高中數學科差異化評量—100學年度高二上第3次定期考

高中數學科差異化評量—100 學年度高二上第 3 次定期考

3.1 .1 幾何表示、坐標表示，加減法、係數乘法 基礎級試題 3.1.1 幾何表示、坐標表示，加減法、係數乘法 精熟級試題 1. 設A

 

2, 2 、B



3,0



、C



4,3



、D



2,1



，且 O 為原點，若 2 OP AB

  

  CD，則P 點坐標為 。 參考答案：



9, 2



出處：花蓮高中   2. 在坐標平面上，給定A



2,4



、B



3,6



。若P 在直線AB上，且 : 3: 2 PA PB ，則P 點坐標為 。(兩解) 參考答案：



1, 2



或



13, 26



出處：新豐高中 1. 小明在天文網站上看到以下的資訊「可利用北斗七星斗杓的天璇 與天樞這兩顆星來尋找北極星：由天璇起始向天樞的方向延伸便 可找到北極星，其中天樞與北極星的距離為天樞與天璇距離的5 倍。」今小明將所見的星空想像成一個坐標平面，其中天璇的坐 標為(9,8) 及天樞的坐標為(7,11)。依上述資訊可以推得北極星的 坐標為( , )。 參考答案： (– 3,26) 出處：101 學測 2. 如圖，在坐標平面上的 ABC 中，P、 Q 分別為 BC 、 AC 邊上一點，且 : : 1: 2 BP PC CQ QA  ，若

 

2,1 PB



 、PQ



 



3, 2



，則 PA



= 。 參考答案：



1,10



出處：高雄市立三民高中

3.1.2 線性組合、平面上的直線參數式 基礎級試題 3.1.2線性組合、平面上的直線參數式 精熟級試題 1. 若將



c 

 

4,7 分解成兩個不平行向量



a 

 

2,1 和



b 



1, 2



的線 性組合，即

  

c r a s b , 則數對

 

r s, ____________。 參考答案：



3, 2



出處：屏東女中 2. 在坐標平面上，設 A 為直線 3x y  上一點，B 為 x 軸上一點。0 若線段AB的中點坐標為( ,6)7 2 ，則 (1) 點 A 的坐標為_____； (2) 點 B 的坐標為_______。 參考答案：(1) (4,12) (2) (3,0) 出處：中壢高中 3. 設ABC為坐標平面上一三角形，P 為平面上一點且 1 2 5 5 AP AB AC







，則 C ABP AB   面積 面積等於下列何者？ (1)1 5 (2) 1 4 (3) 2 5 (4) 1 2 (5) 2 3 參考答案：(3) 出處：92 學測 1. 圖中的網格由兩兩平行的直線所組成，且每一小格均為大小相同 的菱形。若PQ x AB y CD

  

  , 則數對



x y,



____________. 參考答案： 3, 1 2 _{ }      出處：高雄市立三民高中 2. 如圖， ABC 中，D、E 為 BC 的三等分點，F 為 AC 上一點且 4 FA FC。設直線AD 與直線 EF 交於P，若AP

  

x AB y AC ，則數 對(x, y) = _________。 參考答案： 8 4, 9 9       出處：北一女中 P F E D A B _C

E D C B A 3. 如圖，設 P 為 ABC 內一點， 1 1 3 4 AP AB AC

  

， 2 3 BM

 

 BA，則 PMB  的面積：ABC的面積=___________。

C

B

A

P

M

參考答案：1：6 出處：明道中學  3.2.1 內積與餘弦的關聯、正射影與高、柯西不等式 基礎級試題  3.2.1 內積與餘弦的關聯、正射影與高、柯西不等式 精熟級試題  1. (是非題)有一邊長為 2 的正六邊形 ABCDEF，試判斷下列各敘述 是否正確。 (1) AB BC CD DE EF

     

    AF (2) AB BC

 

  2 (3) _AD DE CF _ 0  

  

(4) _AB DE  _{ } AD BE _0    

   

參考答案：OXOO 出處：新店高中 1. 如圖， AB AC，ADDC且DEEC，請選出正確的選項？ (1) AD DE

 

 0 (2) DE AB

 

 0 (3) BC CA

 

 0 (4) AB DC

 

 0 (5) AB AD

   

 AD AC 參考答案：35 出處：高雄市立中正高中

2. 在直角ABC中，若 =90°，C AC=4，則AB AC

 

 ＝______。 參考答案：16 出處：臺南一中 3. 已知兩非零向量



a 與



b 的長度相等，且

 

a  b  2

 

a  b 。 若



a 與



b 的夾角為，則cos= 。 參考答案： 1 3  出處：建國中學 4. 給定坐標平面上三點A

     

1, 2 ,B 4, 6 ,C 3,3 ，試求： (1) AB



在AC



上的正射影。 (2) B 點在直線 AC 上的投影點 D 的坐標。 參考答案：（1）

 

4, 2 （2）

 

5, 4 出處：南科國際實驗高中 2. 已知AB 是圓 O 的一條直徑，P 是圓 O 上的一點，且AP2，則 AB AP 

 

_。   參考答案：4 出處：明道中學     3. 已知



a 與



b 為兩個長度等於1 的向量，且其夾角為 60_，試求 2 a

 

 b 與2

 

b 3 a 的夾角為何？   參考答案： 120 出處：鳳新高中     4. 已知平面上一向量OP



 



1,a



在直線y x  上之正射影向量為2 (2,2)，則 a 之值為何？ (1) 3 (2) 4 (3) 5 (4) 6 (5)7 參考答案：3 出處：建國中學

5. 已知∆ABC 中 A 90 ，AB ： AC = 3：2，且 P、Q 為 BC 上的三 等分點，若PAQ ，則 cosθ =_______。  參考答案：13 10 50 出處：新店高中 6. 設直線 L 的參數式為 2266 3 741 x t y t         ，t 是實數。則此直線與 x 軸 的銳夾角為何？ 參考答案：30 出處：鳳新高中 7. 如圖，半圓內部有一內接矩形，矩形一邊在直徑上。若圓的半徑 為 7 , 則矩形周長的最大值為 。 參考答案：2 35 出處：高雄市立中正高中 5. 如圖， ABC 中， B 90 ，AB 、4 BC ，又 ACFG、ABDE3 和BCHI 均為正方形且與 ABC 在同一平面上，試求: (1) AD AH

 

 = _________。 (2) cos GBE = _______。 參考答案：(1) 16 (2) 3 130 出處：北一女中 6. 若直線 L 通過點(3 , 1)且與直線x 3y 3 0的銳夾角為60，則 L 之方程式為何？ 參考答案：_{x = 3 ,} 1 3( 3) 3 y  x 出處： 常見考題

8. (多選)已知 ABC 之三中線長AD6，BE9，CF 12。若G 為ABC之重心，則下列哪些選項是正確的？ (1) AG 之長為 5 (2)GA GB GC     0 (3) GA GB  6 (4) 13 sin 4 AGB   (5) ABC 面積為9 15 . 參考答案：235 出處：新竹高中 7. 如圖，直角 ABC 三邊長為3, 4, 5﹐P為AC 邊上一個動點。若P 到AB , BC 兩邊之距離分別是 x , y,則_x2_{ 之最小值為y}2 __________。 參考答案：72 17 出處：高雄市立三民高中 8. 在 ABC 中， A 75 , 45  B , AB 3, 若 O 為三角形之外 心，則OA OB OC

  

  之長為 。   參考答案： 2 3 （或 6 2 2  ） 出處：弘文高中 3  4  B  y   C P  5 A

x

3. 2.2 直線的法向量、點到直線的距離、兩向量垂直的判定 基礎級試題 3. 2.2 直線的法向量、點到直線的距離、兩向量垂直的判定 精熟級試題 1. 給定直線L1: 7x24y  及點5 0 A

 

2,1 。若L2為過點A 且平行 L1 的直線，則直線L1與直線L2之距離為多少？ 參考答案：3 5 出處：鳳新高中 1. 已知坐標平面上直線 L 通過點A

 

2, 0 。若直線L 被兩條平行直線 3x y   和33 0 x y   所截的截線段長為 6，則直線 L 的方3 0 程式為 。(有二解) 參考答案：y  



3 10





x2



出處：明道中學 3.3.1 面積公式與二階行列式的定義與性質、兩向量平行的判定 基礎級試題 3.3.1 面積公式與二階行列式的定義與性質、兩向量平行的判定 精熟級試題 1. 已知 a, b 為整數且行列式 5 4 7 a b  ，則絕對值 a b 為何？ (1) 16 (2) 31 (3) 32 (4) 39 (5) 條件不足，無法確定 參考答案：(3) 出處：99 學測   2. 已知A

   

3, 0 , 2,5 , 4,3B C

 

為坐標平面上三點，若集合



| , 1 2, 1 3



S  P AP x AB y AC

  

    x  y , 則集合 S 所表示 區域的面積為______。 參考答案：48 出處：新店高中 1. 下列哪些選項正確？ (1)a b b a c d  d c (2)a kc b kd b ka a c d d kc c       (3)a kc b kd e ka f kb a b c d a b c e d f         (4)ka kb kca b kc kd  c d (5)設O

 

0, 0 ，A a b

 

, ，B c d

 

, 是平面上三相異點。若 a b 0 c d  ， 則此三點必共線。 參考答案：(2)(3)(5) 出處：建國中學

3. 已知

 

u, v 為平面上兩非零且不平行的向量。若

 

u, v 兩向量所 張出之平行四邊形面積為6，則2

 

u 3 v 與4

 

u 5 v 所張出之 平行四邊形面積為何？ (1) 9 (2) 12 (3) 18 (4) 20 (5) 24 參考答案：(2) 出處：新竹高中 2. 在坐標平面上，設 O 為原點，向量a =(1,2)，b =(2,1)，c = (1,1)，  d =(-1,1)。P 為平面上的動點，令點集合 A={P|



OP=xa +yb 且 0 x 1且0 y 1}，點集合B={P|



OP=xc +yd 且0 x 1且 0 y 1}_，則區域A B _{的面積為 。} 參考答案：1 3 出處：102 指考數學乙 3. 以f _ a b, _  

 

表示由

 

a b, 所展開的平行四邊形面積。若



1, 1



,



2, 2



,



3, 3



u  a b v  a b w  a b







, 則下列哪些敘述是正確 的？ (1) 1 1 _{1 2 2 1} 2 2 , a b f u v a b a b a b  _{   }    

 

(2) 若 k 為實數，則 2 , , f k u k v_ _k f _ u v _    

 

 

(3) f _ u  v w, _ f _ u w, _ f _ v w, _      

  

 

 

(4) 若 f _ u v,  _ 4  

 

, 則f _3 u 2 v u, 2 v _32  

   

(5) 若

  

u v w, , 兩兩不平行，則 1 2 3 1 2 3 a x a y a b x b y b     _{ }  必恰有一解。 參考答案： (2)(4)(5) 出處：北一女中

3.3.2 兩直線幾何關係的代數判定、二階克拉瑪公式 基礎級試題 3.3.2 兩 直 線 幾 何 關 係 的 代 數 判 定 、 二 階 克 拉 瑪 公 式 精熟級試題 1. 關於方程組 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c     _{ }  ，下列哪些敘述是正確的？ (1) 若 1 1 2 2 0 a b a b  ，則方程組必有解。 (2) 若 1 1 2 2 0 a b a b  ，則方程組無解。 (3) 若 c1＝c2＝0，則方程組必有解。 (4) 若 1 1 2 2 0 a b a b  ，c1＝c2＝0，則方程組有唯一解( 0 , 0 )。 (5) 若 1 1 2 2 0 a b a b  ，c1＝c2＝0，則方程組必有無限多組解。 參考答案：1345 出處：高雄市立三民高中 1. 若實數 , , ,a b c d 使得方程組 8 4 3 ax y c x y        有解，且方程組 3 4 3 x by d x y         無解，則下列哪些選項是正確的？ (1) a_{ } 2 (2) c_{ } 6 (3) b12 (4) d _{ } 9 (5) 方程組 8 3 ax y c x by d        無解 參考答案：(3)(4) 出處：101 學測