第 第 第

第 第 第

第 3 章 章 章 《 章 《 《數學鑰 《 數學鑰 數學鑰 數學鑰》 》 》 》的內容 的內容 的內容分 的內容 分 分 分析 析 析 析（ （ （ （一 一 一 一） ） ） ）

從第 2 章的說明中，可知《數學鑰》共六卷，其編排方式主要是以《九章算 術》中的方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈朒、方程、勾股為目。在內 容上全書共設凡例四十三則，題二百六十四則，附五則，共三百一十二則。⁵²其 中方田章內容分為直線類與曲線類，分別在此書第一卷與第二卷介紹。而第三卷 則分上、下二部份，內容則分別涵蓋粟布章與衰分章的題目。並於第三卷後附分 法五則，討論命分、約分、乘分、課分、通分等分數的四則運算問題。少廣章的 內容則置於第四卷，討論立體圖形求積及反求邊徑的問題。第五卷則分為上卷之 上、上卷之下、下卷之上、下卷之下四部份，分別介紹商功章、均輸章、盈朒章、

與方程章等題目。而第六卷所討論的則為勾股章的內容。

由於《數學鑰》全書的內容浩繁，筆者擬重點的介紹各卷的主要內容與數學 知識，並從各卷、各類形題目中挑選一些較具代表性的題目作比較與討論，期能 以此突顯出本書的精華、特色與其價值。除此之外，經筆者比對本書發現，杜知 耕對於此書的編排順序是按古九數的順序，將勾股章內容置於全書之末。但觀察 方田章、少廣章等幾何類其他各卷的題目證明，勾股章中的定理、公式與數學概 念明顯的為其他卷題目所引用並以之為基礎。因此，就本論文內容分析的書寫順 序安排，擬先分析本書幾何類問題。先於本論文第 3 章分析第六卷的勾股章及第 一卷、第二卷的方田章直線類及曲線類等平面幾何問題。而後本論文第 4 章的討 論順序則依次為第四卷的少廣章的立體幾何問題、第三卷的粟布章與衰分章問 題、第五卷的商功章、均輸章、盈朒章、方程章的問題。此外《數學鑰》一書常 於「解」中，以詳盡、巧妙的圖解方式及文字注釋以說明題目公式、定理的立論 原理，因此，筆者將於題目分析時仿原附圖畫出該題所附之圖形，以便於題目的 分析討論及保留杜知耕之想法。

3333. . . . 1111. . . . 勾股章勾股章勾股章勾股章內內內容分析內容分析容分析 容分析

第六卷所討論的內容屬於《九章算術》中勾股章的部份。徐光啟之前的明代 中算家大致上是將勾股術放在九數之末，並採用「算術」的進程來處理勾股問題。

然而，這種風氣在西學傳入之後，從徐光啟開始便有了相當大的轉變。⁵³到了清 初，由於「西學中源」與「幾何即勾股」之說的盛行，勾股術更成為中算家研究

52 參見〈《數學鑰》簡述〉，收入靖玉樹主編，《中國歷代算學集成》，頁 2873。

53 參見黃清揚，《中國 1368－1806 年間的勾股術發展之研究》，頁 90。

的重點。清初學者方中通就曾言：「西學精矣，中土失傳耳。今以西學歸九章，

以九章歸周髀。周髀獨言勾股，而九章皆勾股所生。」⁵⁴而其著作《數度衍》中 九數的排列順序便以「勾股為首，少廣次之，方田次之，商功次之，差分次之，

均輸次之，盈朒次之，方程次之，粟布次之。」⁵⁵ 除此之外，由於《幾何原本》

的公理體系和演繹推理的影響，此時期的中算家對勾股術的研究方式不再只言其 法而不言其義，而是轉而對算理更加重視。我們可從梅文鼎的《勾股舉隅》、方 中通的《數度衍》或本書的勾股章中明顯看出。

本卷內容主要討論勾股術相關問題，茲將其分為三大類：

（1）勾、股 、弦、較、和、積利用「乘除」及「開方」的互求問題。

（2）勾股概念延伸問題：含「勾股容方」、「勾股容圓」、容方之方邊、餘勾、

餘股、全勾、全股的互求問題等等。

（3）勾股測量問題：利用勾股術及相似三角形概念，以測高、深、廣、遠 的問題等。

全卷共有 40 則題目。且每題於「法」之後，大部份皆附有圖文證明或說明的「解」， 並於卷首設凡例 5 則，茲分別介紹如下：

3333. . . . 1111. . . . 1111. . . 勾股章. 勾股章勾股章勾股章凡例凡例凡例凡例

本卷於卷首設凡例 5 則，主要介紹有關「勾、股 、弦」、「較」、「和」等本 卷所需用到的圖形概念、定義及名詞。為便於討論，茲將原術文所載之各則內容 按數學概念分句，並以代數符號與代數運算式列表整理如下：

則 原術文 代數符號與代數運算式

1 縱曰「股」，衡曰「勾」，斜曰「弦」 勾（a）、股（ b ）、弦（c） 股大于勾者曰「勾股較」 勾股較= −(b a)

弦大于勾者曰「勾弦較」 勾弦較= −(c a) 弦大于股者曰「股弦較」 股弦較= −(c b) 2

勾、股並大于弦者曰「弦和較」 弦和較= + −(a b c) 勾、股並曰「勾股和」 勾股和= +(a b) 勾、弦並曰「勾弦和」 勾弦和= +(a c) 3

股、弦並曰「股弦和」 股弦和= +(b c)

同《算法統宗》

勾股名義

54 引自方中通，《數度衍》，頁 2557。

55 同上。

勾、股、弦並曰「勾股弦和」，

亦曰「弦和和」 (a b c)

=

= + +

勾股弦和 弦和和

勾股較加股弦較即勾弦較 (b a− + − = −) (c b) (c a) 勾弦較減股弦較即勾股較 (c a− − − = −) (c b) (b a) 弦和較加勾弦較即股 (a b c+ − + − =) (c a) b 弦和較加股弦較即勾 (a b c+ − + − =) (c b) a

弦和較加勾弦較、股弦較即弦 (a b c+ − + − + − =) (c a) (c b) c 勾股較減股弦和即勾弦和⁵⁶ (b c+ − − = +) (b a) (a c)

勾股和加股弦較即勾弦和 (a b+ + − = +) (c b) (a c) 股弦和減勾弦和即勾股較 (b c+ − + = −) (a c) (b a) 股弦和減勾股和即勾弦較 (b c+ − + = −) (a b) (c a)

勾股較加勾股和，半之為股 1

[( ) ( )]

b a− + +a b × =2 b

勾股和減勾股較，半之為勾 1

[( ) ( )]

a b+ − −b a × =2 a

股弦較加股弦和，半之為弦 1

[( ) ( )]

c b− + +b c × =2 c

股弦和減股弦較，半之為股 1

[( ) ( )]

b c+ − −c b × =2 b

勾弦較加勾弦和，半之為弦 1

[( ) ( )]

c a− + +a c × =2 c 4

勾弦和減勾弦較，半之為勾 1

[( ) ( )]

a+ − −c c a × =2 a 5 或方形、或直形，有對角斜線者

曰「角線形」。⁵⁷

從上表，明顯可看出凡例的第一則為勾、股、弦的定義，但定義並不十分嚴 謹。而第二、三則分別介紹各種「較」與「和」。經筆者比對發現，此三則內容 與《算法統宗》的「勾股名義」相同，⁵⁸但分別少了「弦較較」（即[c− −(b a)]）

與「弦較和」（即[c+ −(b a)]）。而第四則凡例則是介紹勾、股、弦、較、和之間 的轉換。顯見的此轉換只涉及「加」、「減」及「折半」而未及「乘除」及「開方」，

56 此句有誤，應校為「股弦和減勾股較即勾弦和」。

57 此五則凡例術文引自杜知耕，《數學鑰》卷六凡例，頁 3004~3005。

58 本論文所採用之《算法統宗》之版本為十七卷之《新編直指算法統宗》。並以梅榮照，李兆華，

《《算法統宗》校釋》及郭世榮，《《算法統宗》導讀》為參考。

作者於此凡例末尾亦註明「用乘除開方相求者不在此例」。而第五則凡例則是定 義何謂「角線形」。

3. 1. 2 3. 1. 2 3. 1. 2

3. 1. 2. . . 勾. 勾勾勾、、、、股股股股、、、、弦弦弦弦、、、、和和和和、、、、較較較較、、、、積互求積互求積互求積互求

本卷共有題目 40 則，其中的基本的勾、股、弦、和、較、積互求的題目有 20 則，皆為傳統中算題目。傳統的勾股法則是以a、b、c、(b−a)、(c a− )、(c b− )、

(a b+ )、 (a+c)、 (b c+ )等九個元素任擇其二為已知條件以求解三角形，共有

9

2 36

C = 種情況。而本卷的第 1~3 則勾、股、弦互求與第 13~20 則勾、股、弦、

和、較之互求即屬此類。至於第 4~12 則題目則為弦、和、較與勾股積互求之題 型，底下分別介紹。此外為便於後面分析討論，將勾股積（即1

2ab ）以符號「 A 」 表示，其餘勾、股、弦、和、較的表示法則與前面討論之「凡例」同。

一一

一一、、、、勾勾勾勾、、、、股股股股、、、、弦互求弦互求弦互求弦互求

本卷的 1~3 則題目分別為「勾、股求弦」、「勾、弦求股」與「股、弦求勾」，

題目所用的公式與題目排序與《算法統宗》同，而所用之勾股數則分別為（6,8,10）

與（3,4,5）。三題的中心概念即為作者所寫「不論勾、股相等與否，勾上方形及 股上方形並，必與弦上方形等。」⁵⁹以代數式表示即為a²+b² =c²。第 1 則附有 詳細的圖文證明，所採用的證法與《九章算術》的證法並不相同，而與《幾何原 本》第一卷第 47 題的證法同。而 2、3 則的「解」則簡單說明其為第 1 則公式反 求之而已。如第 3 則的「解」所言：「弦積內減去股積，所餘必勾積，故平方開 之得勾。」⁶⁰底下作第 1 則術文與今解之對照分析：

原術文 今解

第一則、勾股求弦

設勾六尺，股八尺，求弦？

法曰：置勾、股各自乘^{勾得三十六尺，}股 得 六 十 四 尺，兩

數並^共一_百尺，平方開之得十尺即所求。

即弦c= a²+b² = 6²+8² =10

證明：

（1） 甲乙勾（a）＝乙丙股（b）時 如下圖 3－1－1

59 引自杜知耕，《數學鑰》卷六，頁 3007。

60 同上，頁 3008。

解曰：不論勾、股相等與否，勾上方形 及股上方形並，必與弦上方形等。

如甲乙丙勾股形，甲乙勾與丙乙股等。

試作乙丁等高同底方形，其邊與甲乙等 必為勾上方，又與丙乙等必為股上方。

再作戊已外切方形，其邊與甲丙等，即 為弦上方。若于形內減去乙丁方形，餘 甲乙戊等四三角形，並之復等一乙丁方 形^一卷十_{一 則}，以乙丁為勾方，以等乙丁之四 三角形為股方，並之不等于戊己弦方乎。

又如庚辛壬勾股形，庚辛短，辛壬長，

勾與股不相等者。於庚辛勾、辛壬股、

庚壬弦上各作方形為庚癸、辛子、辛丑。

次作辛寅、辛癸、辛辰、壬丑、庚子五 線。《幾何原本》云：庚辛壬與庚辛午既 皆方角，即午辛、辛壬是一直線。依顯 庚辛、辛己亦一直線。又壬庚辰與辛庚 丑既皆方角，而每加一辛庚壬角，即辛 庚辰與壬庚丑兩角亦等。依顯辛壬癸、

庚壬子兩角亦等。又庚辛辰三角形之辛 庚、庚辰兩邊與庚壬丑三角形之丑庚、

庚壬兩邊等，辛庚辰與壬庚丑兩角復 等，則對等角之辛辰與壬丑兩邊亦等，

而此兩三角形亦等矣。夫辛丑方形倍大 于同庚丑底，同在平行線內之庚壬丑三 角形一卷八則。既謂直形等于平行線內同底象目

形，則必能倍大于平行線內同底之三角形，而 辰卯直形亦倍大于同庚辰底，同在平行

則乙丁方形

＝勾上方形（a²）

＝股上方形（b²） 又己戊方形

＝弦上方形（c²） 又己戊方形

＝2×乙丁方形 則弦上方形 則弦上方形則弦上方形

則弦上方形（（（（c²）） ））

＝＝＝

＝勾上方形勾上方形勾上方形（勾上方形（（（a²）＋）＋）＋）＋股上方形股上方形股上方形股上方形（（（（b²）） ））

（2）甲乙勾（a）≠乙丙股（b）時 如下圖 3－1－2

∠ = ∠ =90

⇒

∵ 庚辛壬 庚辛午

則午,辛,壬共線 （（幾何原本（（幾何原本幾何原本）幾何原本）） ） 同理，庚,辛,己亦共線。

∠ = ∠ =90

⇒∠ ∠ = ∠ ∠

⇒∠ = ∠ 壬庚辰 辛庚丑

壬庚辰+ 辛庚壬 辛庚丑+ 辛庚壬 辛庚辰 壬庚丑

同理∠辛壬癸= ∠癸壬子。 又辛庚＝丑庚，庚辰＝庚壬，

則△庚辛辰≅△庚丑壬 又庚丑 辛午,庚辰 辛寅 

2 2

∴ =

= =

△

△

辛丑方形 壬庚丑 辰庚辛 寅庚直形

同理辛子方形積＝癸卯直形積 則癸庚方形積

＝癸卯直形積＋寅庚直形積 則弦上方形

則弦上方形則弦上方形

則弦上方形（（（（c²）） ））

＝

＝＝

＝勾上方形勾上方形勾上方形（勾上方形（（（a²）＋）＋）＋）＋股上方形股上方形股上方形股上方形（（（（b²）） ））

61 同上，頁 3007。

戊 戊 戊 戊 己己己 己 丁 丁丁

丁 丙丙丙丙

甲 甲 甲

甲 乙乙乙乙

圖圖

圖圖 3－－－1－－ －－1 －

線內之庚辛辰三角形，則辛丑方形不與 辰卯直形等乎。依顯辛子方形與癸卯直 形等，則癸庚一形與辛子、辛丑兩形並 等矣。法以勾、股各自乘求勾、股上兩 方形也，兩形並，則為弦上之方積，故 平方開之得弦也。⁶¹

由（1）、（2）

2 2 2 2 2

c =a +b ⇒c= a +b

二 二 二

二、、、、弦弦弦弦、、、、和和和和、、、、較與勾股積互求較與勾股積互求較與勾股積互求較與勾股積互求

承上所述，本卷第 4~12 則題目則為弦（c）、勾股和（ (a b+ )）、勾股較（ (b−a)） 與勾股積（ 1

A=2ab）互求之題型。而弦、勾股和、勾股較與勾股積此四元素，

任擇其二為已知條件以求解另一元素的題型應有C₃⁴×C₂³=12種，本卷介紹了其 中的 9 種題型。且每題均附有圖文證明或簡單的說明。首先就其中第 4~6 題觀察，

此三題為弦、勾股較與勾股積互求，所使用的數學公式為「弦上方形與四勾股積、

一勾股較上方積並等。」⁶² 以代數式表示即為c² = × + −4 A (b a)²。茲就第 4 題作 術文與今解之對照分析：

原術文 今解

第四則、勾股積及勾股較求弦

設勾股積二十四尺，勾股較二尺，求弦？

法曰：置勾股積四因之^得九十_{六 尺}，另置勾股較

自乘^得四_尺 ，兩數並^共一_百尺，平方開之得十尺即 所求。

勾股積（ 1

A= 2a b× ）＝24，

勾股較（ (b−a)）＝2 弦＝c= 4× + −A (b a)²

＝ 4 24 2× + ² ＝10

62 同上，頁 3008。

卯 卯 卯 卯

寅寅 寅寅 辰辰辰辰 癸

癸 癸 癸

己 己 己 己

子 子子 子

丑丑 丑丑 午

午 午 午

壬 壬 壬 壬

辛 辛 辛 辛

庚 庚庚 庚

圖 圖 圖

圖 3－－－－1－－－－2

解曰：甲乙丙勾股形與戊己甲、丁庚戊、

乙辛丁三勾股形等。甲丙為甲乙丙形之 股，甲己為戊己甲形之勾，于甲丙截甲 己，餘己丙即勾股較也。丙辛、辛庚、庚 己各與己丙等，是己辛為勾股較上方形。

又甲乙為甲乙丙形之弦，而丁乙、戊丁、

甲戊各與甲乙等，是甲丁為弦上方形。今 並五形而成一甲丁方形，則是一弦上方形 與四勾股積、一勾股較上方積並等矣。故 四因勾股積並入勾股較自乘之積，平方開 之得弦也。

又如壬子癸勾股形，壬子勾與子癸股等，

四形並，即成一壬丑弦上方形而無餘。凡 遇勾股相等之勾股形，四因積，平方開之 即得弦度。⁶³

證明：如下圖 3－2－1

⊿甲乙丙＝⊿戊己甲

＝⊿丁庚戊＝⊿乙辛丁 又丙辛＝辛庚＝庚己＝己丙

＝甲丙－甲己＝股－勾＝ (b−a) 則弦上方形（c²）＝甲丁方形

＝4×勾股形（ A ）＋1×己辛方形（(b a− )²）

2 2

2

4 ( )

4 ( )

c A b a

c A b a

= × + −

⇒ = × + −

當勾、股相等時，如圖 3－2－2 弦上方形（c²）

＝壬丑方形＝4×勾股形

2 4 4

c = ×A⇒c= ×A

其次就第 7 題與第 10 題來看，可發現此二題為弦長固定，勾股和與勾股較 互求的題型，所用的數學概念為「倍弦上方積大于勾股和上方積者，勾股較上方 積也。」⁶⁴以代數式表示即為2c²− +(a b)² = −(b a)²。茲就第 7 題作術文與今解之 對照分析：

原術文 今解

第七則、弦及勾股和求勾股較

設弦十尺，勾股和一十四尺，求勾股較？

勾股較（ (b−a)）＝ 2c²− +(a b)²

63 同上，頁 3008。

64 同上，頁 3010。

庚庚 庚庚

辛 辛 辛 辛

己 己 己 己

丁 丁 丁 戊 丁

戊 戊戊

甲甲

甲甲 乙乙乙乙

丙丙 丙丙

子 子 子 子

丑 丑 丑 丑

壬壬

壬壬 癸癸癸癸

圖 圖圖

圖 3－－－－2－－－－1

附圖 附圖 附圖

附圖 3－－－－2－－－－2

法曰：置弦自乘^得一_百尺，倍之^得二_百尺，另置勾股

和自乘^得一百九_{十 六 尺}，兩數相減^餘四_尺 ，平方開之得 二尺即所求。

解曰：甲己方形內凡八勾股形而皆等。乙 戊為戊丁乙形之股，甲乙為乙丙甲形之 勾，甲乙、乙戊並，得甲戊乃勾股和也。

餘三邊皆等于甲戊，是甲己為勾股和上方 形。又丙丁為弦上方形，辛壬為勾股較上 方形^本卷_四則。夫弦上方形內得勾股形四及勾股 較上方形一，勾股和上方形內得勾股形八 及勾股較上方形一，是一勾股和上方形當 弦上方形二而少一勾股較上方形也。故倍 弦冪減勾股和自乘之積，平方開之得勾股 較。⁶⁵

＝ 2 10× ²−14² ＝2

證明：如圖 3－3

甲己方形＝8 勾股＋1 辛壬方形

2 2

(a b+ ) = × + −8 A (b a)

丙丁方形＝4 勾股＋1 辛壬方形

2 2

4 ( )

c = × + −A b a

則2c²− +(a b)² = −(b a)²

2 2

(b a) 2c (a b)

⇒ − = − +

再者，第 8 題與第 12 題二題則為固定勾股積，弦與勾股和的互求題型，所 用的數學概念為「勾股和上方大于弦上方者，四勾股積也。」⁶⁶以今代數式表示 即為(a b+ )²− = ×c² 4 A。茲就第 8 題作術文與今解之對照分析：

原術文 今解

第八則、勾股和及勾股積求弦

設勾股和一十四尺，勾股積二十四尺，

求弦？

法曰：置勾股和自乘^得一百九_{十 六 尺}，另置勾股積

四因之^得九十_{六 尺}，兩數相減^餘一_百尺，平方開之得十

弦（c）＝ (a b+ )²− ×4 A

＝ 14²− ×4 24＝10

證明：如七則圖 3－3

甲己方形（即勾股和上方形）

65 同上，頁 3009。

66 同上，頁 3010。

67 同上。

壬 壬壬 壬 庚庚庚

庚 己己己己

辛辛

辛辛 丁丁丁丁

戊 戊戊 戊 丙

丙 丙 丙

甲甲

甲甲 乙乙乙乙 圖圖圖圖 3－－－－3

尺即所求。

解曰：勾股和上方大于弦上方者，四勾股 積也。故相減開方得弦。⁶⁷

＝丙丁方形（即弦上方形）＋4 勾股形

2 2

(a b+ ) = + ×c 4 A

2 2

( ) 4

c a b A

⇒ = + − ×

( )2 4

c a b A

⇒ = + − ×

最後，第 9 題與第 11 題二題則為固定勾股積，勾股較與勾股和的互求題型，

所用的數學概念為「勾股和上方大于勾股較上方者，八勾股積也。」⁶⁸以今代數 式表示即為(a b+ )²− −(b a)² = ×8 A。茲就第 9 題作術文與今解之對照分析：

原術文 今解

第九則、勾股和及勾股積求勾股較 設勾股和一十四尺，勾股積二十四尺，

求勾股較？

法曰：置勾股和自乘^得一百九_{十 六 尺}，另置勾股積

八因之^得一百九_{十 二 尺}，兩數相減^餘四_尺 ，平方開之得 二尺即所求。

解曰：勾股和上方大于勾股較上方者，八 勾股積也。故相減開方得勾股較。⁶⁹

勾股較（ (b−a)）

＝ (a b+ )²− ×8 A

＝ 14²− ×8 24^＝2 證明：如七則圖 3－3

甲己方形（即勾股和上方形）

＝8 勾股＋1 勾股較上方形

2 2

(a b+ ) = × + −8 A (b a)

2 2

(b a) (a b) 8 A

⇒ − = + − ×

(b a) (a b)2 8 A

⇒ − = + − ×

由上面的對照分析中，可看出此 9 種題型所用的核心關係式有四式，而此四 關係式的圖形表徵只有二個，分別為第 4 題與第 7 題的附圖。至於作者論證四關 係式的順序，則是先利用第 4 題與第 7 題的附圖，分別證出c² = × + −4 A (b a)²及

2 2

(a b+ ) = × + −8 A (b a) 兩關係式，再由此兩式推導出(a b+ )² = × +4 A c²與

2 2 2

2c = +(a b) + −(b a) 另兩關係式。

三 三 三

三、、、、勾勾勾勾、、、、股股股股、、、、弦弦弦弦、、、、和和和和、、、、較之互求較之互求較之互求較之互求

本卷第 13~20 則勾、股、弦、勾弦和、股弦和、勾弦較、股弦較的互求題型。

同樣的每題均附有圖文證明或簡單的說明。茲分別作術文與今解之對照分析：

68 同上。

69 同上。

原術文 今解 第十三則、勾弦和、股弦和求勾、股、弦

設勾弦和一十六尺，股弦和一十八尺，

求勾、股、弦？

法曰：置勾弦和、股弦和相乘^得二百八_{十 八 尺}，倍

之^得五百七_{十 六 尺}，平方開之得二十四尺為勾股弦 和。與勾弦和相減，餘八尺即股；與股弦 和相減，餘六尺即勾；與一勾、一股相減，

餘十尺即弦。

解曰：甲乙直形為勾弦和、股弦和矩內 形，乙丁、乙丙皆與弦等，丁戊與勾等，

丙庚與股等。則己乙必為弦方，己戊必弦 勾矩內形，己庚必弦股矩內形，甲己必勾 股矩內形，辛壬方形為勾股弦和上方形，

壬癸、壬子皆與弦等，癸丑、子寅皆與股 等，丑卯、寅辰皆與勾等，則巳壬必為弦 方，午巳必為股方，辛午必為勾方，未癸、

申子必皆股弦矩內形，酉丑、戌寅必皆勾 弦矩內形，午酉、午戌必皆勾股矩內形，

今以辛壬方形與甲乙直形較，則未癸、申 子並倍于己庚，酉丑、戌寅並倍于己戊，

午酉、午戌並倍于甲己，又午巳股方與辛 午勾方並與己壬弦方等，是巳壬、午巳、

辛午三形並，復倍于己乙。分形既倍大于 分形，全形亦倍大于全形，是勾股弦和上 方形一與勾弦和、股弦和矩內形二並等 矣。故以勾弦和乘股弦和，倍而開方得勾 股弦和也。于勾股弦和內減去一弦、一

勾股弦和（ (a b c+ + )）

＝ 2 (× + × +a c) (b c)

＝ 2 16 18× × ＝24

勾（a）＝ (a b c+ + − +) (b c)

＝24－18＝6

股（ b ）＝ (a b c+ + − +) (a c)

＝24－16＝8

弦（c）＝ (a b c+ + − −) a b

＝24－6－8＝10

證明：如圖 3－4－1 及圖 3－4－2 甲乙直形（勾弦和、股弦和矩內形）

＝1 弦方＋1 弦勾矩內形＋1 弦股矩內形

＋1 勾股矩內形

(a+ × + = + + +c) (b c) c2 ca cb ab 辛壬方形（勾股弦和上方形）

＝1 弦方＋1 勾方＋1 股方＋2 弦勾矩內形

＋2 弦股矩內形＋2 勾股矩內形

＝2 弦方＋2 弦勾矩內形＋2 弦股矩內形

＋2 勾股矩內形

＝2 甲乙直形＝2（勾弦和、股弦和矩內形）

b 勾勾 勾勾 弦弦 弦弦

股 股 股 股

c

a 戊戊 戊戊 丁 丁丁 丁 乙 乙 乙 乙

己己 己己 丙 丙 丙 庚 丙

庚 庚 庚

甲甲甲 甲

b c

a a

勾勾 勾勾 股股 股股 弦 弦 弦 弦

b 勾

勾勾

勾 股股股股 弦弦弦弦 c 壬 壬 壬 子 壬

子 子子

癸 癸癸 巳 癸

巳 巳巳 辰

辰 辰 辰

戌戌戌 戌

寅寅 寅寅

申 申 申 申

辛 辛 辛

辛 卯卯卯卯 丑 丑丑 未 丑

未未 未

酉 酉酉 酉 午午午 午 圖 圖 圖

圖 3－－－4－－ －－1 －

圖圖圖

圖 3－－－－4－－－－2

股，所餘必勾；減去一弦、一勾，所餘必 股；減去一勾、一股所餘必弦也。⁷⁰

2 2 2 2

2

( ) 2 2 2

2 2 2 2

2( ) ( )

a b c c a b ca cb ab c ca cb ab

a c b c

+ + = + + + + +

= + + +

= + × +

則(a b c+ + =) 2 (× + × +a c) (b c) (a b c+ + − +) (b c)＝a

(a b c+ + − +) (a c)＝ b (a b c+ + − −) a b＝c

此題型為已知勾弦和、股弦和求勾、股、弦，首見於元代朱世杰的《算學啟 蒙》卷下方程正負門的末二問，《算法統宗》、《勾股義》皆有收錄此題型，然題 目敘述不同，數據也不同，但所用公式完全相同，皆從《算學啟蒙》來。⁷¹此外 觀察其證明與所附之圖則與同時期梅文鼎的《勾股舉隅》相類似，都是採用「幾 何」進路，以「出入相補」的方法證明此題。

原術文 今解

第二十則、勾弦較、股弦較求勾股弦 設勾弦較四尺，股弦較二尺，

求勾、股、弦？

法曰：置勾弦較、股弦較相乘^得八_尺 ，倍之^得一十_{六 尺}，

平方開之^得四_尺 ，加股弦較得六尺即勾；加勾弦較 得八尺即股；加勾弦較、股弦較得十尺即弦。

解曰：甲乙為弦方，丁乙為勾方，甲丙為股方。

以丁乙勾方、甲丙股方錯縱加于甲乙弦方之 上，必缺戊己、庚辛二直形，而重一丁丙方形。

然丁丙方形必能補二直形之缺而與之等，何 也？丁乙勾方、甲丙股方並等于甲乙弦方，若 丁丙方形或大或小于二直形，則是勾方、股方

弦和較（ (a b c+ − )）

＝ 2(c− × −a) (c b)＝ 2 4 2× × ＝4 勾（a）＝ (a b c+ − + −) (c b)＝4＋2＝6 股（ b ）＝ (a b c+ − + −) (c a)＝4＋4＝8 弦（c）＝ (a b c+ − + − + −) (c a) (c b)

＝4＋2＋4＝10

70 同上，頁 3011。

71 《算學啟蒙》此時已失傳，後來羅士琳讓人從北京琉璃廠書肆中訪獲金始振重刻本，詳加校

勘，於 1839 年在楊州刊行，這本書才又重行問世。

c

a

(c-b) c

(c-b) a

b b

(c-a)

(c-a) 戊 戊 戊 戊 庚庚

庚庚

丁 丁丁 丁 癸 癸 癸 癸

丙 丙 丙 丙

壬壬 壬壬

乙 乙乙 乙

己 己己 己 辛辛

辛辛

甲 甲 甲 甲

圖圖 圖圖 3－－－－5

並不與弦方等矣。夫勾方、股方並既與弦方等，

則二直形並亦必與丁丙方形等。法以兩較相乘 而倍之者，求二直形也二直形以戊壬、癸辛勾弦較為

長，以壬己、癸庚股弦較為濶， 平方開之者求丁丙方形之一邊也，以一邊加股 弦較之癸庚得癸丁即勾，加勾弦較之戊壬得丙 壬即股，加一勾弦較之戊壬、一股弦較之癸庚 得癸丁及戊壬即弦。⁷²

證明：如圖 3－5 甲乙方形（c ） ²

＝甲丙方形（b ）＋丁乙方形（² a ） ²

＝甲丙方形＋丁乙方形

－丙丁方形＋庚辛直形＋戊己直形 則丙丁方形（(a b c+ − )²）

＝庚辛直形＋戊己直形

＝2×庚辛直形（ (c a− × −) (c b)）

( )2 2( ) ( )

( ) 2( ) ( )

a b c c a c b a b c c a c b + − = − × −

⇒ + − = − × − 勾＝丙丁方形邊＋癸庚 勾（a）＝ (a b c+ − + −) (c b) 股＝丙丁方形邊＋戊壬 股（ b ）＝ (a b c+ − + −) (c a) 弦＝丙丁方形邊＋癸庚＋戊壬 弦（c）＝ (a b c+ − + − + −) (c a) (c b)

此題型為已知勾弦較、股弦較求勾、股、弦，首見於《九章算術》勾股章第 12 題，《算法統宗》亦有收錄此題型。雖題目敘述不盡相同，但所用公式完全相 同，且題目數據也相同，所用之勾股數皆為（6，8，10）。而從此題的「解」及 所附圖形可看出其證明與《九章算術》劉徽注的概念是一樣的。

其次，14、15 二題則是以股及勾弦較、勾及股弦較分別求勾與弦、股與弦。

顯見的，兩題的概念完全相同，不過勾、股互異。茲就第 14 題作術文與今解之 對照分析如下：

原術文 今解

第十四則、股及勾弦較求勾與弦

設股八尺，勾弦較四尺，求勾、弦？

【法 1】

72 同上，頁 3013。

法曰：置股自乘^得六十_{四 尺}，另置勾弦較自乘

得一十

六 尺，兩數相減^餘四十_{八 尺}，折半^得二十_{四 尺}，以勾弦較 除之得六尺即勾，加勾弦較得十尺即弦。

解曰：甲乙為弦上方形，丙丁為勾上方形，

戊己為勾弦較上方形。于甲乙弦方內，減去 丙丁勾方，所餘必股上方積，成一辛壬癸磐 折形，再減去勾弦較上方形，所餘必甲庚、

庚乙二直形，而以甲丙、乙丁為濶，丙庚、

庚丁為長。甲丙、乙丁即勾弦較也，丙庚、

庚丁為勾上方形之邊，即勾也。法以兩數相 減，所餘者即二直形也，折半者，取二直形 之一也。以勾弦較除之得勾者，即以濶除積 得長也。

或以兩數相減之四十八尺為實，倍勾弦較除 之亦得勾。

或以股自乘為實，以勾弦較除之得數減勾弦 較，折半亦得勾。⁷³

勾（a）＝

2 2

( ) 1

2 ( )

b c a

c a

− − ×

− ＝

2 2

8 4 1

2 4

− × ＝6

弦（c）＝a+ −(c a)＝6＋4＝10

證明：如圖 3－6－1 即甲乙方形（c ） ²

＝丙丁方形（a ）＋辛壬癸磐折形 ² 則辛壬癸磐折形積＝股上方形積（b ） ² 又辛壬癸磐折形（b ）＝壬方形（² (c a− )²）

＋辛、癸兩直形（ 2× × −a (c a)）

2 2

2 2

2 2

2 2

( ) 2 ( )

2 ( ) ( )

( )

( )

2

( ) 1

2 ( )

b c a a c a

a c a b c a b c a a c a

b c a

a c a

= − + × × −

⇒ × × − = − −

⇒ × − = − −

⇒ = − − ×

−

【法 2】

勾（a）＝

2 2

( )

2 ( )

b c a c a

− −

× − ^＝

2 2

8 4

2 4

−

× ＝6

【法 3】如圖 3－6－2 勾（a）＝

2 1

( ( ))

( ) 2

b c a

c a − − ×

−

＝

82 1

( 4)

4 − ×2＝6

如圖：甲乙′長＝

2

( )

b c a−

又兩勾長＝甲乙′長－勾弦較

2

2

2 ( )

( )

( ( )) 1

( ) 2

a b c a

c a

a b c a

c a

= − −

−

⇒ = − − ×

−

73 同上，頁 3011。

c a (c-a)

(c-a)

a c

癸癸 癸癸 癸

癸癸 癸

壬壬壬 壬 辛 辛辛 辛

丁丁 丁丁' 乙

乙 乙 乙'

戊 戊戊 戊

己己 己己

庚 庚 庚 庚

丁 丁 丁 丁 乙乙 乙乙

甲甲甲

甲 丙丙丙丙 c

a (c-a)

(c-a)

a c

癸癸 癸癸 壬

壬 壬 壬

辛 辛 辛 辛

戊 戊戊 戊

己 己 己 己

庚 庚 庚 庚

丁 丁 丁 丁 乙 乙 乙 乙

甲 甲甲

甲 丙丙丙丙

圖圖

圖圖 3－－－－6－－－－1

圖 圖 圖

圖 3－－－－6－－－－2