中華民國第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書

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排版\030420-封面

國中組 數學科

佳作

030420-封面

正 n 邊形上不連續頂點所構成內接多邊形之研 究

學校名稱：高雄市立五福國民中學

作者： 指導老師：

國二 陳芯言 國二 黃示睿

蔡依玲 歐志昌

關鍵詞：正 n 邊形、不連續頂點、內接多邊形

1

摘 要

從正 n 邊形的頂點、各邊中點的選取定義出「正 n 邊形上不連續頂點所構成內接 k 多邊形」。 一、k的範圍限制 1

2

n

+

k n

   

 

 

二、數量遞迴關係式

T k

_n

( ) = T

_n−2

( k − + 1) T

_n−1

( k − 1)

三、數量總和

1 2

! 1

( )!(2 )!

n n

n

T n k

n k k n k

+

 

 

 

=  

− −



^且

^T

^{n =}_¹⁺₂ ^5_^{n +}_¹⁻₂ ^5_^n,

ⁿ

^5

   

四、種類 2

( ) 1 , ( 1) 1 , ( 2) ,

n n n 2

R n

=

R n

− =

R n

− = 

n

− 

( 3) ^{4 7 10 3 1}

2 2 2 2

n

n n n n m

R n− = −    + −    + − + + − −  五、種類公式：取(n k− , 2k− =n) d 且 d 的因數為

d d

₁

,

₂

, ,  d

_w，

 ( ) d

_i 表示不大於

d

_i且與

d

_i互質的正整數個數 (1) k 為奇數

𝑅_𝑛(𝑘) = 1

2𝑘 ( ∑ 𝜑(𝑑_𝑖)

𝑤

𝑖=1

(𝑘 𝑑_𝑖) ! (𝑛 − 𝑘

𝑑_𝑖 ) ! (2𝑘 − 𝑛 𝑑_𝑖 ) !

+ 𝑘 ∙ (𝑘 − 1 2 ) ! [𝑛 − 𝑘

2 ] ! [ 2𝑘 − 𝑛

2 ] ! ) (2) k 為偶數，n k− , 2k−n為奇數

𝑅_𝑛(𝑘) = 1

2𝑘 ( ∑ 𝜑(𝑑_𝑖)

𝑤

𝑖=1

(𝑘 𝑑_𝑖) ! (𝑛 − 𝑘

𝑑_𝑖 ) ! (2𝑘 − 𝑛 𝑑_𝑖 ) !

+ 𝑘 ∙ (𝑘 − 2 2 ) ! (𝑛 − 𝑘 − 1

2 ) ! (2𝑘 − 𝑛 − 1 2 ) !

) (3) k 為偶數，n k− , 2k−n為偶數：

𝑅_𝑛(𝑘) = 1 2𝑘

(

∑ 𝜑(𝑑_𝑖)

𝑤

𝑖=1

(𝑘 𝑑_𝑖) ! (𝑛 − 𝑘

𝑑_𝑖 ) ! (2𝑘 − 𝑛 𝑑_𝑖 ) !

+𝑘

2( (𝑘 − 2 2 ) ! (𝑛 − 𝑘 − 2

2 ) ! (2𝑘 − 𝑛 2 ) !

+ (𝑘 − 2 2 ) ! (𝑛 − 𝑘

2 ) ! (

2𝑘 − 𝑛 − 2 2 ) !

+ (𝑘

2) ! (𝑛 − 𝑘

2 ) ! ( 2𝑘 − 𝑛

2 ) ! )

) 六、 𝑇_𝑛、𝑅_𝑛可能是新發現的數列。

七、 正 n 邊形上m 等分點不連續頂點所構成內接 k 邊形 遞迴關係式 T_{(n−2, )m} (k− + 1) m T_{(n−1, )m} (k− =1) T_{( , )n m} ( )k

數量總和 _{( , )} ²

1 2

! 1

( )!(2 )!

n

k n n m

n

T n k m

n k k n k

−

 +

 

 

=   

− −



八、 正 n 邊形上 m 等分點不連續頂點所構成內接多邊形，皆可由 aa 拼板、 ab 拼板、 bb 拼板 組合而成，並找到各拼板的種類個數。

2

壹、研究動機

有一道有趣的數學問題：「在正八邊形上，從頂點及各邊中點中，

每邊都選一個點所構成的內接多邊形，這樣的內接多邊形與原正八邊形 無共同邊。請問有幾個？」起初感覺不難且有趣。但認真思考後，才發 現很有挑戰性。因此，我們開始我們的研究，並推廣到正𝑛邊形。

貳、研究目的與問題

一、探討正 n 邊形上不連續頂點所構成內接多邊形的數量及規律性為何？

二、探討正 n 邊形上不連續頂點所構成內接多邊形的種類及規律性為何？

三、探討組成正 n 邊形上不連續頂點所構成內接多邊形的三角形拼板類型為何？

參、名詞與符號定義

一、 正 n 邊形上不連續頂點內接多邊形：

在正𝑛邊形上，從頂點及各邊中點中，每邊都選一個點，所構成內接多邊形。

因此，這樣的內接多邊形與原正𝑛邊形無共同邊，簡稱「不連續頂點內接多邊形」。

例如：正四邊形上不連續頂點內接三角形

在正四邊形 ABCD 中，四邊中點為 E、F、G、H（如圖）。

若在邊 AB 上取中點 E，則邊 AB 的頂點 A、B 都不能選。

若在邊 BC 上取頂點 C，則中點 F 不能選。

此時邊 CD 視為已選頂點 C，則中點 G、頂點 D 不能選。

最後，邊 AD 上頂點 A、D 都不能選，只能選 H。

因此，△CEH 為正四邊形上不連續頂點內接三角形。

反例：

邊 AB 沒有選到任何一 點，所以不符合正𝑛邊 形不連續頂點內接多 邊形之定義。

邊 AB 選到 A、B 兩點，

所以不符合正𝑛邊形 不連續頂點內接多邊 形之定義。

二、𝒙𝒂𝒚𝒃型：

正𝑛邊形上選取𝒙個頂點、𝒚個中點所構成不連續頂點內接多邊形，記作𝑥𝑎𝑦𝑏型。例如：

1𝑎2𝑏型 正四邊形上不連續頂點

內接三角形，選取了正 四邊形上 1 個頂點，2 個中點，記作1𝑎2𝑏。

4𝑏型 正四邊形上不連續頂

點內接四邊形，選取了 正四邊形上的 4 個中 點，記作4𝑏。

三、𝑻_𝒏(𝒌)：正 n 邊形上不連續頂點所構成內接 k 邊形的數量，記作𝑇_𝑛(𝑘)。

𝑻_𝒏：正 n 邊形上不連續頂點所構成內接多邊形的數量總和，記作𝑇_𝑛。 𝑹_𝒏(𝒌)：正 n 邊形上不連續頂點所構成內接 k 邊形的種類，記作𝑅_𝑛(𝑘) 。 [註] 內接多邊形，若經過旋轉或翻轉相同者則視為同種類。

𝑹_𝒏：正 n 邊形上不連續頂點所構成內接多邊形的種類數和，記作𝑅_𝑛。

3

例如：正六邊形上不連續頂點所構成內接多邊形 𝑇_𝑛(𝑘) 𝑅_𝑛(𝑘)

不連續頂點內接三角形

（𝟑𝒂） 𝑇₆(3) = 2 𝑅₆(3) = 1

不連續頂點內接四邊形（𝟐𝒂𝟐𝒃）

𝑇₆(4) = 9 𝑅₆(4) = 2

(1) 𝑎𝑎𝑏𝑏：6 個 (2) 𝑎𝑏𝑎𝑏：3 個

不連續頂點內接五邊形

（𝟏𝒂𝟒𝒃） 𝑇₆(5) = 6 𝑅₆(5) = 1

不連續頂點內接六邊形

（𝟔𝒃） 𝑇₆(6) = 1 𝑅6(6) = 1

總 和 𝑻_𝟔= 𝟏𝟖 𝑹_𝟔= 𝟓

肆、研究過程

一、 討論正𝒏邊形上不連續頂點所構成內接多邊形的數量與種類。

𝑛 = 3 𝑇_𝑛(𝑘) 𝑅_𝑛(𝑘)

不連續頂點內接三角形

（𝟑𝒃） 𝑇₃(3) = 1 𝑅3(3) = 1

總 和 𝑻_𝟑 = 𝟏 𝑹_𝟑= 𝟏

𝑛 = 4 𝑇_𝑛(𝑘) 𝑅_𝑛(𝑘)

不連續頂點內接三角形

（𝟏𝒂𝟐𝒃） 𝑇₄(3) = 4 𝑅4(3) = 1

不連續頂點內接四邊形

（𝟒𝒃） 𝑇₄(4) = 1 𝑅4(4) = 1

總 和 𝑻_𝟒 = 𝟓 𝑹_𝟒= 𝟐

𝑛 = 5 𝑇_𝑛(𝑘) 𝑅_𝑛(𝑘)

不連續頂點內接三角形

（𝟐𝒂𝟏𝒃） 𝑇₅(3) = 5 𝑅5(3) = 1 不連續頂點內接四邊形

（𝟏𝒂𝟑𝒃） 𝑇₅(4) = 5 𝑅5(4) = 1 不連續頂點內接五邊形

（𝟓𝒃） 𝑇₅(5) = 1 𝑅₅(5) = 1

總 和 𝑻_𝟓= 𝟏𝟏 𝑹_𝟓= 𝟑

4

𝑛 = 6 𝑇_𝑛(𝑘) 𝑅_𝑛(𝑘)

不連續頂點內接三角形

（𝟑𝒂） 𝑇₆(3) = 2 𝑅6(3) = 1

不連續頂點內接四邊形（𝟐𝒂𝟐𝒃）

𝑇₆(4) = 9 𝑅₆(4) = 2

(1) 𝑎𝑎𝑏𝑏：6 個 (2) 𝑎𝑏𝑎𝑏：3 個

不連續頂點內接五邊形

（𝟏𝒂𝟒𝒃） 𝑇₆(5) = 6 𝑅6(5) = 1

不連續頂點內接六邊形

（𝟔𝒃） 𝑇₆(6) = 1 𝑅₆(6) = 1

總 和 𝑻_𝟔= 𝟏𝟖 𝑹_𝟔= 𝟓

𝑛 = 7 𝑇_𝑛(𝑘) 𝑅_𝑛(𝑘)

不連續頂點內接

四邊形（𝟑𝒂𝟏𝒃） 𝑇₇(4) = 7 𝑅₇(4) = 1

不連續頂點內接五邊形（𝟐𝒂𝟑𝒃）

𝑇₇(5) = 14 𝑅₇(5) = 2 (1) 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏：7 個

(2) 𝑎𝑏𝑎𝑏𝑏：7 個 不連續頂點內接

六邊形（𝟏𝒂𝟓𝒃） 𝑇₇(6) = 7 𝑅₇(6) = 1

不連續頂點內接六邊形（𝟕𝒃）

𝑇₇(7) = 1 𝑅₇(7) = 1

總 和 𝑻_𝟕 = 𝟐𝟗 𝑹_𝟕= 𝟓

𝑛 = 8 𝑇_𝑛(𝑘) 𝑅_𝑛(𝑘)

不連續頂點內接四邊形（𝟒𝒂）

𝑇₈(4) = 2 𝑅8(4) = 1 不連續頂點內接五邊形（𝟑𝒂𝟐𝒃）

𝑇₈(5) = 16 𝑅₈(5) = 2 (1) 𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏

8 個 (2) 𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎

8 個

不連續頂點內接六邊形（𝟐𝒂𝟒𝒃）

𝑇₈(6) = 20 𝑅₈(6) = 3 (1) 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏

8 個

5

(2) 𝑎𝑏𝑎𝑏𝑏𝑏

8 個

(3) 𝑎𝑏𝑏𝑎𝑏𝑏

4 個

不連續頂點內接七邊形（𝟏𝒂𝟔𝒃）

𝑇₈(7) = 8 𝑅8(7) = 1 不連續頂點內接八邊形（𝟖𝒃）

𝑇₈(8) = 1 𝑅₈(8) = 1

總 和 𝑻_𝟖= 𝟒𝟕 𝑹_𝟖 = 𝟖

𝑛 = 9 𝑇_𝑛(𝑘) 𝑅_𝑛(𝑘)

不連續頂點內接五邊形（𝟒𝒂𝟏𝒃）

𝑇₉(5) = 9 𝑅₉(5) = 1 不連續頂點內接六邊形（𝟑𝒂𝟑𝒃）

𝑇₉(6) = 30 𝑅₉(6) = 3 (1)𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏：9 個

(2) 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑏與水平翻轉→𝑏𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎(𝑎𝑎𝑏𝑎𝑏𝑏)：9 × 2個

(3) 𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏：⁹

3 = 3個

不連續頂點內接七邊形（𝟐𝒂𝟓𝒃）

𝑇₉(7) = 27 𝑅₉(7) = 3 (1) 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏：9 個

(2) 𝑎𝑏𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏：9 個

(3)𝑎𝑏𝑏𝑎𝑏𝑏𝑏：9 個

不連續頂點內接八邊形（𝟏𝒂𝟕𝒃）

𝑇₉(8) = 9 𝑅₉(8) = 1

6

不連續頂點內接九邊形（𝟗𝒃）

𝑇₉(9) = 1 𝑅₉(9) = 1

總 和 𝑻_𝟗= 𝟕𝟔 𝑹_𝟗= 𝟗

𝑛 = 10 𝑇_𝑛(𝑘) 𝑅_𝑛(𝑘)

不連續頂點內接五邊形（𝟓𝒂）：2 個 正十邊形中的 10 個頂點中，選取 5 個頂點。

第 1 個頂點可為𝑃₁或𝑃₂，之後 4 個頂點 即依序固定。

𝑇₁₀(5) = 2 𝑅₁₀(5) = 1 不連續頂點內接六邊形（𝟒𝒂𝟐𝒃）：

𝑇₁₀(6) = 25 𝑅₁₀(6) = 3 (1) 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏：10 個

(2) 𝑎𝑎𝑎𝑏𝑎𝑏：10 個 (3)𝒂𝒂𝒃𝒂𝒂𝒃：5 個

不連續頂點內接七邊形（𝟑𝒂𝟒𝒃）

𝑇₁₀(7) = 50 𝑅10(7) = 4 (1) 𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏：10 個

(2) 𝒂𝒂𝑏𝒂𝑏𝑏𝑏與𝒂𝑏𝒂𝒂𝑏𝑏𝑏：10 × 2個

(3) 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑏𝑏：10 個

(4) 𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑏：10 個

不連續頂點內接八邊形（𝟐𝒂𝟔𝒃）

𝑇₁₀(8) = 35 𝑅10(8) = 4 (1) 10 個 (2) 10 個 (3) 10 個 (4)𝑎𝑏𝑏𝑏𝑎𝑏𝑏𝑏：¹⁰

2 = 5個

不連續頂點內接九邊形（𝟏𝒂𝟖𝒃）

𝑇₁₀(9) = 10 𝑅₁₀(9) = 1

不連續頂點內接九邊形（𝟏𝟎𝒃）

𝑇₁₀(10) = 1 𝑅₁₀(10) = 1

總 和 𝑻_𝟏𝟎 = 𝟏𝟐𝟑 𝑹_𝟏𝟎 = 𝟏𝟒

7

𝑛 = 11 𝑇_𝑛(𝑘) 𝑅_𝑛(𝑘)

不連續頂點內接六邊形（𝟓𝒂𝟏𝒃）

𝑇₁₁(6) = 11 𝑅₁₁(6) = 1

不連續頂點內接七邊形（𝟒𝒂𝟑𝒃）

𝑇₁₁(7) = 55 𝑅₁₁(7) = 4 (1) 11 個 (2) 11 個 (3) 11 個

(4) 11 × 2 = 22個

𝒂𝒂𝒂𝑏𝒂𝑏𝑏與𝒂𝑏𝒂𝒂𝒂𝑏𝑏為同種類 的圖形，但不重疊。

不連續頂點內接八邊形（𝟑𝒂𝟓𝒃）

𝑇₁₁(8) = 77 𝑅₁₁(8) = 5 (1) 11 個 (2) 11 個 (3) 11 個

(4) 𝒂𝒂𝑏𝒂𝑏𝑏𝑏𝑏與𝒂𝑏𝒂𝒂𝑏𝑏𝑏𝑏 11 × 2 = 22個

(5)𝒂𝒂𝑏𝑏𝒂𝑏𝑏𝑏與𝒂𝑏𝑏𝒂𝒂𝑏𝑏𝑏 11 × 2 = 22個

不連續頂點內接九邊形（𝟐𝒂𝟕𝒃）

𝑇₁₁(9) = 44 𝑅₁₁(9) = 4

(1) 11 個 (2) 11 個

(3) 11 個 (4) 11 個

不連續頂點內接十邊形

（𝟏𝒂𝟗𝒃） 𝑇₁₁(10) = 11 𝑅₁₁(10) = 1

不連續頂點內接十一邊形（𝟏𝟏𝒃）

𝑇₁₁(11) = 1 𝑅₁₁(11) = 1

總 和 𝑻_𝟏𝟏 = 𝟏𝟗𝟗 𝑹_𝟏𝟏 = 𝟏𝟔

8

𝑛 = 12 𝑇_𝑛(𝑘) 𝑅_𝑛(𝑘)

不連續頂點內接六邊形（𝟔𝒂）

𝑇₁₂(6)

= 2

𝑅₁₂(6)

= 1 不連續頂點內接七邊形（𝟓𝒂𝟐𝒃）

𝑇₁₂(7)

= 36

𝑅₁₂(7)

= 3 (1) 12 個 (2) 12 個 (3) 12 個

不連續頂點內接八邊形（𝟒𝒂𝟒𝒃）

𝑇₁₂(8)

= 105

𝑅₁₂(8)

= 8 (1) 12 個 (2) 12×2=22 (3) 12 個 (4)𝒂𝒂𝒃𝒃𝒂𝒂𝒃𝒃：6 個

(5) 12 個 (6) 𝑎𝑎𝑏𝑎𝒃𝑎𝒃𝒃與 𝑎𝑎𝑏𝑎𝒃𝒃𝑎𝒃：12×2=22

(7) 12 個 (8)𝒂𝒃𝒂𝒃𝒂𝒃𝒂𝒃：¹²

4 = 3

不連續頂點內接九邊形（𝟑𝒂𝟔𝒃）

𝑇₁₂(9)

= 112

𝑅₁₂(9)

= 7 (1) 12 個 (2) 12 個 (3) 12 個 (4)𝒂𝒂𝑏𝒂𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏與𝒂𝑏𝒂𝒂𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏：24

(5)𝒂𝒂𝑏𝑏𝒂𝑏𝑏𝑏𝑏與 𝒂𝑏𝑏𝒂𝒂𝑏𝑏𝑏𝑏：24

(6)𝑎𝒃𝑎𝑏𝑏𝑏𝑎𝒃𝒃與

𝑎𝒃𝒃𝑎𝑏𝑏𝑏𝑎𝒃：24 (7) 𝒂𝒃𝒃𝒂𝒃𝒃𝒂𝒃𝒃：¹²

3 = 4

不連續頂點內接十邊形（𝟐𝒂𝟖𝒃）

𝑇₁₂(10)

= 54

𝑅₁₂(10)

= 5 (1) 12 個 (2) 12 個 (3) 12 個 (4) 12 個 (5) 𝒂𝒃𝒃𝒃𝒂𝒃𝒃𝒃：¹²

2 = 6

不連續頂點內接十一邊形（𝟏𝒂𝟏𝟎𝒃）

𝑇₁₂(11)

= 12

𝑅₁₂(11)

= 1 不連續頂點內接十二邊形（𝟏𝟐𝒃）

𝑇₁₂(12)

= 1

𝑅₁₂(12)

= 1

總 和 𝑻_𝟏𝟐

= 𝟑𝟐𝟐

𝑹_𝟏𝟐

= 𝟐𝟔

9

二、 正𝒏邊形上不連續頂點所構成內接𝒌邊形的數量，以表格方式整理，討論規律性。

正𝒏 邊形

不連續頂點內接𝒌邊形的數量

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 𝑇_𝑛

3 1 1

4 4 1 5

5 5 5 1 11

6 2 9 6 1 18

7 7 14 7 1 29

8 2 16 20 8 1 47

9 9 30 27 9 1 76

10 2 25 50 35 10 1 123

11 11 55 77 44 11 1 199

12 2 36 105 112 54 12 1 322 13 13 91 182 156 65 13 1 521 (一)𝒌的範圍限制：當𝑛為偶數時，^𝑛

2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛；當𝑛為奇數時，^𝑛+1

2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 ∴ 1

2

n

+

k n

   

 

  (二)觀察出遞迴關係式：

正𝒏 邊形

不連續頂點內接𝒌邊形的數量

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 𝑻_𝒏

3 1 1

4 4 1 5

5 5 5 1 11

6 2 9 6 1 18

7 7 14 7 1 29

8 2 16 20 8 1 47

9 9 30 27 9 1 76

10 2 25 50 35 10 1 123

11 11 55 77 44 11 1 199

12 2 36 105 112 54 12 1 322 13 13 91 182 156 65 13 1 521 1.由表格中觀察到

𝑻_𝟔(𝟒) + 𝑻_𝟕(𝟒) = 𝑻_𝟖(𝟓)，𝑻_𝟔

(𝟓) + 𝑻

_𝟕

(𝟓) = 𝑻

_𝟖

(𝟔)，𝑻

_𝟔(𝟔) + 𝑻_𝟕(𝟔) = 𝑻_𝟖(𝟕)，…

發現「遞迴關係式」：

T k

_n

( ) = T

_n−2

( k − + 1) T

_n−1

( k − 1)

，

其中

T

₃

(3) = T

₄

(4) =  = T t

_t

( ) 1 =

，

T

₄(3)=4 ,

T

₅(3)=5 ,

T

₆(3)= 2

10

2.以圖形來解釋：

𝑻_𝒏−𝟐(𝒌 − 𝟏) + 𝑻_𝒏−𝟏(𝒌 − 𝟏) = 𝑻_𝒏(𝒌) 正𝑛 − 2邊形不連續頂點

內接𝑘 − 1邊形數量

正𝑛 − 1邊形不連續頂點 內接𝑘 − 1邊形數量

正𝑛邊形不連續頂點 內接𝑘邊形數量

（𝑛 − 𝑘 − 1個𝑎，2𝑘 − 𝑛個𝑏） （𝑛 − 𝑘個𝑎，2𝑘 − 𝑛 − 1個𝑏） （𝑛 − 𝑘個𝑎，2𝑘 − 𝑛個𝑏）

正𝑛 − 2邊形不 連續頂點內接 𝑘 − 1邊形數量

𝑻_𝒏−𝟐(𝒌 − 𝟏) (𝒏 − 𝒌 − 𝟏)𝒂 (𝟐𝒌 − 𝒏)𝒃

加 1 𝒂 需增加 2 個邊

正𝑛邊形不連 續頂點內接𝑘

邊形數量 𝑻_𝒏(𝒌) (𝒏 − 𝒌)𝒂 (𝟐𝒌 − 𝒏)𝒃

正𝑛 − 1邊形不 連續頂點內接 𝑘 − 1邊形數量 𝑻_𝒏−𝟏(𝒌 − 𝟏)

(𝒏 − 𝒌)𝒂 (𝟐𝒌 − 𝒏 − 𝟏)𝒃

加 1 𝒃 只增加 1 個邊

正𝑛邊形不連 續頂點內接𝑘 邊形數量

𝑻_𝒏(𝒌) (𝒏 − 𝒌)𝒂 (𝟐𝒌 − 𝒏)𝒃

因此，

T k

_n

( ) = T

_n−2

( k − + 1) T

_n−1

( k − 1)

。 例如： 𝑇₆(4) + 𝑇₇(4) = 9 + 7 = 16 = 𝑇₈(5)

正六邊形不連 續頂點內接四 邊形（𝟐𝒂𝟐𝒃）

數量 𝑻_𝟔(𝟒)

加 1 𝒂 需增加

2 個邊

正八邊形不連續 頂點內接五邊形

（𝟑𝒂𝟐𝒃）

數量 𝑻_𝟖(𝟓)

正七邊形不連 續頂點內接四 邊形（𝟑𝒂𝟏𝒃）

數量 𝑻_𝟕(𝟒)

加 1 𝒃 只增加

1 個邊

正八邊形不連續 頂點內接五邊形

（𝟑𝒂𝟐𝒃）

數量 𝑻_𝟖(𝟓)

三、𝑻_𝒏(𝒌)的關係式

(一)當𝒌 = 𝒏時，𝑻_𝒏(𝒌) = 𝑻_𝒏(𝒏) = 𝟏 𝑘

𝑛 3 4 5 6 7 3 1

4 4 1 5 5 5 1 6 2 9 6 1 7 7 14 7 1

1. 由表格中觀察： 𝑇3(3) = 𝑇₄(4) = ⋯ = 𝑇₁₃(13) = 1 2. 以圖形來解釋：

∵在正𝑛邊形上不連續頂點之內接𝑛多邊形

必選取了原正𝑛邊形的𝑛個中點（𝑛𝑏），只有 1 個。

∴ 𝑇₃(3) = 𝑇₄(4) = ⋯ = 𝑇₁₃(13) = 1

+ =

11

(二)當𝒌 = 𝒏 − 𝟏時，𝑻_𝒏(𝒌) = 𝑻_𝒏(𝒏 − 𝟏) = 𝒏 𝑘

𝑛 3 4 5 6 7 3 1

4 4 1 5 5 5 1 6 2 9 6 1 7 7 14 7 1

1. 表格中觀察到：𝑇₄(3) = 4，𝑇₅(4) = 5， … 𝑇₁₃(12) = 13 2. 以圖形來解釋：

∵在正𝑛邊形上不連續頂點之內接𝑛 − 1多邊形 必選取了原正𝑛邊形的 1 個頂點，𝑛 − 2個中點，

當選取頂點時，有𝑛個選擇，其餘皆選中點。

∴ 𝑇_𝑛(𝑛 − 1) = 𝑛

(三)當𝒌 = 𝒏 − 𝟐時，𝑻_𝒏(𝒌) = 𝑻_𝒏(𝒏 − 𝟐) = ^{𝒏(𝒏−𝟑)}_𝟐

𝑘

𝑛 3 4 5 6 7 5 5 5 1

6 2 9 6 1 7 7 14 7 1 8 2 16 20 8 9 9 30 27

1. 由表格中觀察到：

𝑇₅(3) = 5 = 2 + 3 𝑇₆(4) = 9 = 2 + 3 + 4

∴ 𝑇_𝑛(𝑛 − 2) = 2 + 3 + 4 + ⋯ + (𝑛 − 2) =𝑛(𝑛 − 3) 2. 以圖形來解釋： 2

∵在正𝑛邊形上不連續頂點內接𝑛 − 2邊形為(2𝑎，(𝑛 − 4)𝑏)型 先選取第一個頂點(𝑎)時，有𝑛個選擇。

因頂點左右的頂點不能選，所以第 2 個頂點剩下(𝑛 − 3)個選擇。

再除以 2 個𝑎的互換數：2！

∴ 𝑇_𝑛(𝑛 − 2) =𝑛(𝑛 − 3) 2

(四)當𝒌 = 𝒏 − 𝟑時，𝑻_𝒏(𝒌) = 𝑻_𝒏(𝒏 − 𝟑) = 𝒏(𝒏−𝟒)(𝒏−𝟓) 𝟔 1.表格中觀察：

2.以圖形來解釋：

正𝑛邊形上不連續頂點內接𝑛 − 3邊形為（3𝑎，（𝑛 − 6）𝑏）型。

依序選擇 3 個頂點，分別為𝑎₁，𝑎₂，𝑎₃

𝑎₁有𝑛個選擇

若𝑎₂在𝑃₁，𝑃₂的位置

有 2 個選擇 𝑎₃有𝑛 − 5個選擇

所得內接𝑛 − 3邊形個 數為𝑛 × 2 × (𝑛 − 5)

若 𝑎₂不在𝑃₁，𝑃₂位置

有𝑛 − 5個選擇 𝑎₃有𝑛 − 6個選擇

所得內接𝑛 − 3邊形個 數為𝑛(𝑛 − 5)(𝑛 − 6)

∴ 𝑛[2(𝑛 − 5) + (𝑛 − 5)(𝑛 − 6)] = 𝑛(𝑛 − 5)(𝑛 − 4)，再除以 3 頂點𝑎₁，𝑎₂，𝑎₃的互換數：3!

∴ 𝑇_𝑛(𝑛 − 3) =𝑛(𝑛 − 4)(𝑛 − 5)

3! =𝑛(𝑛 − 4)(𝑛 − 5) 6

𝑘

𝑛 3 4 5 6 7 6 2 9 6 1 7 7 14 7 1 8 2 16 20 8 9 9 30 27 10 2 25 50

12

(五)當𝒌 = 𝒏 − 𝟒時，𝑻_𝒏(𝒌) = 𝑻_𝒏(𝒏 − 𝟒) = 𝒏(𝒏−𝟓)(𝒏−𝟔)(𝒏−𝟕) 𝟐𝟒

正 n 邊形上不連續頂點內接𝑛 − 4邊形（4𝑎，（𝑛 − 8）𝑏）型。依序選 4 個頂點：𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃, 𝑎₄

𝑎₁ 位 置 有 𝑛 個 選 擇

𝑎₂位置的

選擇個數 𝑎3位置的選擇個數 𝑎₄位置的

選擇個數

不連續頂點 內接𝑛 − 4邊形個數 𝑎₂在𝑃₁，𝑃₂的

位置， 有 2 個 選擇

𝑎₃接著𝑎₂：

2 個 n-7 𝑛 × 2 × 2(𝑛 − 7)

n-7 個 n-8 𝑛 × 2(𝑛 − 7)(𝑛 − 8)

𝑎₂在𝑃₃，𝑃₄的 位置， 有 2 個 選擇

𝑎₃接著𝑎₁、𝑎₂

：2 個 n-8 𝑛 × 2 × 2(𝑛 − 8)

𝑎₃在𝑎₁、𝑎₂遠

處：n-8 n-9 𝑛 × 2(𝑛 − 8)(𝑛 − 9)

𝑎₂在𝑃₅，𝑃₆的 位置， 有 2 個 選擇

𝑎₃在𝑎₁、𝑎₂之

間空位：1 個 n-7 𝑛 × 2 × 1(𝑛 − 7)

𝑎₃接著𝑎₁、𝑎₂

：2 個 n-8 𝑛 × 2 × 2(𝑛 − 8)

n-9 n-9 𝑛 × 2(𝑛 − 9)(𝑛 − 9)

其他有

n-9 個選擇 找相鄰的 4 點 n-8 𝑛(𝑛 − 9) × 4(𝑛 − 8)

n-10 n-9 𝑛(𝑛 − 9)(𝑛 − 10)(𝑛 − 9)

∴ 𝑛[2 × 2(𝑛 − 7) + 2(𝑛 − 7)(𝑛 − 8) + 2 × 2(𝑛 − 8) + 2(𝑛 − 8)(𝑛 − 9) + 2 × 1(𝑛 − 7) +2 × 2(𝑛 − 8) + 2(𝑛 − 9)(𝑛 − 9) + (𝑛 − 9) × 4(𝑛 − 8) + (𝑛 − 9)(𝑛 − 10)(𝑛 − 9)]

= 𝑛[2(𝑛 − 6)(𝑛 − 7)+ 2(𝑛 − 7)(𝑛 − 10)+ 2(𝑛² − 15𝑛 + 510) + (𝑛²− 15𝑛 + 510)(𝑛 − 10)]

= 𝑛(𝑛 − 7)(𝑛²− 11𝑛 + 30) = 𝑛(𝑛 − 7)(𝑛 − 5)(𝑛 − 6)，再除以 4! （四點互換數）

∴𝑻_𝒏(𝒏 − 𝟒) =𝒏(𝒏−𝟓)(𝒏−𝟔)(𝒏−𝟕)

𝟒! =𝒏(𝒏−𝟓)(𝒏−𝟔)(𝒏−𝟕) 𝟐𝟒

13

(六)觀察𝑻_𝒏(𝒌)的關係式

觀察關係式發現， ( 1)( 2) ( 2 1) ( )! 1

( )

! !( 2 )!

n

n n t n t n t n t

T n t n

t t n t n t

− − − −  − + −

− = =  

− −

取k= −n t代入， ! 1

( ) ( )!(2 )!

n

T k n k

n k k n k

=  

− −

正 n 邊形

不連續頂點內接 k 邊形的數量，(n k a− ) , (2k−n b)

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 𝑇_𝑛

3 3𝑏

1 1

4 1𝑎2𝑏 4

4𝑏

1 5

5 2𝑎1𝑏 5

1𝑎3𝑏 5

5𝑏

1 11

6 3𝑎 2

2𝑎2𝑏 9

1𝑎4𝑏 6

6𝑏

1 18

7 3𝑎1𝑏

7

2𝑎3𝑏 14

1𝑎5𝑏 7

7𝑏

1 29

8 4𝑎

2

3𝑎2𝑏 16

2𝑎4𝑏 20

1𝑎6𝑏 8

8𝑏

1 47

9 4𝑎1𝑏

9

3𝑎3𝑏 30

2𝑎5𝑏 27

1𝑎7𝑏 9

9𝑏

1 76

10 5𝑎

2

4𝑎2𝑏 25

3𝑎4𝑏 50

2𝑎6𝑏 35

1𝑎8𝑏 10

10𝑏

1 123

11 5𝑎1𝑏

11

4𝑎3𝑏 55

3𝑎5𝑏 77

2𝑎7𝑏 44

1𝑎9𝑏 11

11𝑏

1 199

12 6𝑎

2

5𝑎2𝑏 36

4𝑎4𝑏 105

3𝑎6𝑏 112

2𝑎8𝑏 54

1𝑎10𝑏 12

12𝑏

1 322

13 6𝑎1𝑏

13

5𝑎3𝑏 91

4𝑎5𝑏 182

3𝑎7𝑏 156

2𝑎9𝑏 65

1𝑎11𝑏 13

13𝑏 1 521

𝑛(𝑛 − 6)(𝑛 − 7)(𝑛 − 8)(𝑛 − 9)

5! 𝑛(𝑛 − 5)(𝑛 − 6)(𝑛 − 7) 4!

𝑛(𝑛 − 4)(𝑛 − 5) 3!

𝑛(𝑛 − 3) 2

14

◆正

n

邊形上不連續頂點內接

k

邊形的數量：

! 1 ( ) ( )!(2 )!

n

T k n k

n k k n k

=  

− −

從排列組合的觀點，解釋公式：

∵正 n 邊形上不連續頂點內接 k 邊形，必為n k− 個頂點，2k−n個中點類型。

即（(n k a− ) , (2k−n b) 型）。

∴先將(n k− )個a,(2k−n)個b，共 k 個，做不盡相異物直線排列： ! ( )!(2 )!

k n k

−

k

−

n

再除以轉動數 k： ! 1

( )!(2 )!

k

n k k n k

 

 − − 

 

最後，選擇放置正 n 邊形的出發位置有n個選擇： ! 1

( )!(2 )!

n k

n k k n k

 

 − − 

! 1

( ) ( )!(2 )!

( ) , (2 )

n

T k n k

n k k n

n a k n

k

k b

 

=   − −  

− −



初 個 個

不盡相異物直線

始位置 排列 轉動數

(七)正𝒏邊形上不連續頂點內接𝒌邊形數量總和

∵範圍限制 1

2

n

+

k n

   

 

 

且 1 1

1 ( 1) ( )

2 2

n n n n n

n n

T

=

T

 + +

T

 + + + +

T n

− +

T n

又 ! 1

( ) ( )!(2 )!

n

T k n k

n k k n k

=  

− −

∴

1 2

! 1

( )!(2 )!

n

n n

T n k

n k k n k

 +

 

 

=  

− −



雖然整理出𝑻

_𝒏

，但此式子不好化簡。因此參考文獻 Crux Mathematicorum, Vol. 45(8), October 2020

（354/ MathemAttic） ，以另一種方法找𝑻

_𝒏

，討論如下：

15

四、從頂點的「不連續選擇」討論正 n 邊形上不連續頂點內接多邊形數量總和：𝑻_𝒏

(一) 定義

「𝒍𝒆𝒏𝒈𝒕𝒉 𝒏」：「𝑙𝑒𝑛𝑔𝑡ℎ 𝑛」表示𝑛個由 0 和 1 組成的數串，且 1 不相連續。

「𝑨_𝒏」：「 𝑙𝑒𝑛𝑔𝑡ℎ 𝑛」的數量，記作𝐴_𝑛。

𝐴₁ = 2 𝐴₂ = 3 𝐴₃ = 5 𝐴₄ = 8

0 1

00 01 10

0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1

𝑨_𝟑 =𝐴₂+𝑨_𝟏

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0

𝐴₄ =𝑨_𝟑+𝑨_𝟐 (二) 觀察𝑨_𝒏：發現 𝑨_𝟑= 𝐴₂+𝑨_𝟏，𝐴₄ =𝑨_𝟑+𝑨_𝟐， 𝐴₅ = 𝐴₄+ 𝐴₃ = 13，‧‧‧

因此， 𝑨_𝒏 = 𝑨_𝒏−𝟏+ 𝑨_𝒏−𝟐，其中𝑨_𝟏 = 𝟐，𝑨_𝟐= 𝟑

∵𝑨_𝒏恰為費氏數列𝑭_𝒏+𝟐，又

𝐹

_𝑛

=

¹

√5

[(

^1+√5

2

)

𝑛

− (

^1−√5

2

)

𝑛

]

∴ 𝑨_𝒏 = 𝟏

√𝟓[(𝟏 + √𝟓 𝟐 )

𝒏+𝟐

− (𝟏 − √𝟓 𝟐 )

𝒏+𝟐

]

(三) 觀察正 n 邊形的 n 個頂點與其內接多邊形重疊的頂點，發現選取頂點時不可連續，

若選取頂點視為”1”，未選取頂點視為”0”，則”1”不相連續，且頭尾不可皆 1。

𝑻_𝒏 = 𝑨_𝒏−𝟏 + 𝑨_𝒏−𝟑 ，其中 𝒏 ≥ 𝟓

𝑻_𝒏 = 1

√5[(1 + √5 2 )

𝑛+1

− (1 − √5 2 )

𝑛+1

] + 1

√5[(1 + √5 2 )

𝑛−1

− (1 − √5 2 )

𝑛−1

]

= 1

√5[(6 + 2√5

4 ) (1 + √5 2 )

𝑛−1

− (6 − 2√5

4 ) (1 − √5 2 )

𝑛−1

+ (1 + √5 2 )

𝑛−1

− (1 − √5 2 )

𝑛−1

]

= 1

√5[(5 + √5

2 ) (1 + √5 2 )

𝑛−1

− (5 − √5

2 ) (1 − √5 2 )

𝑛−1

]

= (√5 + 1

2 ) (1 + √5 2 )

𝑛−1

− (√5 − 1

2 ) (1 − √5 2 )

𝑛−1

= (𝟏 + √𝟓 𝟐 )

𝒏

+ (𝟏 − √𝟓 𝟐 )

𝒏

，𝒏 ≥ 𝟓 且 𝑻_𝟑= 𝟏，𝑻_𝟒= 𝟓 出發點不選，剩𝑛 − 1個點。

即 𝒍𝒆𝒏𝒈𝒕𝒉(𝒏 − 𝟏)。數量有𝐴_𝑛−1種

出發點選取，左右不可選，剩𝑛 − 3個點。

即 𝒍𝒆𝒏𝒈𝒕𝒉(𝒏 − 𝟑)。數量有𝐴_𝑛−3種

16

五、將正𝒏邊形上不連續頂點所構成內接多邊形的「種類」

將先前的討論，以表格方式整理出𝑅_𝑛(𝑘)、𝑅_𝑛

◆正𝑛邊形上不連續頂點所構成內接多邊形，若經過旋轉或翻轉相同者，則視為同類。

正𝑛 邊形

不連續頂點所構成內接 k 邊形的種類，(n k a− ) , (2k−n b) 型

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 𝑹_𝒏

3 3𝑏

1 1

4 1𝑎2𝑏 1

4𝑏

1 2

5 2𝑎1𝑏 1

1𝑎3𝑏 1

5𝑏

1 3

6 3𝑎 1

2𝑎2𝑏 2

1𝑎4𝑏 1

6𝑏

1 5

7 3𝑎1𝑏

1

2𝑎3𝑏 2

1𝑎5𝑏 1

7𝑏

1 5

8 4𝑎

1

3𝑎2𝑏 2

2𝑎4𝑏 3

1𝑎6𝑏 1

8𝑏

1 8

9 4𝑎1𝑏

1

3𝑎3𝑏 3

2𝑎5𝑏 3

1𝑎7𝑏 1

9𝑏

1 9

10 5𝑎

1

4𝑎2𝑏 3

3𝑎4𝑏 4

2𝑎6𝑏 4

1𝑎8𝑏 1

10𝑏

1 14

11 5𝑎1𝑏

1

4𝑎3𝑏 4

3𝑎5𝑏 5

2𝑎7𝑏 4

1𝑎9𝑏 1

11𝑏

1 16

12 6𝑎

1

5𝑎2𝑏 3

4𝑎4𝑏 8

3𝑎6𝑏 7

2𝑎8𝑏 5

1𝑎10𝑏 1

12𝑏

1 26

13 6𝑎1𝑏

1

5𝑎3𝑏 5

4𝑎5𝑏 10

3𝑎7𝑏 8

2𝑎9𝑏 5

1𝑎11𝑏 1

13𝑏 1 31

[𝑛 − 2 2 ]

[

^𝑛−4

2

]+[

^𝑛−7₂

]+[

^𝑛−10₂

]+[

^𝑛−13₂

]+…

（加到最後一個正整數）

17

(一)觀察表格：斜向（\）

1. 當𝑘 = 𝑛時，即𝑡 = 0，內接𝑛邊形（𝑛個中點）（𝑛𝑏）：1 種。 ∴R n =_n( ) 1 2. 當𝑘 = 𝑛 − 1時，即𝑡 = 1，內接𝑛 − 1邊形（1𝑎，(𝑛 − 2)𝑏）：

𝑎 bbb … b⏟

𝑛−2個

：1 種 ∴R n −_n( 1)=1

3. 當𝑘 = 𝑛 − 2時，即𝑡 = 2，內接𝑛 − 2邊形（2𝑎，(𝑛 − 4)𝑏）

𝑎𝑎 bbb … b⏟

𝑛−4 個

，𝑎 𝑏⏟

1 個

𝑎 bbb … b⏟

𝑛−5 個

，𝑎 𝑏𝑏⏟

2 個

𝑎 bbb … b⏟

𝑛−6 個

，…，𝑎 𝑏 … 𝑏⏟

[^𝑛−4₂ ]個

𝑎 bbb … b⏟

𝑛−4−[^𝑛−4₂ ]個

有 1 + [^𝑛−4

2 ] = [^𝑛−2

2 ] 種 ∴ ( 2) ²

n 2

R n− = n− 

4. 當𝑘 = 𝑛 − 3時，即𝑡 = 3，內接𝑛 − 3邊形（3𝑎，(𝑛 − 6)𝑏）

𝑎𝑎𝑎𝒃 … 𝒃⏟

𝑛−6 個

，𝑎𝑎 𝒃⏟

1 個

𝑎 𝒃 … 𝒃⏟

𝑛−7 個

，𝑎𝑎𝒃𝒃⏟

2 個

𝑎 𝒃 … 𝒃⏟

𝑛−8 個

，…，𝑎𝑎𝒃 … 𝒃⏟

[^𝑛−6

2 ]個

𝑎 𝒃 … 𝒃⏟

𝑛−6−[^𝑛−6

2 ]個

有 6 4

1 2 2

n− n−

   

+   = ^種

𝑎 𝒃⏟

固定

𝑎 𝒃⏟

至少 1 個

𝑎𝒃 … 𝒃⏟

𝑛−8 個

，…，𝑎𝒃𝑎𝒃 … 𝒃⏟

[^𝑛−7

2 ]個

𝑎 𝒃 … 𝒃⏟

𝑛−7−[^𝑛−7

2 ]個

，有 7

2

n − 

 

 ^種 𝑎𝒃𝒃⏟

固定

𝑎𝒃𝒃⏟

2 個

𝑎 𝒃 … 𝒃⏟

𝑛−10 個

，𝑎𝒃𝒃⏟

固定

𝑎𝒃𝒃𝒃⏟

3 個

𝑎 𝒃 … 𝒃⏟

𝑛−11 個

，…，𝑎𝒃𝒃𝑎𝒃 … 𝒃⏟

[^𝑛−8₂ ]個

𝑎 𝒃 … 𝒃⏟

𝑛−8−[^𝑛−8₂ ]個

有 8 10

2 1 2

n− n−

 − = 

   

   ^種

𝑎𝒃𝒃𝒃⏟

固定

𝑎𝒃𝒃𝒃⏟

3 個

𝑎 𝒃 … 𝒃⏟

𝑛−12 個

，𝑎𝒃𝒃𝒃⏟

固定

𝑎𝒃𝒃𝒃𝒃⏟

4 個

𝑎 𝒃 … 𝒃⏟

𝑛−13 個

，…，𝑎𝒃𝒃𝒃𝑎𝒃 … 𝒃⏟

[^𝑛−9

2 ]個

𝑎 𝒃 … 𝒃⏟

𝑛−9−[^𝑛−9

2 ]個

，

有 9 13

2 2 2

n− n−

 − = 

   

   ^種

𝑎𝒃𝒃𝒃𝒃⏟

固定

𝑎𝒃𝒃𝒃𝒃⏟

4 個

𝑎 𝒃 … 𝒃⏟

𝑛−14 個

，𝑎𝒃𝒃𝒃𝒃⏟

固定

𝑎𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃⏟

5 個

𝑎 𝒃 … 𝒃⏟

𝑛−15 個

，…，𝑎𝒃𝒃𝒃𝒃𝑎 𝒃 … 𝒃⏟

[^𝑛−10

2 ]個

𝑎 𝒃 … 𝒃⏟

𝑛−10−[^𝑛−10

2 ]個

，

有 10 16

2 3 2

n− n−

 − = 

   

   ^種

‧‧‧‧‧‧

𝑎𝒃 … 𝒃⏟

[^𝑛−6

2 ]個

𝑎𝒃 … 𝒃⏟

[^𝑛−6

2 ]個

𝑎𝒃 … 𝒃⏟

其他

有 3 1 2 n− m−

 

 

 ^種（其中

m



N n

, −3

m

1）

∴ ( 3) ^{4 7 10 3 1}

2 2 2 2

n

n n n n m

R n− = −    + −    + − + + − − ，其中

m



N n

, −3

m

1

由於觀察表格的斜向，若繼續討論下去會很複雜。所以換成觀察直向，探討是否有規律性。

18

(二) 觀察表格：直向（|）

直行觀察種類表格發現有對稱的規律性，

正𝑛邊形內接𝑘邊形（𝑥𝑎𝑦𝑏型），其中𝒙 + 𝒚 = 𝒌，且𝑥 = 𝑛 − 𝑘，𝑦 = 2𝑘 − 𝑛，

𝑹_𝒏(𝒌)可視為𝑥個𝑎，𝑦個𝑏的珠狀排列方法數。參酌Burnside’s Formula 找出種類公式。

1. 將𝒌個位置代數化處理

因為每個位置可放𝑎或𝑏，並且旋轉或翻轉相同者視為等價類。

因此為不盡相異物的珠狀排列。

令𝑮

_𝒌

表示珠狀排列的動作所成集合。

例如：𝒌 = 𝟑 排列方式 旋轉動作 排列方式 翻轉動作 𝑒 = (1)(2)(3) 轉 0° (1)(23) 對稱軸過 1 翻轉

(1 2 3) 轉 120° (2)(13) 對稱軸過 2 翻轉 (1 3 2) 轉 240° (3)(12) 對稱軸過 3 翻轉

∴ 𝐺₃ = 3 + 3 = 6

例如：𝒌 = 𝟒 排列方式 旋轉動作 排列方式 翻轉動作

𝑒 = (1)(2)(3)(4) 轉 0° (12)(34) 對稱軸過 1.2 間與 3.4 間的翻轉 (1 2 3 4) 轉 90° (14)(23) 對稱軸過 1.4 間與 2.3 間的翻轉 (1 3)(2 4) 轉 180° (1)(3)(24) 對稱軸過 1.3 間的翻轉

(1 4 3 2) 轉 270° (2)(4)(13) 對稱軸過 2.4 間的翻轉

∴ 𝐺₄ = 4 + 4 = 8 則考慮𝐺_𝑘

旋轉有𝒌種動作：轉

_𝑘^𝑖 × 360°，𝑖 = 0, 1, 2, ‧‧‧, 𝑘 − 1

翻轉也有𝒌種動作：

𝑘為奇數: 對稱軸過𝑖的翻轉，𝑖 = 1,2, … , 𝑘，共𝑘種 𝑘為偶數: (1)對稱軸過𝑖及𝑖 +^𝑘₂之翻轉，𝑖 = 1,2, … ,^𝑘

2− 1 (2)對稱軸過（𝑖與𝑖 + 1）間及（𝑖 +^𝑘

2 與𝑖 + 1 +^𝑘

2 間）的翻轉

合計𝑘種

因此，|𝐺_𝑘| (動作種類)= 𝑘（旋轉）+ 𝑘（翻轉）= 2𝑘

種。

19

2. 計算|𝑿_𝒈|：引入代數學中的 Burnside’s Formula Burnside’s Formula

設𝐺

_𝑘

為作用在集合𝑋的排列群，若集合𝑋

_𝑔

= {𝑥|𝑔𝑥 = 𝑥， 𝑥𝜖𝑋}，表示某個排列元素𝑔作 用在𝑋上會保持不動的元素所成集合，則𝑅 =

1

|𝐺_𝑘| ∑ |𝑋_𝑔|

𝑔𝜖𝐺_𝑘

，其中𝑅表示集合𝑋可分割出𝑅個

不同的等價類數量。

𝑿_𝒈在珠狀排列中，視為「針對某種旋轉或翻轉動作𝒈後相同者的那些排列」所形成的集合，

而等價類數量𝑹即為珠狀排列之方法數。

Burnside’s Formula 角色 珠狀排列 Burnside’s Formula 角色 珠狀排列

集合𝑋 珠狀排列方式 𝑋中元素𝑥 某種珠狀排列方式

排列群𝐺_𝑘 珠狀排列的

動作變換方式 𝐺_𝑘中元素𝑔 某種珠狀排列

動作變換方式𝑔

不動群𝑋_𝑔

經過𝑔動作變換後相 同的那些排列所成

之集合

等價類數量𝑹 𝑹個不同的珠狀排列之

方法數

因此，只要計算𝐺_𝑘中每個𝑔所對應的|𝑋_𝑔|，就能利用 Burnside’s Formula 來計算珠狀排列數。

例如，𝒌 = 𝟏𝟐

𝑮_𝟏𝟐旋轉動作 𝑮_𝟏𝟐翻轉動作

𝑒= 𝑔₁=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12) 𝑔₁₃=(1)(7)(2 12)(3 11)(4 10)(5 9)(6 8) 𝑔₂=(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12) 𝑔₁₄=(2)(8)(1 3)(4 12)(5 11)(6 10)(7 9) 𝑔₃=(1 3 5 7 9 11)(2 4 6 8 10 12) 𝑔₁₅=(3)(9)(2 4)(1 5)(6 12)(7 11)(8 10) 𝑔₄=(1 4 7 10)(2 5 8 11)(3 6 9 12) 𝑔₁₆=(4)(10)(3 5)(2 6)(1 7)(8 12)(9 11) 𝑔₅=(1 5 9)(2 6 10)(3 7 11)(4 8 12) 𝑔₁₇=(5)(11)(10 12)(1 9)(2 8)(3 7)(4 6) 𝑔₆=(1 6 11 4 9 2 7 12 5 10 3 8) 𝑔₁₈=(6)(12)(1 11)(2 10)(3 9)(4 8)(5 7) 𝑔₇=(1 7)(2 8)(3 9)(4 10)(5 11)(6 12) 𝑔₁₉=(1 2)(3 12)(4 11)(5 10)(6 9)(7 8) 𝑔₈=(1 8 3 10 5 12 7 2 9 4 11 6) 𝑔₂₀=(2 3)(1 4)(5 12)(6 11)(7 10)(8 9) 𝑔₉=(1 9 5)(2 10 6 )(3 11 7)(4 12 8) 𝑔₂₁=(3 4)(2 5)(1 6)(7 12)(8 11)(9 10) 𝑔₁₀=(1 10 7 4)(2 11 8 5)(3 12 9 6) 𝑔₂₂=(4 5)(3 6)(2 7)(1 8)(9 12)(10 11) 𝑔₁₁=(1 11 9 7 5 3)(2 12 10 8 6 4) 𝑔₂₃=(5 6)(4 7)(3 8)(2 9)(1 10)(11 12) 𝑔₁₂=(1 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2) 𝑔₂₄=(6 7)(8 5)(4 9)(3 10)(2 11)(1 12) (1) 旋轉動作

① 考慮 cycle 的產生方式：12-cycle 因為旋轉格數與 12 互質（每次可轉 1、5、7、11 格，

恰對應𝑔₂、𝑔₆、𝑔₈、𝑔₁₂）所以會把每個位置「跳」完後，才回出發點。

∴ 考慮「12 以下，與 12 互質的正整數有幾個」，通常以𝜑(𝑑)來表示（尤拉函數）

∴ 𝝋(𝟏𝟐) = 𝟒，即有 4 個 12-cycle

②

同 cycle 內須皆為𝒂或皆為𝒃，如此動作變換後才不變。

20

(2) 翻轉動作

翻轉動作會將兩個一組的位置交換，所以必可寫成一群 2-cycle 乘積。

① 𝑘為偶數：

對稱軸過對面的兩個位置的𝑔可拆成 2 個 1-cycle 與^𝑘−2

2 個 2-cycle。

對稱軸不過任何位置的𝑔可拆成^𝑘

2個 2-cycle

② 𝑘為奇數：所有𝑔的對稱軸必定過某一個位置，均可拆成 1 個 1-cycle 與^𝑘−1

2 個 2-cycle

例如：𝒌 = 𝟏𝟐時。6 個𝒂，6 個𝒃，珠狀排列

◆旋轉動作

(1) 𝐺₁₂有 1 種 12 個 1 − 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒的𝑔，排入 6𝑎、6𝑏： 12!

6! 6!× 𝜑(1) = 924 × 1 = 924(種) (2) 𝐺₁₂有 1 種 6 個 2 − 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒的𝑔，6 個 2 − cycle 排入 6𝑎、6𝑏，而同一個 2 − 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒 內必皆𝑎或皆𝑏。 ∴ 視為 6!

(6 2) ! (

6 2) !

× 𝜑(2) = 20 × 1 = 20(種)

(3) 𝐺₁₂有 2 種 4 個 3 − 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒的𝑔，排入 6𝑎、6𝑏，而同一個 3 − 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒內必皆𝑎或皆𝑏。

∴ 視為 4!

(6 3) ! (

6 3) !

× 𝜑(3) = 6 × 2 = 12(種)

(4) 𝐺₁₂有 2 種 3 個 4 − 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒的𝑔，排入 6𝑎、6𝑏，而同一個 4 − 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒內必皆𝑎或皆𝑏。

無法滿足。

☆ 因此𝒙個𝒂，𝒚個𝒃之最大公因數(𝒙，𝒚) = 𝒅須被 cycle 長度𝒅_𝒊整除。

(5) 𝐺₁₂有 2 種 2 個 6 − 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒的𝑔， ∴ 6 個𝑎置於同一個𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒，6 個𝑏置於同𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒，

∴ 2!

1! 1!× 𝜑(6) = 2 × 2 = 4(種)

(6) 𝐺₁₂有 4 種 1 個 12 − 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒的𝑔，但無法滿足 12 − 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒內皆𝑎或皆𝑏。

◆翻轉動作

(7) 𝐺₁₂有 6 種 2 個 1 − 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒和 5 個 2 − 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒的𝑔，同一個𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒需皆𝑎或皆𝑏 ∴ 2 個 1 − 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒須同時𝑎或同時𝑏 ∴ [ 5!

(6 − 2 2 ) ! (6

2) !

+ 5!

(6

2) ! (6 − 2 2 ) !

] × 6 = 120(種)

(8) 𝐺₁₂有 6 種 6 個 2 − 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒的𝑔 ∴ 6!

(6 2) ! (

6 2) !

× 6 = 120(種)

由(1)～(8)，共 ¹

24[924 + 20 + 12 + 4 + 120 + 120] = 50(種)。

21

3. 整理出種類公式：

x 個 a ，y個 b的珠狀排列方法數，若x+ =y k，取( , )x y =d，且 d 的因數為

d d

₁

,

₂

, ,  d

_w，

( ) d

_i



表示不大於

d

_i且與

d

_i互質的正整數個數。

(1) k 為奇數 1

2𝑘(∑ 𝜑(𝑑_𝑖)

𝑤

𝑖=1

(𝑘 𝑑_𝑖) ! (𝑥

𝑑_𝑖) ! (𝑦

𝑑_𝑖) !+ 𝑘 ∙(𝑘 − 1 2 ) ! [𝑥

2] ! [ 𝑦 2] !

) 旋轉 翻轉 (2) k 為偶數，x y, 為奇數

1

2𝑘 (∑ 𝜑(𝑑_𝑖)

𝑤

𝑖=1

(𝑘 𝑑_𝑖) ! (𝑥

𝑑_𝑖) ! (𝑦

𝑑_𝑖) !+ 𝑘 ∙ (𝑘 − 2 2 ) ! (𝑥 − 1

2 ) ! ( 𝑦 − 1

2 ) ! ) 旋轉 翻轉

(3) k 為偶數，x y, 為偶數：

1 2𝑘

(

∑ 𝜑(𝑑_𝑖)

𝑤

𝑖=1

(𝑘 𝑑_𝑖) ! (𝑥

𝑑_𝑖) ! (𝑦

𝑑_𝑖) !+𝑘

2( (𝑘 − 2 2 ) ! (𝑥 − 2

2 ) ! ( 𝑦 2) !

+ (𝑘 − 2 2 ) ! (𝑥

2) ! ( 𝑦 − 2

2 ) !

+ (𝑘 2) ! (𝑥

2) ! ( 𝑦 2) !

) 旋轉 翻轉 )

又R k_n( )表示正 n 邊形內接 k 邊形（xayb型）之種類，其中x+ =y k

∵ x n k= − ，y=2k−n，代入公式，整理出R k_n( )如下：

n( )

R k 表示正 n 邊形內接 k 邊形的種類，取 (

n k

− , 2

k

− = ，且 d 的因數為

n

)

d d d

₁

,

₂

, ,  d

_w，

( ) d

_i



表示不大於

d

_i且與

d

_i互質的正整數個數。

(1) k 為奇數 𝑅_𝑛(𝑘) = 1

2𝑘 ( ∑ 𝜑(𝑑_𝑖)

𝑤

𝑖=1

(𝑘 𝑑_𝑖) ! (𝑛 − 𝑘

𝑑_𝑖 ) ! (2𝑘 − 𝑛 𝑑_𝑖 ) !

+ 𝑘 ∙ (𝑘 − 1 2 ) ! [𝑛 − 𝑘

2 ] ! [ 2𝑘 − 𝑛

2 ] ! ) (2) k 為偶數，

n k

− , 2

k

− 為奇數

n

𝑅𝑛(𝑘) = 1

2𝑘 ( ∑ 𝜑(𝑑𝑖)

𝑤

𝑖=1

(𝑘 𝑑_𝑖) ! (𝑛 − 𝑘

𝑑_𝑖 ) ! (2𝑘 − 𝑛 𝑑_𝑖 ) !

+ 𝑘 ∙ (𝑘 − 2 2 ) ! (𝑛 − 𝑘 − 1

2 ) ! (2𝑘 − 𝑛 − 1 2 ) !

) (3) k 為偶數，

n k

− , 2

k

− 為偶數：

n

𝑅_𝑛(𝑘) = 1 2𝑘

(

∑ 𝜑(𝑑_𝑖)

𝑤

𝑖=1

(𝑘 𝑑_𝑖) ! (𝑛 − 𝑘

𝑑_𝑖 ) ! (2𝑘 − 𝑛 𝑑_𝑖 ) !

+𝑘

2( (𝑘 − 2 2 ) ! (𝑛 − 𝑘 − 2

2 ) ! (2𝑘 − 𝑛 2 ) !

+ (𝑘 − 2 2 ) ! (𝑛 − 𝑘

2 ) ! (

2𝑘 − 𝑛 − 2 2 ) !

+ (𝑘

2) ! (𝑛 − 𝑘

2 ) ! ( 2𝑘 − 𝑛

2 ) ! )

) 例 1：[k為奇數]

∵

x

+ =

y k

為奇數 ∴x y, 必一奇一偶

∴對稱軸必過奇數的

a

或

b

對稱軸過

a

和

b

對稱軸過

aa

對稱軸過

bb

^{對稱軸不過位置}

因不知道 1-cycle 是

a

或

b

，故取高斯符號。

22

正𝟏𝟐邊形內接𝟗邊形，𝒏 = 𝟏𝟐，𝒌 = 𝟗 ，𝟑𝒂𝟔𝒃型，(𝟑，𝟔) = 𝟑，公因數𝟏、𝟑

𝑅₁₂(9) = 1

18[𝜑(1) 9!

3! 6!+ 𝜑(3) 3!

1! 2!+ 9 × 4!

1! 3!] = 1

18[84 + 2 × 3 + 9 × 4] = 7 例 2：[k為偶數，

n k − , 2 k n −

為奇數]

正𝟏𝟓邊形內接𝟏𝟐邊形，𝒏 = 𝟏𝟓，𝒌 = 𝟏𝟐，𝟑𝒂𝟗𝒃型，(𝟑，𝟗) = 𝟑，公因數𝟏、𝟑

𝑅₁₅(12) = 1

24[𝜑(1) 12!

3! 9!+ 𝜑(3) 4!

1! 3!+ 12 × 5!

1! 4!] = 1

24[220 + 2 × 4 + 6 × 5 × 2] = 12 例 3：[k為偶數，

n k − , 2 k n −

為偶數]

正𝟏𝟔邊形內接𝟏𝟐邊形，𝒏 = 𝟏𝟔，𝒌 = 𝟏𝟐，𝟒𝒂𝟖𝒃型，(𝟒，𝟖) = 𝟒，公因數𝟏、𝟐、𝟒 𝑅₁₆(12) = 1

24[𝜑(1) 12!

4! 8!+ 𝜑(2) 6!

2! 4!+ 𝜑(4) 3!

1! 2!+12

2 × ( 5!

1! 4!+ 5!

2! 3!+ 6!

2! 4!)]

= 1

24[495 + 15 + 2 × 3 + 6 × (5 + 10 + 15)] = 29 六、正𝒏邊形上不連續頂點內接多邊形的三角形拼板

將不連續頂點內接多邊形之頂點與圓心相連，可將內接多邊形分割成三種類型的三角形拼板，

分別討論如下：

「頂點–頂點」拼板

（

aa

拼板）

「頂點–中點」拼板

（

ab

拼板）

「中點–中點」拼板

（

bb

拼版）

例如：正八邊形上不連續頂點內接多邊形的三角形拼板

1.不連續頂點內接四邊形（4𝑎） 2.不連續頂點內接五邊形（3𝑎2𝑏）

需要 4 個𝑎𝑎拼板

(1)𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏 需要 2 個𝑎𝑎拼板 2 個𝑎𝑏拼板 1 個𝑏𝑏拼板

(2)𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎(𝑎𝑎𝑏𝑎𝑏) 需要 1 個𝑎𝑎拼板 4 個𝑎𝑏拼板 3.不連續頂點內接六邊形（2𝑎4𝑏）

(1)𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏 需要 1 個𝑎𝑎拼板 2 個𝑎𝑏拼板 3 個𝑏𝑏拼板

(2)𝑎𝑏𝑎𝑏𝑏𝑏

需要 4 個𝑎𝑏拼板 2 個𝑏𝑏拼板

(3)𝑎𝑏𝑏𝑎𝑏𝑏

需要 4 個𝑎𝑏拼板 2 個𝑏𝑏拼板

4.不連續頂點內接七邊形（1𝑎6𝑏） 5.不連續頂點內接八邊形（8𝑏）

需要 2 個𝑎𝑏拼板 5 個𝑏𝑏拼板

需要 8 個𝑏𝑏拼板

∴正 n 邊形上不連續頂點所構成內接 k 邊形皆可使用aa 拼板、 ab 拼板、 bb 拼板拼組而成。