二 次方根 的 意 義

二 次 方 根 的 意 義

單 元 內 容

1

根號的意義

n 如果x≧0, 且 x²= a，則 x 可以表示 為 a ，讀作根號 a。

n a 可視為² a ，用指數來表示可寫為 a 。

【說明】一正方形的面積為16 平方公分，則邊 長可以表示為 16 =4 公分。

【說明】一正方形的邊長為 7 公分，則面積為

7 × 7 =( 7 )²=7 平方公分。

2

平方根的意義

n 如果a≧0，當 x²= a 時，則 x 稱為a 的平方根。

※ 正數的平方根都有兩個，0 的平方根是 0，負數沒有平方根。

【說明】

(-2)²=4 所以 2 是 4 的平方根。

(2)²=4 所以 2 是 4 的平方根。

故±2 都是 4 的平方根。

【說明】

(1).4 的平方根依前述的定義是 x²=4 的 解，也就是± 4 =±2。

(2). 4 常稱作 4 開根號或開方是運算中 的一種，只有一個結果，即 4 = 2。

範 例 講 解

Ex1.

(1).正方形面積為 121，則其邊長為【 】。

(2).正方形面積為 19，則其邊長為【 】。

(3).正方形面積為 a，則其邊長為【 】。

Hw1.

(1).正方形面積為 19600 ，則其邊長為

【 】。

(2).正方形的面積為 361，則其周長為

【 】。

(3).正方形面積為 a²(a>0)，則其周長為

【 】。

Ex2.

(1).若 x²＝169，則 x＝【 】。

(2).若 m²＝23，且m＜0，則m＝【 】。

Hw2.

(1).若甲數＜0，且（甲數）²＝19，則甲數

＝【 】。

(2). 若 m²＝17，且 m＞0，則 m＝【 】。

Ex3.

(1). 8 的相反數為【 】。

(2).- 13 的相反數為【 】。

(3).若甲數＋乙數＝0，且甲數＝ 5 ，則乙數

＝【 】。

Hw3.

(1). 3 的相反數為【 】。

(2).- 10 的相反數為【 】。

(3).若甲數＋乙數＝0，且甲數＝ 7 ，則乙 數＝【 】。

Ex4.請將「＞、＝、＜」填入下列空格中：

(1). 8 【 】3 (2). 50 【 】7 (3). 150 【 】13 (4). 841【 】29

Hw4.請將「＞、＝、＜」填入空格中：

(1). 143 【 】12。

(2). 160 【 】13。

(3). 48 【 】7。

(4) .11【 】 120 。

Ex5.介於 20與 50 之間的整數有哪些？

Hw5. 165 、 167 、 171、 179 、 181、

183 、 189 、 195 、 198 、 203 上 列 10 個數中，介於 13 與 14 之間的有幾 個？

Ex6.求下列各數的平方根：

(1) . 1 (2) . 6 (3). 144 (4)

16 49

(5). 6.76

Hw6.求下列各數的平方根：

(1). 64 (2). 1225 (3).

75

27 (4). 1.5

(5). -25

3

十分逼近法

n 十分逼近法求 n 的近似值:

1. 先確認 n 在那 a、b 兩個整數之 間，可以求得整數部分。

2. 將 a、b 間分成十等分，並計算每 個數的平方值。

3. 找出 n 介於那兩個十等分點之間，

可以求得十分位部分。

4. 再將此兩點間的十分位分成十等

【說明】求 5 到小數第–位的近似值。

1. ( 5 )²=5 2²=4 3²=9

∴ 2< 5 <3 即 5 =2.……

2. 將2 和 3 之間分成十等分 2、2.1、

2.2、2.3、2.4、2.5、2.6、2.7、2 .8、2.9、3

2²=4 2.6²=6.76

分，並計算每個數的平方值。

5. 找出 n 介於那兩個十等分點之間，

可以求得百分位部分。

6. 重複前述步驟，可以上依實際需要 求到必需的精確小數。

2.1²=4.41 2.7²=7.29 2.2²=4.84 2.8²=7.84 2.3²=5.29 2.9²=8.41 2.4²=5.76 3²=9

2.5²=6.25 ( 5 )²在4.

84 和，5.2 9 之間

∴ 2.2< 5 <2.3 即 5 =2.6…

3. 將2.2 和 2.3 之間分成十等分 2.2²=4.84

2.21²=4.8841 2.22²=4.9284 2.23²=4.9729 2.24²=5.0176

( 5 )²在4.

9729 和 5.0 176 之間

∴ 2.23< 5 <2.24 即 5 =2.23…

四捨五入可得到 5 ≒2.2

4

乘方開方表

n 乘方開方表的用法：N 行代表要查的數 值，向右可以查出N²、 N 、 10N 。

【說明】如果要查 5 ，先找到 N=5 再對到 N 可以找到 5 ≒2.236068。

【說明】如果要查 50 ，先找到 N=5 再對到 10N 可以找到 50 ≒7.071068。

範 例 講 解

Ex7.以十分逼近法求 11 的近似值到小數第一位 時，請依下列各小題所提供的數據，按步驟 回答下列問題：

(1).因為 1²＝1，2²＝4，3²＝9，4²＝16，所

Hw7.利用電器算估算 15 的值在哪兩個數之間？

(1).因為 1²＝1，2²＝4，3²＝9，4²＝16，5²

＝25，6²＝36，所以【 】＜ 15 ＜

【 】。（整數）

以 11 在哪兩個連續整數之間？

答：【 】＜ 11＜【 】。

(2).因為（3.1）²＝9.61 ‚ （3.2）²＝ 10.24，（3.3）²＝10.89 ‚ （3.4）²＝ 11.56，所以 11 在哪兩個連續一位小數 之間？

答：【 】＜ 11＜【 】。

(3).因為（3.31）²＝10.9561 ‚ （3.32）²＝ 11.0224，（3.33）²＝11.0889，所以

11 在哪兩個連續二位小數之間？

答：【 】＜ 11 ＜【 】。

(4).以四捨五入法取 11 的近似值到小數第一 位得【 】。

(2).因為（3.1）²＝【 】，（3.2）²＝

【 】，（3.3）²＝【 】，（3.4）²＝

【 】，（3.5）²＝【 】，（3.6）²＝

【 】，（3.7）²＝【 】，（3.8）²＝

【 】，（3.9）²＝【 】，所以

【 】＜ 15 ＜【 】。（小數第一 位）

(3).因為（3.81）²＝【 】，（3.82）²＝

【 】，（3.83）²＝【 】，（3.84）²

＝【 】，（3.85）²＝【 】，

（3.86）²＝【 】，（3.87）²＝

【 】，（3.88）²＝【 】，（3.89）²

＝【 】，所以【 】＜ 15 ＜

【 】。（小數第二位）

(4). 15 的近似值為【 】。（四捨五入到小 數第一位）

Ex8.利用附表查出下列各數的近似值：

N N² N 10 N

18 324 4.242 13.416 23 529 4.795 15.165 29 841 5.385 17.029 (1). 230 ≒?

(2). 18 ≒?

Hw8.利用附表查出下列各數的近似值：

N N² N 10 N

18 324 4.242 13.416 23 529 4.795 15.165 29 841 5.385 17.029 (1). 290 ≒?

(2). 23 ≒?

5

有理數的意義

n 如果–個數(實數)可以寫成q

p的分數型 態，其中 p 和 q 都必需是整數，這樣的 數就稱為有理數；反之如果–個數(實 數) 不可以寫成q

p的分數型態則稱為無理 數。

【說明】

1

3、0.3、-2、0 都是有理數。

π、 7 、- 5 都是無理數。

6

根號的化簡

n 如果a≧0，則 a² = a。

n 如果a≧0，則( a )²= a。

【說明】

9 = 3² =3 ( 2 )²=2

範 例 講 解

Ex9.求下列各數的值：

(1). 25 =? (2). 529 =?

(3). 0.36=? (4).

225 196 =?

(5). 9

54 =? (6).

12 27 =?

Hw9.計算下列各數：

(1). 64 =? (2). 484 =?

(3). 3.61=? (4).

121 16 =?

(5). 25

111=? (6).

50 72 =?

Ex10.在下列空格中填入適當的數：

(1). (- 18 )²=? (2). ( 5 3 )²=?

(3). ( 16 )²=? (4). (- 1 ).3 ²=?

(5). -( 10 )²=?

Hw10.在下列空格中填入適當的數：

(1). (- 6 )²=? (2). ( 3 2 )²=?

(3). ( 17 )²=? (4). (- 0.25 )²=?

(5). -( 2 ).6 ²=?

Ex11.在下列各數中那些是無理數：

0、 12 、- 3

5 、 5 2 、 1

7

Hw11.下列各數： 6 、 10 、 16 、 20 、

25 、 30 、 36 、 40 共有幾個是有理 數？

綜 合 應 用

Ex12.

(1).求（ 2－2）² ＝?

(2).若 2＜x＜3，則（x－2）² ＋ （x－3）²

＝?

Hw12.

(1).求（ 7－3）²

(2).設 4＜x＜10，且 （x－12）² ＋

7 2

2 －）

（ x ＝10，則 x＝?

Ex13.根據下表，求下列各數的值： 25600 、

0.0256 Hw13.根據此表：求 3.61×10⁸ ＝?； 10000 96 . 1

＝?

N 11 12 13 14 15 16 N² 121 144 169 196 225 256

N 17 18 19 20 21 22 N² 289 324 361 400 441 484

N 11 12 13 14 15 16 N² 121 144 169 196 225 256

N 17 18 19 20 21 22 N² 289 324 361 400 441 484

Ex14.a＝1＋ 2 ，b＝1＋ 3 ，c＝ 2 ＋ 3 ， 試比較 a、b、c 三數的大小關係。

Hw14.若 a＝2 15 ，b＝3 7 ，c＝4 3 ，試比 較 a、b、c 的大小關係。

Ex15

(1).若2x+4的負平方根是-4，求x之值。

(2).若 x＋y 的負平方根是-2，且 x－y 的正 平方根是 4，求 x 與 y 的值。

(3).求 625 的平方根。

(4).若（3x＋2）² 的平方根為±13，則 x

＝?

Hw15.

(1).-5 是 9+2x 的一個平方根，則： x=?

3x+1 的平方根是多少?

(2).若-2 是 3x+2y 的一個平方根；且 2x- y+4 的平方根為±3，求：x=?Y=?

(3).求 81的平方根。

(4).若(4x+3)²的平方根是±11，求 x=?

Ex16.若 350 18.7，欲使 350 ，a b 350 ，

c

350＋ ， 350－d 均為正整數，當 a，

b，c，d 均為最小正整數時，則 a＋b＋c

＋d＝?

Hw16.設 a，b，c，d 均為正整數，若 720 26.8，欲使 720×a ，

b 720 ，

c

720＋ ， 720－d 均為正整數，當 a，

b，c，d 均為最小時，求 a＋b＋c＋d＝？

Ex17.求 64 - 49 +(- 81)-(- 100 )的值。 Hw17. 729 -〔 529 +(- 225 )×(- 64 )-(- 484 )× 196 〕=?