空間多邊形的幾個性質

(1)

數學傳播 40 卷 4 期, pp. 93-96

空間多邊形的幾個性質

吳波

文 [1] 給出了正三角形和正五邊形的兩個性質, 文 [2]、 [3]、 [4] 對此作了進一步探究, 得到 (下面的表述與原文略有不同):

命題1([2]): 球 O 的內接 n 邊形 A1A2. . . An各邊相等, P 為空間中任意一點, 則向量−−⇀

A1P 、

−−⇀

A2P 、. . .、 −−⇀

AnP 分別對應在向量 −−−⇀

A1A2、 −−−⇀

A2A3、. . .、 −−−−−⇀

AnAn+1 上的射影之和等於 n 邊形 A1A2. . . An 的半周長(約定 An+1 = A1)。

命題2([4]): P 為圓內接多邊形 A1A2. . . An 所在平面內任意一點, 設點 P 在邊 AiAi+1 所在直線上的射影為 Bi (i = 1, 2, . . . , n, 約定 An+1= A1), 則

Xn i=1

−−−⇀BiAi •−−−−−⇀

AiAi+1 = Xn

i=1

−−−−−⇀

BiAi+1 •−−−−−⇀

AiAi+1 = 1 2

Xn i=1

|AⁱAi+1|².

本文擬將相關命題作進一步推廣。

引理: −−−⇀

OM1 •−−−⇀

OM2 = 1

2(|OM1|²+ |OM2|²− |M1M2|²).

證明: |M1M2|² =−−−⇀

M1M2 2

= (−−−⇀

OM1 −−−−⇀

OM2)² = |OM1|²+ |OM2|²− 2−−−⇀

OM1 •−−−⇀

OM2.

將上式略作變形即得引理中結論。

上述引理其實就是餘弦定理的變形。我們可用它將命題 2 推廣到任意空間多邊形, 即:

性質1: 對給定的空間多邊形 A1A2. . . An 和任意一點 P 有 Xn

i=1

(−−⇀

AiP •−−−−−⇀

AiAi+1 ) = Xn

i=1

(−−−−−⇀

Ai+1P •−−−−−⇀

Ai+1Ai ) =1 2

Xn i=1

|AⁱAi+1|²(約定 An+1 = A1).

93

(2)

94 數學傳播 40 卷 4 期民 105 年 12 月

圖 1 所示的是 n = 5 時的情形。

圖 1 證明: 由引理有:

−−⇀

AiP •−−−⇀

AiAi+1=1

2(|AⁱAi+1|²+ |AⁱP|²− |Ai+1P|²) 在上式中令 i 分別取 1, 2, . . . , n 得 (注意 An+1 = A1):

−−⇀

A1P •−−−⇀

A1A2 =1

2(|A1A2|²+ |A1P|²− |A2P|²),

−−⇀

A2P •−−−⇀

A2A3 =1

2(|A2A3|²+ |A2P|²− |A3P|²), ...

−−⇀

AnP •−−−⇀

AnA1 =1

2(|AnA1|²+ |AnP|²− |A1P|²), 將上面 n 個等式累加可得:

Xn i=1

−−⇀

AiP •−−−⇀

AiAi+1 = 1 2

Xn i=1

|AⁱAi+1|².

同理可證另一個式子也等於此定值。

由性質 1, 我們還可以證明下面的兩個性質:

性質2: 如圖 1, 對給定的空間多邊形 A1A2. . . An 和空間中任意一點 P , 邊 AiAi+1 的中點為 Mi (i = 1, 2, . . . , n), 則

Xn i=1

−−⇀

MiP •−−−⇀

AiAi+1 = 0, (約定 An+1 = A1).

證明: 由性質 1 中 Xn

i=1

(−−⇀

AiP •−−−⇀

AiAi+1) = Xn

i=1

(−−−⇀

Ai+1P •−−−⇀

Ai+1Ai) 有 Xn

i=1

(−−⇀

AiP +−−−⇀

Ai+1P) •−−−⇀

AiAi+1= 0.

(3)

空間多邊形的幾個性質 95

而邊 AiAi+1 的中點為 Mi, 則 −−⇀

AiP +−−−⇀

Ai+1P = 2−−⇀

MiP, 代入上式即知結論成立。性質3: 如圖1, 對給定的空間多邊形 A1A2. . . An 和空間中任意一點 P , 設點 P 在邊 AⁱAi+1

所在直線上的射影為 Bi (i = 1, 2, . . . , n), 則 Xn

i=1

|AⁱBi|² = Xn

i=1

|Ai+1Bi|², (約定 An+1= A1).

證明: 由題設知: 有向線段 AⁱBi 是向量 −−⇀

AiP 在向量 −−−⇀

AiAi+1 上射影, 所以

−−⇀

AiP •−−−⇀

AiAi+1= AⁱBi• AⁱAi+1 = AⁱBi• (AⁱBi+ BⁱAi+1)

= AⁱBi

2+ AⁱBi• BⁱAi+1 = |AⁱBi|²− AⁱBi• Ai+1Bi, 則

Xn i=1

−−⇀

AiP •−−−⇀

AiAi+1= Xn

i=1

|AiBi|²− Xn

i=1

(AiBi• Ai+1Bi).

同理有 Xn

i=1

−−−⇀Ai+1P •−−−⇀

Ai+1Ai= Xn

i=1

|Ai+1Bi|²− Xn

i=1

(AⁱBi• Ai+1Bi).

而由性質 1 知上述兩等式的左側相等, 再將右側相同部分抵消即知:

Xn i=1

|AⁱBi|² = Xn

i=1

|Ai+1Bi|². 注: 由勾股定理知:|AⁱBi|² = |AⁱP|²− |BⁱP|², |Ai+1Bi|² = |Ai+1P|² − |BⁱP|², 令 i = 1, 2, . . . , n 再累加求和也可證明此性質。

下面我們用性質 1 將命題 1 作進一步推廣。

性質4: 若空間多邊形 A1A2. . . An 各邊相等, P 為空間中任意一點, 則向量−−⇀

A1P 、−−⇀

A2P 、 . . .、

−−⇀

AnP 分別對應在向量−−−⇀

A1A2、−−−⇀

A2A3、. . .、−−−−−⇀

AnAn+1 上的射影之和等於多邊形 A1, A2, . . ., An

的半周長 (約定 An+1 = A1)。

證明: 設空間多邊形 A1A2. . . An 的邊長為 a, 由性質 1 得 Xn

i=1

−−⇀

AiP •−−−⇀

AiAi+1 = 1 2

Xn i=1

|AⁱAi+1|² = 1 2na². 而另一方面, 如圖 1, −−⇀

AiP 在 −−−⇀

AiAi+1 上射影 AiBi =

−−⇀

AiP •−−−⇀

AiAi+1

|−−−⇀

AiAi+1|

= 1 a(−−⇀

AiP •−−−⇀

AiAi+1).

(4)

96 數學傳播 40 卷 4 期民 105 年 12 月

則諸射影之和 Xn

i=1

AiBi = Xn

i=1

1 a(−−⇀

AiP •−−−⇀

AiAi+1) = 1 a

Xn i=1

(−−⇀

AiP •−−−⇀

AiAi+1) = 1 a × 1

2na² = 1 2na.

注: 同理有 −−⇀

A2P 、 −−⇀

A3P 、 . . .、 −−−⇀

An+1P 分別對應在向量 −−−⇀

A2A1、 −−−⇀

A3A2、. . .、 −−−−−⇀

An+1An 上的射影之和也等於多邊形 A1A2. . . An 的半周長 (約定 An+1 = A1)。

與性質 4 類似, 結合性質 2 可推得:

性質5: 若空間多邊形 A1A2. . . An各邊相等, P 為空間中任意一點, 邊 AⁱAi+1 的中點為 Mi

(i = 1, 2, . . . , n), 則向量 −−−⇀

M1P 、 −−−⇀

M2P 、. . .、 −−−⇀

MnP 分別對應在向量 −−−⇀

A1A2、 −−−⇀

A2A3、. . .、

−−−−−⇀

AnAn+1 上的射影之和為零 (約定 An+1 = A1)。

文 [2] 的性質 2 可推廣為:

性質6: 若空間多邊形 A1A2. . . An 各邊相等, 空間中一點 P 在邊 AⁱAi+1 所在直線上的射影為 Bi 且 Bi 在線段 AiAi+1 之內, △P AⁱBi 的內切圓半徑為 r2i−1, △P Ai+1Bi 的內切圓半徑為 r2i (i = 1, 2, . . . , n), 則

Pn i=1

r2i−1 = Pn i=1

r2i (約定 An+1 = A1)。

事實上, 直角三角形的內切圓半徑容易用邊表示出來, 再累加求和之後由性質 4 可推出性質 6 成立。具體證明過程與文 [1] 相同, 此處略。

參考資料

1. 劉步松。正三角形和正五邊形的兩個性質。數學傳播季刊, 36(1), 93-96, 2012。

2. 吳波。各邊相等的球內接多邊形的兩個性質。數學傳播季刊, 37(4), 94-96, 2013。

3. 徐道。正三角形一個性質的推廣。數學通報, 53(1):55-57, 2014。

4. 寇粧清。正多邊形一個性質的簡證與再推廣。數學通報, 53(11), 58-59, 2014。

—本文作者任教重慶市長壽龍溪中學_—

空間多邊形的幾個性質

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吳 波

參 考資料

吳波

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