Disjoint union topology 的概念也可以推廣到 X1, X2 有交集的情形. 此時我們可已將 X1 想像成 X1′ ={(x, 1) | x ∈ X1}, 且將 X2 想像成 X2′ ={(x, 2) | x ∈ X1} 這樣的集合 (此時我們將 universal set X 換成 X′ ={(x, i) | x ∈ X, i ∈ {1, 2}}). 如此之下 X1′, X′2 就沒有交集了, 我們因 此定義 X1⨿ X2 = X1′ ⊔ X′2, 也稱之為 X1, X2 的 disjoint union. 由於 X1⨿ X2 這個 disjoint union 的定義與 X1, X2 是否相交無關, 且當 X1, X2 不相交時與 X1⊔ X2 是一致的, 所以今後 即使 X1, X2 不相交, 我們也都用 X1⨿ X2 表示 X1, X2 的 disjoint union.
要注意集合的 disjoint union 和我們以後要談的集合的 product 不同. 例如R ⨿ R 的元 素是 (r, 1) 或 (s, 2), 其中 r, s ∈ R; 而 R × R 的元素是 (r, s), 其中 r, s ∈ R. 我們可以將 R ⨿ R 看成是坐標平面上兩條平行直線, 而 R × R 是整個坐標平面, 兩者差異非常大.
Question 1.28. 考慮開區間 I1 = (−1, 0), I2 = (0, 1), I3 = (−0.5, 0.5). 試比較 I1∪ I2, I1⨿ I2, I1∪ I3, I1⨿ I3 的差異性.
當 X1 是 topological space 且T1 為其 topology, 我們也可將 X1′ ={(x, 1) | x ∈ X1} 視為 topological space. 亦即若 S ∈ T1, 令 S′ ={(s, 1) | s ∈ S }, 此時考慮 T1′ ={S′ | S ∈ T1}, 很 容易證得T1′ 就會是 X′1 的 topology. 而且很容易知道利用這個 topology, 函數 f : X1 → X′1 定義為 f (x) = (x, 1) 就會是一個一對一且映成的連續函數且為 open map, 亦即 f 是一個 homeomorphism. 也就是說 X1 與 X1′ 是 homeomorphic, 我們可以將之視為是相同的拓樸空 間. 同理若 X2 為 topological space, 我們也將 X2′ 視為是和 X2 相同的拓樸空間. 因此我們 也利用 X1′, X′2 的 disjoint union topology 得到 X1⨿ X2 的 topology. 為了方便, 我們就直接 稱這個 topology 為 X1, X2 的 disjoint union topology. 又由於我們將 X1, X2 視為 X1⨿ X2 的 subset, 即 X1′, X′2, 所以前面 Proposition 1.4.5 及 Proposition 1.4.6 的結果都可以直接套用.
這裡我們將結果整理如下, 就不再證明了.
Proposition 1.4.7. 假設 X1, X2 是 topological spaces, 且 T1, T2 分別為其 topology. 現考 慮 X = X1⨿ X2 上的 disjoint union topology T , 我們有以下之結果.
(1) X1, X2 使用 T 的 subspace topology 分別會是 T1, T2. (2) 設 Y 為 topological space. 考慮
F ={ f | f : X → Y is continuous}, F′={( f1, f2)| f1 : X1 → Y, f2 : X2 → Y are continuous}
則 f 7→ ( f |X1, f |X2) 給了一個從 F 到 F′ 上一個一對一且映成的對應關係.
Question 1.29. 考慮 I1= (−1, 0), I2 = (0, 1), I3= (−0.5, 0.5) 為 R 上的 standard topology 的 subspaces. 試問 I1∪ I2, I1∪ I3 使用 R 的 subspace topology, 而 I1 ⨿ I2, I1⨿ I3 使用 disjoint topology, 這些 topological spaces 那些會是 homeomorphic?
最後我們附註說明一下, disjoint union topology 是可以推廣到多個 topological spaces 的情況, 其中的原理及性質與兩個的情況是一樣的, 我們就不再贅述了.
1.5. Product Space Topology and Quotient Space Topology
我 們 繼 續 介 紹 兩 種 製 造 新 的 topological spaces 常 用 的 方 法. 其 中 product space topology 常在拓展空間的維度時使用, 而 quotient space topology 常常在探討將一個拓 樸空間上的一些點 “黏” 在一起時使用.
1.5.1. Product Space Topology. 假設 X1, X2為集合, 我們定義它們的 Cartesian product X1× X2 ={(x1, x2)| x1 ∈ X1, x2 ∈ X2}. 有了 X1× X2 我們自然有兩個 projection maps:
π1 : X1× X2→ X1, π2 : X1× X2 → X2,
其中π1(x1, x2) = x1, π2(x1, x2) = x2,∀ (x1, x2)∈ X1× X2. 當 X1, X2 為 topological spaces, 我 們可以定義 X1× X2 上的 topology 使得π1, π2 皆為 continuous function. X1× X2 上使得這 個成立最弱的拓樸就是 product space topology.
假設T1, T2分別為 X1, X2的 topology, 我們看看如何定 X1×X2的 topology 會使得π1, π2
為 continuous. 依π1 : X1× X2 → X1 需連續的要求, 對於任意 X1 上的 open set U, 我們必須 要求π−11 (U) = U×X2為 X1×X2的 open set. 同理對任意 X2 的 opens set V,π−12 (V) = X1×V 也應是 X1× X2 的 open set. 所以很自然的我們會收集{U × X2| U ∈ T1} ∪ {X1× V | V ∈ T2}, 不過這不會是一個 topology. 雖然 X1 × X2 和 ∅ 在這個集合內 (因為 ∅ × X2 = ∅), 但 是若 U ∈ T1, V ∈ T2, 則 (U × X2)∩ (X1 × V) = U × V 未必在此集合內, 也就是說這 樣 收 集 的 open sets 並 不 符 合 topology 定 義 (3) 的 要 求. 所 以 我 們 必 須 擴 大 我 們 收 集 的 集 合 為 {U × V | U ∈ T1, V ∈ T2}. 這樣一來當 U, U′ ∈ T1, V, V′ ∈ T2, 我 們 有 (U× V) ∩ (U′× V′) = (U∩ U′)× (V ∩ V′) 仍然在此集合中 (因 U∩ U′ ∈ T1, V ∩ V′ ∈ T2).
不過此時雖然 topology 定義 (3) 的要求成立了, 但是定義 (2) 的要求仍有問題. 這是因為 (U× V) ∪ (U′× V′) 未必可以寫成 U′′× V′′ 的形式. 所以我們還必須擴大我們的集合需包含 U× V 這樣形式的集合的聯集, 換言之我們需要的是以 B = {U × V | U ∈ T1, V ∈ T2} 為 basis 的 topology.
Question 1.30. 假設 X, Y 為集合. 考慮 Cartesian product X × Y.
(1) 試證明對任意 S ⊆ X, S × ∅ = ∅.
(2) 試證明若 S, S′⊆ X, T, T′ ⊆ Y, 則 (S × T) ∩ (S′× T′) = (S ∩ S′)× (T ∩ T′).
(3) 試找出例子 S, S′ ⊆ X, T, T′ ⊆ Y 使得 (S × T) ∪ (S′× T′) 無法寫成 S′′× T′′, S′′⊆ X, T′′ ⊆ Y 的形式.
是否存在以 B = {U × V | U ∈ T1, V ∈ T2} 為 basis 的 topology 呢? 並不是任意的 集合都可以是某個 topology 的 basis, 回顧一下 Proposition 1.2.4 便是告訴我們可以形 成一個 topology 的 basis 的充要條件. 然而 X1 ∈ T1, X2 ∈ T2, 所以 X1 × X2 ∈ B, 因此 Proposition 1.2.4 條件 (1) 是符合的. 另外若 S1 = U × V, S2 = U′× V′ 皆在 B 中, 則 由於 S1∩ S2 = (U∩ U′)× (V ∩ V′) 也在 B 中, 故 Proposition 1.2.4 條件 (2) 也符合. 因 此會存在一個唯一的 X1 × X2 的 topology 是以 B 為 basis. 又因為如前面所述, 要使得 π1 : X1× X2 → X1 以及 π2 : X1× X2 → X2 為 continuous, B 中的元素皆必須是 open set, 所
以這樣造出的 topology 會是 X1× X2 上使得 π1, π2 皆為 continuous function 最弱的拓樸.
於是我們有以下的定義.
Definition 1.5.1. 假設 X1, X2 為 topological spaces 且 T1, T2 分別為其 topology. 考慮以 B = {U × V | U ∈ T1, V ∈ T2} 為 basis 所形成的 X1 × X2 的 topology, 我們稱此 topology 為 X1, X2 的 product space topology. X1× X2 以 product space topology 形成的 topological space, 便稱為 X1, X2 的 product space.
Example 1.5.2. 考慮 R 為以使用 d1(x, x′) = |x − x′| 為 metric 的 metric space, R2 為 以使用 d2((x, y), (x′, y′)) = √
(x− x′)2+ (y− y′)2 為 metric 的 metric space. 利用這兩個 topology, 很容易驗證 projectionπ1 :R2 → R 為 continuous. 這是因為對於所有實數 r < s 開區間{x ∈ R | r < x < s} 形成 R 的 basis, 而
π−11 ({x ∈ R | r < x < s}) = {(x, y) ∈ R2 | r < x < s, y ∈ R}
是R2 的 open set. 事實上令 S ={(x, y) ∈ R2 | r < x < s, y ∈ R}, 對 S 中任意一點 p(x, y) ∈ S , 考慮λ = min{x − r, s − x} > 0, 則 p 在以 p 為圓心半徑為 λ 的開圓 B(p; λ) 內且 B(p; λ) ⊆ S . 故由 metric space topology 的定義知 S 是R2 的 open set.
同樣的 projectionπ2:R2 → R 也是 continuous. 所以由 product space topology 的定義 知 R2 看成R × R 的 product space topology 是弱於其 metric space topology. 也就是說 R2 使用 product space topology 上的 open set 也會是 metric space topology 上的 open set. 不 過這裏我們要說的是, 事實上這兩個拓樸是相同的, 也就是說 R2 的 metric space topology 上的 open set 也會是 product space topology 上的 open set. 這是因為對R2 上任意的開圓 B(p, λ) 內一點 q(x, y), 由於 d2(p, q) < λ 我們可以取 ε > 0 夠小 (例如 ε < (λ − d2(p, q))/√
2) 使得 I1× I2 包含於 B(p, λ) 中, 其中 I1, I2 分別為開區間 (x− ε, x + ε), (y − ε, y + ε). 也就 是說 R2 中 metric space topology 的 basis 的元素 (即開圓) 都可以寫成 R × R 的 product space topology 的 basis 中一些元素的聯集, 這說明了 metric space topology 的 open set 就 是 product space topology 的 open set, 所以這兩個拓樸是相同的.
Question 1.31. 試說明R2 中任意的矩形內部一點皆可以用該點為圓心做一個包含於該矩 形內部的圓, 並依此說明 R × R 使用 product space topology 的 open set 就是 R2 中使用 metric space topology 的 opens set.
Product space topology 主要是讓 projection maps 為 continuous. 現若 Z 為 topological space, 而 X1× X2 為 topological spaces X1, X2 的 product space, 給定一函數 g : Z → X1× X2
我們可得到兩個函數 g1 : Z → X1 和 g2 : Z → X2, 其中 g1 =π1◦ g, g2 =π2◦ g. 因為使用 product space topology, 所以π1, π2 是 continuous. 故如果 g 為 continuous, 由 Proposition 1.3.4 知 g1, g2 皆為 continuous.
Question 1.32. 設 Z 為 topological space, 而 X1 × X2 為 topological spaces X1, X2 的 product space. 若函數 g : Z → X1× X2 為 open map, 是否 g1 = π1 ◦ g, g2 = π2◦ g 亦為 open map?
接下來我們要說明, 前面所提的, 反過來也是對的, 即 product space topology 幫我們將 兩個定義域相同的連續函數連結成一個連續函數. 也就是說如果 Z, X1, X2 皆為 topological spaces, 且 g1 : Z → X1, g2 : Z → X2 為連續函數, 我們可利用 X1, X2 的 product space X1× X2, 得到一個新的函數 g : Z → X1× X2 其定義為: g(z) = (g1(z), g2(z)), ∀ z ∈ Z. 很容 易看出 g 是 well-defined function, 這個函數通常我們會用 g1× g2 來表示, 不過這裡為了符 號的方便性, 我們暫時用 g 來表示. 要探討 g 是否連續, 由 Proposition 1.3.3, 我們只需了 解 product space X1× X2 的 basis 的元素 U× V (其中 U, V 分別為 X1, X2 的 open set) 是 否會使得 g−1(U × V) 為 Z 的 open set. 事實上 g−1(U× V) 會等於 g−11 (U)∩ g−12 (V). 這是 因為 z∈ g−1(U × V) 等同於 g(z) = (g1(z), g2(z)) ∈ U × V, 亦即 g1(z) ∈ U 且 g2(z) ∈ V, 即 z∈ g−11 (U) 且 z∈ g−12 (V). 得證 g−1(U× V) = g−11 (U)∩ g−12 (V). 現由於 g1, g2 為 continuous, 故知 g−11 (U), g−12 (V) 皆為 Z 的 open set, 故 g−1(U× V) = g−11 (U)∩ g−12 (V) 為 Z 的 open set, 得證 g : Z→ X1× X2 為 continuous. 我們有以下的定理.
Proposition 1.5.3. 假設 Z, X1, X2 是 topological spaces, 現考慮 X1, X2 的 product space X1× X2. 若 g1 : Z→ X1, g2 : Z→ X2 為 continuous, 則存在 g : Z→ X1× X2 為 continuous, 滿足 g1=π1◦ g, g2=π2◦ g.
Question 1.33. 設 Z 為 topological space, 而 X1 × X2 為 topological spaces X1, X2 的 product space. 若函數 g1 : Z → X1, g2 : Z → X2 皆為 open map. 在 Proposition 1.5.3 中所 得的函數 g : Z→ X1× X2 是否為 open map? (Hint: 考慮 X1, X2, Z 為 R 且 g1, g2 為 identity map 的情況.)
Proposition 1.5.3 是 product space 重要的性質, 我們常用以下的圖示來表達這個性質:
Z
g1
g2
&&
g
##
X1× X2 π1
π2
// X2
X1 這樣的圖示, 我們稱之為 commutative diagram.
從前面的討論我們知道若令 X = X1× X2, 考慮
G ={g | g : Z → X is continuous}, G′ ={(g1, g2)| g1 : Z→ X1, g2 : Z→ X2 are continuous} 則 g7→ (π1◦ g, π2◦ g) 給了一個從 G 到 G′ 上一個對應關係. 很容易看出這個對應關係是一 對一的, 因為若 g, g′∈ G 且 g , g′, 則表示存在 z∈ Z 使得 g(z) , g′(z) in X1× X2. 也就是說 (π1(g(z)), π2(g(z)), (π1(g′(z)), π2(g′(z))). 而 Proposition 1.5.3 告訴我們這個對應也是映成 的, 因此我們有以下的結果.
Corollary 1.5.4. 假 設 Z, X1, X2 是 topological spaces, 現 考 慮 X1, X2 的 product space X = X1× X2. 令
G ={g | g : Z → X is continuous}, G′={(g1, g2)| g1 : Z → X1, g2 : Z→ X2 are continuous}
則 g7→ (π1◦ g, π2◦ g) 給了一個從 G 到 G′ 上一個一對一且映成的對應關係.
Question 1.34. 試說出 Proposition 1.4.7 和 Corollary 1.5.4 有關連續函數的性質的差異.
並試著畫出有關 Proposition 1.4.7 的 commutative diagram.
Product space 的 概 念 可 以 推 廣 到 兩 個 以 上 的 topological spaces 的 情 況. 例 如 當 X1, X2, X3 是 topological spaces 且T1, T2, T3 分別為其 topology, 我們可以定 product space X1× X2× X3 其 topology 為以 {U × V × W | U ∈ T1, V ∈ T2, W ∈ T3} 為 basis 的 topology.
事實上我們可以定義任意多個 topological spaces 的 product space. 當 I 是 index set, 且對 任意 i∈ I, Xi 為 topological space 及 Ti 為其 topology, 我們定義它們的 product space 為
∏
i∈IXi. 不過這裡要注意, 它的 topology 的 basis 並不是以B′={∏
i∈IUi | Ui ∈ Ti} 為 basis 的 topology. 而是以
B = {∏
i∈I
Ui | Ui ∈ Ti, and Ui = Xi for almost all i∈ I}
為 basis 的 topology. 這裡 Ui = Xi for almost all i∈ I 意指幾乎所有的 i ∈ I 都要求 Ui= Xi, 更明確的說法是除了有限多個 (但不規定是那些個) Ui ∈ Ti 可以不是 Xi 外, 其餘的 Ui 皆 需為 Xi. 為何會這樣呢? 首先大家需了解, 當 I 為 finite set 時, B′ =B. 也就是說在談有 限多個 topological spaces 的 product space 時, 以 B′ 或 B 為 basis 所得的 topology 是一 樣的. 但是當 I 是 infinite set 時, B′ 的元素遠比B 會多得多, 也就是說當談論無限多個 topological spaces 的 product space 時, 以B′ 為 basis 所得的 topology 會比以B 為 basis 所得的 topology 強得多. 回顧一下當初我們定 product space topology 時要求的是 ∏
i∈IXi 上最弱的拓樸使得對任意 j∈ I, projection map πj :∏
i∈IXi → Xj 是 continuous. 也因此對 於 Uj ∈ Tj (即 Uj 為 Xj 的 open set) 我們要求π−1j (Uj)為∏
i∈IXi 的 open set. 不過π−1j (Uj) 其實是在 j 的位置是 Uj, 其他的 i∈ I 的位置皆為 Xi 的 subset. 這樣的 subset 無法保持拓 樸中有限多個的交集仍為這樣形式的 subset, 所以我們必須要求有限多個 π−1j (Uj) 這樣的 subset 的交集仍為 open set. 這樣的交集就是僅有有限多個 j∈ I 的位置不是 Xj, 其他 i∈ I 的位置皆為 Xi 這樣形式的 subset. 因此僅需加入如 B 中的元素這樣的 subsets, 便足以利 用 Proposition 1.2.4, 使得B 為某個 topology 的 basis. 所以請記住, 當 I 為 infinite set 時, product space 的 basis 應為 B 這樣的集合. 另外多個 topological spaces 的 product space 也會有類似 Proposition 1.5.3 的性質, 請大家自行推廣.
Excecise 1.14. 假設 X1, X2 為 topological spaces 且B1, B2分別為其 basis. 試證明{S × T | S ∈ B1, T ∈ B2} 為 product space X1× X2 的 basis.
Excecise 1.15. 假設 X1, X2 為 topological spaces. 考慮 product space X1 × X2. 證明 π1 : X1× X2→ X1,π2: X1× X2 → X2 皆為 open map.
Excecise 1.16. 考 慮 R 的 standard topology, 以及 S = {1, 2} 使用 discrete topology.
試證明 R × S 使用 product space topology 以及 R ⨿ R 使用 disjoint union topology 是 homeomorphic.
Excecise 1.17. 假設 I 是 index set, 且對任意 i ∈ I, Xi 為 topological space 及 Ti 為其 topology.
(1) 令B = {∏
i∈IUi | Ui ∈ Ti, and Ui= Xi for almost all i∈ I}, 試證明 B 符合 Propo- sition 1.2.4 中, 可成為某個 topology 的 basis 的條件.
(2) 考慮∏
i∈IXi 上的 product space topology, 試推廣 Proposition 1.5.3.
———————————– 20 October, 2017
