109學年第2學期第一次期中考試題卷(普科)(詳解)

109 學 年 度 第 二 學 期 高 中 部 第 一 次 期 中 考 科 目：數 學 試 題 卷 (

適 用 班 級：高三 甲乙丁 班 級： 座 號： 姓 名：

命 題 教 師：謝 豐 合 範圍：乙上

一、單選題 (6 題 每題 5 分 共 30 分)

（　　　）1.下列隨機變數 X 的可能取值﹐何者為 X = 1﹐2﹐3﹐4 ﹖

(1)一盒中有 10 件樣品﹐其中 3 件為不良品﹐自盒中任取 4 件﹒令 X 表示取得不良品的件 數﹒

(2)甲乙丙丁 4 人同時猜拳﹐以「剪刀﹑石頭﹑布」決定勝負﹐令 X 表示得勝的人數﹒

(3)自一副撲克牌中隨機取出 5 張﹐令 X 表示其中 A 點的張數﹒

(4)擲一個骰子﹐令 X 表示擲出點數的正因數個數﹒

　解答　 4

解析 (1)X 表示取得不良品的件數﹐則 X = 0﹐1﹐2﹐3﹒

(2)X 表示得勝的人數﹐則 X = 0﹐1﹐2﹐3﹒

(3)X 表示其中 A 點的張數﹐則 X = 0﹐1﹐2﹐3﹐4﹒

(4)X 表示擲出點數的正因數個數﹐各點數的正因數與 X 的取值如下﹕

（　　　）2.若 a = cos3﹐則下列何者正確﹖　(1)a =  1　(2)^{   1 a 1}₂　(3) ^{1 0} 2 a

   　(4)^{0 1} a 2

  　 (5)^{1 1}

2 a ﹒ 　解答　 2

解析 因為   3.14﹐所以^{2 3}

3  ﹒利用y = cosx 的圖形﹕

比較圖中(² , ¹)

3 2 ﹐(3 , cos3)﹐(  ,  1)三點的高低﹐得知^{ 1 cos3 1}₂﹒ 故選(2)﹒

（　　　）3.一袋中有一號球 1 個﹑二號球 2 個﹑…﹑十號球有 10 個﹐自袋中任取一球﹐若取出 n 號球

則可得n 元﹐請問任取一球的期望值為　(1)7 元　(2)5 元　(3)5.5 元　(4)8 元　(5)6 元﹒

　解答　 1

解析 總球數 = 1 + 2 + … + 10 = 55﹐

總錢數 1² 2² 10^{2 10 11 21} 385 6

= + ++ =   = ﹐

∴期望值 ^{385 7}

= 55 = ﹐故選(1)﹒

（　　　）4. x 為實數﹐下列何者與 y = tan(2x)有相同週期﹖　(1) ^{| tan 1|}

y= x+2 　(2)y = sinx + cosx　(3)y

= | sin(  2x) |　(4)y = sin(  2x + 1)　(5)y = | sin2x | + | cos2x |﹒

　解答　 3

解析 y = tan2x Þ 週期 2

= ﹐

(1)╳﹕週期 = ﹒

(2)╳﹕^{y=sinx+cosx= 2 sin(x+45 ) Þ}週期 = 2﹒

(3)○﹕週期^=₂ ﹒ (4)╳﹕週期 = ﹒

(5)╳﹕週期^=₄ ﹒ 故選(3)﹒

（　　　）5.下列哪一個角度最接近 3 弧度﹖　(1)90　(2)120　(3)135　(4)150　(5)180﹒

　解答　 5

解析 因為 3 弧度 ^{3 (180) (540) 171.9}

 

=   =   ﹐所以選(5)﹒

（　　　）6.於某次考試中﹐試題係由 15 個選擇題所組成﹐每題均有 6 個選擇項﹐其中只有一個是正 確的﹐假如某考生完全任意地選取答案﹐則此考生15 題全部答對的機率是　(1)¹⁵_6! 　(2)

6!

15! 　(3)^15!_6! 　(4)^{( )1 6}

15 　(5)^{( )1 15}

6 ﹒

　解答　 5

解析 每一題答對之機率為¹

6﹐15 題均答對為^{( )1 15}

6 ﹐故選(5)﹒

二、多選題 (4 題 每題 5 分 共 20 分,全對得 5 分、對 4 個得 3 分、對 3 個得 1 分、其餘 0 分)

（　　　）1.設調查全國高中生對「可以不穿制服到校」議題的支持度﹐回收有效問卷 n 張﹐贊成比例為

p﹐其95%的信賴區間為[a , b]﹐則下列敘述哪些正確﹖　(1)有效問卷中﹐贊成者有^{n p} 張

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109 學 年 度 第 二 學 期 高 中 部 第 一 次 期 中 考 科 目：數 學 試 題 卷 (

適 用 班 級：高三 甲乙丁 班 級： 座 號： 姓 名：

(2)^ 2

p=a b+ 　(3)如欲得到 99.7%的信賴區間﹐則信賴區間會縮小　(4)如回收有效問卷 4n 張﹐在相同贊成比例下﹐則95%信賴區間將縮小為原區間之一半　(5)如回收有效問卷 4n 張﹐在相同贊成比例下﹐則信賴區間為[ , ]

2 2 a b ﹒ 　解答　 124

解析 (1)○﹕贊成者有^{n p n p = } 張﹒

(2)○﹕^p是區間的中點﹒

(3)╳﹕99.7%的信賴區間為^[p^{3 ,}^{ p}+^{3 ]}^ ﹐信賴區間會變大﹒

(4)○﹕信賴區間長度為4 ^p^{(1 }p⁾ n

 ﹐若回收4n 張﹐區間將縮小為原區間之一半﹒

(5)╳﹕以^p為伸縮中心﹒

答案為(1)(2)(4)﹒

（　　　）2.下列哪些函數的圖形可由 y = 2sinx 經左右或上下平移得到﹖　(1)y = sin2x　(2)y = 2cosx　 (3)y = sinx + 2　(4)y =  2sinx　(5)y = 2sinx + 3﹒

　解答　 245

解析 因為 ^{2cos 2sin( ) 2sin( )}

2 2

y₌ x₌  ₊x ₌ x₊

﹐所以由圖形伸縮與平移的概念﹐得知選(2)(4)(5)﹒

（　　　）3.設甲﹑乙﹑丙三射手同射一靶﹐每人一發子彈﹐各人中靶的機率分別為² 3﹐³

4﹐⁴

5﹔若射 擊時互不影響﹐則下列何者正確﹖　(1)靶被射中的機率為²

5　(2)靶面恰中一發的機率為 ³ 20 (3)僅甲中一發的機率為 ¹

30　(4)恰中二發的機率為¹³

30 (5)靶沒被射中的機率為 ¹ 30 　解答　 234

解析 (1)P = 1 ^{1 1 1 59} 3 4 5  =60﹒

(2)P = P(僅甲中) + P(僅乙中) + P(僅丙中) =2 1 1 1 3 1 1 1 4 3 3 4 5 3 4 5 3 4 5  +   +   =20﹒ (3)P =^{2 1 1 1}

3 4 5 30  = ﹒

(4)P(甲乙中) + P(甲丙中) + P(乙丙中) 2 3 1 2 1 4 1 3 4 13 3 4 5 3 4 5 3 4 5 30

=   +   +   = ﹒ 故選(2)(3)(4)﹒

（　　　）4.下列哪些選項是正確的﹖　(1)sin1 > sin2　(2)cos3 > 0　(3)^tan3 2

 無意義　(4)cos180 =  1 (5)sec347 > 1﹒

　解答　 345

解析 (1)╳﹕sin1≒sin57﹐sin2≒sin114 = sin66﹐

　　　∴sin1  sin2﹒

(2)╳﹕cos3≒cos171  0﹒

(3)○﹕^tan3₂^{ =tan 270 Þ}無意義﹒

(4)○﹒

(5)○﹕^{sec347 =sec13 =}_cos13¹ _^>1﹒ 故選(3)(4)(5)﹒

三、填充題 (10 格 每格 5 分 共 50 分)

1 擲一個公正的骰子 180 次﹐以隨機變數 Y 表示出現 6 點的比率﹒

(1)求 Y 的期望值和標準差﹒

(2)試估計約 95%的比率Y 所在的區間﹒

　解答　 (1)期望值¹

6﹐標準差 ¹

36;(2)^{[ , ]1 2} 9 9 解析 (1)這是參數為^{(180, )1}

6 的二項分布﹐Y 表示出現 6 點的比率﹐其期望值與標準差為 　 ( ) ¹

E Y = =p 6﹐

1 5

(1 ) 6 6 1

( ) 180 36

p p

Y n

 = ^ = ^ = ﹒

(2)由上述性質知：約有 95%的紅球比率Y 所在區間為 　[¹ 2 ^{1 1}, 2 ¹ ] [ , ]^{1 2}

6 36 6+ 36 = 9 9 ﹒

2.已知扇形的半徑為 6 公分﹐圓心角 60°﹐求其面積 A﹒

　解答　 6平方公分 解析 因為^{60 60}

180

 =   （弧度）

3

= （弧度）﹐

所以面積 ^{1 2 1} 6² 6

2 2 3

A= r =   =  （平方公分）﹒

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109 學 年 度 第 二 學 期 高 中 部 第 一 次 期 中 考 科 目：數 學 試 題 卷 (

適 用 班 級：高三 甲乙丁 班 級： 座 號： 姓 名：

3.某銀行於農曆春節發行即時樂彩券﹐並宣稱中獎率為 36%（發行 100 萬張﹐計有 36 萬個獎項）﹒若 想推論這個數據是否屬實﹐在95%的信心水準及抽樣誤差正負 4 個百分點的條件下﹐至少應隨機採樣 多少張樣本﹖

　解答　 576 張

解析 ^p=0.36﹐最大誤差_{e 2} ^{p(1 p)} ₂ ^{0.36 0.64} _0.04

n n

 

= =  ﹐ ^{0.36 0.64} 576

0.02 0.02

n  =

 ﹐

至少應採樣576 張﹒

4.已知sin ²

 = 2 ﹐且  是第二象限角﹐求  的其他三角函數值﹒

　解答　 見解析 解析 cos ²

 =  2 ﹐tan ^sin 1 cos

 

=  =  ﹐cot ¹ 1

 tan

=  =  ﹐

sec 1 2

 cos

=  =  ﹐^{csc =}_sin¹_ ^{= 2} ﹒

5.常態分布的資料對稱於平均數 M﹒且當標準差為 S 時﹐該資料約有 68%落在區間(M  S , M + S)內﹐約 有95%落在區間(M  2S , M + 2S)內﹐約有 99.7%落在區間(M  3S , M + 3S)內﹒若某校 800 位學生的數學段考成績平均分數是54.66 分﹐樣本標準差是 5.24 分﹐而且已知成績分布呈現 常態分配﹒試問全校數學成績及格人數約有多少人﹒　(1)128　(2)160　(3)256　(4)272﹒ 　解答　 1

解析

54.66 59.9 68%

32% 800 128

2  = ﹒

故選(1)﹒

6.一鐘面上的時針與分針的長度分別為 6 公分﹑10 公分﹐則﹕

(1)6:20 時﹐鐘面上的時針與分針所夾的銳角是多少度﹖

(2)從 6:20 經過 40 分鐘到 7:00﹐此鐘面上之分針所掃過的扇形面積是多少平方公分﹖

　解答　 (1)70;(2)²⁰⁰ 3

 平方公分

解析 (1)由圖﹐∵分針 1 分鐘走 6﹐時針一分鐘走 0.5

　∴ = 30  2 + 20  0.5 = 70﹒

(2)從 6:20～7:00 分針所掃過之區域的中心角 ^{6 40 240 4} 3

=   =  =  　∴所求面積 ¹ 10^{2 4 200}

2 3 3

 

=   = （平方公分）﹒

答案請填入答案卷，未填入者不予計分

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