龍騰數亦優第39期

(1)

n ²

n

4(1 ³ +2 ³ +3 ³ +…+n ³ )=〔n(n+1)〕 ²

龍騰業務跑天下數學質好畫亦優

贈品禁止轉售

#1 62001N3/A/000000

根據教育部108年7月4日大學考招措施如何因應數學課綱諮詢會議的會議決議，111學年度學測與分科測驗不開放使用計算機。

未命名-9 1 2019/3/19 下午 01:32:22

(2)

編輯室墨記

本期收錄 108 學年度大學申請入學指定項目甄試試題，包含計算證明題及填充題，

怎麼能錯過這篇練習的好機會呢？其後附上試題詳解，讓您參考。

前一期葉善雲老師帶來〈二階方陣的冪次方公式〉，推導出二階方陣的冪次方公式，

葉善雲老師這一期獻上〈二三階方陣的冪次方公式〉，將採用另一種觀點，推導三階方陣的冪次方公式，一同跟隨葉老師的思緒，來見識美妙的數學世界吧！

在解答高中排列組合分組分堆問題時，經常需要將數字分割。除了一個一個列出之外，還有其他的方法嗎？許閎揚老師在〈一個關於正整數分成三個正整數相加方法數的公式〉中將推導出它的公式，分享教學上新的點子，一起來看看！

2016 年人工智慧圍棋軟體 AlphaGo 震驚了圍棋界也引起了全世界對於人工智慧的好奇，AlphaGo 使用了「蒙地卡羅樹搜尋」與類神經網路及深度學習技術，讓張志鵬老師透過〈利用 GGB 以蒙地卡羅方法求圓周率的近似值〉帶領我們一探究竟吧！

在尋求平行四邊形面積公式時，是否有方式可以不用加絕對值？拉碼奴姜等式是否有不只一種證明方法？李維昌老師在〈利用正弦的差角公式來求平行四邊形面積的公式〉及〈拉碼奴姜等式的證明〉中分享了不同的觀點。

法國組合學家 Xavier Viennot 提出來的克卜勒塔是甚麼模樣？匈牙利中學數學競賽如何透過算幾與柯西不等式解題？翻開動手玩數學，跟著許教授一起來解密吧！

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歡迎將您的教學生活趣聞、甘苦談，教案分享、教材探討，以1000~2000字的內容，註明主題、作者簡歷、聯絡電話與地址，投稿予 [email protected]。

發行人：李枝昌編輯顧問：許志農總編輯：蔡欣樺執行編輯：周衍甫美術編輯：羅晨心

發行所：龍騰文化事業股份有限公司地址：248新北市五股區五工六路30號電話：(02)2299-9063

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網址：http://www.lungteng.com.tw

(3)

龍騰數亦優 2019.11 目次龍騰業務跑天下數學質好畫亦優

許志農 ^{臺灣師大數學系}

》》108 學年度大學申請入學指定項目甄試試題

葉善雲 ^{東山高中數學科教師}

》》二三階方陣的冪次方公式

許閎揚彰化藝術高中數學科教師

》》一個關於正整數分成三個正整數相加方法數的公式

張志鵬新北市光復高中數學科教師

》》利用 GGB 以蒙地卡羅方法求圓周率的近似值

李維昌國立宜蘭高中退休教師

》》利用正弦的差角公式來求平行四邊形面積的公式

李維昌國立宜蘭高中退休教師

》》拉碼奴姜等式的證明

許志農 ^{臺灣師大數學系}

》》動手玩數學專欄

》》動手玩數學《第 38 期》破解祕笈 3

30 46 27 11

40

42

(4)

數亦優 3

（考試時間：2 小時）

1. 設p ， q 為實數使得x³3x²px q  的三根成等差數列，且同時使得0

3 (2 ) 2 ( 3) 8 0

x  p x  q x  的三根成等比數列，求 p ， q 之值。

2. 學校的交通車，欲載送 10 位學生，路途上會經過 5 個停靠站，車子有學生要下車才會停靠，

假設每位學生必在此5 個站的其中一站下車，而且在任何一站下車的機率皆為1

5，每位學生的選擇彼此相互獨立。請問：

(1) 車子在第二個站不停靠（沒有學生要下車）的機率為何？

(2) 此交通車在停靠站停車之次數的期望值為何？

3. 在坐標平面上，已知點 A 之坐標為(5,1) ，圓C 方程式為(x1)²(y2)² 。若 P 為 x 軸上的1 一點，Q 為圓 C 上的一點，滿足 PA PQ 為最小，試求：

(1) PA PQ 之最小值。

(2) 點Q 之坐標。

4. 令



₁，



₂為非零實數且P 為二階可逆方陣。假設 ¹¹ ¹²

21 22

a a A a a

 

  

 為一個二階方陣滿足

1

2

0 AP P



0



 

  

 。 (1) 試證det( )A 

 

_{1 2}。

(2) 試證a₁₁a₂₂ 

 

₁ ₂。

筆試一、計算證明題

(5)

4 數亦優

5. 三邊長皆為正整數的三角形稱為 Diophantus 三角形，令a 表示最大邊長為 n 的 Diophantus 三_n 角形的個數。例如：

當n 時，三邊邊長為 (1,1,1) ，只有 1 種，即1 a₁ ； 1

當n 時，三邊邊長可以是 (2,2,2) ， (2,2,1) ，共 2 種，即2 a₂ ； 2

當n 時，三邊邊長可以是 (3,3,3) ， (3,3,2) ， (3,3,1) ， (3,2,2) ，共 4 種，即3 a₃ 。 4 (1) 請問a₆ ？（須說明理由。）

(2) 請問a_n ？（Hint：先猜測a 的公式，並用數學歸納法證明之。） _n

1. 2.(1) 2.(2) 3.(1) 3.(2)

1

p  ，q 3 4 ¹⁰ ( )5

4 10

5(1 ( ) )

 5 4 9 7

( , ) 5 5

4.(1) 4.(2) 5.(1) 5.(2)

見解答見解答 12 見解答

(6)

數亦優 5 1. 設

 

 ，



，

 

 為x³3x²px q  的三根，則有 0

2 2

( ) ( ) 3

( ) ( ) ( )

( )( )

p q

    

       

    

     

      

   



，

由上列的聯立方程組可解得



  ，1



²  ，3 p



²   ， 1 q 故得到



²    ，亦即3 p 1 q q  。 2 p

另外，設





^，



，



為x³ (2 p x) ² (q 3)x  的三根，則有 8 0

2 2

( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) 2

( )

( ) ( ) ( ) 3

p

q

  



  



       

 

   



     



  

     



，

由上列的聯立方程組可解得



 ， 2( 22  p)   ， q 3 故得到q 1 2p。由此可知

2 1 2

q p

  

  

 ，

則得到p  ，1 q 。 3

2. (1) 某生不選第二個站下車的機率為4

5，大家都不選第二個站下車的機率為 4 ¹⁰ ( )5 。 (2) 設X 為在第 i 個站停靠的事件，等於 1 表示有學生下車，等於 0 表示沒有學生下車。 _i

則

5 5 5 5

10 10

1 1 1 1

4 4

( ) ( ) ( ) 1 ( ) (1 ( ) ) 5(1 ( ) )

5 5

i i i

i i i i

E X E X E X P X i

   













  



   ^。

3. 令點 (5, 1)A  、點 (1,2)M 。

(1) 1QP PA MQ QP PA    MA 。 5 因此，PA PQ    。 5 1 4

(2) 點 Q 之坐標為 9 7 ( , )

5 5 。

(7)

6 數亦優

4. (1) 利用行列式的基本性質可得det( ) det( ) (A  P 

 

_{1 2}) [det( )] P ^¹

 

_{1 2}。 (2) 令 a b

P c d

 

  

 。因為P 為可逆方陣，可知 det( )P ad bc  。此外，由二階反方陣公式0 可得

1 1 1

det( )

d b d b

P P c a ad bc c a

        。

經由題目條件可進一步計算出

11 12 1 1 1

21 22 2 2

0 1 0

0 0

a a a b d b

A P P

a a ad bc c d c a

 



^



        

         

1 2 1 2 2 1

1 2 1 2 1 2

( )

1 1

( )

a b d b ad bc ab

c d c a cd bc ad

ad bc ad bc

     

 

     

          ，故可證a₁₁a₂₂ 

 

₁ ₂。

5. (1) 列出所有的情況，共 12 個。(6,6,6)，(6,6,5)，(6,6,4)，(6,6,3)，(6,6,2)，(6,6,1)；(6,5,5)，

(6,5,4) ， (6,5,3) ， (6,5,2) ； (6,4,4) ， (6,4,3) 。

(2) 先猜出規則，a₂_m_₁m²，a_2m m² ，再分別對奇偶數證明之。已知三邊長構成三角m 形若且唯若任兩邊長和大於第三邊，把三邊排序為n a b  ，只需保證a b n   即可。1 由大到小排序：最大邊長a n 時，有

( , , ),( , ,n n n n n n1),( , ,n n n2), ,( , ,1) n n , 1

a n  時，有

( ,n n1,n1),( ,n n1,n2), ,( , n n1,2)，

可看出a 每次減少 1 就要去掉頭尾兩種情況，故a_n      ，分奇偶數 n (n 2) (n 4) 來討論。

若n2m ，得 1

         

2

2 1

1 2 1

2 1 2 3 2 5 1

m 2

m m

a _ m m m    m

          ，

若n2m，得

     

2

2 2 2 2 4 2 2 1

m 2

a m m m m m m m

           。

(8)

數亦優 7

（考試時間：1.5 小時）

1. 已知向量



a ( 2,1)_，



_b __(1,_ ₂₎_{，若存在正數}_{k 、 t 使得向量}

  

_c _ _a _₍_t²_₁₎ _b _與

d k a 1 b

  t

  

_{互相垂直，則}k 的最小值為____________。

2. Fibonacci 數列 a 定義為_n a₁a₂ ，且1 a_na_n_₁a_n_₂（n ）。求3 a₂₀₁₉的個位數為 ____________。

3. 求無窮級數

1

1 1 1 1 1

3 5 7 (2 1) 3 3 5 3 5 7 3 5 7 (2 1)

k k k





     

            



_ ^ _ ^^的和

為____________。

4. 在坐標平面上，設橢圓: 4x²9y²8x18y23 0 。若點 A，B 的坐標分別為 (0,5)，(6,2) ，且P x y 為橢圓( , )  上一點，則 ABP△ 的最大面積為____________。

5. 已知整係數多項式h x( )x³5x²nx 僅有一實根。若該實根為有理數，則所有可能的 n 所15 成的集合為____________。

6. 如圖，在邊長為 3，4，5 的直角三角形中有兩個半徑相同的圓互相外切。若此兩圓都與斜邊相切，且兩圓分別與兩股相切，則圓的半徑為____________。

7. 考慮1,2,3,4,5 的排列，將此排列中的兩數碼交換位置，稱為一次動作。由排列



^{出發，換到} 12345 的最少動作次數稱為



的距離，例如：31245 的距離是 2，因為 312453214512345 至少需要2 次動作。則距離是 3 的排列個數為____________。

8. 令 ( )f x ， ( )g x 為整係數多項式。已知 ( )f x ， ( )g x 其中有一個的最高次項係數為 32 ，且 ( ) ( )

f x g x 為10 次多項式。若( ( ))f x ⁵( ( ))g x ³也是10 次多項式，則 ( )f x 和 ( )g x 的最高次項 依序為____________。

筆試二、填充題

(9)

8 數亦優

9. 甲、乙兩人輪流投籃，甲先投，直到其中一位投進為止，已知甲的命中率為3

5，乙的命中率為2

5，若X 表示甲投籃的次數，則機率^{P X}



^²



 ____________。

10. 若已知實數



，



滿足

 

¹⁷ ^ ^ ¹⁷^{ 以及}

^

¹₂^log¹⁷

^

^ ¹⁷^{ ，則}

^

 

2

(

 

 ) 2 17 ^log17



 ____________。

1. 2. 3. 4. 5.

2 6 3

4 18



^19,11,13



6. 7. 8. 9. 10.

5

7 50 8x⁶，32x ¹⁰ 114

625 17 2 17

(10)

數亦優 9 1. 由

 

a  b  2 2 0 _知

 

_a _ _b _，

再由題意

 

c  d _可得 _c _d _{k a} ² ^t² ¹ _b ² ₃_k ₃ ^t² ¹ ₀

t t

 

 

        

 

   

_，

得到 1

2

k t   ，所以 k 的最小值為 2 。 t

2. 因為個位數為 60 個一循環：1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 0, 7, 7, 4, 1, 5, 6, 1, 7, 8, 5, 3, 8, 1, 9, 0, 9, 9, 8, 7, 5, 2, 7, 9, 6, 5, 1, 6, 7, 3, 0, 3, 3, 6, 9, 5, 4, 9, 3, 2, 5, 7, 2, 9, 1, 0，所以a₂₀₁₉的個位數為6。

3. 1 1 1 1

3 3 5 3 5 7   3 5 7 (2k 1)

         



1 1 1

(2 4)

3 5 7 (2 1) ( 2)

2

k k k k k k k k

  

  





      



  



 

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 1 3 2 4 3 5 2

k k k k k





   





            ^  ^ 1 3 3

2 2 4

   。

4. : 4(x1)²9(y1)²36，



AP ( ,x y5)_，



_AB __{(6, 3)}_ _，

ABP

△ 面積

1 5 1 1

| | ( 3 6 30) 3(1 3cos ) 6(1 2sin ) 30 6 3

2 2 2

x y^ x y

 

          



1 1

21 9cos 12sin 21 15cos( )

2

 

2

 

      ，

所以△ABP面積最大為18 。

5. 依題意 ( )h x 的實根可能為 1 ， 3 ， 5 ， 15 。設實根為 c ，另外兩根為 a bi ， a bi ，利用根與係數得c a( ²b²) 15 ，由於a² 恆為正，我們得實根b² c    { 1, 3, 5, 15}。又由二次項係數知2a c   且一次項係數為5 a²b²2ac。

當c  ，我們有1 a²b² 15且   ，得2a 1 5 a  ，故得一次項係數為19 ； 2 同理c  時，3 a²b² 且5 a  ，故得一次項係數為11 ； 1

而c  時，5 a²b²  且3 a ，故得一次項係數為3 ； 0

最後c  時無解。所有可能的一次項係數為 19，11，3，所以15 ⁿ^



^19,11,13



^。

(11)

10 數亦優

6. 設ACB2



，由tan



的倍角公式可得 1

tan



 ，再由內切圓的半徑公式即可得2 5



 。 7

7. 50 個。要仔細算（並不容易！）。

8. 若 deg( ) deg( )f  g ，則依題意其次數需大於等於10，但此時deg(f⁵) 50 ，deg( ) 30g³  且相異，故deg(f⁵g³) 50 與題意不合，故知deg( ) deg( )f  g 且deg(f⁵) deg( ) g³ 。依此知

deg( ) deg( ) 10f  g  ，再由deg(f⁵) deg( ) 30 g³  ，得知deg( ) 6f  。又若 ( )f x 的最高次項係 數為32，則 f 的最高次項係數為⁵ 2 ，無法找到整係數多項式 g 使得²⁵ g 的最高次項係數為³

225

 ，故得g 的最高次項係數為32 ，而 f 的最高次項係數為 8 。因此答案為8x⁶，32x 。 ¹⁰ 9. X  包含「甲第 2 次投中」和「甲第 2 次未投中」兩種互斥的情況。 2



²



^{2 3 3} ² ² ^{3 2 114}

5 5 5 5 5 5 625 P X          

  。

10.



，



分別為方程式

 

¹⁷ ^x ^ ¹⁷^{ 以及}^x log 17x 17 的唯一實數解。 x 令

^

^

 

¹⁷ ^^，取log 17可得log 17

 

  17

 

17 ^  17 ，



故知

^{ }

^{ }

 

¹⁷ ^^{，也因此得}

^{  }

^{  }

 

¹⁷ ^ ^ ¹⁷^，

又^{2 17}

 

^ ^^log¹⁷

^

^^{2 17 2}^

^

^^{2 17 2}^

^

^^{2 17}，故答案為17 2 17 。

(12)

數亦優 11

一、前言》

方陣的冪次方要如何計算？找出矩陣的特徵值及特徵向量，「將矩陣對角化或三角化」是最普遍的方法，可惜現行高中教材避談這些。而二階與三階方陣的乘法，中學生都懂，很自然地提問︰「二階與三階方陣的冪次方，除了逐次相乘以外，是否有更好的方法？」在前一篇

「二階方陣的冪次方公式」¹，我們淡化特徵向量的選取，將矩陣對角化或三角化，推導出二階方陣的冪次方公式，本文將採用另一種「不使用特徵向量」、也「不理會矩陣是否可對角化或三角化」的觀點，推導三階方陣的冪次方公式。

二、內文》

為了方法的延續性，首先我們將二階方陣的冪次方公式，用另一種「不使用特徵向量」的觀點，重新推導。

定理

I（二階方陣的冪次方公式）︰

設 a b

M c d

 

  

  為實係數二階矩陣， f x( )x²(a d x ) det( )M 為其特徵多項式且



，



為 ( ) 0

f x  的根。令單項式x 除以 ( )ⁿ f x 的餘式為A x B_n  _n，則對所有正整數n ，我們有 (1) A_n_₂(a d A ) _n_₁det( )M A_n。

(2) M² (a d)Mdet( )M   。 I O

(3) ₁ ¹

1

adj( ) ⁿ ⁿ ⁿ

n

n n

n n n

A dA bA

M A I A M

cA A aA



  

       ，其中

adj( ) d b

M c a

  

  為M 的伴隨矩陣且Madj( ) det( )M  M  。I ² 再則，我們也有

(4) 若

 

 ，則A_n



ⁿ



ⁿ

 

 

 。此時

1 1

n n n n n n

n

n n n n n n

d b

M

c a

     

 

    

  

    

 

       

  

 

。

1 請參閱參考資料[3]。

2 伴隨矩陣可視為「行列式值」或「反矩陣」，量身設計的矩陣，請參閱參考資料[4]或[5]。

葉善雲／東山高中數學教師

(13)

數亦優 12 (5) 若

2

 

 a d^ ，則A_nn



ⁿ^¹。此時

1

( )

2 2

( )

( ) 2

2 2

n n

a d n a d a d nb

M a d n a d

nc



 

  

 

    

 

  

 

 

。

說明：

(1) 由除法原理，得 ² ¹

1

( ) det( ) det( )

n n n

n n

A a d A M A

B M A

 



  

  

 ，對所有正整數n 。

(2) 即 Cayley-Hamilton 定理︰

1 0 0 0

( ) ( )

0 1 0 0

a b a b a b

a d ad bc

c d c d c d

         

    

         

         。

(3) 由 Cayley-Hamilton 定理、餘式定理及等式M (a d ) I adj( )M 可得 (( ) adj( )) det( ) 1

n

n n n n

M  A M B  I A a d  I M  M A_  I ((a d A) _n det( )M A_n_1) I A_n adj( )M

     

1 adj( )

n n

A_ I A M

    。

(4) 由單項式x 除以ⁿ f x( )x² (a d x) det( )M 的餘式為A x B_n  _n，及餘式定理可得

n

n n

n

n n

A B A B

 

 

   



  

 ，此時



ⁿ



ⁿ(

 

 )A_n，對所有正整數n 均成立。

當

 

 時，A_n



ⁿ



ⁿ

 

 

 且A₁ 。 1 (5) 當

2

 

 a d^ 時，可設xⁿ(x



) ( )²q x A x B_n  _n，兩端取導函數，

並將x 代入，即得



A_n n



ⁿ^¹，對所有正整數n 均成立。此時，

1

n n n

n

n n n

A dA bA

M cA A aA



  

   

1 1

( 1)( ) ( ) ( )

2 2 2

( ) ( 1)( ) ( )

2 2 2

n n n

a d a d a d

n nd nb

a d a d a d

nc n na

 

  

     

 

  

  

     

 

 

1

( )

2 2

( )

( ) 2

2 2

n

a d n a d a d nb

a d n a d nc



 

  

 

    

 

  

 

 

。

(14)

數亦優 13

定理

II（三階方陣的冪次方公式）︰

設

a b c M d e f g h i

 

 

  

 

 

為實係數三階方陣，其特徵多項式為

3 2

( ) trace( ) (e f a c a b) det( )

f x x M x x M

h i g i d e

      ，³且



，



，



為 f x( ) 0 的根。令單項式x 除以 ( )ⁿ f x 的餘式為A x_n ²B x c_n  ，則對所有正整數 n ，我們有 _n

(1) _n ₃ trace( ) _n ₂ (e f a c a b) _n₁ det( ) _n

A M A A M A

h i g i d e

        。

(2) ³ trace( ) ² (e f a c a b) det( )

M M M M M I O

h i g i d e

        。

(3) ² trace( ) (e f a c a b) adj( )

M M M I M

h i g i d e

      ，其中

adj( )

e f b c b c h i h i e f d f a c a c

M g i g i d f

d e a b a b g h g h d e

 

  

 

  

 

  

 

 

且Madj( ) det( )M  M  。I ⁴

(4) Mⁿ A_n_₂ I A_n_₁(Mtrace( ) )M I A_nadj( )M 。再則，我們也有

(5) 若



，



，



皆相異，則

( )( ) ( )( ) ( )( )

n n n

An

  

           

  

      或

( ) ( ) ( )

n n n

An

f f f

  

  

   。

(6) 若

  

  為三重根，則A_nC₂ⁿ



ⁿ^²。

(7) 若

 

 為二重根且

 

 ，則 ¹ ₂

( ) ( )

n n n

n

A n

  

   

 

 

  。

(8) 若



為實根且另兩根



  , s ti

 

 為共軛虛根（其中 s ， t 為實數），

則 1

( Re(( ) (1 ))) ( )

n n

n

A s ti s i

f t

 



      

 。

說明：

(1) 根據多項式除法原理，可得

3 trace( )M 為矩陣 M 的主對角線各元a ， e ， i 的和，即 trace( )M    。 a e i

4 伴隨矩陣 adj( )M 可視為滿足MX det( )M  所設計的方陣 X ，請參閱參考資料[4]或[5]。 I

(15)

數亦優 14

3 2 1

2 1

1

trace( ) ( ) det( )

( ) det( )

det( )

n n n n

n n n

n n

e f a c a b

A M A A M A

h i g i d e e f a c a b

B A M A

h i g i d e

C M A

  

 



     



     



  



(2) 即 Cayley-Hamilton 定理。

考慮恆等式(xI M ) adj( xI M ) det( xI M ) ，其中 I

adj( )

x e f b c b c

h x i h x i x e f

d f x a c x a c

xI M g x i g x i d f

d x e x a b x a b

g h g h d x e

       

       

 

       

 

   

     

 

       

  

       

 

2

( )

e f b c b c

x e i x bx cx

h i h i e f

d f a c a c

dx x a i x fx

g i g i d f

d e a b a b

gx hx x a e x

g h g h d e

 

    

 

     

 

      

 

 

2

2 1 0

D x D x D

   ，其中

D2 ，I ₁

( )

( ) trace( )

( )

e i b c

D d a i f M M I

g h a e

  

 

    

   

 

且D₀adj( )M ，

即(xI M ) ( D x₂ ²D x D₁  ₀) ( x³a x₂ ²a x a₁  ₀) ，其中 I

2 trace( )

a   M ， ₁ e f a c a b

a  h i  g i  d e ，且a₀  det( )M 。比較x 次方的係數得

I D2，a I₂ D₁MD₂，a I₁ D₀MD₁且a I₀  MD₀，上面各式分別依序左乘M ，³ M ， M ， I ，然後相加得 ²

3 2 3 2 3 2

2 1 0 2 1 2 0 1 0

M a M a M a I M D M D M D MD M D MD ，即 ³ trace( ) ² (e f a c a b) det( )

M M M M M I O

h i g i d e

        。

(3) 由 ³ trace( ) ² (e f a c a b) det( )

M M M M M I O

h i g i d e

        ，

當det( ) 0M  時，兩端同乘 M 的反矩陣M^¹得

2 trace( ) (e f a c a b) adj( )

M M M I M

h i g i d e

      。

(16)

數亦優 15

實際上，即使det( ) 0M  時，上式仍成立。（請參閱附錄一的說明）

(4) 由 Cayley-Hamilton 定理及餘式定理，

2 n

n n n

M  A M B M C I

(trace( ) ( ) adj( ))

n

e f a c a b

A M M I M

h i g i d e

      

1 2 1

( (e f a c a b) _n det( ) _n ) det( ) _n

A M A M M A I

h i g i d e ^ ^ ^

       

1 1 1

(trace( ) _n (e f a c a b) _n det( ) _n ) trace( ) _n

M A A M A I M A I

h i g i d e

  

      

1 2

(trace( ) _n (e f a c a b) _n det( ) _n ) _n adj( )

M A A M A M A M

h i g i d e ^ ^

       

2 1 ( trace( ) ) adj( )

n n n

A_ I A_ M M I A M

       。

(5) 當



，



，



皆相異時，可設xⁿ (x



)(x



)(x



) ( )Q x A x_n ²B x C_n  _n，

分別將x ，

 

，



代入，得

2

2 n

n n n

n

n n n

n

n n n

A B C

  

  

  

   

   

   



，兩兩相減消去C 得 _n

( )( ) ( )

n n

A B

       

       

      



     

 ，再消去B 得_n ( ) ( )

( )

( ) ( )

n n n n

An

     

   

    

  ，

即 ( )( ) ( )( )

n n n n

An

   

       

 

 

   

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

n n n n

   

               

   

       

( ( ))

( )( ) ( )( ) ( )( )( )

n n n

      

             

   

  

      

( )( ) ( )( ) ( )( )

n n n

  

           

  

      。⁵

5 考慮 ( ) (f x  x



)(x



)(x



)，微分後，分別將x ，

 

，



代入可得 ( ) ( )( )

f





   

  ， f( ) (





   

 )(  )與 f( ) (





   

 )(  )，此時 ( ) ( ) ( )

n n n

An

f f f

  

  

   。

(17)

數亦優 16

(6) 當

  

  為三重根時，可設xⁿ(x



)³Q x( )A x_n ²B x C_n  _n，作兩次微分，並將x 代入得



( 1) ⁿ 2 2 _n

n n



^  A ，即A_n C₂ⁿ



ⁿ^²。

(7) 若

 

 為二重根且

 

 ，可設xⁿ (x



) (² x



) ( )Q x A x_n ²B x C_n  _n，

分別將x ，

 

代入，得

2

2 n

n n n

n

n n n

A B C

  

  

   



  

 ，相減消去C 得 _n

( )( ) ( )

n n

A B









   

  

 

 ，即 ( )

n n

A B

   

 

   

 。

另外，對x 作一次微分，並將 xⁿ  代入得



n



ⁿ^¹2A_n



B_n，與前式相減消去B 得 _n

1 ( )

n n

n

  

An

 

 

  

 ，即

1

( ) ( )2

n n n

n

A n

  

   

 

 

  。

(8) 今



為實根且另兩根



  ，s ti

 

 為共軛虛根（其中 s ， t 為實數），

則(1) f( ) ((







 s) ti)((



 s) ti) (



s)² 。 t²

(2) 1 1 1 1 1 ( )

( ) (( ) ) 2 2 ( ) 2 ( )

t s i

f s ti ti t t s i f t



   

   

    

       。

所以

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n n n n n

An

f f f f f f

     

     

     

1 ( )

2 Re( ) Re( )

( ) ( ) ( ) ( )

n n n

n t s i

f f f f t

    

   

      

   

1 ( Re(( ) (1 ))) ( )

n n s

s ti i

f t

 



      

 。

底下，我們舉一些實例來說明冪次方公式的運用。

例

1︰求矩陣

3 3 2 0 2 0 1 2 0 M

 

 

 

  

  

 

的冪次方M 。ⁿ ⁶

說明︰M 的特徵多項式為 f x( )x³5x²8x 4 (x1)(x2)²，特徵值為二重根型態︰

 

  且2



 ，此時 1

1 1 1

2 2 (2 1 ) ( 2) 2 1

( ) ( )

n n n

n n n n

n

A n

  

n n

   

   

         

  ，

再寫出

6 取材自參考資料[2] p35，此例為二重根，無法對角化僅可三角化的例子。

(18)

數亦優 17

2 3 2 trace( ) 0 3 0

1 2 5

M M I

  

 

 

   

   

 

與

0 4 4 adj( ) 0 2 0 2 3 6 M

  

 

  

  

 

，

則由冪次方公式Mⁿ[ ]a_ij A I A_n_₂  _n_₁(M trace( ) )M I A_nadj( )M 得

1 1 1

11 ( 2ⁿ 1) ( 2) [( 1) 2ⁿ 1] 0 [( 2) 2ⁿ 1] 2ⁿ 1 a  n ^     n     n  ^   ^  ，

1 1

22 ( 2ⁿ 1) ( 3) [( 1) 2ⁿ 1] 2 [( 2) 2ⁿ 1] 2ⁿ a  n ^     n     n  ^   ，

1 1

33 ( 2ⁿ 1) ( 5) [( 1) 2ⁿ 1] 6 [( 2) 2ⁿ 1] 2ⁿ 2 a  n ^     n     n  ^     ，

1

12 ( 3) [( 1) 2ⁿ 1] 4 [( 2) 2ⁿ 1] ( 1) 2ⁿ 1 a    n     n  ^     n  ，

1 1

13 ( 2) [( 1) 2ⁿ 1] 4 [( 2) 2ⁿ 1] 2ⁿ 2 a    n     n  ^    ^  ，

21 0

a  且a₂₃ ， 0

1

31 1 [( 1) 2ⁿ 1] 2 [( 2) 2ⁿ 1] 2ⁿ 1 a   n     n  ^    ，

1 1

32 ( 2) [( 1) 2ⁿ 1] 3 [( 2) 2ⁿ 1] ( 2) 2ⁿ 1 a    n     n  ^     n ^  ，

所以

1 1

1

2 1 ( 1) 2 1 2 2

0 2 0

2 1 ( 2) 2 1 2 2

n n n

n n

n n n

n M

n

 



        

 

  

        

 

。

例

2：求矩陣

2 1 1 2 3 4 1 1 2 M

 

 

  

   

 

的冪次方M 。ⁿ ⁷

說明：M 的特徵多項式為 f x( )x³3x²  x 3 (x1)(x1)(x ， 3) 特徵值為三相異根型態︰



 ，3



 ，1



  ，此時 1

( 1) 3 2

( )( ) ( )( ) ( )( ) 8

n n n n n

An

  

           

  

   

      ，

再寫出

1 1 1 trace( ) 2 0 4 1 1 5

M M I

 

 

   

   

 

與

2 1 1 adj( ) 0 3 6

1 1 4 M

 

 

 

   

  

 

，

則由冪次方公式Mⁿ[ ]a_ij A I A_n_₂  _n_₁(M trace( ) )M I A_nadj( )M 得

2 2 1 1

11

( 1) 3 2 ( 1) 3 2 ( 1) 3 2

( 1) ( 2)

8 8 8

n n n n n n

a

   

        

      

7 取材自參考資料[1]p21-22，此例為三相異根的例子。

(19)

數亦優 18

( 1) 9 3 2 ( 1) 3 3 2 ( 1) 3 2

( 1) ( 2)

8 8 8

n n n n n n

           

      

0 ( 1) 4 3 4 3 1

8 2

n n n

     

  ，

22

( 1) 9 3 2 ( 1) 3 3 2 ( 1) 3 2

0 ( 3)

8 8 8

n n n n n n

a                  2 ( 1) 6 3 4 ( 1) 3 3 2

8 4

n n n n

          

  ，

33

( 1) 9 3 2 ( 1) 3 3 2 ( 1) 3 2

( 5) (4)

8 8 8

n n n n n n

a                  10 ( 1) 2 3 0 5 ( 1) 3

8 4

n n n n

       

  ，

12

( 1) 3 3 2 ( 1) 3 2 3 1

1 1

8 8 2

n n n n n

a              ，

13

( 1) 3 3 2 ( 1) 3 2 3 1

1 1

8 8 2

n n n n n

a              ，

21

( 1) 3 3 2 ( 1) 3 2 ( 1) 3 3 2

2 0

8 8 4

n n n n n n

a                 ，

23

( 1) 3 3 2 ( 1) 3 2 ( 5) ( 1) 3 3 2

4 ( 6)

8 8 4

n n n n n n

a                    ，

31

( 1) 3 3 2 ( 1) 3 2 ( 1) 3

( 1) 1

8 8 4

n n n n n n

a                ，

32

( 1) 3 3 2 ( 1) 3 2 ( 1) 3

( 1) 1

8 8 4

n n n n n n

a                ，

所以

1 1 1 1 1 1

3 1 3 1 3 1

2 2 2

( 1) 3 2 ( 1) 3 2 5 ( 1) 3 2

4 4 4

( 1) 3 ( 1) 3 5 ( 1) 3

4 4 4

n n n

n n n n n n

n

n n n n n n

M ^ ^ ^ ^ ^ ^

    

 

         

 

  

 

      

 

 

。

例

3：求矩陣

1 4 2 0 1 1 2 0 3 M

 

 

  

  

 

的冪次方M 。ⁿ ⁸

說明︰M 的特徵多項式為 f x( )x³3x²3x 1 (x1)³，特徵值為三重根型態︰

  

    ，此時1 A_n C₂ⁿ ( 1)ⁿ^²，再寫出

8 此例為三重根的例子。

(20)

數亦優 19 2 4 2

trace( ) 0 4 1 2 0 0

M M I

 

 

   

 

 

與

3 12 2 adj( ) 2 7 1 2 8 1 M

 

 

  

   

 

，

則由冪次方公式

2 1

[ ] ( trace( ) ) adj( )

n

ij n n n

M  a A I A_  _ M M I A M

2 1 1 2

2 ( 1) 2 ( 1) ( trace( ) ) 2 ( 1) adj( )

n n n n n n

C ^ I C ^ ^ M M I C ^ M

           

2 1

2 2 2

( 1)ⁿ (Cⁿ^ I Cⁿ^ (M trace( ) )M I Cⁿ adj( ))M

        

得

2 1

11 ( 2ⁿ 2 2ⁿ ( 3) 2ⁿ) ( 1)ⁿ a  C ^  C ^   C  

2 2 2

3 2 2( ) 3( ) 2

( 1) ( 2 2 1) ( 1) 2

n n

n n n n n n

n n

     

         ，

2 1

22 ( 2ⁿ 4 2ⁿ 7 2ⁿ) ( 1)ⁿ a  C ^  C ^  C  

2 2 2

3 2 4( ) 7( ) 2

( 1) (2 4 1) ( 1) 2

n n

n n n n n n

n n

     

        ，

2 2

2 1

33 2 2 2

3 2 ( )

( 0 ( 1) ) ( 1) ( 1) (2 1) ( 1)

2

n n n n n n n n n n

a  C ^  C ^   C           n   ，

2 12

( 1) ( 1)

( 4 12 ) ( 1) (4 8 ) ( 1)

2 2

n n

n n n n

a           n  n   ，

13

( 1) ( 1)

( 2 2 ) ( 1) 2 ( 1)

2 2

n n

n n n n

a             n ，

2 21

( 1) ( 1)

( 0 2 ) ( 1) ( ) ( 1)

2 2

n n

n n n n

a              n n ，

23

( 1) ( 1)

( 1 1 ) ( 1) ( 1)

2 2

n n

n n n n

a             n ，

2 31

( 1) ( 1)

( ( 2) 2 ) ( 1) 2 ( 1)

2 2

n n

n n n n

a            n   ，

2 32

( 1) ( 1)

( 0 ( 8) ) ( 1) ( 4 4 ) ( 1)

2 2

n n

n n n n

a             n  n   ，

所以

2 2

2 2 1 4 8 2

( 1) 2 4 1

2 4 4 2 1

n n

n n n n n

M n n n n n

n n n n

     

 

        

    

 

。

例

4：求矩陣

1 2 0 0 1 1 5 9 3 M

 

 

  

  

 

的冪次方M 。ⁿ ⁹

說明：M 的特徵多項式為 f x( )x³x²4x 4 (x1)(x2 )(i x2 )i ，

9 此例為一實根與兩虛根的例子。

(21)

數亦優 20

特徵值為一實根與兩虛根︰



  ，1



 ，2i

 

   ， 2i

先寫出

2 2 0 trace( ) 0 2 1

5 9 2

M M I

 

 

   

  

 

與

6 6 2 adj( ) 5 3 1 5 1 1 M

 

 

 

    

  

 

，

再由 f x( ) 3 x²2x 且 ( 1) 54 f    ，得

1 1 1

( Re( (1 ))) (( 1) Re((2 ) (1 )))

( ) 5 2

n n n n

n

A s i i i

f t

  



           



1

1 (( 1) 2 ) 4 1 5

1 (( 1) 2 ) 4 2 5

1 (( 1) 2 ) 4 3 5

1 (( 1) 2 ) 4 4 5

n n

n k



     



     

 

     



     



，當

，其中k 為非負整數。

此時再就n4k ，41 k ，42 k ，43 k 之值分別討論冪次方，推導過程請參閱附錄二，此時︰ 4

4 1 4 1

4 1

4 4

4 1 4

4 4

4

7 2 4 2 2

2 1

5 5

2 4 3 2 2

2 1

5 5

37 2 8 11 2 4 3 2 2

5 5

k k

k

k k

k

M

 



      

 

     

   

 

    

   

 

 

，

4 4 4 3

4 2 4 3

4 2 4 2

4 5 4 2

4 3

4 2 2 2

1 5 5

4 9 2 2 2

1 2 5 5

8 2 4 2

2 2 5 5

k k

k

M

 



    

 

     

   

 

  

  

 

 

，

4 3 4 3

4 3

4 2 4 2

4 3 4 2

4 2 4 2

4 2

4 7 2 2 2

1 2 5 5

4 2 2 3 2

1 2 5 5

8 37 2 4 11 2 2 3 2

5 5

k k

k

k k

k

M

 



 



       

 

     

  

 

    

   

 

 

，

4 6 4 5

4 4 4 5

4 4 4 4

4 7 4 4

4 5

4 2 2 2

1 5 5

4 9 2 2 2

1 2 5 5

8 2 4 2

2 2 5 5

k k

k

M

 



    

 

     

   

 

  

  

 

 

，其中k 為 0 或正整數。

龍騰數亦優第39期

n 2

n

4(1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 )=〔n(n+1)〕 2

龍騰業務跑天下 數學質好畫亦優

#1 62001N3/A/000000

根據教育部108年7月4日大學考招措施如何因應數學課綱諮詢會議 的會議決議，111學年度學測與分科測驗不開放使用計算機。

編輯室墨記

本期收錄 108 學年度大學申請入學指定項目甄試試題，包含計算證明題及填充題，

怎麼能錯過這篇練習的好機會呢？其後附上試題詳解，讓您參考。

前一期葉善雲老師帶來〈二階方陣的冪次方公式〉，推導出二階方陣的冪次方公式，

葉善雲老師這一期獻上〈二三階方陣的冪次方公式〉，將採用另一種觀點，推導三階方 陣的冪次方公式，一同跟隨葉老師的思緒，來見識美妙的數學世界吧！

在尋求平行四邊形面積公式時，是否有方式可以不用加絕對值？拉碼奴姜等式是否 有不只一種證明方法？李維昌老師在〈利用正弦的差角公式來求平行四邊形面積的公 式〉及〈拉碼奴姜等式的證明〉中分享了不同的觀點。

法國組合學家 Xavier Viennot 提出來的克卜勒塔是甚麼模樣？匈牙利中學數學競賽 如何透過算幾與柯西不等式解題？翻開動手玩數學，跟著許教授一起來解密吧！

龍騰數亦優 2019.11 目次 龍騰業務跑天下 數學質好畫亦優

許志農 臺灣師大數學系

》》108 學年度大學申請入學指定項目甄試試題

葉善雲 東山高中數學科教師

》》二三階方陣的冪次方公式

許閎揚 彰化藝術高中數學科教師

》》一個關於正整數分成三個正整數相加方法數的公式

張志鵬 新北市光復高中數學科教師

》》利用 GGB 以蒙地卡羅方法求圓周率的近似值

李維昌 國立宜蘭高中退休教師

》》利用正弦的差角公式來求平行四邊形面積的公式

李維昌 國立宜蘭高中退休教師

》》拉碼奴姜等式的證明

許志農 臺灣師大數學系

》》動手玩數學專欄

》》動手玩數學《第 38 期》破解祕笈 3

30

46 27 11

40

42

（考試時間：2 小時）









 

 

筆試一、計算證明題

1. 2.(1) 2.(2) 3.(1) 3.(2)

4.(1) 4.(2) 5.(1) 5.(2)

 



 

    

       

    

















  



  



       

 











 

 

 





     

     

 

         

     

（考試時間：1.5 小時）

n ²

4(1 ³ +2 ³ +3 ³ +…+n ³ )=〔n(n+1)〕 ²

龍騰業務跑天下數學質好畫亦優

根據教育部108年7月4日大學考招措施如何因應數學課綱諮詢會議的會議決議，111學年度學測與分科測驗不開放使用計算機。

葉善雲老師這一期獻上〈二三階方陣的冪次方公式〉，將採用另一種觀點，推導三階方陣的冪次方公式，一同跟隨葉老師的思緒，來見識美妙的數學世界吧！

在尋求平行四邊形面積公式時，是否有方式可以不用加絕對值？拉碼奴姜等式是否有不只一種證明方法？李維昌老師在〈利用正弦的差角公式來求平行四邊形面積的公式〉及〈拉碼奴姜等式的證明〉中分享了不同的觀點。

法國組合學家 Xavier Viennot 提出來的克卜勒塔是甚麼模樣？匈牙利中學數學競賽如何透過算幾與柯西不等式解題？翻開動手玩數學，跟著許教授一起來解密吧！

龍騰數亦優 2019.11 目次龍騰業務跑天下數學質好畫亦優

許志農 ^{臺灣師大數學系}

葉善雲 ^{東山高中數學科教師}

許閎揚彰化藝術高中數學科教師

張志鵬新北市光復高中數學科教師

李維昌國立宜蘭高中退休教師

李維昌國立宜蘭高中退休教師

許志農 ^{臺灣師大數學系}

^

^

^

^

^{ }

^{  }

^

^

^