第 9 章 向量微分，梯度，散度，旋 度

第 9 章 向量微分，梯度，散度，旋 度

9.1 二度與三度空間向量

9.2 內積（點積）

9.3 向量積（叉積）

9.4 向量函數與純量函數，場，導數 9.5 曲線，弧長，曲率，扭率

9.6 微積分複習：多變數函數（選讀）

9.7 純量場的梯度，方向導數 9.8 向量場的散度

9.9 向量場的旋度

向量（以箭號表示）其尾巴，稱為起點（initial point），

而頭稱為終點（terminal point）。此記號是源自圖138，三角 形的平移（translation）（沒有旋轉的位移）觀念，其中向量 a 的起點 P 是此點的起始位置，而終點 Q 則是那點的終端位 置，即平移後的位置。此箭號的長度等於 P 與 Q 兩點間的距 離，即稱為向量 a 的長度（或大小），並記為 | a |。長度

（length）又叫範數（norm）（或歐幾里得範數），長度為 1 的向量稱為單位向量（unit vector）。

向量

當然，我們喜歡以向量計算，例如，我們要計算諸力的合 力或比較不同大小的平行力。此引起我們另外想到：定義向 量的分量，然後是向量加法（vector addition）以及純量乘法

（scalar multiplication）的兩個基本代數運算。

為此，我們首先必須定義向量的相等（equality of

vectors），使得向量在力學與其它應用上產生實用性關聯。

圖137 力與速度

圖138 平移

定義 向量的相等

圖139

我們選取空間的 xyz 笛卡兒座標系 （Cartesian coordinate system）（圖140），即一般具有等刻度量度的三個互相垂直 座標軸的直角座標系。令 a 為起點 P : (x₁,y₁, z₁) 與終點 Q：

(x₂, y₂, z₂) 的已知向量，因而此三座標差 (1)

稱為向量 a 對座標系的分量（components），且可簡寫為 a ＝ [a₁, a₂, a₃]，見圖141。

那麼 a 的長度a 可隨即表成分量形式，此因為根據 (1)

向量的分量

圖140 笛卡兒座標系

圖141 向量的分量

向量 a 具有起點 P :(4, 0, 2) 與終點 Q : (6, －1, 2)，其分量 為

故 a ＝ [ 2, －1, 0]（你可繪出 a 的草圖，如同圖141？）由 (2) 式得長度

若取 (－1, 5, 8) 為 a 的起點，則對應終點為 (1, 4, 8)。

若取原點(0, 0, 0) 為 a 的起點，則對應終點為 (2, －1, 0)，

它的座標等於 a 的分量。藉此觀念我們可採用向量來決定空 間的每一點，稱此向量為該點的位置向量（position vector），

如下。

範例 1 向量的分量與長度

對固定的笛卡兒座標系，點 A : (x, y, z) 的位置向量，是以 原點 (0, 0, 0) 為起點而 A 為終點（見圖142）的向量，因此表 成分量為 r ＝ [x, y, z]，此亦可直接由 (1) 式代入x₁ ＝ y₁ ＝ z₁

＝ 0。

圖142 點 A : (x, y, z) 的位置向量 r

定理 1 向量為實數有序三元組

定義 向量的加法

至於力的加法，藉平行四邊形定律求得在力學上兩力的合 力（resultant of forces），見圖144。

圖145 呈現（對平面上）向量加法以「代數方式」和「幾 何方式」得到相同的向量。

圖143 向量加法

圖144 兩力的合力(平行四邊形定律)

圖145 向量加法

由熟悉的實數定律類推（見圖146 與147）

(4)

此處 －a 代表向量具有長度 | a | 以及與 a 的方向相反。

在 (4b) 式，也可簡寫為 u＋v＋w，且超過三個向量的和亦 同理。a＋a 亦可取代寫為 2a 等。向量加法（與先前所用

－a 的記號）引起我們定義如下的第二個代數運算。

向量加法的基本性

圖146 向量加法的交換性

圖147 向量加法的結合性

定義 純量乘法（與數相乘）

圖148 純量乘法

純量乘法的基本性質

由基本定義直接得

(6)

對任意向量 a，讀者可證明 (4) 與 (6) 式使得下式成立

(7)

圖149 向量的差

範例 2 向量的加法與純量的乘法

對一已知座標系，令

單位向量 i、j、k 除了 a ＝ [a₁, a₂, a₃]，另一常用來表達向 量的方式為

(8)

在此式子，i、j、k 為笛卡兒座標系座標軸上正方向的單 位向量（圖150）。故，以分量表示為

(9)

且(8) 式的右邊是三個平行於座標軸的向量和。

單位向量

圖150 單位向量 i、j、k 與其表示式

範例 3 向量的i、j、k 表示法

在範例 2 中得 等等。

所有向量 a ＝ [a₁, a₂, a₃] ＝ a₁i＋a₂j＋a₃k （以實數為分量）

構成實數向量空間（real vector space） R³，其向量加法與純 量乘法的兩個代數運算如方才之定義，R³ 具有三維。此三個 向量 i、j、k 稱為 R³ 的標準基底（standard basis）。在一固 定笛卡兒座標系統下，其指定向量的表示 (8) 式為唯一的。