系統將獲得比 Sortino ratio 更優良之績效。. -7-.
(17) 3. 研究方法 此本研究將透過數種技術指標與遺傳演算法尋找最佳化進出場策略模型，並運用不同 的績效指標進行回測藉以改良 CPPI 模型的績效，並加以討論各種不同適應性函數所求出 之報酬率與風險值。本研究之研究數據為台灣加權指數(TAIEX)，是由臺灣證券交易所所 編製的股價指數，研究期間為 1973 年 1 月到 2012 年 12 月共 40 年時間，在此我們採用 加權指數之日線收盤價作為研究的樣本數據。. 3.1 技術指標 3.1.1. 移動平均線(MA). 移動平均線是運用統計學上平均數的概念將原本波動幅度價大的股價轉成較平滑化 之數值，因此可看出股價的趨勢方向。本研究中所採用為簡單移動平均線(simple moving average)，以下簡稱為 SMA 其定義如下： 假設欲求第 S 天之𝑆𝑀𝐴𝑠 ，自第𝐶𝑠−𝑛−1起連續 n 天數收盤價至𝐶𝑠 除以 n 日，其中𝐶𝑠 為 S 天之收盤價格，其公式如下： 𝑆𝑀𝐴𝑠 =. 𝑛−1 1 ∑ 𝐶𝑠−𝑖 . 𝑛 𝑖=0. (1). 𝑆𝑀𝐴𝑠 的進出場分析方式為 Wong et al. [37]所採用價格突破(breakout) 法。𝐶𝑒𝑟 代表進場 價格，𝐶𝑒𝑡 則代表出場價格，當股價向上穿過𝑆𝑀𝐴𝑠 時表示其有較大機率為多頭行情因此定 為進場訊號，反之則為出場訊號。 𝐶𝑒𝑟 = 𝐶𝑠 , if 𝐶𝑠 > 𝑆𝑀𝐴𝑠 and 𝐶𝑠−1 < 𝑆𝑀𝐴𝑠−1 ,. (2). 𝐶𝑒𝑡 = 𝐶𝑠 , if 𝐶𝑠 < 𝑆𝑀𝐴𝑠 and 𝐶𝑠−1 > 𝑆𝑀𝐴𝑠−1 .. (3). 移動平均線之斜率轉折法(slope turning)為 Lin et al. [25]所曾應用以尋找進出場訊號的 -8-.
(18) 方法，以移動平均線斜率反轉為進出場訊號，其定義如下： 𝐶𝑒𝑟 = 𝐶𝑠 , if 𝑆𝐸𝑠−1 < 0 and 𝑆𝐸𝑠 > 0 ,. (4). 𝐶𝑒𝑡 = 𝐶𝑠 , if 𝑆𝐸𝑠−1 > 0 and 𝑆𝐸𝑠 < 0 ,. (5). 其中𝑆𝐸𝑠 代表在𝑆𝑀𝐴𝑠 之斜率。當連續之𝑆𝐸𝑠 之斜率呈現為正值，代表目前為多頭市場，反之 當斜率呈現為負值，則為空頭市場，斜率轉折當由負值轉為正值時，為進場訊號如公式(4)， 反之由正值轉成負值則為出場訊號如公式(5)。 Hunter [21]將𝑆𝑀𝐴𝑠 改良成為指數平滑移動平均線(exponential moving average, EMA)。 此方法可將不同時間之股價數據給予個別權重，而各數據權重會根據常數 α 調整，使得愈 離越遠的時間之數據權重越低，其意涵為：𝐸𝑀𝐴𝑠 為在時間 s 日之 EMA；n 表示為時間；α 可視為平滑因子；𝐶𝑠 為 s 日之收盤價，其公式如下： 𝑎 = 1⁄𝑛 , 0 < 𝑎 ≤ 1 ,. (6). 𝐸𝑀𝐴𝑠 = 𝛼 × (𝐶𝑠 − 𝐸𝑀𝐴𝑠−1 ) .. (7). 3.1.2. 隨機指標(KD). 隨機指標(stochastic oscillator, KD)是由 Lane [24]觀察股價後創作未成熟隨機值(raw stochastic value, RSV)，並依循特定計算方式求出快速隨機指標(K 線)、慢速隨機指標(D 線) 後，再利用 K 線與 D 線之相互交叉計算出何時買入與賣出，計算方式如下： (1) 先計算出 RSV，其公式如下： 𝑅𝑆𝑉𝑠 =. (𝐶𝑠 − 𝐻𝑛 ) , (𝐻𝑛 − 𝐿𝑛 ). (8). 其中 n 為設定交易區間常設定為 9 日，𝐻𝑛 為交易區間最高價，𝐿𝑛 為最低價，𝐶𝑠 則為在特 定時間點 k 之收盤價。 (2) 再依據下列公式求出 K 線與 D 線： 𝐾𝑠 = ((1 − 𝑎) × 𝐾𝑠−1 ) + (𝑎 × 𝑅𝑆𝑉𝑠 ) ,. (9) -9-.
(19) 𝐷𝑠 = ((1 − 𝑎 ) × 𝐷𝑠−1 ) + (𝑎 × 𝐾𝑠 ) .. (10). 使用公式(9)及(10)計算之後𝐾𝑠 及𝐷𝑠 值皆會介於 0 至 100 之間。進出場的設計通常是當 𝐷𝑠 大於 80 且𝐾𝑠 線向上穿過𝐷𝑠 線時為進場訊號，當𝐷𝑠 小於 20 且𝐾𝑠 線向下穿過𝐷𝑠 線時為出 場訊號。. 3.1.3. 指數平滑異同移動平均線(MACD). 由 Appel [2] 所 發 表 之 指 數 平 滑 異 同 移 動 平 均 線 (moving average convergence and divergence)其先定義二條指數平滑移動平均線(EMA)，分別為一時間區隔較短之快速 𝐸𝑀𝐴𝑆,𝑠 與另一時間區隔較長之慢速𝐸𝑀𝐴𝐿,𝑠，其中快速𝐸𝑀𝐴𝑆,𝑠 通常訂定為 12 日 EMA，慢速 𝐸𝑀𝐴𝐿,𝑠 則常以 26 日進行計算，算出快慢速 EMA 後，將二者相減之差異量稱為差離值(DIF)， 再利用 DIF 做為數據資料將求出𝐸𝑀𝐴𝐷𝐼𝐹,𝑠 稱之為 DEM，通常時間區隔定為 9 日值，利用 DIF 與 DEM 值呈現出發散(convergence)或收斂(divergence)現象，判斷進出場點。當𝐷𝐼𝐹𝑠 由 下往上穿過𝐷𝐸𝑀𝑠 時，為進場訊號，而𝐷𝐼𝐹𝑠 由上往下穿過 DEM 時，為出場訊號。其𝐷𝐼𝐹𝑠 值 與𝐷𝐸𝑀𝑠 值公式如下： 𝐷𝐼𝐹𝑠 = 𝐸𝑀𝐴𝑆,𝑠 − 𝐸𝑀𝐴𝐿,𝑠 ,. (11). 𝐷𝐸𝑀𝑠 = 𝐸𝑀𝐴𝐷𝐼𝐹,𝑠 .. (12). 3.1.4. 乖離率(bias). 所謂 bias 指大盤收盤價與移動平均線之差異量，其公式如下： 𝑏𝑖𝑎𝑠𝑠 =. (𝐶𝑠 − 𝑆𝑀𝐴𝑠 ) ⁄𝑆𝑀𝐴 , 𝑠. (13). 其中𝐶𝑠 代表特定時間點的收盤價，𝑆𝑀𝐴𝑠 則是在該時間點時的 s 日 SMA 線，利用依據上述 公式計算股價偏離簡單移動平均線之差異量，並自行決定偏離多少比率要進行交易，例如 -10-.
(20) 投資人可設 bias 比率為 6%，則代表大於 6%時出場、小於-6%時進場。. 3.1.5. 固定日期交易(fixed maturity date transaction). 固定日期交易(fixed maturity date transaction)為定期投資的概念，在一固定循環時間進 場與出場，例如將固定循環時間定為 10 天，即表示已進場時間開始後 10 天出場，以此做 為進出場循環策略。本文循環時間為一年。. 3.2 CPPI 定義之資金部位配置 本文實驗組採用CPPI，對照組為買入持有(buy-and-hold)以下簡稱為BH，以下針對CPPI 與買入持有進行討論。買入持有為最簡易投資模型：第一次進場時便將資金全部進場後即 不出場直到投資期間結束再全部贖回，是由Perold和Sharpe [30]所提出。只要市場的走勢皆 為正面，不論市場如何波動，採用買入持有策略，資產還是會往上增值，此外因長期持有 故可避免繁複交易而造成沉重手續費成本。另外買入持有(BH)可視為大盤(benchmark)的收 益，常利用其與其他模型進行比較。 CPPI是屬於較簡單易懂的投資保險策略，旨在面對股價行情快速變化時，減少部分獲 利以求取大幅降低風險。CPPI是Black與Perold [7]在1987年所發表之模型。該策略特色有二： 其一為資產組合由風險性資產(risk asset)與無風險資產(risk-free asset)，在本文中分別設定 為台灣股價加權指數與現金。另一則為策略先會確定保本額度與動態控指投入資金比率之 風險乘數。公式如下： 𝐶𝑘 = 𝐴𝑘 − 𝑓𝑘 ,. (14). 𝑒𝑘 = 𝑀𝑖𝑛[𝑚 × 𝐶𝑘 , if (0 < 𝑚 ≤ 10), 𝐴𝑘 ] ,. (15) -11-.
(21) 其中𝑒𝑘 (exposure)代表風險性資產，m (multiple)是風險乘數，m可控制投入資金的比例，乘 數越大風險性資產越多，𝑐𝑘 (cushion)是緩衝額度，緩衝額度由投資組合總資產𝐴𝑘 減去最低 要保額度(𝑓𝑘 )。 使用 CPPI 時，投資人依據自己所能承擔投資風險能力，來決定最低要保額度(𝑓𝑘 )。在 CPPI 中，最低要保額度需要投資人設定調整法則來動態調整，在得到最低要保額度(𝑓𝑘 )以 及風險乘數(m)後，利用公式(15)可得風險性資產(e𝑘 )，其為用來投資風險高但獲利也相對 高的投資標的，而剩餘之保險性資產則用來投資低風險、低獲利但較穩定投資標的，當總 資產與積極性資產因獲利或虧損發生變動時則須根據公式(14)與公式(15)重新計算新的風 險性資產配置。. 3.3 績效指標 本研究中績效指標共有兩種功能：其一為在 GA 演化過程會產生多種投資模型，此時 需要績效指標作為回測機制用來衡量模型之優劣。其二為經 GA 演化出之最佳模型後，會 將其用以在未知市場進行一段時間之測試，於此時需要運用績效指標用以測試最佳模型之 績效，藉此衡量不同適應性函數之最佳模型的優劣，之後章節會進行更加詳細的敘述。. 3.3.1. 報酬率(return). 報酬率主要是用來計算投資策略的獲利高低，常用者為算數平均(arithmetic)和幾何平 均(geometric)兩種。算數平均年報酬率(arithmetic return, 𝑅𝑎 )定義為總報酬率除以資金投入 總年數計算之。幾何平均報酬率又稱為複利報酬率(geometric return, 𝑅𝑔 )或稱年均化報酬率 -12-.
(22) 是將每年獲利後的再投資也計算進去，舉例來說如果總報酬率為 20%，投資年限為 4 年， 則平均年報酬率(𝑅𝑎 )為 5%，複利報酬率(𝑅𝑔 )則為 4.66%。二者公式分別如下： 𝑅𝑎 =. 𝑛 1 ∑ 𝑅𝑡 , 𝑛 𝑡=1 1/𝑛. 𝑛. 𝑅𝑔 = (∏. (16). (1 + 𝑅𝑡 )). (17). −1,. 𝑡=1. 其中 n 表示投資績效被計算的總時間區間數，在本文是採用年數總和。在本研究中因複利 報酬率同時做為績效指標與比較值，故定義複利報酬率為績效指標時顯示為 return；若為 比較值時則以 RG 為表示。. 3.3.2. 最大下跌幅度(maximum drawdown). 1997年Acar與James [1] 提出兩種可以識別出風險(risk)之方法，maximum loss (ML)與 maximum drawdown (MDD)，其中ML代表投資組合策略於投資歷史上單次最大損失，MDD 為投資組合策略於投資歷史上最大連續損失。其二者差異為ML僅計算單次交易損失幅度， MDD則表示多次交易所損失幅度。若𝑊𝑡 表示資產W在時間t時的價值，則. 𝑀𝐿𝑡 = max(𝑊𝑡−1 − 𝑊𝑡 ) , 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 ,. (18). 𝑀𝐷𝐷𝑡 = max(max(𝑊𝑘 ) − 𝑊𝑡 ) , 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 ; 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑡 .. (19). 3.3.3. 左尾偏動差(lower partial moment). 有關於風險時別的方式在Bawa [3]與Fishburn [14]所提出左尾偏動差(LPM)又稱低偏動 差，其風險是運用n階左尾偏動差進行衡量，Fishburn證明不同的n值可代表不同投資人的風 險忍受值，若n＜1，表示投資者是風險的愛好者(risk-seeking behavior)，即具有高度風險容 -13-.
(23) 忍度者；若n＝1，投資人屬於風險中立者(risk-neutral behavior)，即表示為中度風險容忍者； 若n＞1，則是風險趨避者(risk-averse behavior)，則為低度風險容忍者，而且隨著n值愈大表 示投資人愈厭惡風險， LPM公式如下： 1. 𝐿𝑃𝑀𝑛 = 𝑡 ∑𝑡𝑖=1 𝑚𝑎𝑥 [𝑅𝑎 − 𝑅𝑖 , 0]𝑛 ,. (20). 其中𝑅𝑎 為算數平均年報酬率，請參考公式(16)，𝑅𝑖 為目標報酬率(target return)。當 n＝0 時， LPM 代表低於目標報酬率的機率(below target probability)；n＝1 時，LPM 可視為預期損失 (expected loss)；若 n＝2 時 LPM 則視為低於目標報酬率的下行半變異數(below-target semivariance)。在本研究中將利用𝐿𝑃𝑀1 作投資策略中評估風險之方式。. 3.3.4. 風險值(value at risk). 風險值(value at risk, VaR)是由 Linsmeier [26]在 2000 年所提出，其定義為在特定時間 範圍與特定信賴水準下所損失的最大金額。主要衡量 VaR 的方式有三種：歷史模擬法 （historical simulation approach）、蒙地卡羅模擬法（Monte Carlo simulation approach）、變 異數-共變異數法(variance covariance approach)，本研究所採用的方式為歷史模擬法，以下 為計算 VaR 步驟： (1) 過去一段時間的股票收盤價(𝐶1 , 𝐶2 , ⋯ , 𝐶𝑛 )； (2) 計算前𝑛 − 1筆的股價變動率∆𝑅𝑖 =. (𝐶𝑖+1 − 𝐶𝑖 ) ⁄𝐶 ； 𝑖. (3) 將所有的股價變動率由小到大排序； (4) 依照信賴水準估算出變動率(P)，以 200 筆損益資料為例，若信賴水準為 95%，則第 10 筆資料（200*5）即為估算之變動率； (5) 𝑉𝑎𝑅 = −(𝐶𝑖 ×P)。 -14-.
(24) 其𝑉𝑎𝑅之值代表為 n 天內最大損失。. 夏普比率(Sharpe ratio). 3.3.5. Sharpe [35]提出 Sharpe ratio 是以平均年報酬率除以平均年報酬率之標準差而得，常用 以評估投資組合中每單位總風險下可得到的報酬，是一般文獻中最常被拿來比較投資模型 的一種績效指標，定義如下：. Sharpe =. 𝑅𝑎 − 𝑅𝑓𝑟 , 𝜎𝑆𝑅. (21). 𝑁 1 √ = ∑ (𝑅𝑖 − 𝑅𝑎 )2 , 𝑁 𝑖=1 2. 𝜎𝑆𝑅. (22). 其中 N 表示投資績效被計算的總時間區間數(本文定為年數)，𝑅𝑖 表示在時間區間(i)的報酬 率，𝑅𝑎 即為公式(16)所求出之平均年報酬率，𝑅𝑓𝑟 代表無風險利率，𝜎是年化報酬率之標準 差。. 3.3.6. 索丁諾比率(Sortino ratio). Sortino和Meer [36]在1991年提出Sortino ratio，其與Sharp ratio差別在於Sharpe ratio採用 年化標準差，而Sortino ratio是以下行標準差或稱為負向標準差，亦即lower partial moment (LPM)以代表投資組合所存在的風險，請參考公式(20)。在計算出𝐿𝑃𝑀2 後，將原本Sharpe ratio的年化標準差𝜎改為𝐿𝑃𝑀2 可求得新方程式，其中 𝑅𝑎 代表平均年報酬率，公式如下所示： Sortino =. 3.3.7. (𝑅𝑎 − 𝑅𝑓𝑟 ) 2. √𝐿𝑃𝑀2. .. (23). 克瑪比率(Calmar ratio). Calmar ratio亦稱之為drawdown ratio是由Young [38]所提出。Calmar ratio是將複利報酬 -15-.
(25) 率去除以MDD而得，其公式如下： 𝑅𝑔 ⁄ 𝑀𝐷𝐷 .. Calmar =. (24). Calmar ratio、Sharpe ratio 與 Sortino ratio 在計算報酬率的部分差異在於 Sharpe ratio 與 Sortino ratio 採用平均年報酬率而 Calmar ratio 則是採用複利報酬率；風險部分 Sharpe ratio 是用年化標準差，Sortino ratio 採用負向標準差，Calmar ratio 則利用最大下跌幅度(MDD)。. 3.3.8. 歐米茄比率(Omega ratio). 2002 年由 Shadwick 和 Keating [34]所提出之 Omega Ratio，在本研究中採用 Kaplan 和 Knowles [22]所提出更為容易理解之公式：. Omega =. 𝑅𝑎 − 𝑅𝑓𝑟 +1. 𝐿𝑃𝑀1. 3.3.9. 資訊比率(information ratio). (25). Information ratio 是由 Goodwin [16]於 1998 年所提出的公式，與 Sharpe ratio 的差異為 Sharpe ratio 所比較的為無風險利率，而 information ratio 所比較的為大盤(BH)的報酬率，其 公式如下： Information =. (𝑅𝑎 −𝑅𝐵𝐻 ) 𝜎𝐼𝑅. ,. (26). 1. 2 𝜎𝐼𝑅 = √𝑁 ∑𝑁 𝑖=1(𝑅𝑎− 𝑅𝐵𝐻 ) ,. (27). 其中𝑅𝐵𝐻 為大盤的報酬率，𝑅𝑎 則為公式(16)所示。. -16-.
(26) 3.4 遺傳演算法 本研究中因牽涉到選取最佳的技術指標模型、最佳化參數，故採用一種廣泛被使用的 演算法即是 Holland [19]所提出之遺傳演算法來處理本研究中最佳化的問題。. 3.4.1. 演化流程. 遺傳演算法是依據達爾文的物競天擇說，模仿生物學的演化過程，經由選擇親代、交 配及突變進而產生子代等機制，不斷改進群體適應性的演算法。其中個體的適應性是利用 可克服當時生存環境定義的適應性函數(fitness function)來判定，適應值較佳的個體將有較 高的機會被選擇成為親代以產生子代，其演算法簡易流程步驟如下： (1) 隨機產生一組有 x 個個體的初始族群，每個個體各自存在 n-bits 的遺傳型基因(染色體)，定義如下： 𝐴 = {𝐶1 , 𝐶2 , ⋯ , 𝐶𝑥 }, 𝑥 ∈ 𝑁; 𝐶𝑥 = {𝐷1 , 𝐷2 , ⋯ , 𝐷𝑛 }, 𝐷𝑛 ∈ {0,1}.. (28). A 表示由 x 個個體所組成的群組，𝐶𝑥 代表第 x 個體，𝐷𝑛 則代表在某個體中的一個編碼 數，在二進位的表示法中其值為 0 或 1。 (2) 評估每個個體的適應性強度，在本文中我們會根據 3.3 節所定義的績效指標作為染色 體的適應值。 (3) 依序選擇親代、交配及異變，經不斷重複運算直到有 x 個後代子孫被產生。 (4) 以新產生 x 個的子孫取代原有 x 個個體的族群，成為一個新族群。 (5) 回到(2)，直到終止條件發生為止。 依序上述步驟可歸類出遺傳演算法演化步驟流程，如圖 3.1 所示。 -17-.
(27) 判斷演算法停止計算的條件一般可透過三種方法：(1)判斷是否收斂：設定收斂值門檻， 一旦到達門檻即可停止執行演算法。(2)訂定終止世代：設定系統執行到特定世代便停止進 行演算法。(3)時間決定：預設演算法可執行時間，到達時間便停止運算。. 圖 3.1. 遺傳演算法演化步驟. 3.4.2. 編碼方式. 本研究基本資料設定為交配機率(crossover rate)為0.7，突變機率(mutation rate)則為 0.005，染色體數量為50條並採取二進位編碼。篩選機制則採用競賽選擇法[6]。 圖3.2為一染色體中所含各參數示意圖，每一條染色體內皆含有7種不同參數；參數由 左至右分別為風險乘數(m)、要保額度(f)、進場策略、MA值、短MA值、長MA值、離差值， 值域範圍依序介紹如下： -18-.
(28) 圖3.2. 染色體編碼. 其中每一個𝑑1 ⋯ 𝑑𝑁 利用內插法的方式將原本50位元的2進位編碼轉成固定的值域範圍 的數值，各種不同參數的值域範圍如下所示： (1) 風險乘數(m)：值域範圍為0.01至9； (2) 要保額度(f)：值域範圍為0至1； (3) 進場策略:我們使用的技術指標有共有7種：移動平均線(MA)，研究中還區分為價格突破 與斜率轉折兩種、乖離率(bias)、指數平滑移動平均線(EMA)、隨機指標(KD)、指數平 滑異同移動平均線(MACD)以及固定交易日其等； (4) MA值：移動平均法所需MA天數，值域範圍為2-200； (5) 短MA值：此為MACD與EMA所需參數，值域範圍為2至200； (6) 長MA值：此為MACD與EMA所需參數，值域範圍為2至200； (7) 離差值(DIF)：此為MACD策略所需參數，值域範圍為2-200。 本文利用上述架構為基礎，針對不同適應性函數(fitness)之定義進行探討。. -19-.
(29) 3.4.3. 交配與突變. 於本研究中突變與交配所採用方式為 Goldberg 和 Deb [15]於 1991 年提出的競賽選取 法(tournament selection)，以 2 進制編碼產生 50 條染色體，從中隨機選擇 2 條染色體來競 爭選出優秀的親代，進行多次的競賽直到選出足夠的親代，再進行交配與突變。 交配方式為將 2 個染色體設為親代，經過將染色體互換方式產生出含有親代部分特性 的子代，在本研究中我們使用由 1993 年 De Jong 和 Spears [12]提出的單點交配的方式，交 配步驟如下： (1) 將 50 條染色體任意選擇 2 條𝐹𝐷𝑥 、𝐹𝐷𝑦 作為親代，定義如下： 𝑥 𝐹𝐷𝑥 = {𝐷1𝑥 , 𝐷2𝑥 , ⋯ 𝐷𝑛−1 , 𝐷𝑛𝑥 }; 𝐷𝑛𝑥 ∈ {0,1}; 𝑛 ∈ 𝑁,. (29) 𝐹𝐷𝑦 =. 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 {𝐷1 , 𝐷2 , ⋯ 𝐷𝑛−1 , 𝐷𝑛 };. 𝑦 𝐷𝑛. ∈ {0,1}; 𝑛 ∈ 𝑁.. (2) 任意選擇某一點 i 作為交配點，將親代𝐹𝐷𝑥 、𝐹𝐷𝑦 依 i 點區分為兩部分並進行交配如圖 3.3 進而產生子代𝑆𝐷𝑥 、𝑆𝐷𝑦 。其公式如下： 𝑦. 𝑦. 𝑦. 𝑆𝐷𝑥 = {𝐷1𝑥 , 𝐷2𝑥 , ⋯ , 𝐷𝑖𝑥 , 𝐷𝑖+1 , ⋯ , 𝐷𝑛−1 , 𝐷𝑛 }; 𝐷𝑛𝑥 ∈ {0,1}; 𝑛 ∈ 𝑁 , (30) 𝑆𝐷𝑦 =. 𝑦 𝑦 𝑦 𝑥 𝑥 {𝐷1 , 𝐷2 , ⋯ , 𝐷𝑖 , 𝐷𝑖+1 , ⋯ , 𝐷𝑛−1 , 𝐷𝑛𝑥 };. 𝐷𝑛𝑥. ∈ {0,1}; 𝑛 ∈ 𝑁.. 圖 3.3. 遺傳演算法之交配示意圖 -20-.
(30) 突變為針對交配後所產生的每一子代染色體中任一點進行反轉，在本研究中即為 0 轉 為 1 或 1 轉為 0。在合理的突變範圍內可使避免區域最佳解。若突變機率設定過高則將使 遺傳演算法變成隨機演算法，其突變方式如圖 3.4 所示：. 圖 3.4. 遺傳演算法之突變示意圖. 3.5 統計驗證 3.5.1. 正確率(accuracy)和精準度(precision). 為了檢驗我們設計的方法所產生的模型的效能，在此我們利用 accuracy 和 precision 作 為判斷依據。Accuracy 定義為模型於訓練期和測試期中的成效具有一致性(一致性可定義為 若模型基於某指標之效能於訓練期中優(劣)於 benchmark 之效能，則測試期中模型之效能 亦優(劣)於 benchmark 之效能)；precision 則定義為在訓練期為有效(在此有效性可定義為模 型之效能優於 benchmark 之效能)的情況下，在測試期仍為有效。表 3.1 為計算 accuracy 及 precision 前須先建構之利用訓練期與測試期中模型的效能與 benchmark 之優劣性比較而計 算之 TP (true positive)、TN (true negatives)、FP (false positive)和 FN (false negatives)的數量。 -21-.
(31) 表 3.1. TP、FP、FN 和 TN 對應表 測試期 優於 benchmark. 劣於 benchmark. 優於 benchmark. True positive (TP). False positive (FP). 劣於 benchmark. False negative (FN). True negative (TN). 訓練期. Accuracy 與 precision 之公式定義如下： accuracy =. 𝑇𝑃 + 𝑇𝑁 , 𝑇𝑃 + 𝑇𝑁 + 𝐹𝑃 + 𝐹𝑁. (31). precision =. 𝑇𝑃 . 𝑇𝑃 + 𝐹𝑃. (32). 例如若將一投資模型建構系統於訓練期建立之 100 個模型逐一代入相對應的測試期資 料以檢驗之，若有 60 個模型於訓練期報酬率優於大盤，而其中 40 個於測試期報酬率仍優 於大盤，剩餘 20 個劣於大盤；另外 40 個模型於訓練期劣於大盤者中有 30 個於測試期優 於大盤，另外 10 個劣於大盤，則由上述資訊可得到 TP 為 40、FP 為 20、FN 為 30、TN 為 40+10. 50. 40. 40. 10，故可算出accuracy = 40+20+30+10 = 100 = 0.5；precision = 40+20 = 60 = 0.67。在本研究 中將利用此統計驗證來評估我們提出的方法所建構之模型是否擁有高正確率與精準度。. 3.6 實驗流程 本研究為一探討如何運用遺傳演算法設計出最佳之投資組合保險策略並用其投資台灣 股市，以期待能夠有效獲利和降低風險之策略，圖 3.5 為如何運用遺傳演算法求取最佳解 -22-.
(32) 之流程圖。. 圖 3.5. 實驗流程圖. -23-.
(33) 4. 研究結果 4.1 資料來源與研究期間 本研究數據以由臺灣證券交易所所編製之台灣股市加權指數為研究數據，以 1973 年 1 月 1 日到 2012 年 12 月 31 日共 40 年為研究區間，採用台灣加權指數(TAIEX)指數日線的 收盤價資料為數據樣本。. 4.2 驗證研究方式 本研究採用交叉驗證(cross validation, CV)來驗證模型的正確性。本研究將資料即台灣 股市加權指數 40 年之時間區間區分為訓練期(training phase)和測試期(testing phase)兩部分， 並採用將整體時間切割分為兩區段的方式，如訓練期為 10 年，測試期即為 30 年的方式來 處理。 本研究所採用的為每次累加 1 年的時間區隔方式，所以 40 年的時間範圍共有 39 個 CV 數，如表 4.1 所示。舉例來說，CV 為 1 表示將 1973 年 1 月 1 日至 1973 年 12 月 31 日的資 料設定為訓練資料(training data)，再將訓練出之最佳模型代入自 1974 年 1 月 1 日至 2012 年 12 月 31 日的測試資料(testing data)以測試模型的效能；CV 為 2 則表示訓練期資料範圍 為 1973 年 1 月 1 日至 1974 年 12 月 31 日的資料，測試期資料範圍則為自 1975 年 1 月 1 日至 2012 年 12 月 31 日的資料，以此類推至最後 CV 為 39 的訓練期為 1973 年 1 月 1 日 至 2011 年 12 月 31 日的資料，測試期為 2012 年 1 月 1 日至 2012 年 12 月 31 日的資料。 此外於每一個 CV 中，本研究設定皆會執行 50 回合的 GA，在執行每一次 GA 時會演化 50 代，每一代的個體數有 50 個，共會產生 1950 個投資策略模型。 -24-.
(34) 表 4.1. Cross validation 間隔區間圖示. 4.3 研究結果比較 本文將比較運用多種績效指標作為遺傳演算法之適應性函數個別演化出的最佳模型 後並實際測試這些利用此模型的效能。在此我們分別以獲利程度與風險程度進行比較，其 中獲利程度採用的指標為複利報酬率(RG)和風險值(MDD 與𝐿𝑃𝑀1 )，並利用 accuracy 與 precision 以比較在台股 40 年間所進行之訓練期與測試期中各適應性函數之差異。 在本節中將依序利用複利報酬率(return)、夏普比率(Sharpe ratio)、索丁諾比率(Sortino ratio)、歐米茄比率(Omega ratio)、資訊比率(information ratio)與克瑪比率(Calmar ratio)進行 比較，最後將進行整合性比較。. 4.3.1. 各適應性函數收斂圖比較. 本研究將 40 年之時間範圍分割成兩時段作為分隔，運用 4.2 節的方式共可將整個時間 範圍分為 39 個 CV。利用不同的績效指標作為遺傳演算法中之適應性函數，經演化後可得 到如圖 4.1 所示的「到目前為止平均最佳解」(averaged best-so-far solutions)之適應性值變化 圖，其為所找到之每一代時所得到之到「到目前為止平均最佳解」收斂而成的收斂圖。收 斂圖中最佳解曲線上之各垂直線為 95%信賴區間線，此代表 GA 所搜尋到之最佳解有 95% 機會落入此區間內。 -25-.
(35) 圖 4.1. 各績效指標收斂圖 -26-.
(36) 圖 4.1 由上至下、由左至右分別為 return(圖 a)、Sharpe ratio(圖 b)、Sortino ratio(圖 c)、 Calmar ratio(圖 d) 、Omega ratio(圖 e)與 information ratio(圖 f)。由圖 4.1 可觀察出 return 與 Calmar ratio 到後期的信賴區間線較其他適應性函數有逐漸縮短之趨勢，此代表二者的演化 過程所產生的解變異性較低，因此所演化出的解可複製性較高。此外，依據收斂圖觀察雖 然每一適應性函數收斂過程不一致，但可看出「到目前為止平均最佳解」約於 35 代附近便 趨於收斂而不再改變。. 4.3.2. 各技術指標出現比例分析. 遺傳演算法在不斷演化過程中，會產生運用不同技術指標所得的最佳組合策略，圖 4.2 為不同適應性函數之技術指標出現比率圖，由上至下、由左至右分別對應 return(圖 a)、 Sharpe ratio(圖 b)、Sortino ratio(圖 c)、Calmar ratio(圖 d) 、Omega ratio(圖 e)與 information ratio(圖 f)；每張圖中各柱狀圖由左至右為價格突破(breakout)、斜率轉折(slope turning)、指 數平滑移動平均線(EMA)、指數平滑異同移動平均線(MACD)、隨機指標(KD)及固定交易 日期(固定天數)。出現比率指的是在整個遺傳演算法演化過程中共有 39 個 CV，其中每個 CV 各自有 50 個回合，總共在 1950 回合中技術指標各自被選擇多少回合。舉例來說，若 EMA 的出現比率為 20%，則代表 1000 回合中該策略在其中的 200 回合被選中；出現比率 越高，代表該策略在整個交易組合系統中可能越重要。 由圖 4.2 可看出 MA 之價格突破在 return、Sharpe ratio 與 Calmar ratio 的出現比率有超 過 60%的機率，其中又以 return 的比率最高；Sortino ratio 則以 EMA 為最高，價格突破次 之；information ratio 則以 EMA 最高，第二為 KD。總結上述可得到除了 information ratio 外，在本研究中之投資策略利用價格突破作為進出場策略，較容易對應到良好的系統績效。 -27-.
(37) 圖 4.2. 各績效指標之技術指標出現比率分布圖. -28-.
(38) 4.3.3. 各適應性函數之累積報酬比較. 圖 4.3 為部分適應性函數經測試期後所求得之累積報酬率的較佳模型的範例說明，橫 軸為較佳模型的投資範圍(1983 年至 2012 年)，縱軸為累積報酬率。由圖可以看出 Calmar ratio 之累積的報酬為最高，Sharpe ratio 次之。. 圖 4.3. GA 中各適應性函數於測試期之累積報酬率圖. 在此我們更進一步以圖 4.3 中之區域 A 與區域 B 為範例以顯示投資風險的程度。表 4.2 為此二區域的對應於多個績效指標之 MDD 詳細值，我們可以看到 1988 年(區域 A)附 近與 2000 年(區域 B)附近 Calmar ratio 對應之 MDD 較其他適應性函數更小，因此更具有 降低風險之效果。 -29-.
(39) 表 4.2. 各適應性函數在累積報酬率圖中區域 A 與區域 B 之 MDD 區域. MDD(區域 A). MDD(區域 B). Calmar ratio. 13%. 11%. Return. 56%. 57%. Sharpe ratio. 24%. 12%. Sortino ratio. 56%. 39%. 績效指標. 各適應性函數之複利報酬率(RG)的實驗結果. 4.3.4. 表 4.3 及表 4.4 為訓練期及測試期在每一 CV 使用各適應性函數之複利報酬率的實驗 結果，縱軸為每一個 CV 編號，其編號可對照表 4.1 所表示之每一個訓練期與測試期的時 間範圍；橫軸則包含以 return、Sharpe ratio、Sortino ratio、Calmar ratio、Omega ratio 和 information ratio 等六個適應性函數經過特定計算方式得到之 50 個最佳解，以及利用這些 最佳解所對應之模型而求得之平均複利報酬率(RG)。 表 4.3. GA 中各適應性函數於訓練期之複利報酬率資料比較表 Sharpe ratio Sortino ratio Calmar ratio Omega ratio. Information ratio. CV. Return. 1. 89.95. 11.43. 11.43. 1.64. 11.43. -∞. 2. 46.36. 46.36. 45.34. 46.36. 45.34. 28.47. 3. 42.54. 11.91. 26.05. 26.05. 26.05. 41.91. 4. 45.77. 19.57. 45.77. 7.34. 45.77. 31.59. 5. 41.64. 40.82. 40.82. 41.64. 40.82. 32.14. 6. 37.96. 22.68. 22.68. 14.78. 22.68. 36.04. 7. 31.16. 18.14. 22.17. 20.78. 22.17. 6.77. 8. 25.50. 14.70. 25.50. 13.87. 25.50. 6.78. 9. 22.77. 22.77. 22.77. 6.58. 22.77. 21.96. 10. 19.85. 19.82. 19.85. 15.15. 19.85. -100.00. -30-.
(40) 表 4.3. GA 中各適應性函數於訓練期之複利報酬率資料比較表(續) 11. 21.65. 18.02. 21.38. 14.79. 21.65. 19.60. 12. 19.41. 7.55. 7.55. 7.55. 7.55. -100.00. 13. 18.18. 7.50. 18.18. 7.50. 18.18. -100.00. 14. 18.12. 7.18. 7.18. 7.19. 7.18. -100.00. 15. 27.46. 20.05. 27.21. 19.93. 27.21. 14.85. 16. 33.10. 26.73. 29.80. 25.37. 29.80. 8.33. 17. 33.26. 32.03. 32.53. 29.59. 29.94. -100.00. 18. 34.50. 34.50. 14.27. 24.98. 32.99. 14.27. 19. 31.76. 26.70. 13.86. 26.96. 26.70. -100.00. 20. 29.07. 28.66. 9.35. 26.63. 24.24. -100.00. 21. 28.98. 28.57. 11.12. 23.50. 27.65. -100.00. 22. 29.31. 29.14. 29.14. 24.61. 25.98. -100.00. 23. 27.65. 27.49. 26.24. 4.64. 26.24. -100.00. 24. 27.05. 27.05. 8.49. 23.67. 25.83. -100.00. 25. 26.52. 24.05. 9.79. 24.05. 24.05. 9.56. 26. 24.76. 24.76. 9.99. 22.39. 9.99. -100.00. 27. 23.53. 23.44. 22.27. 21.62. 22.27. -100.00. 28. 22.14. 20.78. 20.01. 4.42. 21.22. -100.00. 29. 21.33. 21.33. 18.69. 19.98. 18.62. -100.00. 30. 21.28. 21.28. 5.12. 20.74. 20.87. 3.96. 31. 20.70. 20.35. 7.04. 20.40. 7.04. 7.04. 32. 19.94. 19.64. 6.43. 19.82. 6.43. -100.00. 33. 19.06. 18.63. 5.43. 18.90. 5.43. -100.00. 34. 18.48. 18.26. 6.67. 15.84. 6.67. -100.00. 35. 18.98. 18.70. 6.56. 18.80. 6.56. -100.00. 36. 18.06. 17.73. 8.21. 17.99. 8.21. -100.00. 37. 18.18. 18.15. 5.91. 17.28. 5.91. 6.61. 38. 18.15. 17.64. 7.81. 17.98. 18.15. -100.00. 39. 16.97. 16.56. 5.38. 16.97. 5.38. -100.00. -31-.
(41) 表 4.4. GA 中各適應性函數於測試期之複利報酬率資料比較表 Sharpe ratio Sortino ratio Calmar ratio Omega ratio. Information ratio. CV. Return. 1. 11.48. -0.26. -0.26. 10.91. -0.26. 4.83. 2. 9.26. 9.26. 9.23. 9.26. 9.23. 12.60. 3. 7.25. 9.29. 10.56. 10.56. 10.56. 11.29. 4. 5.58. 11.11. 5.58. 8.31. 5.58. 13.37. 5. 5.86. 7.25. 7.25. 5.86. 7.25. 10.83. 6. 6.99. 10.30. 10.30. 7.06. 10.30. 5.47. 7. 9.95. 11.47. 8.31. 12.90. 8.31. -100.00. 8. 6.59. 13.05. 6.59. 10.41. 6.59. 0.70. 9. 6.69. 6.69. 6.69. -0.13. 6.69. 6.13. 10. 6.98. 8.42. 6.98. 16.11. 6.98. 0.48. 11. 6.35. 6.11. 6.55. 13.32. 6.35. 6.27. 12. 10.51. 2.29. 2.29. 2.29. 2.29. 1.05. 13. 10.34. 1.71. 10.34. 1.71. 10.34. -1.35. 14. 12.66. 1.41. 1.41. 1.58. 1.41. -0.47. 15. 2.14. 7.02. 0.86. 9.80. 0.86. 4.01. 16. -1.82. 7.85. 8.37. 8.26. 8.37. 0.72. 17. -4.05. 0.90. -4.99. 6.56. -6.06. -0.22. 18. -0.34. -0.34. 1.13. 7.15. -0.78. 1.13. 19. -0.93. 6.27. 1.36. 6.57. 6.27. 1.19. 20. 0.30. 1.44. 0.56. 5.67. 6.46. -0.84. 21. -2.26. -1.33. -1.00. 5.99. -2.41. -1.26. 22. -1.74. -1.64. -1.64. 5.79. 5.38. -0.61. 23. -1.13. -1.11. -1.14. -0.94. -1.14. 4.48. 24. -2.70. -2.70. -3.86. 5.03. -3.54. -0.33. 25. -4.05. 3.26. -1.10. 3.26. 3.26. -1.70. 26. -2.25. -2.25. -0.72. 5.64. -0.72. -3.34. 27. 0.04. -2.98. 3.02. 5.83. 3.02. 1.70. 28. -4.37. 6.31. 6.51. 3.88. 7.03. -0.15. 29. -3.83. -3.83. 3.60. 3.71. 5.44. -0.35. 30. 0.66. 0.66. -0.42. 5.57. 6.35. -0.42. 31. -2.31. 1.88. 0.19. 3.52. 0.19. 0.19. 32. 6.51. 5.73. 1.04. 5.41. 1.04. -0.91. -32-.
(42) 表 4.4. GA 中各適應性函數於測試期之複利報酬率資料比較表(續) 33. 5.42. 5.36. 0.01. 4.99. 0.01. -6.98. 34. 1.67. 3.77. -5.66. 9.36. -5.66. -0.51. 35. 3.63. 0.02. -0.85. 2.11. -0.85. 2.24. 36. -0.17. 4.32. -6.67. 1.04. -6.67. -8.16. 37. -7.09. -4.33. -6.26. -7.02. -6.26. -6.90. 38. -7.18. -9.69. -9.72. -9.43. -7.18. -2.25. 39. -5.20. -3.25. -7.80. -5.20. -4.17. 2.47. 表 4.4 可以簡化成表 4.5 之數據，其分別表示在 39 個 CV 中共有幾個 CV 以兩兩適應 性函數針對複利報酬率(RG)進行比較後之勝場數總和。. 表 4.5. 測試期於 39 個 CV 各適應系函數之複利報酬率(RG)勝場數比較表 (不含相等值；其中縱軸為比較者、橫軸為被比較者) Return Return. Sharpe ratio. Sortino ratio. Calmar ratio. Omega ratio. Information ratio. 10. 18. 9. 16. 18. 22. 11. 19. 23. 8. 5. 23. 24. 29. Sharpe ratio. 22. Sortino ratio. 20. 11. Calmar ratio. 27. 24. 29. Omega ratio. 16. 12. 14. 12. Information ratio. 21. 16. 15. 10. 23. 15. 我們由表 4.5 提出一舉例說明，以縱軸之 Calmar ratio 為例，與橫軸之 return 之交會之 空格為在經過 39 個 CV 中每個 CV 兩兩比較後，Calmar ratio 勝過 return 之數量為 27。從 -33-.
(43) 表 4.5 可以看出所有適應性函數經過比較後，Calmar ratio 勝過其他函數之 RG 數量為最高， 此代表以 Calmar ratio 在測試期中所獲得的報酬優於其它適應性函數。 圖 4.4 為表 4.4 中每一個 CV 與同時間範圍內之 benchmark 的複利報酬率(RG)互相比 較後之勝率百分比，其中可看出勝率最高者為使用 Calmar ratio 之方法(超過 60%的勝率)， 可明顯表示出利用 Calmar ratio 做為適應性函數進行演化而得之模型的報酬率有超過一半 的機率能夠在測試期勝過大盤。. 圖 4.4. 各適應性函數與 benchmark 的複利報酬率於測試期之勝率圖. 4.3.5. 各適應性函數之 MDD 實驗結果. 表 4.6 及表 4.7 為訓練期及測試期在每一個 CV 中之 MDD 的結果，縱軸為每一個 CV 編號，其編號可對照表 4.7 所表示之每一個訓練期與測試期的時間範圍；橫軸則包含以 return、Sharpe ratio、Sortino ratio、Calmar ratio、Omega ratio 和 information ratio 等六個適 應性函數經計算得到之 50 個最佳解，以及利用這些最佳解所對應之模型而求得之 MDD。 -34-.
(44) 表 4.6. GA 中各適應性函數於訓練期之 MDD 資料比較表 Sharpe ratio Sortino ratio Calmar ratio Omega ratio. Information ratio. CV. Return. 1. 0.94. 2.61. 2.61. 0.01. 2.61. 0.76. 2. 2.88. 2.88. 3.18. 2.88. 3.18. 16.67. 3. 17.95. 4.40. 2.13. 2.13. 2.13. 16.67. 4. 11.39. 7.23. 11.39. 0.08. 11.39. 17.97. 5. 14.90. 16.43. 16.43. 14.90. 16.43. 16.67. 6. 15.14. 12.49. 12.49. 3.71. 12.49. 14.90. 7. 14.64. 14.54. 21.19. 6.05. 21.19. 53.88. 8. 23.82. 10.05. 23.82. 4.08. 23.82. 65.70. 9. 23.82. 23.82. 23.82. 1.48. 23.82. 23.16. 10. 26.23. 26.98. 26.23. 11.12. 26.23. 100.00. 11. 19.65. 19.07. 17.94. 10.22. 19.65. 26.49. 12. 20.62. 0.02. 0.02. 0.02. 0.02. 100.00. 13. 20.62. 2.07. 20.62. 2.07. 20.62. 100.00. 14. 22.23. 2.59. 2.59. 0.26. 2.59. 100.00. 15. 28.80. 15.94. 26.23. 10.69. 26.23. 35.86. 16. 28.80. 18.66. 24.47. 12.41. 24.47. 42.11. 17. 28.80. 24.46. 26.23. 11.35. 23.32. 100.00. 18. 25.83. 25.83. 35.39. 12.41. 39.92. 35.39. 19. 24.46. 25.91. 30.85. 15.28. 25.91. 100.00. 20. 30.27. 26.89. 46.09. 13.44. 14.87. 100.00. 21. 30.27. 26.89. 46.39. 12.41. 38.99. 100.00. 22. 30.27. 26.89. 26.89. 12.41. 19.53. 100.00. 23. 30.27. 26.89. 38.99. 2.43. 38.99. 100.00. 24. 26.89. 26.89. 43.67. 16.64. 38.99. 100.00. 25. 26.89. 14.76. 40.58. 14.76. 14.76. 44.06. 26. 26.89. 26.89. 38.60. 16.64. 38.60. 100.00. 27. 25.60. 30.38. 21.49. 18.40. 21.49. 100.00. 28. 31.49. 19.53. 18.07. 2.83. 19.69. 100.00. 29. 35.16. 35.16. 17.49. 16.64. 40.52. 100.00. -35-.
(45) 表 4.6. GA 中各適應性函數於訓練期之 MDD 資料比較表(續) 30. 31.42. 31.42. 54.50. 17.74. 19.69. 55.47. 31. 32.60. 28.98. 38.23. 16.64. 38.23. 38.23. 32. 19.69. 18.40. 41.34. 17.74. 41.34. 100.00. 33. 17.74. 19.53. 39.83. 16.64. 39.83. 100.00. 34. 19.69. 19.53. 37.84. 15.85. 37.84. 100.00. 35. 19.69. 28.98. 39.67. 17.74. 39.67. 100.00. 36. 22.99. 19.53. 42.44. 19.69. 42.44. 100.00. 37. 19.69. 19.59. 39.39. 18.07. 39.39. 38.77. 38. 19.69. 19.59. 33.08. 17.74. 19.69. 100.00. 39. 22.98. 24.48. 38.70. 22.98. 38.70. 100.00. 表 4.7. GA 中各適應性函數於測試期之 MDD 資料比較表. Sharpe ratio Sortino ratio Calmar ratio Omega ratio. Information ratio. CV. Return. 1. 60.00. 11.49. 11.49. 32.49. 11.49. 41.89. 2. 63.16. 63.16. 65.46. 63.16. 65.46. 56.74. 3. 64.70. 43.78. 33.75. 33.75. 33.75. 56.74. 4. 78.40. 30.35. 78.40. 40.37. 78.40. 33.57. 5. 73.26. 63.16. 63.16. 73.26. 63.16. 56.74. 6. 65.46. 29.24. 29.24. 42.61. 29.24. 78.40. 7. 58.44. 44.49. 53.00. 18.78. 53.00. 100.00. 8. 73.26. 19.69. 73.26. 41.46. 73.26. 75.18. 9. 73.26. 73.26. 73.26. 9.84. 73.26. 78.40. 10. 73.26. 63.16. 73.26. 27.94. 73.26. 78.41. 11. 69.16. 60.82. 69.25. 24.53. 69.16. 70.97. 12. 58.18. 22.53. 22.53. 22.53. 22.53. 64.02. 13. 58.18. 28.38. 58.18. 28.38. 58.18. 68.94. 14. 34.40. 24.62. 24.62. 27.22. 24.62. 53.39. 15. 65.46. 32.47. 73.26. 26.42. 73.26. 37.11. 16. 65.46. 27.33. 30.68. 30.86. 30.68. 34.21. -36-.
(46) 表 4.7. GA 中各適應性函數於測試期之 MDD 資料比較表(續) 17. 65.46. 57.74. 73.09. 30.83. 77.32. 5.15. 18. 57.76. 57.76. 29.71. 28.09. 60.00. 29.71. 19. 57.74. 29.57. 25.42. 34.35. 29.57. 32.98. 20. 57.74. 54.43. 36.77. 32.82. 31.51. 26.11. 21. 57.74. 54.43. 42.08. 28.09. 58.18. 22.95. 22. 47.05. 48.45. 48.45. 28.09. 24.48. 35.03. 23. 41.99. 46.38. 41.70. 27.42. 41.70. 67.44. 24. 53.39. 53.39. 46.69. 22.98. 55.24. 25.08. 25. 54.43. 37.82. 23.48. 37.82. 37.82. 26.02. 26. 45.68. 45.68. 18.70. 22.98. 18.70. 44.65. 27. 33.60. 36.85. 28.61. 21.27. 28.61. 43.31. 28. 55.38. 24.48. 28.67. 11.94. 18.52. 44.90. 29. 35.05. 35.05. 30.40. 22.98. 18.07. 4.40. 30. 23.01. 23.01. 15.92. 22.98. 18.52. 15.92. 31. 30.46. 26.61. 16.37. 22.98. 16.37. 16.37. 32. 18.52. 21.27. 17.48. 22.98. 17.48. 28.15. 33. 22.98. 24.48. 16.22. 22.98. 16.22. 70.19. 34. 27.94. 24.48. 29.51. 5.89. 29.51. 3.64. 35. 18.30. 26.61. 15.37. 22.98. 15.37. 3.73. 36. 27.96. 24.48. 29.69. 27.94. 29.69. 29.92. 37. 27.94. 24.48. 17.62. 28.67. 17.62. 19.31. 38. 18.30. 24.48. 18.50. 22.98. 18.30. 4.45. 39. 6.73. 4.99. 7.80. 6.73. 6.06. 0.24. -37-.
(47) 圖 4.5 為表 4.7 在每一個 CV 中與同時間範圍內之 benchmark 的 MDD 互相比較後之勝 率百分比。. 圖 4.5. 各適應性函數與 benchmark 的 MDD 於測試期之勝率圖. 經由上圖觀察後每一種適應性函數皆能夠有效優於大盤而且超過 85%，因此可代表本 研究中所設計之投資策略的確能夠有效降低最大下跌幅度，即整個投資過程中的最大風險 之效果。 利用表 4.7 可以簡化成表 4.8 之數據以比較每一個 CV 中採兩兩適應性函數針對 MDD 以較小(風險較低)為優勝之方式後所計算之勝場數總和，其中橫軸為被比較者、縱軸為比 較者，可參考第 4.3.4 節中表 4.5 之範例。從表 4.8 可觀察出 return 的表現為最差，這代表 如果單僅考慮到報酬率的狀況下，容易造成偏頗而造成容易陷入風險中。 Calmar ratio 在所有適應性函數中勝場數最高，此代表雖所有適應性函數對於 MDD 皆 有優良之效果，但其中則以 Calmar ratio 的表現最為突出。. -38-.
(48) 表 4.8. 測試期於 39 個 CV 中各適應系函數之 MDD 勝場數比較表 (不含相等值；其中縱軸為比較者、橫軸為被比較者) Return Return. Sharpe ratio. Sortino ratio. Calmar ratio. Omega ratio. Information ratio. 7. 9. 4. 8. 14. 14. 12. 16. 21. 15. 7. 22. 18. 23. Sharpe ratio. 25. Sortino ratio. 25. 18. 31. 23. 22. Omega ratio. 24. 15. 7. 18. Information ratio. 25. 18. 14. 16. Calmar ratio. 22. 16. 各適應性函數之𝑳𝑷𝑴𝟏 實驗結果. 4.3.6. 表 4.9 及表 4.10 為訓練期及測試期在每一 CV 使用各適應性函數之𝐿𝑃𝑀1 之實驗結果， 其中縱軸(CV 編號)為定義不同訓練期與測試期的時間範圍，橫軸為所有適應性函數經特定 計算方式得到之最佳解，以及利用獲得最佳解所對應之模型而求得之𝐿𝑃𝑀1，實際製作方式 可對照 4.3.4 小節。 表 4.9. GA 中各適應性函數於訓練期之𝐿𝑃𝑀1 資料比較表 Sharpe ratio Sortino ratio Calmar ratio Omega ratio. Information. CV. Return. 1. 0.00. 0.00. 0.00. 6.27. 0.00. 8.67. 2. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 12.73. 3. 3.35. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 8.39. 4. 2.33. 2.36. 2.33. 4.48. 2.33. 11.07. 5. 0.52. 0.00. 0.00. 0.52. 0.00. 5.31. 6. 0.00. 0.00. 0.00. 1.04. 0.00. 1.42. -39-. ratio.
(49) 表 4.9. GA 中各適應性函數於訓練期之𝐿𝑃𝑀1 資料比較表(續) 7. 2.79. 0.69. 0.00. 2.82. 0.00. 12.40. 8. 3.50. 3.30. 3.50. 2.01. 3.50. 15.31. 9. 4.08. 4.08. 4.08. 4.41. 4.08. 4.99. 10. 5.10. 5.20. 5.10. 5.33. 5.10. 26.99. 11. 4.43. 3.67. 4.39. 5.64. 4.43. 5.40. 12. 5.67. 1.56. 1.56. 1.56. 1.56. 33.28. 13. 5.46. 3.58. 5.46. 3.58. 5.46. 22.06. 14. 5.84. 3.08. 3.08. 2.29. 3.08. 29.21. 15. 4.02. 3.54. 3.10. 5.02. 3.10. 7.52. 16. 3.70. 2.70. 2.23. 5.12. 2.23. 10.20. 17. 3.48. 4.63. 2.65. 3.10. 2.13. 14.72. 18. 4.20. 4.20. 11.22. 4.29. 3.51. 11.22. 19. 4.84. 2.65. 11.17. 2.93. 2.65. 20.92. 20. 5.50. 5.08. 14.89. 4.60. 3.40. 26.63. 21. 5.23. 4.83. 14.08. 4.44. 4.46. 15.78. 22. 5.29. 4.74. 4.74. 4.21. 3.80. 23.25. 23. 5.51. 5.01. 4.78. 3.17. 4.78. 15.31. 24. 4.76. 4.76. 13.35. 4.48. 4.50. 10.07. 25. 4.57. 3.55. 11.72. 3.55. 3.55. 11.71. 26. 5.13. 5.13. 11.46. 4.92. 11.46. 16.47. 27. 5.27. 4.94. 3.65. 4.66. 3.65. 17.09. 28. 6.33. 4.87. 4.48. 2.29. 4.89. 11.17. 29. 6.25. 6.25. 4.83. 5.37. 5.02. 9.50. 30. 5.93. 5.93. 14.33. 4.87. 4.65. 15.14. 31. 6.02. 4.08. 10.93. 4.51. 10.93. 10.93. 32. 4.53. 4.59. 11.59. 4.72. 11.59. 10.07. 33. 4.79. 4.49. 11.62. 4.63. 11.62. 14.41. 34. 4.28. 4.30. 10.77. 4.66. 10.77. 9.86. 35. 4.07. 3.66. 10.73. 4.26. 10.73. 12.49. 36. 3.91. 4.08. 9.15. 3.99. 9.15. 9.09. 37. 3.87. 3.99. 9.92. 4.04. 9.92. 10.17. 38. 4.17. 4.04. 8.07. 4.33. 4.17. 6.98. 39. 4.62. 4.43. 8.11. 4.62. 8.11. 7.83. -40-.
(50) 表 4.10. GA 中各適應性函數於測試期之𝐿𝑃𝑀1 資料比較表 Sharpe ratio Sortino ratio Calmar ratio Omega ratio. Information ratio. CV. Return. 1. 7.15. 5.27. 5.27. 5.94. 5.27. 7.63. 2. 8.52. 8.52. 8.92. 8.52. 8.92. 7.15. 3. 8.54. 7.81. 6.35. 6.35. 6.35. 7.28. 4. 9.51. 5.94. 9.51. 8.04. 9.51. 5.11. 5. 9.59. 9.07. 9.07. 9.59. 9.07. 7.61. 6. 9.66. 6.47. 6.47. 6.34. 6.47. 9.89. 7. 7.87. 5.34. 8.58. 4.77. 8.58. 11.32. 8. 9.62. 4.83. 9.62. 6.00. 9.62. 7.71. 9. 9.72. 9.72. 9.72. 5.02. 9.72. 9.86. 10. 9.73. 9.00. 9.73. 3.97. 9.73. 10.43. 11. 10.16. 9.17. 9.92. 4.86. 10.16. 10.02. 12. 7.01. 3.73. 3.73. 3.73. 3.73. 6.94. 13. 7.22. 4.76. 7.22. 4.76. 7.22. 8.55. 14. 6.63. 4.16. 4.16. 3.91. 4.16. 6.18. 15. 10.78. 5.73. 11.39. 4.66. 11.39. 7.03. 16. 11.17. 5.40. 4.50. 3.80. 4.50. 6.54. 17. 11.30. 8.94. 11.90. 5.04. 12.97. 3.38. 18. 9.21. 9.21. 7.33. 4.05. 8.94. 7.33. 19. 9.69. 5.18. 7.26. 4.88. 5.18. 4.15. 20. 8.74. 8.48. 8.22. 4.46. 4.34. 4.41. 21. 9.06. 8.79. 7.95. 3.77. 8.40. 4.05. 22. 8.36. 8.45. 8.45. 3.74. 4.22. 8.44. 23. 5.75. 8.04. 5.22. 5.40. 5.22. 9.47. 24. 9.35. 9.35. 10.75. 3.71. 8.79. 3.18. 25. 10.29. 3.84. 7.95. 3.84. 3.84. 8.46. 26. 6.75. 6.75. 6.90. 3.36. 6.90. 8.44. 27. 6.07. 8.47. 4.11. 3.54. 4.11. 6.01. 28. 8.61. 3.12. 4.03. 1.09. 2.86. 7.41. 29. 4.55. 4.55. 4.22. 3.90. 3.69. 1.16. 30. 4.39. 4.39. 7.50. 3.73. 3.26. 7.50. 31. 6.59. 4.61. 5.65. 4.16. 5.65. 5.65. 32. 3.27. 3.64. 7.97. 3.83. 7.97. 4.56. -41-.
(51) 表 4.10. GA 中各適應性函數於測試期之𝐿𝑃𝑀1 資料比較表(續) 33. 4.24. 4.40. 5.63. 4.37. 5.63. 18.02. 34. 5.09. 4.92. 11.83. 1.58. 11.83. 1.65. 35. 4.86. 5.49. 7.82. 5.94. 7.82. 0.84. 36. 5.89. 5.14. 9.10. 5.89. 9.10. 10.87. 37. 7.09. 6.19. 17.95. 6.10. 17.95. 19.63. 38. 6.30. 7.76. 7.02. 7.70. 6.30. 2.05. 39. 5.93. 3.98. 8.53. 5.93. 4.90. 0.00. 表 4.10 可以簡化成表 4.11 之數據，其與表 4.5 類似，皆為所有適應性函數於每一 CV 中經過兩兩相互比較後以較小者為優勝之 CV 數總和。其結果亦與表 4.8 相似，但就其定 義而言𝐿𝑃𝑀1 與 MDD 有所差異。MDD 表示為在整個投資過程中下跌的最大幅度即代表最 大的風險，而𝐿𝑃𝑀1 表示在投資過程中所有輸給基準報酬率在本文定義為無風險利率(risk free)之總和，故由表 4.8 與表 4.11 可觀察出 Calmar ratio 除了能夠有效降低最大下跌幅度 外，亦能降低每一次進出場之風險控管。 表 4.11. 測試期於 39 個 CV 中之各適應系函數之𝐿𝑃𝑀1 勝場數比較表 (不含相等值；其中縱軸為比較者、橫軸為被比較者) Return Return Sharpe ratio Sortino. Sharpe ratio. Sortino ratio. Calmar ratio. Omega ratio. Information ratio. 7. 16. 4. 11. 14. 23. 8. 18. 22. 4. 4. 19. 28. 28. 25 18. 9. Calmar ratio. 32. 27. 33. Omega ratio. 21. 13. 10. 8. Information ratio. 25. 17. 17. 11. ratio. -42-. 21 17.
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