二次的 Congruence Equations

基礎數論

數

的 數論 基 的 數 數 的 ,

數 . 基 的 , 數論

. 數論 ( 的 ) 的 ,

Silverman 的 A Friendly Introduction to Number Theory (Prentice Hall, Third Edition

2006). .

v

Chapter 5

二次的 Congruence Equations

二次的 congruence equation. 的二次 congru-

ence equation , 的 , quadratic reciprocity law.

二次 congruence equation 的 ,

的 論 . 的 .

5.1. 二次 Congruence Equation 的

二次的 congruence equation, m∈ N, ax²+ bx + c≡ 0 (mod m), a, b, c∈ Z m- a 的 equation.

的 , . , .

, 數的 , .

ax²+ bx + c = 0 , 的 x² 的 數 a x²+ (b/a)x + (c/a) = 0.

congruence equation, 數, ( a|b

a|c). , a m e∈ Z ae≡ 1 (mod m),

ax²+ bx + c≡ 0 (mod m) e x²+ bex + ce≡ 0 (mod m).

gcd(m, a) = 1 的 , 的 , .

數, 的 , 的. x²

數 , ax²+ bx + c≡ 0 (mod m) a (ax)²+ abx + ac≡ 0

(mod m). x 數, 的 abx 2(ab/2)x, x

數 數, 的 2. x² 數

的 , 2 x² 數 .

, ax²+ bx + c≡ 0 (mod m) 4a

4a²x²+ 4abx + 4ac = (2ax)²+ 2(2ax)b + 4ac≡ 0 (mod m).

(2ax + b)²≡ b²− 4ac (mod m). y²≡ b²− 4ac 57

(mod m). 數 k k²≡ b²−4ac (mod m), congruence equation, ax²+ bx + c≡ 0 (mod m) . k∈ Z k²≡ b²−4ac (mod m),

前 次的 congruence equation 的 2ax + b≡ k (mod m), ax²+ bx + c≡ 0 (mod m) 的 .

, 二次 congruence equation, ax²+ bx + c≡ 0 (mod m) 的 , y²≡ d

(mod m) d = b²− 4ac. x²≡ a (mod m) 的 congruence

equation.

m = pⁿ₁¹··· pⁿt^r, pi 數. Corollary 4.4.3 , x²≡ a (mod m) 的 p_i, x²≡ a (mod pⁿ_iⁱ) . x²≡ a (mod pⁿ),

p 數 n∈ N 的 .

的 .

Example 5.1.1. 29x²+ 15x + 1≡ 0 (mod 45). 4× 29, (58x)²+ 2×58 ×15x +116 ≡ 0 (mod 45). (58x + 15)²≡ 109 (mod 45), (13x + 15)²≡ 19 (mod 45) ( 58x≡ 13x (mod 45)).

45 = 3²× 5, (13x + 15)² ≡ 19 (mod 9) (13x + 15)²≡ 19 (mod 5). (4x + 6)²≡ 1 (mod 9) (3x)²≡ 4 (mod 5).

y≡ ±1 (mod 9) y²≡ 1 (mod 9) , 4x + 6≡ ±1 (mod 9), x≡ 1,5 (mod 9) (13x + 15)²≡ 19 (mod 9) . y≡ ±2 (mod 5) y²≡ 4 (mod 5) , 3x≡ ±2 (mod 5), x≡ 1,4 (mod 5) (13x²+ 15)²≡ 19 (mod 5) .

29x²+ 15x + 1≡ 0 (mod 45), 前 x : (1)

{ x≡ 1 (mod 9) x≡ 1 (mod 5) , (2)

{ x≡ 1 (mod 9) x≡ 4 (mod 5) , (3)

{ x≡ 5 (mod 9)

x≡ 1 (mod 5) (4)

{ x≡ 5 (mod 9) x≡ 4 (mod 5) . x≡ 1,14,19,41 (mod 45) 29x²+ 15x + 1≡ 0 (mod 45) .

的 . 二 次 的 congruence equation x² ≡ a

(mod pⁿ), p 數 n∈ N 的 . a p 的 . pⁿ|a

x²≡ 0 (mod pⁿ), . a = pⁱa^′ p- a^′ 1≤ i ≤ n − 1 ? i 數, x²≡ pⁱa^′ (mod pⁿ) . b x²≡ pⁱa^′ (mod pⁿ)

, b b = p^sb^′, p- b^′. b²≡ pⁱa^′ (mod pⁿ), pⁿ|p^2sb^′2− pⁱa^′. 2s 數 i 數, 2s̸= i. 2s > i, p^2sb^′2− pⁱa^′= pⁱ(p^2s−ib^′2− a^′).

p|p^2s−i p- a^′, p- p^2s−ib^′2− a^′. 言 pⁱ⁺¹- p^2sb^′2− pⁱa^′. pⁿ|p^2sb^′2− pⁱa^′

n≥ i+1 . , 2s < i, 的 . i < n 數 x²≡ pⁱa^′

(mod pⁿ) .

a = pⁱa^′ p- a^′, 0 < i < n i = 2k 數 , x x = p^kt, x²≡ a (mod pⁿ) (p^kt)²≡ p^2ka^′ (mod pⁿ), p^2kt²≡ p^2ka^′ (mod pⁿ).

5.2. x²≡ a (mod pⁿ) 59

2k < n, Proposition 4.2.1 t²≡ a^′ (mod p^n−2k). 論 論.

Proposition 5.1.2. 數 p n∈ N. a = pⁱa^′ p- a^′ 1≤ i ≤ n − 1.

(1) i 數, x²≡ a (mod pⁿ) .

(2) i 數, x²≡ a (mod pⁿ) x²≡ a^′ (mod pⁿ⁻ⁱ) .

的 論 二次的 congruence equation x²≡ a

(mod pⁿ), p- a 的 . x²≡ a (mod pⁿ) p- a 的 . 5.2. x²≡ a (mod pⁿ)

前 二次的 congruence equation x²≡ a (mod pⁿ),

p 數, n∈ N p- a 的 . p- a, x²≡ a (mod pⁿ) ,

p , p|a . p = 2 p 數

論 x²≡ a (mod pⁿ) .

5.2.1. p = 2 的 . x²≡ a (mod 2ⁿ), 2- a 的 . a 數,

數. n = 1 的 , a 數, a≡ 1 (mod 2).

x²≡ a (mod 2), x²≡ 1 (mod 2), x≡ 1 (mod 2).

n = 2 , a≡ 1,3 (mod 4), x²≡ 1 (mod 4) x²≡ 3 (mod 4)

congruence equations. 數 2k + 1 . (2k + 1)²=

4k(k + 1) + 1≡ 1 (mod 8), x²≡ 3 (mod 4) . x²≡ 1 (mod 4) x≡ ±1 (mod 4) ( 數).

論 n = 3 , x² ≡ 3,5,7 (mod 8) , x²≡ 1 (mod 8)

x≡ ±1,±3 (mod 8). n > 3 , , 數

.

Proposition 5.2.1. n≥ 3 a 數. x²≡ a (mod 2ⁿ) a≡ 1 (mod 8).

Proof. a≡ 3,5,7 (mod 8), 前 x²≡ a (mod 8) . n≥ 3, Lemma 4.2.3

x²≡ a (mod 2ⁿ) . a 數 a≡ 1 (mod 8) 的 論.

a≡ 1 (mod 8) x²≡ a (mod 2ⁿ) .

n = 3 . n = k− 1 (k ≥ 4) , a≡ 1 (mod 8) , x²≡ a (mod 2^k−1) . c∈ Z x²≡ a (mod 2^k−1) 的 ( 2^k−1|c²− a),

c²= a + 2^k−1b, b∈ Z. c x²≡ a (mod 2^k) . c²= a + 2^k−1b b 數, 2^k|c²−a, c x²≡ a (mod 2^k) . b 數, c^′= c + 2^k−2.

c^′2= c²+ 2^k−1c + 2^2k−4= a + 2^k−1(b + c) + 2^2k−4. b c 數 2|b + c, 2k− 4 = k + k − 4 ≥ k ( k≥ 4), c^′2≡ a (mod 2^k). x²≡ a (mod 2^k) . 

x²≡ a (mod 2ⁿ) . , modulo 2ⁿ

? 的 .

Proposition 5.2.2. n≥ 3 a≡ 1 (mod 8). x≡ c (mod 2ⁿ) x²≡ a (mod 2ⁿ)的 , x≡ c,c + 2ⁿ⁻¹,−c,−c + 2ⁿ⁻¹ (mod 2ⁿ) x²≡ a (mod 2ⁿ) 的 .

Proof. c^′∈ Z , 2ⁿ|c²−c^′2, 2ⁿ|(c−c^′)(c + c^′). c c^′ 數,

c≡ ±1 (mod 4) c^′≡ ±1 (mod 4), . c− c^′

c + c^′ ( ) 4 ( 數). c≡ 1 (mod 4)

c^′≡ −1 (mod 4) 的 , c + c≡ 0 (mod 4) c− c^′≡ 2 (mod 4). 2|c − c^′ 4- c − c^′. 4- c + c^′ . c + c^′= 2λ, λ 數. 前 2ⁿ|(c − c^′)(c + c^′), 2ⁿ|2λ(c − c^′), 2ⁿ⁻¹|λ(c − c^′). gcd(2,λ) = 1, Proposition 1.2.6(1) 2ⁿ⁻¹|c − c^′. 4- c − c^′, 2ⁿ⁻¹|c + c^′.

, c^′ x²≡ a (mod 2ⁿ) , t∈ Z c^′= c + t2ⁿ⁻¹ c^′=

−c+t2ⁿ⁻¹. c^′= c + 2ⁿ⁻¹, c^′2= c²+ 2ⁿct + 2²ⁿ⁻²t². 2n−2 ≥ n+1, c^′2≡ c²≡ a (mod 2ⁿ). c^′ x²≡ a (mod 2ⁿ) . c^′=−c +t2ⁿ⁻¹ x²≡ a (mod 2ⁿ)

. t 數 c^′= c + t2ⁿ⁻¹≡ c + 2ⁿ⁻¹ (mod 2ⁿ) c^′=−c +t2ⁿ⁻¹≡ −c + 2ⁿ⁻¹ (mod 2ⁿ). t 數 c^′= c + t2ⁿ⁻¹≡ c (mod 2ⁿ) c^′=−c +t2ⁿ⁻¹≡ −c (mod 2ⁿ).

modulo 2ⁿ x²≡ a (mod 2ⁿ) x≡ c,c + 2ⁿ⁻¹,−c + 2ⁿ⁻¹,−c (mod 2ⁿ) 4

( c 數, 數 modulo 2ⁿ ). 

.

Example 5.2.3. x²≡ 17 (mod 32). 17≡ 1 (mod 8), Proposition 5.2.1 .

Proposition 5.2.1 的 . x²≡ 17 (mod 2⁵⁻¹),

x²≡ 1 (mod 16). x = 1 x²≡ 17 (mod 16) . 1²− 17 = 2⁴× (−1)

−1 數, Proposition 5.2.1 的 1 + 2⁽⁵⁻²⁾= 9 x²≡ 17 (mod 32) . , Proposition 5.2.2 x≡ 9,25,7,23 (mod 32) x²≡ 17 (mod 32) 的 .

5.2.2. p 數的 . p 數 , p = 2 的 論.

Lemma 4.2.3 x²≡ a (mod p) , n∈ N, x²≡ a (mod pⁿ) .

數 x²≡ a (mod p) , n∈ N, x²≡ a (mod pⁿ) .

Proposition 5.2.4. p 數 p- a. x²≡ a mod p n∈ N, x²≡ a (mod pⁿ) .

Proof. x²≡ a (mod p) x²≡ a (mod pⁿ) .

c x²≡ a (mod p) , λ ∈ Z c²= a +λ p. c^′= c + t p.

c^′2= c²+ 2ct p + t²p²= a + (2ct +λ)p +t²p². c^′2≡ a (mod p²), t∈ Z

2ct≡ −λ (mod p). 2c p , Theorem 4.3.4 的 t .

c^′= c + t p, x≡ c^′ (mod p²) x²≡ a (mod p²) .

5.2. x²≡ a (mod pⁿ) 61

數 n = k− 1 (k ≥ 2) x² ≡ a (mod p^k−1) , x≡ c

(mod p^k−1) . c x²≡ a (mod p^k) 的 . λ ∈ Z

c²−a =λ p^k−1, c^′= c +t p^k−1. c^′2= c²+ 2ct p^k−1+t²p^2k−2= a + (2ct +λ)p^k−1+ t²p^2k−2. 2k− 2 = k + k − 2 ≥ k ( k≥ 2) c^′2≡ a + (2ct +λ)p^k−1 (mod p^k).

2c p , t^′∈ Z 2ct^′+λ ≡ 0 (mod p). c^′= c + t^′p, x≡ c^′

(mod p^k) x²≡ a (mod p^k) . 

x²≡ a (mod pⁿ) , modulo pⁿ , x²≡ a (mod pⁿ) 的 數.

Proposition 5.2.5. p 數, p- a n∈ N. x²≡ a mod pⁿ x≡ c (mod pⁿ) , x≡ ±c (mod pⁿ) x²≡ a (mod pⁿ) 的 .

Proof. c^′ x² ≡ a (mod pⁿ) , pⁿ|c²− c^′2. c c^′ p , c + c^′ c− c^′ p , p|c + c^′ p|c − c^′ p|2c, p̸= 2, p|c . c + c^′ p , gcd(c + c^′, pⁿ) = 1, pⁿ|(c + c^′)(c− c^′) Proposition 1.2.6(1), pⁿ|c − c^′, c^′≡ c (mod pⁿ). , c− c^′ p , c^′≡ −c (mod pⁿ).

, c²≡ a (mod pⁿ) (−c)²= c²≡ a (mod pⁿ), x≡ ±c (mod pⁿ)

x²≡ a (mod pⁿ) 的 . 

.

Example 5.2.6. x²≡ 14 (mod 125). x²≡ 14 ≡ 4 (mod 5) (x = 2 ), Proposition 5.2.4 x²≡ 14 (mod 125) . Proposition 5.2.4 的

. x²≡ 14 (mod 25) . 2 x²≡ 14 (mod 5)

, (2 + 5t)²= 4 + 20t + 25t². (2 + 5t)²− 14 ≡ −10 + 20t (mod 25).

t∈ Z 20t ≡ 10 (mod 25), 4t≡ 2 (mod 5). t = 3 , 2 + 5t x = 17 x²≡ 14 (mod 25) . 17 x²≡ 14 (mod 125) . (17 + 25t)²= 289 + 850t + 625t². (17 + 25t)²−14 ≡ 275+850t ≡ 25+100t (mod 125).

t∈ Z 100t≡ −25 (mod 125), 4t≡ −1 (mod 5). t = 1 , 17 + 25t x = 42 x²≡ 14 (mod 125) . , Proposition 5.2.2 x≡ ±42 (mod 125) x²≡ 14 (mod 125) 的 .

x²≡ a (mod 2ⁿ) 的 的 . p 數 , n∈ N, x²≡ a (mod pⁿ) ( p- a) 的 的 x²≡ a (mod p) 的 的 .

x²≡ a (mod p) p 數 p- a 的 .

5.3. The Legendre Symbol

的二次 congruence equation 的 x²≡ a (mod p),

p 數 p- a 的 . x²≡ a (mod p) .

, .

x²≡ a (mod p) , , (Legendre

symbol) .

Definition 5.3.1. 數 p a∈ Z p- a. x²≡ a (mod p) , a quadratic residue modulo p

(a p

)

= 1 . , x²≡ a (mod p) ,

a quadratic nonresidue modulo p

(a p

)

=−1 .

的 Legendre symbol 數 . 的 數 二的

(2

3)² (2/3)² , . Legendre symbol

(2 3

) 的

. Legendre symbol 的 數

( 的 , ).

(5 6

) (6

3 )

的 的.

Legedre symbol .

Lemma 5.3.2. p 數 a∈ Z p- a.

(1) (a²

p )

= 1.

(2) b∈ Z b≡ a (mod p),

(a p

)

= (b

p )

.

Proof. (1) a² quadratic residue modulo p, x²≡ a² (mod p)

. x = a x²≡ a² (mod p) 的 ,

(a² p

)

= 1.

(2) b quadratic residue modulo p, x²≡ b (mod p)

. b≡ a (mod p) x²≡ b (mod p) x²≡ a (mod p).

(b p

)

= (a

p )

. 

x²≡ a (mod p) . Legendre symbol

. , 1 0,

的 數, 1 −1 ? 數

的 , 的 , 的

的 , 的 . Legendre symbol 1

−1, 數的 1 −1 .

.

5.3. The Legendre Symbol 63

Theorem 5.3.3 (Euler’s Criterion). p 數 a∈ Z p- a.

(1) x²≡ a (mod p) , a^(p−1)/2≡ 1 (mod p).

(2) x²≡ a (mod p) , a^(p−1)/2≡ −1 (mod p).

Proof. (1) x²≡ a (mod p) x = c , c²≡ a (mod p).

a^p−12 ≡ (c²)^p−12 ≡ c^p−1 (mod p).

a p , x²≡ a (mod p) c p . Fermat’s Little

Theorem (3.3.4) c^p−1≡ 1 (mod p), a^(p−1)/2≡ 1 (mod p).

(2) S ={1,2,..., p − 1} reduced residue system modulo p. i∈ S,

i p , Theorem 4.3.4 ix≡ a (mod p) modulo p . a

p , p . , i∈ S 的 j∈ S i j≡ a

(mod p). j̸= i, i²≡ a (mod p), x = i x²≡ a (mod p)

的 , x²≡ a (mod p) 的 . jx≡ a (mod p)

modulo p x = i , i^′∈ S i^′j≡ a

(mod p). S 的 , , i∈ S i

i j≡ a (mod p) 的 j∈ S . (p− 1)/2 .

modulo p a congruent,

(p− 1)! = 1 · 2··· p − 1 ≡ a^p−12 (mod p).

Wilson’s Theorem (3.4.3) (p− 1)! ≡ −1 (mod p), a^(p−1)/2≡ −1

(mod p). 

的 , Wilson’s Theorem S ={1,..., p − 1}

i j≡ 1 (mod p) . Wilson’s Theorem Euler’s Criterion 的 .

p- a a^(p−1)/2 modulo p 1 −1. b = a^(p−1)/2,

b²= a^p−1≡ 1 (mod p), x = b x²≡ 1 (mod p) . Lemma 3.4.2 b≡ ±1 (mod p). , a∈ Z p- a, a^(p−1)/2 modulo p 1

−1 x²≡ a (mod p) . , a^(p−1)/2≡ 1 (mod p)

(a p

)

=−1, x²≡ a (mod p) Theorem 5.3.3 a^(p−1)/2≡ −1 (mod p). 1≡ −1 (mod p)

p|2 的 . , a^(p−1)/2≡ 1 (mod p),

(a p

)

= 1. , a^(p−1)/2≡ −1

(mod p),

(a p

)

=−1. Legendre symbol 1 −1 的 .

論.

Corollary 5.3.4. p 數 a∈ Z p- a.

(a p

)

≡ a^p−12 (mod p).

x²≡ a (mod p) , a^(p−1)/2 p 的 數 1

p−1. 數 1 , 數 p−1 . ,

a^(p−1)/2 p . criterion

的 . Legendre symbol 的 .

Proposition 5.3.5. p 數 a, b∈ Z p- a p- b.

(ab p

)

= (a

p )(b

p )

. Proof. Corollary 5.3.4

(ab p

)

≡ (ab)^p−12 = a^p−12 b^p−12 ≡ (a

p )(b

p )

(mod p).

(ab p

) (

a p

)(b p

)

1 −1, modulo p

( p|2 ).

(ab p

)

= (a

p )(b

p )

. 

Proposition 5.3.5 的 . x²≡ a (mod a) x²≡ b

(mod p) x = c x = c^′ . x²≡ ab (mod p)

. x = cc^′ . x²≡ a (mod a) x²≡ b (mod p)

, 的 x²≡ ab (mod p)

. Proposition 5.3.5, 的 x² ≡ a (mod p)

x²≡ b (mod p) ( (a

p )

= 1, (b

p )

=−1), x²≡ ab (mod p) ( (ab

p )

= 1× (−1) = −1). 的 x²≡ a (mod p) x²≡ b (mod p) , x²≡ ab (mod p) (

(ab p

)

= (−1) × (−1) = 1).

的 的.

Proposition 5.3.5 數 a a = (−1)^m2ⁿ⁰qⁿ₁¹···qⁿ_r^r, q_i 數 ( p̸= qi p- a), m ∈ {0,1}, ni≥ 0.

(a p

)

= (−1

p )_m(

2 p

)_n0( q1

p )_n1

···

(qr

p )_nr

.

數 p,

(−1 p

) ,

(2 p

) (

q p

)

(q p 的

數) , p 的 數 a,

(a p

)

. 二次的 congruence equation 的 ,

x²≡ −1 (mod p), x²≡ 2 (mod p) x²≡ q (mod p) ( q p 的 數),

的 . 數 的 的 ,

的 . 的 Legendre symbol Euler’s Criterion

二次 congruence equation 的 的 .

5.4. Quadratic Reciprocity Law 65

的

(−1 p

) ,

(2 p

) (

q p

)

, x²≡ −1,2,q

(mod p) .

5.4. Quadratic Reciprocity Law 論

(−1 p

) ,

(2 p

) (

q p

)

. p q

數, .

5.4.1.

(−1 p

) .

(−1 p

)

的 . a

數 , 數 b a≡ b (mod p), Lemma 5.3.2(2)

(a p

)

= (b

p )

, 數的 的 ? ,

數的 , 數 .

( 97 101

)

. 97≡ −4 = (−1) × 2² (mod 101), Lemma 5.3.2 Proposition 5.3.5 ( 97

101 )

= (−1

101 )

. modulo p 數 的 i

i²=−1 的 .

(−1 p

)

的.

Euler’s Criterion 的 (a

p )

,

(−1 p

)

.

Theorem 5.4.1. p 數,

(−1 p

)

=

{ 1, p≡ 1 (mod 4);

−1, p≡ −1 (mod 4).

Proof. Corollary 5.3.4

(−1 p

)

≡ (−1)^p−12 (mod p).

p≡ 1 (mod 4),( k∈ N p = 4k + 1, (−1)^(p−1)/2= (−1)^2k = 1.

−1 p

)

= 1. p≡ −1 (mod 4), k∈ N p = 4k− 1, (−1)^(p−1)/2= (−1)^2k−1=−1.

(−1 p

)

=−1. 

p 數, p modulo 4 1 −1 ,

Theorem 5.4.1

(−1 p

)

的 . x²≡ −1 (mod p)

, p modulo 4 . x²≡ 97 (mod 101)

,

( 97 101

)

= (−1

101 )

101≡ 1 (mod 4) x²≡ 97 (mod 101) 的.

5.4.2.

(2 p

) .

(2 p

)

的 . 2 的 數 論

的 2 的 數, 數 的, 前

2 的 數 的 x²≡ a (mod 2ⁿ) x²≡ a

(mod pⁿ) congruence equation 的 .

Euler’s criterion 的

(2 p

)

x²≡ 2 (mod p) . Euler’s criterion

(2 p

)

, 的 p

的 數 的 數, 2^(p−1)/2 modulo p 1 −1.

的 2^(p−1)/2 modulo p .

Lemma 5.4.2 (Gauss’s Lemma). p 數 a∈ Z p- a. S =

{a,2a,...,p− 1

2 a}. S n p 的 數 (p− 1)/2,

a^p−12 ≡ (−1)ⁿ (mod p).

Proof. S 的 p 的 數 r₁, . . . , r_n s₁, . . . , s_m , r_i

(p− 1)/2 的 , sj (p− 1)/2 的 . S 的 p ,

的 i∈ {1,...,n} j∈ {1,...,m} r_i, s_j 的 1≤ ni≤ (p − 1)/2 nia p 的 數 ri (p + 1)/2≤ ri≤ p − 1, 1≤ mj≤ (p − 1)/2 mja p 的 數 sj 1≤ sj ≤ (p − 1)/2. n + m = (p− 1)/2, T ={p − r1, . . . , p− rn, s₁, . . . , s_m}, T ={1,2,...,(p − 1)/2}.

T ={1,2,...,(p − 1)/2}. T ⊆ {1,2,...,(p − 1)/2}.

的 i∈ {1,...,n} p− ri≤ p − (p + 1)/2 = (p − 1)/2 p− ri ≥ p − (p − 1) = 1, p− ri∈ {1,2,...,(p − 1)/2}. j∈ {1,...,m} 1≤ sj≤ (p − 1)/2 T ⊆ {1,2,...,(p − 1)/2}.

p− ri, i∈ {1,...,n} s_j, j∈ {1,...,m} n + m ( (p− 1)/2) , T ={1,2,...,(p − 1)/2}. (1): 1≤ i ̸= i^′≤ n , p− ri̸= p − ri^′; (2): 1≤ j ̸= j^′≤ m , s_j̸= sj^′ (3): i∈ {1,...,n}, j ∈ {1,...,m}, p− ri̸= sj.

1≤ i ̸= i^′≤ n , p− ri= p− ri^′ ri= r_i′, nia ni^′a p 的 數 , nia≡ ni^′a (mod p). a p Corollary 3.2.4 ni≡ ni^′

(mod p). 1≤ ni̸= ni^′ ≤ (p − 1)/2 的 , p− ri ̸= p − ri^′, (1) 的. (2) 的. (3), p− ri= sj, ri+ sj = p, nia + mja≡ 0 (mod p). Corollary 3.2.4 n_i+ m_j ≡ 0 (mod p). 1≤ ni, m_j ≤ (p − 1)/2, 2≤ ni+ m_j≤ p − 1, p|ni+ m_j, p− ri̸= sj.

T ={1,2,...,(p − 1)/2}, p− 1

2 ! = (p− r1)···(p − rn)· s1···sm≡ (−1)ⁿr1···rn· s1···sm (mod p).

5.4. Quadratic Reciprocity Law 67

S ={a,2a,...,p− 1

2 a} p 的 數 的 {r1, . . . , r_n, s₁, . . . , s_m}, r₁···rn· s1···sm≡ a · 2a···p− 1

2 a = p− 1

2 !· a^p−12 (mod p).

p− 1

2 !≡ (−1)ⁿp− 1

2 !· a^p−12 (mod p).

p− 1

2 ! p , Corollary 3.2.4

1≡ (−1)ⁿa^p−12 (mod p),

a^p−12 ≡ (−1)ⁿ (mod p).

 {a,2a,...,p− 1

2 a} n p 的 數 (p−1)/2, Corollary 5.3.4

Lemma 5.4.2 (

a p

)

≡ a^p−12 ≡ (−1)ⁿ (mod p).

(a p

)

的 ±1,

(a p

)

= (−1)ⁿ.

Gauss’s Lemma a^(p−1)/2 的 {a,2a,...,p− 1

2 a} p

的 數 (p− 1)/2, .

(2 p

) .

Theorem 5.4.3. p 數,

(2 p

)

=

{ 1, p≡ ±1 (mod 8);

−1, p≡ ±3 (mod 8).

Proof. S ={2,2 × 2,...,p− 1

2 × 2}, S ={2,4,..., p − 1}. S 的 數

p 數 的 S, p 的 數 . p 數,

p≡ ±1,±3 (mod 8) 論. S (p− 1)/2.

p = 8k + 1 ( p≡ 1 (mod 8)) , (p− 1)/2 = 4k. S (p− 1)/2 的

數 p− 1 = 8k 4k 的 數 數. (8k− 4k)/2 = 2k.

Corollary 5.3.4 Lemma 5.4.2 (2

p )

= (−1)^2k= 1.

p = 8k− 1 ( p≡ −1 (mod 8)) , (p− 1)/2 = 4k − 1. S (p− 1)/2 的

數 p− 1 = 8k − 2 4k− 1 的 數 數. (8k− 2 − (4k −

2))/2 = 2k. Corollary 5.3.4 Lemma 5.4.2 (2

p )

= (−1)^2k= 1.

p = 8k + 3 ( p≡ 3 (mod 8)) , (p−1)/2 = 4k +1. S (p−1)/2 的

數 p− 1 = 8k + 2 4k + 1 的 數 數. (8k + 2− 4k)/2 =

2k + 1. Corollary 5.3.4 Lemma 5.4.2 (2

p )

= (−1)^2k+1=−1.

p = 8k− 3 ( p≡ −3 (mod 8)) , (p− 1)/2 = 4k − 2. S (p− 1)/2 的

數 p− 1 = 8k − 4 4k− 2 的 數 數. (8k− 4 − (4k −

2))/2 = 2k− 1. Corollary 5.3.4 Lemma 5.4.2 (2

p )

= (−1)^2k−1=−1.



Theorem 5.4.3, 數 p, x²≡ 2 (mod p) .

101≡ 5 ≡ −3 (mod 8), x²≡ 2 (mod 101) . 23≡ −1 (mod 8) x²≡ 2 (mod 23) . 5²≡ 2 (mod 23), x≡ ±5 (mod 23) x²≡ 2 (mod 23) .

5.4.3.

(q p

)

. p, q 數的 . p q

Gauss’s Lemma

(q p

)

, 論的 的 p q, 的

.

Gauss’s Lemma {a,2a,...,p− 1

2 a} p 的 數

(p− 1)/2. 數 n,

(a p

)

= (−1)ⁿ. (−1)ⁿ 的 n 數

數, n , 數 數 .

n 的 , 的

(q p

)

q 數, 的

a 數的 .

. 數 r, [r] r 的 數

的 數. π , [π] = 3. [−5.2] = −6. m, n 數

[m/n] m n 的 .

Lemma 5.4.4. 數 p 數 a p- a. n {a,2a,...,p− 1

2 a}

p 數 (p− 1)/2 的 數,

n≡

(p−1)/2 k=1

∑

[ka p

]

(mod 2).

5.4. Quadratic Reciprocity Law 69

Proof. ka p 的 數 r, ka = p[ka/p] + r. Lemma 5.4.2

的 {a,2a,··· ,p− 1

2 a} 的 p 的 數 r1, . . . , rn s1, . . . , sm ,

r_i (p− 1)/2 的 , s_j (p− 1)/2 的 ,

(p−1)/2 k=1

∑

ka =

(p−1)/2 k=1

∑

p [ka

p ]

+

∑

ri+

∑

sj.

, modulo 2 的 , a p 數 (

a≡ p ≡ 1 (mod 2))

(p−1)/2 k=1

∑

k≡

(p−1)/2 k=1

∑

[ka p

] +

∑

ri+

∑

sj (mod 2). (5.1)

Lemma 5.4.2 的

{p − r1, . . . , p− rn, s1, . . . , sm} = {1,2,...,(p − 1)/2}.

(p−1)/2 k=1

∑

k =

∑

(p− ri) +

∑

s_j= np−

∑

i=1

r_i+

∑

s_j. p≡ 1 (mod 2)

(p−1)/2 k=1

∑

k≡ n −

∑

i=1

ri+

∑

sj (mod 2). (5.2)

(5.1) (5.2) n≡

(p−1)/2 k=1

∑

[ka p

] + 2

∑

r_i≡

(p−1)/2 k=1

∑

[ka p

]

(mod 2).



次 Lemma 5.4.4 的 a 數 ( a≡ 1 (mod 2)) 的 ,

a 數的 ,

(2 p

) .

Corollary 5.3.4 Lemma 5.4.2, Lemma 5.4.4, 數 p, 數 a

(a p

)

, ∑^(pk=1^−1)/2[ka/p] . N,

(a p

)

= (−1)^N.

( 5 11

)

, [5/11] + [10/11] + [15/11] + [20/11] + [25/11].

4,

( 5 11

)

= (−1)⁴= 1.

Lemma 5.4.4

(q p

) .

(q p

)

p

q ,

(q p

) (

p q

)

的 . p, q 數,

Lemma 5.4.4

(q p

) (

p q

)

. ∑^(pk=1^−1)/2[kq/p] ∑^(ql=1^−1)/2[l p/q]

的 .

前, [r] 數. r 的 數 , [r]

0≤ n ≤ r 的 數 n 的 數. xy- , x- y-

數的 “ ”. , k 數 , [kq/p] x = k

0≤ y ≤ kq/p 的 數. l 數 , [l p/q] y = l

0≤ x ≤ lp/q 的 數. , .

Lemma 5.4.5. p q 數.

(p−1)/2 k=1

∑

[kq p

] +

(q−1)/2 l=1

∑

[l p q

]

= p− 1 2

q− 1 2 .

Proof. xy- , (0, 0), (p/2, 0), (p/2, q/2) (0, q/2) 的

T , L : y = (q/p)x T1 T2 . T1 L 的

, T2 L 的 , .

-

6 L : y = (q/p)x

(p/2, 0)

(p/2, q/2) (0, q/2)

(k, 0) (0, l)

T1

T₂

T 的 (m, n), m, n∈ N 0≤ m ≤ p/2 0≤ n ≤ q/2.

p, q 數 T 的 數 p− 1

2

q− 1 2 .

T₁ 的 (k, s), k, s∈ N 0≤ k ≤ p/2 0≤ s ≤ kq/p.

k∈ N 1≤ k ≤ (p − 1)/2, k, 0≤ s ≤ kq/p. T1

的 , k∈ N 1≤ k ≤ (p−1)/2 s∈ N 0≤ s ≤ kq/p,

k . 的 數 k 0≤ s ≤ kq/p 的 數 s 的

數 [kq/p]. T1 的 數 ∑^(pk=1^−1)/2[kq/p]. T2 的 數

∑^(ql=1^−1)/2[l p/q].

T₁ T₂ 的 , y = (q/p)x 0≤ x ≤ p/2 的 ?

(m, n) , pn = qm 1≤ m ≤ (p − 1)/2. pn = qm

p|qm, p, q 數 Proposition 1.2.6(1) p|m, 1≤ m ≤ (p − 1)/2

. T₁ T₂ 的 . T₁ T₂ 的 數

5.4. Quadratic Reciprocity Law 71

T 的 數,

(p−1)/2 k=1

∑

[kq p

] +

(q−1)/2 l=1

∑

[l p q

]

= p− 1 2

q− 1 2 .

 p, q 數, M =∑^(pk=1^−1)/2[kq/p] N =∑^(ql=1^−1)/2[l p/q] Lemma 5.4.4 (q

p )

= (−1)^M

(p q

)

= (−1)^N. Lemma 5.4.5 M + N = (p−1)(q−1)/4, (q

p )(p

q )

= (−1)^M+N= (−1)^{p−12 q−12} . .

Theorem 5.4.6 (Quadratic Reciprocity Law). p q 數.

(q p

)

=









− (p

q )

, p≡ q ≡ −1 (mod 4);

(p q

)

, .

Proof. p, q 數, p≡ ±1 (mod 4) q≡ ±1 (mod 4) 論.

p = 4k−1 q = 4k^′−1 k, k^′∈ N ( p≡ q ≡ −1 (mod 4)). (p−1)/2 = 2k−1 (q− 1)/2 = 2k^′− 1,

(q p

)(p q

)

= (−1)^{(2k−1)(2k′−1)}=−1.

(q p

)

=− (p

q )

.

的 p q modulo 4 1. p≡ 1

(mod 4). p = 4k + 1, k∈ N, (p− 1)/2 = 2k. (q− 1)/2 數 (q

p )(p

q )

= (−1)^(2k)q−12 = 1^q−12 = 1.

(q p

)

= (p

q )

. 

Theorem 5.4.6 p, q 數 , q 數,

(p q

)

的. Theorem 5.4.6

(q p

) ( ,

p q

) (

q p

) .

(q p

) 的

(p q

) 的

, 的 . Lemma 5.3.2(2),

(q p

)

, q < p,

(p q

)

modulo 的 p 的

modulo 的 q 的 .

( 7 101

)

, 101≡ 1 (mod 4), ( 7

101 )

= (101

7 )

. modulo 101 的 modulo 7 的 ,

.

(101 7

)

= (3

7 )

,

(3 7

)

=−1 ( 次 Theorem 5.4.6 (3

7 )

=− (7

3 )

=− (1

3 )

=−1).

( 7 101

)

=−1. 言 , 的

數 p, q, p q

(q p

)

. Theorem 5.4.6,

的 . 的 .

Example 5.4.7. 二次 congruence equation x²≡ 539 (mod 631) .

Legendre symbol , 631 數. (Proposition

1.4.6) √

631 的 數 631. 25 的 數 631,

Proposition 1.4.6 631 數.

(539 631

)

. 539

631 , 539≡ −92 (mod 631) Lemma 5.3.2(2)

(539 631

)

= (−92

631 )

92 數 92 = 2²× 23. Proposition 5.3.5 (539

631 )

= (−92

631 )

= ( −1

631 )( 4

631

)( 23 631

) . 631≡ 3 ≡ −1 (mod 4), Theorem 5.4.1

(−1 631

)

=−1. 4 = 2², Lemma 5.3.2(1)

( 4 631

)

= 1,

(539 631

)

=− ( 23

631 )

. 631≡ 23 ≡ 3 (mod 4), Theorem 5.4.6

( 23 631

)

=− (631

23 )

. 631≡ 10 (mod 23) (539

631 )

=− ( 23

631 )

= (631

23 )

= (10

23 )

= ( 2

23 )( 5

23 )

. 23≡ 7 ≡ −1 (mod 8), Theorem 5.4.3

( 2 23

)

= 1. 5≡ 1 (mod 4), Theorem 5.4.6

( 5 23

)

= (23

5 )

.

(539 631

)

= ( 2

23 )( 5

23 )

= (23

5 )

. 23≡ 3 (mod 5) 5≡ 1 (mod 4)

(23 5

)

= (3

5 )

= (5

3 )

= (2

3 )

.

(539 631

)

= (2

3 )

=

−1. x²≡ 539 (mod 631) . 539 = 7²× 11,

(539 631

)

= ( 7²

631

)( 11 631

)

= ( 11

631 )

. 631≡ 11 ≡ 3 (mod 4) 631≡ 4 (mod 11)

(539 631

)

= ( 11

631 )

=− (631

11 )

=− ( 4

11 )

=−1.

Legendre symbol quadratic reciprocity law (

數 Legendre symbol 的 ), 的 Legendre symbol

.