垂直、平分與尺規作圖

垂直、平分與尺規作圖

1 線對稱

n 線對稱：如果一個圖形沿著圖形上的一條直線 對摺，兩邊分開的圖形完全相同，這種圖形就 稱為線對稱圖形，而對摺的直線就稱為對稱 軸，而在對稱軸兩邊對摺後會重疊的點稱為對 稱點，在對稱軸兩邊對摺後會重疊的線段稱為 對稱線段，在對稱軸兩邊對摺後會重疊的角稱 為對稱角。。

【說明】正方形是一個線對稱 圖形，共有四條對稱 軸。

【說明】右圖中一個線對稱圖 形對摺後，L 為它的 對稱軸，B 點和 B'為 對稱點， ¯¯AB和 ¯¯AB'為 對稱線段，∠C 和∠

C'為對稱角。

n 點對稱: 如果一個圖形對圖形中的某一點產 生對稱，這個圖形稱為點對稱圖形或旋轉對稱 圖形。

【說明】下列除了箏形外都是一個點對稱圖形，中 心點O 就是對稱中心點。

2 垂直平分線

條直線稱為該線段的垂直平分線或中垂線。 MB'，也就是 M 為¯¯

的中點，我們說直線 L 平分 ¯¯BB'，L 是 ¯¯BB' 的垂直平分線。L⊥

¯¯

BB'，直線 L 與 ¯¯BB'

的交點M 稱為垂足。由上圖可知對稱圖 形的對稱軸L 會垂直平分兩對稱點之連 線段如BB'、 ¯¯¯¯ CC'。

【說明】如果將等腰△ABC 對摺，將B 點疊 合在C 點上， ¯¯AB 和AC疊合，摺痕¯¯

得到BC 中點 D，

而且∠ADB＝∠

ADC＝90°， ¯¯AD 是△ABC 對稱軸，也就 是說△ABC 是一個線對稱圖形；由此可 知等腰三角形底邊上的高垂直平分底邊。

【說明】設正三角形ABC 的邊長為a BD= ¯¯¯¯ CD=a

2

¯¯

AD= a²-(a 2)²

= 3

4 a² = 3 2 a

△ABC=1

2×a× 3

2 a= 3 4 a²

範 例 講 解

Ex1.

(1).右邊圖形展開後會是哪一個圖形？

Hw1.

(1).如圖展開後是哪一個圖形？

(A) (B)

(C) (D)

(2).在右圖 中，以直線 L 為對稱軸 完成線對稱圖形後，應該是哪 一選項的圖形？

(A) (B)

(C) (D)

(3).如圖，將一張正方形色紙沿對角線連續 對摺兩次後然後在上頭打3個洞，請問：

將色紙展開後，整張色紙上共有幾個洞？

展開後的圖形是下列哪一個圖形？

(A) (B)

(C) (D)

(A) (B)

(C) (D)

(2).下列何者是右圖以虛線為對 稱軸之對稱圖形的另一半？

(A) (B)

(C) (D)

(3).將一張正方形紙張依 虛線對摺，然後在上 方打個洞，如圖所

示，則下列何者為攤開後的圖形？

(A) (B)

(C) (D)

Ans: C;D;A Ans: A;B;D

Ex2.

(1).畫出下列各圖形的對稱軸：

Hw2.

(1).下列是線對稱圖形的共有幾個？

(2).如圖，請畫出下 圖對稱於直線 L 與直線 M 為的線 對稱圖形；如果 格子的邊長為2 公分，試求出最 後線對稱圖形圍 成的面積為多少？

(2).請以直線 L 為對稱軸，畫出線對稱圖形。

Ans: 84;略 Ans: 3;略

Ex3.計算如圖的面積與周長。 Hw3.如圖，△ABC 為線對稱圖 形，對稱軸 L 交 BC 於 D，

若_BD＝6，△ABC 面積 30 平方單位，則：

(1).^AD=?

(2).△ACD 周長=?面積=?

Ans:

9

π+3

;3π+20 Ans: 5; 11+

,

3 尺規作圖

n 尺規作圖：在幾何作圖中限定用直尺和圓規來 畫圖的方法稱為尺規作圖。

Ø 直尺：只用來畫直線或線段，不能利用上 面的刻度來度量。

Ø 圓規：可畫圓或弧或是取長度。

【說明】

已知:一線段 ¯¯AB

求作：畫出一線段CD，使 ¯¯¯¯ CD= ¯¯AB 作法：

1.畫一直線 L，在 L 上取一點 C。

2.以 C 為圓心， ¯¯AB長為半徑畫弧，交直線 L 於一點D。

3. ¯¯CD即為所求的線段。

【說明】

已知：∠ 。 A

求作：一角等於∠ 。 A 作法：

1.畫一直線 L，在 L 上取一點 O。

2.以 A 為圓心，取一適當 長為半徑畫弧，交∠A 的兩邊於 B、C 兩 點。

3.畫一直線 L，在 L 上 任取一點O，以 O 為圓心， ¯¯AC為半 徑畫弧，交直線L 於Q 點。

4.以 Q 為圓心， ¯¯BC 為半徑畫弧，交 前弧於P 點。

5.連接 ¯¯PQ，則∠POQ 即為所求。

Ø 垂直平分線上任一點到線段兩端點的距 離相等。

求作：AB 之垂直平分線。 ¯¯

作法：

1.以 A 為圓心，大於1 2 ¯¯AB長 為半徑畫弧。

2.以 B 為圓心，同長為半徑畫 弧，兩弧相交於C、D 兩點。

3.連接CD⃖ ⃗，則CD⃖ ⃗即為所求。

n 角平分線：一直線將角平分為兩個相等的角，

我們稱為角平分線，又稱為分角線。

Ø 角平分線上任一點到角兩邊的距離相等。

【說明】

已知：一角∠A。

求作：∠A 之角平分線。

作法：

1.以 A 為圓心，取一適 當長為半徑畫弧交

∠A 的兩邊於 B、C 兩點。

2.分別以 B、C 為圓 心，大於1

2 ¯¯BC為半 徑畫弧，兩弧交於 D 點。

3.連接 ¯¯AD，則 ¯¯AD即 為所求。

範 例 講 解

Ex4.已知直線 L 及 L 上一點 P ，求作過 P 點與 L 垂直之直線。

Hw4.如圖為等腰三角形 ABC，其 中 AB ＝ AC ，M 點為BC中 點。

(1).利用尺規作圖，過 M 點作一直線與BC垂 直。

(2).第(1)題中作出來的直線會通過 A 點嗎？

Ans: 略

Ans: 略;會

Ex5.已知直線 L 及 L 外一 點P ，求作過 P 點與 L 垂直之直線。

Hw5.請利用「過線外一點作 垂線」的作圖方法，作 出△ABC 中 ¯¯BC邊上的 高。

Ans: 略 Ans: 略

Ex6.利用尺規作圖，作出 ¯AB＝a＋b。 Hw6.利用尺規作圖，作出 ¯AB＝2a-b。

Ans: 略 Ans: 略

Ex7.利用尺規作圖，作出

∠1－∠2。

Hw7.利用尺規作圖，作出∠

1+∠2。

Ans: 略 Ans: 略

Ex8.

(1).如圖是一線對稱圖形，

請利用尺規作圖畫出它 的對稱軸。

(2).如圖為線對稱 圖形的一部分，

L 為對稱軸，請利用尺規作圖完成此線對 稱圖形。

Hw8.

(1).如圖是一線對稱圖形，請利 用尺規作圖畫出它的對稱 軸。

(2).如圖為線對稱圖形的 一部分，L 為對稱軸，

請利用尺規作圖完成此 線對稱圖形

Ans: 略;略 Ans: 略; 略

Ex9.如圖，請利用尺規作 圖在 ¯AB 上作一點

P，使 ¯AP：¯PB＝1：3。

Hw9.如圖，已知一線段 AB，利 用尺規作圖，在 AB 上找出 一點 C，使 AC ＝

4

1 AB。

的線段上作出一長為 6 公分的線段，則至 少需作圖幾次？

(2).利用線段中點作圖，欲將一線段分為32等 分，則至少需作圖幾次？

線段上，作出一條長為 20 公分的線段，

至於需作圖幾次？

(2).若將 AB 分成兩部分，使其比為 3：a，

至少需作中垂線作圖 4 次，則 a＝？

Ans: 3;31 Ans: 4;13

Ex11.如圖所示，在△ABC 中，

AB與 AC 的中垂線剛好 相交於 BC 上的一點 D，

若 AD ＝8，則 BC ＝？

Hw11.如圖，△ABC 中，AB＝ 6，BC ＝5，AC ＝8，且 L 為

AB的中垂線交 AC 於 P 點，則△PBC 的周長為何？

Ans: 16 Ans: 13

Ex12.請用尺規作圖，畫出 45 度的角。 Hw12.如圖，已知∠AOB＝135^o， 試在∠AOB 的內部作出兩 直線，使得∠AOB 三等分。

（不用寫作法）

Ans: 略 Ans: 略

Ex13.利用尺規作圖，作出∠1 的餘 角。

Hw13.利用尺規作圖，作出 180-2∠1 的角。

Ans: 略 Ans: 略

Ex14.如圖，已知∠BAC，利用 尺規作圖，在∠BAC 的內 部作一線段 AD，使∠BAD

＝3∠DAC。

Hw14.如圖，已知∠BAC，利 用尺規作圖，在∠BAC 的內部作一線段 AD，

使∠BAD:∠DAC=5:3。

Ans: ;四角錐與四角柱 Ans: 3920

Ex15.

(1).若已知一角為 120^o，利用角平分線作圖，

得到一角 30^o，至少需作圖幾次？

(2).利用角平分線作圖，將一已知角平分成 16 等分，應連續作圖幾次？

Hw15.

(1).將一角分成兩個角，使兩個角的度數比為 3：13，若只用“角平分線”作圖，至少 要作作圖幾次？

(2).若將一角分成 2ⁿ 等分，需作 31 次角平分 線作圖，則 n＝?

Ex16. 如 圖 ， P 點 在 直 線 AE 上，¯BP 平分∠APC，¯DP 平 分 ∠CPE ， ∠ DPE ＝ 43^o。

(1).求∠BPA。

(2).請問 ¯BP 是否垂直 ¯DP?

Hw16.如圖， OA ⊥ OE ，C 為∠

AOE 內部一點，若直線 OB 平分∠AOC，直線 OD 平分

∠COE，則∠BOD＝？

Ans: 47°;是 Ans: 45

Ex17.如圖，△ABC 中，∠ABC

＝62°，∠ACB＝58°，

(1).求∠BAC。

(2).△ABC是何種三角形?(鈍 角、銳角或直角)

(3).若∠ABC與∠ACB的角平分線相交於D 點，求∠BDC。

Hw17.如圖，∠2＝∠3＝

21 ∠1，

∠5＝∠6＝

21 ∠4，若∠P

＝56°，則∠QSR＋∠QTR＝？

Ans: 60°;銳角三角形; 120° Ans: 267

Ex18.如圖，∠CAB 與∠CBA 的角平分線相交於 D，而

∠CAB 和∠CBE 的角平 分線相交於 P，若∠CAB

＋∠CBA＝100°，則∠ADB＝？

Hw18.如圖，∠1＝∠2，∠3＝

∠4，且已知∠A＝40

°，∠C＝50°，則∠

BOD＝?

Ans: 130 Ans: 45

Ex19.試利用尺規作圖作出△

ABC 三邊的垂直平分線。

Hw19.試利用尺規作圖作出△

ABC 三個內角的角平分 線。

Ans: 略 Ans: 略