高中數學(4)‧習作甲 第 4 章 二次曲線 55
第 4 章 二次曲線
4-1 拋物線
重點一 拋物線的定義 例題1
右圖為一拋物線的部分圖形，且 A，B，C，D，E 五個點中有一為其焦點。
試判斷哪一點是焦點？（可利用你手邊現有簡易測量工具）
(A)A (B)B (C)C (D)D (E)E
解 利用拋物線的定義
簡易畫圖觀察 MCPQ 接近正方形，
即PC＝d（P , L）
∴C 為拋物線之焦點 故選(C)
重點二 拋物線的標準式 例題2
頂點為（0 , 0），焦點為（0 , －1）之拋物線方程式為 。 解 頂點為 V（0 , 0），焦點為 F（0 , －1），則VF＝｜c｜＝1
對稱軸為 x＝0
如右圖，開口向下 ∴c＝－1
利用拋物線的標準式（x－h）2＝4c（y－k）
故拋物線方程式為 x2＝－4y 例題3
設拋物線的焦點為 F（4 , －2），準線為 L：x＝1，試求對稱軸方程式、頂點坐標、拋物線方 程式。
解 (1) 對稱軸通過焦點 F（4 , －2）
且垂直準線 x＝1
對稱軸方程式為 y＝－2 (2) 頂點 V 為 A 與 F 之中點
∴V 1 4 2 2 2 , 2
＋（－）＋（－） ＝ 5 2, 2
－ (3) 此拋物線開口向右
頂點 V 5 2 , 2
－ ，c＝4－ 5 2＝3
2
利用拋物線的標準式（y－k）2＝4c（x－h）
故拋物線方程式為（y＋2）2＝6 5 x 2
－ 重點三 拋物線的平移
例題4
已知拋物線方程式為 y2＝2y＋16x＋31，試求頂點坐標、焦點坐標、準線方程式、對稱軸方程式。
高中數學(4)‧習作甲 第 4 章 二次曲線 56
解 y2－2y－16x－31＝0
（y－1）2＝16x＋32＝16（x＋2）＝4×4（x＋2）
此拋物線開口向右，且 c＝4
∴頂點坐標為（－2 , 1）
焦點坐標為（－2＋4 , 1）＝（2 , 1）
準線方程式為 x＝－6 對稱軸方程式為 y＝1 例題 5
已知拋物線方程式為 x2＋4x＋4y－4＝0，試求頂點坐標、焦點坐標、準線方程式、對稱軸方程 式。解 x2＋4x＋4y－4＝0
（x＋2）2＝－4（y－2）
此拋物線開口向下，且 c＝－1
∴頂點坐標為（－2 , 2）
焦點坐標為（－2 , 2－1）＝（－2 , 1）
準線方程式為 y＝3 對稱軸方程式為 x＝－2 例題6
一拋物線的對稱軸垂直於 x 軸，並通過（0 , 1），（1 , 2），（3 , －2）三點，試求拋物線方 程式、焦點坐標、準線方程式。
解 (1) 已知拋物線的對稱軸垂直於 x 軸，
可設拋物線方程式為 y＝ax2＋bx＋c
又過（0 , 1），（1 , 2），（3 , －2），代入方程式得 1
2
2 9 3 c
a b c a b c
＝
＝＋＋
－＝＋＋
a＝－1，b＝2，c＝1
故拋物線方程式為 y＝－x2＋2x＋1
(2) ∵y＝－x2＋2x＋1 （x－1）2＝－（y－2）
（x－1）2＝4× 1 4
－ （y－2）
頂點（1 , 2），開口向下，｜c｜＝1 4
∴焦點 F 1 1 2, 4
－ ＝ 7 1,4
(3) 準線方程式為 y＝9
4 例題7
如右圖，汽車前燈的外形是拋物線繞軸旋轉而成的拋物面，它的縱截面之輪 廓是拋物線的一部分，若燈口的直徑為 16 公分，燈深 8 公分，試求焦點與 頂點的距離。
高中數學(4)‧習作甲 第 4 章 二次曲線 57
解 汽車前燈的縱截面為拋物線，如右圖 令頂點 V（0 , 0），焦點為 F（c , 0）
燈口 A 點（8 , 8）代入拋物線 y2＝4cx 中 得 64＝4c×8 c＝2
故焦點與頂點的距離為 2 公分 例題8
設 y＝ax2＋bx＋c 之圖形如右，下列何者正確？
(A)a＜0 (B)b＜0 (C)c＞0
(D)a＋b＋c＞0 (E)b2－4ac＞0
解 y＝ax2＋bx＋c y＝a
2
2 x b
a
＋ ＋4 2 4 ac b
a
－ (A)×：∵開口朝上 ∴a＞0
(B) ×：對稱軸 x＝－
2 b
a＜0 b＞0 (C)○：∵y 之截距為正 ∴c＞0 (D)○：令 x＝1 ∴a＋b＋c＞0
(E)○：與 x 軸交於兩點 ∴b2－4ac＞0 故選(C)(D)(E)
例題9
已知直線 L：x＋2＝0，圓 C：x2＋y2－6x－4y＋12＝0，試求與 L 相切且與圓 C 外切之切圓圓 心軌跡方程式為 。
解 C：（x－3）2＋（y－2）2＝1 設所求圓心 P（x , y）
PQ＝d（P , L）＋1
2 2
3 2
x y
（ －）＋（ －） ＝（x＋2）＋1
（x－3）2＋（y－2）2＝（x＋3）2 故軌跡方程式為（y－2）2＝12x 例題10
有一拋物線形隧道口，最底部寬為 4 公尺，頂部高為 4 公尺，最高點 為原點，試求隧道口所形成的拋物線方程式。
解 將拋物線的隧道口坐標化，置最高頂點於原點 位置，
則拋物線方程式為 x2＝4cy，其中 c＜0
∵通過（2 , －4）
∴22＝4c×（－4），得 4c＝－1 即拋物線方程式為 x2＝－y
