數學美與數學教育

數學美與數學教育

張僑平

香港中文大學課程與教學系 楊 嫻

湖北省襄樊市穀城欣橋學校

引言

在一堂課堂討論中，老師向學員 ¹ 問到：「數學是藝術還是科學？」。

這個問題讓大家有些突然，一方面大家平時的教學很少去關心這樣的問 題，另一方面，對「科學」和「藝術」的界定亦是難以辨清，也難以做個 二選一的回答。一番討論過後，以「數學是一門科學」的回答居多。它體 現在數學中充滿了數字、方程、推理、運算。而主張「數學是藝術」的學 員則多提及數學中的幾何圖形和幾何體。亦也有人認為數學既是一門科學 也是一門藝術。這是個折衷的回答還是它究竟是如此呢？數學的科學性往 往和它系統的知識體系，嚴密的邏輯推理方法，以及真實、準確的結論相 聯繫 ²。而數學的藝術性則更多與它千姿百態的圖形相結合。然而，這二者 確非決然分割開來。我們無意去界定和辨識何謂科學何為藝術，這樣的討 論已經很久也很多。對科學的探索，對藝術的欣賞都會給人不同的感受。

何時才會有美感的享受呢？現實的課堂，我們已經聽到太多「數學無趣」

或者「數學枯燥」的聲音，數學成為許多學生頭痛的科目，甚至成為學生 升學選擇的攔路虎 ³。如能讓學生在學習的過程中，體味到數學帶來的美 感，比識別它是科學還是藝術似乎更適合。數學中有美嗎？如果有，它又 在哪裡? 什麼是數學美呢？為什麼它是美的？

何謂美？美學專家朱光潛（2006）認為「美生於美感，起源於形象的 直覺」（頁 33）。在詞源中，Guralnik（1973）主持编寫的韋氏詞典中解釋

1 這是一個數學教育碩士班的課程，學員均是中、小學數學教師。

2 對數學的真實準確性亦是存在爭議的，詳見 Hellman（2006）。

3 一些學生選擇大學的文科專業就讀，並非真的擅長或喜歡文科專業，而是為逃避數 學。

「美是人或事物中給感官以愉悅、提高心靈或精神的某種特質（quality），

或這些特質的集合」。M．克萊因（1980）指出，早在古希臘時代，算術、

幾何與天文被人看作是心智的藝術與靈魂的音樂，無論是 Plato 還是 Aristotle 都不願把數學和美學分開。作為美的重要因素，秩序和對稱都能 夠在數學裡找到。許多數學家亦透過一些比喻來描述數學的美。比如 Russell 曾寫到「數學，如果正確地看，不但擁有真理，而且也有至高的美，正像 雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美」（Russell, 1917, p.57）；Hardy（1940）也 指出「數學家的造型像畫家和詩人的造型一樣，必須美；概念也像色彩或 語言一樣，必須和諧一致。美是最首要的標準；不美的數學在世界上是找 不到永久容身之地的」（p.85）。無論是音樂、詩篇還是藝術品，其目的都 是為了說明數學美的存在。

那麼數學中存在什麼樣的美呢？數學中的各種數字、符號、圖形、公 式、定理層出不窮，它們美嗎？數學中亦有數不清的推理和論證，不可以 像文學創作一樣，天馬行空地書寫，它們美嗎？長久以來，人們將數學「尊 稱」是「思維的體操」。這是對數學教育的某種肯定，卻也將數學教育的功 能窄化了。因為，這樣的思維，被單一地看成解題操練、默誦公式、熟記 定理，學生遵循著「學概念 —— 做題目 —— 再學概念 —— 再做題目」

的循環模式來學習數學。如此以來，覺得枯燥無味也就不為怪了，何來美 感呢？

要找尋數學美，並給出一個準確的定義是很難的，不同的數學家都有 著自己的美學標準（徐炎章、吳開朗、唐煌、周金才，1998，頁 18 – 22）。

克萊因（1980）提出，數學美的基本要素是「和諧、簡單、明確以及秩序」，

Hardy（1940）亦提出數學美「有一種高度的意外性、必然性和有機性」。 徐利治、王前（1990）則認為「… 能夠被稱為數學美的物件和方法，應該 是在具有極度複雜的事物中揭示出極度的簡單性，在極度離散的事物中概 括出的極度的統一性（或和諧性），在極度無序的事物中發現的極度的對稱 性，在極度平凡的事物中認識到極度的奇異性（新奇性）。」數學美的含義 是豐富的，儘管很難定義何謂數學美，我們仍然能夠在諸多提法中看到一 些基本的要素，即和諧性、簡潔性與奇異性。

這裡的和諧性主要表現形式是統一、有序、無矛盾以及對稱、對偶等；

簡潔性則更多體現在數學語言的精煉，解答的簡單，數學結論的簡潔等；

而奇異性則在於數學結論的奇特與新奇。需要注意的是，它們並非決然獨 立的在數學裡呈現，更多的是幾種特性的融合。如能在數學中發現這些美 的元素並應用於教學，對我們的數學教育無疑大有裨益。下面我們從代數、

幾何、三角等領域分別舉出一些具有這些要素的實例。

數學美舉例

歷史上出現的三次數學危機都是由悖論（paradox）引起的（黃毅英，

2007），而每一次悖論的解決，都使數學趨向和諧，對每一次危機的討論，

也令數學的整個體系更加完備。數學中諸多的對稱、對偶亦可看成是和諧 性的另外表現。比如幾何圖形中許多的對稱圖形，諸如等腰三角形、平行 四邊形、矩形、正方形等，對稱性是人們對幾何圖形最熟悉的特點（黃毅 英，1999），生活中更是有數不清的對稱建築。除幾何圖形外，數字也有著 別樣的對稱之美。比如乘法運算中有 12 × 231＝132 × 21、12 × 462＝

264 × 21、12 × 693＝396 × 21；再如圖一：

1 × 1 = 1 1 × 9 + 2 = 11

11 × 11 = 121 12 × 9 + 3 = 111

111 × 111 = 12321 123 × 9 + 4 = 1111 1111 × 1111 = 1234321 1234 × 9 + 5 = 11111 11111 × 11111 = 123454321 12345 × 9 + 6 = 111111 111111 × 111111 = 12345654321 123456 × 9 + 7 = 1111111 1111111 × 1111111 = 1234567654321 1234567 × 9 + 8 = 11111111 11111111 × 11111111 = 123456787654321 12345678 × 9 + 9 = 111111111 111111111 × 111111111 = 12345678987654321 123456789 × 9 + 10 = 1111111111

圖一：和諧美之數字的對稱

圖二：和諧美之點線對偶 l

A B C

P

點曲線 線包絡

線簇 點列

點、線、面是歐氏幾何中的基本元素。點具備的性質線也同樣具有，

二者構成對偶（duality）。如「點列組成直綫，線簇交於一點」，「經過兩點 可以作唯一一條直綫，兩條直綫有唯一的一個交點」。又如，圓周既可以看 作點的軌跡，也可以理解為線的包絡（見圖二）。

數學和諧之美還可體現在數學的統一性中。例如，三角函數名目眾多，

關係複雜，倘若借助一個簡單的六邊形，圍繞著數位 1，便可以將同一個 角的六種不同的三角函數聯繫起來（見圖三）。

圖三：和諧美之三角函數的統一 圖三中關係更可概括為三個短句：

下為上方和（陰影三角形中，比如 1 = sin² α + cos² α、sec² α = tan² α + 1）； 前為兩後商（六邊形各頂點上，比如 tan

α

=

^α _α

cos

sin

、

_{sec α = α} ^α sin

tan

）；

中為兩鄰積（六邊形對角綫上，比如

tan α × cot α = 1

、

sin α × csc α = 1

）。

常見的圖形面積公式眾多：三角形的面積公式（S

= 2

1 ah）

、正方形

的面積公式（S

= a

²）、長方形的面積公式（S

= ah）等。而梯形的面積公式

（S

= 2

1 ( a + b ) h）

，則可囊括上述幾個公式；而稜（圓）柱、稜（圓）錐

及稜（圓）台的體積計算可統一為：V

= ( ' ' ) 3

1 h S + SS + S

，其中

h

為幾

何體的高，

S

和

S '

分別為幾何體的上、下底面的面積。再進一步，柱、錐、

台、球的體積公式還可以統一為

Simpson

公式，也被稱為萬能體積公式

（

omnipotent volume formula

）：

V = ( 4 ' ) 6

1

0

S

S S

h + +

，其中

S

0是幾何體

tan α 1

sin α cos α

cot α

sec α csc α

的中截面的面積。

這樣的統一其實體現出了數學的和諧：在諸多看似形異的背後，蘊涵 著共同的屬性。對和諧的追求，也幫助我們引出許多對立又統一的概念，

諸如由加法理解減法，由乘法理解除法，由正數理解負數，由乘方理解開 方，及至有理數與無理數、實數與虛數、指數與對數、微分與積分。

統一也體現出了數學的簡潔之美。一個簡單的結論可以融合諸多的知 識要點：例如，簡潔的 Newton-Leibniz 公式 ^b

^{f x x}

a

( ) d

∫

= F(b) − F(a) 將微 分與積分完美的結合起來；大數學家歐拉（Euler）提出凸多面體的邊數

（E）、頂點數（V）和面數（F）之間存在著 F

− E + V = 2 的關係；著名的

歐拉公式 e^iθ = cos θ + i sin θ，把三角函數的定義域拓展到複數，將複指數 函數與三角函數統一起來（徐五光，1994）。這個看似簡單的表達有著深遠 的意義。更為有趣地是，在

θ = π 的時候，得到等式 e

^iπ + 1 = 0，它將中學 數學中重要的基本元 0、1，超越數

π

、e，以及複數 i 巧妙地聯繫起來，而 其中的基本運算是加法和乘法，幾乎所有的三角函數公式都可以由它推 出！無怪乎諾貝爾物理獎獲得者費曼（Feynman）稱之為數學第一公式（景 乃桓，2007）⁴。簡潔之中又蘊涵著和諧！數學的美妙確是多種美感的融合！

數學美的奇異性，多在於一些不平常的關係讓人產生愉悅的驚奇。因 為奇異，使人們對數學產生了神秘，也產生了敬意。沒有奇異性，也就不 會存在與眾不同的美。例如，神奇的數字 142857，如果將它按照圖四放置，

從中任何一個位置斷開，按順時針方向得到的新六位數，都可以由原六位 數 142857 與 1 至 6 以內的數字相乘得到。

142857 × 1 = 142857 142857 × 2 = 285714 142857 × 3 = 428571 142857 × 4 = 571428 142857 × 5 = 714285 142857 × 6 = 857142

圖四：神奇數 142857

4 亦有學者認爲，恒等式 e^iπ + 1 = 0 因爲太明顯，談不上美（Wells, 1990）。

8 2

4 1

5 7

再如，有四個（比 1 大的）數是它們各位數字的立方和：153 = 1³ + 5³ + 3³、370 = 3³ + 7³ + 0³、371 = 3³ + 7³ + 1³、407 = 4³ + 0³ + 7³。多接觸這些 奇特的事例，會讓我們的課堂多一些數學的歡樂。有些奇特的事實，則不 單單是娛樂。神奇的數列：1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … 從第三項起，任何一 個數都是前面兩數之和，被稱為斐波那契數列（Fibonacci Sequence）。它可 以描述雄蜂家系的分佈（徐炎章等，1998，頁 72），可以刻畫植物的生長

（見圖五）。

圖五：植物生長的 Fibonacci 數 神奇的比值

2 1 5 −

（

≈ 0.618

）被稱為黃金分割數（

Golden Number

）。

它既是方程 x²

+ x – 1 = 0

的正根，它也是 x

= + x 1

1

無窮反覆運算的結果

（徐炎章等，

1998

，頁

64

）： 0.618 1 1

1 1

1 ≈

+ +

=

K

x 。在正五邊形中它有

了自己的位置：（見圖六）

AP : PB = PB : AB = 2

1 5 −

≈ 0.618

。

圖六：正五邊形中的黃金分割

A B

P

而斐波那契數列（Fibonacci Sequence）每一項與後一項的比值越來越 接近黃金分割數 0.618，也有學者發現斐波那契數列與 Pascal 三角存在著聯 繫（傅海倫、石玉華、陳煥法，2003）。數學的奇異，有的只是增加學習的 樂趣，有的卻可以將多種數學知識縱貫聯繫。可見，奇異之間竟又蘊含著 和諧統一！

數學美、數學教學、數學教育

以上所舉出的只是數學美實例的一二，有興趣的讀者可參閱易南軒

（2004）、吳振奎（2004）和 Ball（1947）等。數學中充滿著生動有趣的事 例，怎會「枯燥、乏味」呢？這就關乎到如何將數學中的美引入課堂，如 何讓學生獲得數學美的審美能力，為學生搭建一座欣賞數學的橋樑。它不 僅僅是課堂教學的需要，而且也真正是我們數學教育要到達的目的之一。

各個國家數學課程標準都不同程度的強調數學的美育功能（孫曉天，

2003，頁 180 – 315），它們主要是將欣賞數學之美作為課程的文化目的（黃 毅英、黃家鳴，1998）。課程文件的重視與教師的意識固然需要，在課堂教 學中如何呈現數學之美更為重要。

如若只是展示數學中美的元素讓學生欣賞（如圖一、圖四），它可能帶 來學習中的愉快，學生感受的是一種淺層次的美。當然這樣本身已經很有 意義，正如 G．波利亞（1987）所說，「數學教師的責任就是使學生相信數 學是有趣的」（頁 478）。不過，有效的學習除了讓學生對所學習的材料感 興趣，更期望學生能在學習活動中找到樂趣。Eisner 曾提出「審美式認知 提供了一種不同視角來感知學科知識和現實生活」（Eisner，1985）。將數學 美作為啓發學生學習數學的動機的一種途徑，需要教師有效的鋪陳學習材 料，帶領學生經歷不同層次的數學美。

以多位數的乘法為例，教師在教授時未見得會選擇像圖一、圖四如此 複雜數位進行教學，但給學生添加這些「課本之外」卻又是「數學之內」

的「佐料」，未嘗不可。添加的方式卻又需考量，不經過加工地單純引入，

只能達到淺層的欣賞。如經歷下列教學鋪陳過程將更勝直接給學生呈現：

教師舉出 兩組實例

學生自行 動手推測

毋須計算 說出結果

口頭總結 運算規律

又如圖二，倘若能將點和線對等起來，作為幾何的基本元素，即涉及 到射影幾何（projective geometry）中的「對偶原理」（duality principle）。拓 展學生的視野，由此還可帶出諸如「過點作直線，在直線上取點」，「三線 共點問題轉化成三點共線」等對偶命題（dual propositions），更可將集合中 的並集（U）和交集（I），或者空集（

∅

）和全集（U）結合起來。

再如，融合數學和諧與簡潔之美的 Newton-Leibniz 公式在中學教學裏 亦有體現：比如我們教授幾何經歷的是一個從線到面，從面到體，維度不 斷增加的過程；另一方面，對球體體積的微分得其表面積（

3

4 πr

³

→ πr

²）， 對圓的面積的微分得其周長（πr ²

→ 2 πr）

，這又是一個不斷降低維度的過 程。

教師透過有機地鋪陳數學知識，引領著學生的數學「觸角」四處延伸，

數學的趣味也就躍然紙上、浮現眼前。除了欣賞數學結果之美，學生在探 索與發現的過程，其數學思維得以極大地拓展，如同經歷一場美的體驗歷 程。學生既看到了「作為製成品的數學」，也體會到「製作過程中的數學」

（

Siu & Siu

，

1979

）。這應是數學教學所帶出的深層數學美，也是數學教育

真正達到的目標。

結論

正如篇首所言，我們不是對數學「是藝術還是科學」做出一個評判，

而是由此帶出數學教育中應突現的數學美感。即便是可以歸類劃分，數學 美也是同屬於科學與藝術的。數學美的含意是豐富的，「如數學概念的簡單 性、統一性，結構系統的協調性、對稱性，數學命題和數學糢型的概括性、

典型性和普遍性，還有數學的奇異性都是數學美的具體內容」（徐利治、王 前，

1990

，頁

72

）。這就「如同什麼是一首美麗的詩，我們可能不很清楚，

但這並不妨礙我們讀詩時去欣賞 …… 它是一種形式高度抽象的美，一種 只有親臨數學活動過程才能體驗得到的內在美。這是一種邏輯形式、結構 與證明的美，一種只有經過長期艱苦探索之後才能領略的美」（

Hardy

，

1940

）。

數學美固然重要，但現時的課堂呈現更多的是數學的「枯燥與乏味」。

Phillips

（

1996

）指出「小學生，甚至是大學生中，都因為認識不到數學的

美，而影響到數學學習的態度和學習成績。他們或者認為數學根本不美，

沒有學習的興趣，或者認為數學無用，不值得學習和研究」。儘管對數學美 的欣賞已經成為各地數學課程的課程目標之一，但將它有效地引入課堂教 學仍有待我們教師去探尋。

將數學史引入課堂（Fung & Wong，1998；黃毅英，2004），設計數學 遊戲 、模型製作（黃毅英，1997，頁 229 – 230，232 – 246；Dienes，2004）

和數學活動（如畫統計圖、擲硬幣實驗、作對稱圖形、展開和截取幾何體，

驗證畢氏定理，進行平行和旋轉變換等），都是課堂教學呈現數學美的好方 法。然而，僅僅讓學生感受形式的美，獲得淺層的美感是不夠的。學生在

「做數學」的過程中感受到的數學美，會比僅僅是觀察和教師講授獲得的 深刻得多。張奠宙、木振武（2001）曾提出，學生經歷數學美的歷程有四 個層次：美觀、美好、美妙、完美。我們的課堂教學應體現數學美的不同 層次。學生透過數學思考（mathematics thinking）、數學問題解決（problem solving）和數學探究（mathematics exploring）去體會、感應和接受數學的 巧妙、精緻，領略深層次的數學美，甚至應用並創造數學美，進而體會數 學的本質。

不過，這種複雜的程度的選擇和應用，不能忽視學生自身的數學能力，

亦即需要照顧學生的認知基礎。在數學家和數學教師眼中美的實例未必學 生就能感受得到。故此，數學美的教育還應該立足學生，適合學生的認識 基礎和思維特徵，量力為之。否則教師只落得個唱「獨角戲」的份，曲高 而和寡。

數學教育的目的，除了傳播知識，培養能力，還應該使數學的潛在價 值（文化價值）得到進一步地擴展和滲透。這種拓展需要只有學生獲得深 層次的數學美感體驗，才能真正達到數學教育的文化功能。

注： 本文寫作過程中，香港中文大學課程與教學系黃毅英教授曾給出了許多寶貴的意 見，謹此鳴謝。

參考文獻

方延明（2004）。數字與美。《教師博覽》，第 1 期，頁 48 – 49。

朱光潛（2006）。《談美》。桂林：廣西師範大學出版社。

克萊因（M. Kline）（1980）。《古今數學思想》（張理京、張錦炎譯）。上海：上海科學 技術出版社。

吳振奎（2004）。《數學中的美》。上海：上海教育出版社。

杜書傑（1999）。三角函數中的數學美及其價值初探。《中學數學教學參考》，第 7 期，

頁 23 – 26。

易南軒（2004）。《數學美拾趣》。北京：科學出版社。

波利亞（G. Polya）（1987）。《數學的發現》第二卷（歐陽絳譯）。北京：科學出版社。

香港課程發展議會（編訂）（2002）。《數學教育學習領域課程指引》。香港：香港教育署 課程發展處。

孫曉天（2003）。《數學課程發展的國際視野》。北京：高等教育出版社。

徐五光（1994）。數學美與數學的統一美。《杭州師範學院學報》，第 3 期，頁 39 – 46。

徐利治、王前（1990）。《數學與思維》。長沙：湖南教育出版社 。

徐利治、徐本順（1997）。數學美與數學教學中的審美。《山東教育》，第 11 期，頁 30 – 35。

徐炎章、吳開朗、唐煌、周金才（1998）。《數學美學思想史》。臺北：曉園出版社。

梅向明、劉增賢（2000）。《高等幾何》。北京：高等教育出版社。

景乃桓（2007）。紀念數學家歐拉誕辰三百周年。《中學數學》，第 3 期，頁 1 – 2。

傅海倫、石玉華、陳煥法（2003）。從「賈憲三角」談起。《高等數學研究》，第 6 卷第 2 期，頁 53 – 56。

黃毅英（1997）。《邁向大眾數學的數學教育》。臺北：九章出版社。

黃毅英（1999）。數學與美育。載黃素蘭（編），《美術教育：研究與視野》。（頁 203 – 207）。 香港：香港美術教育協會。

黃毅英（2004）。把數學史引進數學教學真是那麼困難嗎？ 《數學教育期刊》，第 41 期，頁 7 – 15。

黃毅英（2007）。三次數學危機 —— 個人認知與體會。《中學數學教學研究》，第 2 期，

頁 7 – 10。

黃毅英、黃家鳴（1998）。十地區數學教育課程標準。《數學傳播》，第 21 卷第 2 期，頁 28 – 41。

張奠宙、木振武（2001）。 數學美與課堂教學。 《數學教育學報》，第 4 期，頁 1 – 3。

Ball, W. W. R. (1947). Mathematical recreations & essays. New York: MacMillan.

Dienes, Z. P. (2004). Mathematics as an Art Form. Retrieved June 10, 2009, from http://www.zoltandienes.com.

Eisner, E. (1985). Aesthetic Modes of Knowing. In E. Eisner (ed.), Learning and Teaching the Ways of Knowing: Eighty-fourth yearbook of the Society for the Study of Education (pp. 180 – 315). Chicago: University of Chicago Press.

Fung, C. I. & Wong, N. Y. (1998). Conceptions though the development of mathematical ideas: The case of solution to high degree polynomial equations in medieval Chinese mathematics. Hiroshima Journal of Mathematics Education, 6, 71 – 88.

Guralnik, D. B. (Ed.) (1973). Webster’s new world dictionary of the American language.

New York: Popular Library

Hardy, G. H. (1940). A mathematician’s apology. Cambridge, UK: Cambridge University Press.

Hellman, H. (2006). Great feuds in mathematics: Ten of the liveliest disputes ever.

Hoboken, N.J.: John Wiley.

Phillips, J. D. (1996). Aesthetic mathematics: Does mathematics have to be justified by its usefulness? Australian Mathematics Teacher. 52(2), 14 – 18.

Russell, B. (1917). Mysticism and Logic. New York: Doubleday.

Siu, F. K. & Siu, M. K. (1979). History of mathematics and its relation to mathematics education. International Journal of Mathematics Education in Science and Technology, 10(4), 561 – 567.

Wells, D. (1990). Are these the most beautiful? The Mathematical Intelligencer, 12(3), 37 – 41.

作者電郵： qpzhang@cuhk.edu.hk sunshinehhh@tom.com